La Théorie de Kummer et le K_{2} des Corps de Nombres^{∗}

Jean-François Jaulent

Résumé. Nous associons à chaque corps de nombres K un groupe universel \overline{K}_{2}(K) analogue au groupe symbolique K_{2}(K), et deux sous-groupes canoniques finis \overline{R}_{2}(K) et \overline{H}_{2}(K), qui correspondent aux noyaux réguliers et hilbertien de la K-théorie, et permettent d’expliciter les correspondances remarquables entre divers modules galoisiens classiques faisant intervenir les conjectures de Leopoldt et de Gross.

Abstract. We attach to any number field K a universal group \overline{K}_{2}(K), which is the analogue of the group of symbols K_{2}(K), together with two canonical finite subgroups \overline{R}_{2}(K) and \overline{H}_{2}(K) that correspond respectively to the tame and wild kernels of Ktheory. Thanks to them, we establish noteworthy correspondances between classical Galois modules in relation with both Leopoldt and Gross conjectures.

Sommaire

Introduction

Conventions & Notations

1. Le Radical Universel ℜ.

a. Définition des groupes \overline{K}_{2}(K_{n}).

b. Introduction des groupes d’unités logarithmiques.

c. Application aux groupes de Brauer.

d. Restriction au radical modéré (ou régulier) 𝔐.

2. Le Radical Hilbertien ℌ.

a. Interprétation symbolique : les groupes H_{2}(K_{n}) = WK_{2}(K_{n}).

b. Interprétation kummérienne : les groupes \overline{H}_{2}(K_{n}).

c. Application aux unités logarithmiques.

d. Isomorphismes de fausse dualité.

Appendice : Les Conjectures de Leopoldt et de Gross.

Index des Notations

Références Bibliographiques

∗J. Théor. Nombres Bordeaux 2 (1990), 377–411.

Introduction

Nous développons dans cet article un parallèle entre la théorie de Tate sur le K_{2} des corps de nombres et la description kummérienne des genres dans une tour cyclotomique. Nous sommes amenés pour cela à associer à chaque corps de nombres K un groupe universel \overline{K}_{2}(K), analogue au groupe symbolique K_{2}(K), et deux sous-groupes canoniques finis, \overline{R}_{2}(K) et \overline{H}_{2}(K), qui correspondent respectivement aux noyaux réguliers R_{2}(K) et hilbertien H_{2}(K) de la K-théorie. Ces deux groupes sont remarquables à plus d’un titre :

- D’abord, comme le montrent les résultats de fausse dualité énoncés dans la dernière section, ils constituent une bonne approximation des noyaux de la Kthéorie : en particulier, ils ont les mêmes ℓ^{m}-rangs dès que le corps K contient les racines ℓ^{m}-ièmes de l’unité.

- Ensuite, puisque définis kummériennement, ils relèvent par dualité des méthodes de la théorie du corps de classes, et se présentent en fin de compte comme les duaux de Pontrjagin de modules galoisiens classiques convenablement tordus, dont l’arithmétique est bien connue.

- Enfin, il se trouve qu’ils interviennent de façon naturelle dans un certain nombre de questions mettant en jeu les conjectures de Leopoldt et de Gross, pour lesquelles ils fournissent un cadre conceptuel particulièrement commode.

Une première rédaction de cette étude figure dans le chapitre I de [13]. La présente version, plus complète, intègre nombre de résultats récents, et met plus particulièrement l’accent sur le rôle joué dans les problèmes étudiés par le ℓ-groupe des classes logarithmiques introduit dans [14] mais déjà rencontré dans [13] sous une forme légèrement différente (c’est le groupe des classes de valeurs absolues). Un court appendice présente dans ce contexte une condition suffisante classique des conjectures de Leopoldt et de Gross.

Conventions & Notations

Dans tout ce qui suit, ℓ désigne un nombre premier (éventuellement 2), et K un corps de nombres contenant les racines 2ℓ-ièmes de l’unité.

Nous écrivons K_{∞} = ∪_{n∈ℕ}K_{n} la ℓ-tour cyclotomique construite sur K, avec la convention d’indice K_{n} = K[μ_{ℓ^{n}}], où μ_{ℓ^{n}} désigne le groupe des racines ℓ^{n}- ièmes de l’unité dans ℂ. Nous notons μ_{ℓ^{∞}} = ∪_{n∈ℕ}μ_{ℓ^{n}} la limite inductive des μ_{ℓ^{n}}, puis 𝕋_{ℓ} = \underleftarrow{lim} μ_{ℓ^{n}} le module de Tate (qui s’identifie à ℤ_{ℓ} comme groupe abstrait, via l’exponentielle complexe n ↦ exp \frac{2iπ}{n}), et \overline{𝕋}_{ℓ} le module opposé (c’est à dire le même groupe équipé de l’action opposée des groupes de Galois), qui s’identifie canoniquement au dual de Pontrjagin μ̂_{ℓ^{∞}} = Hom_{ℤ_{ℓ}}(μ_{ℓ^{∞}}, ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) du groupe μ_{ℓ^{∞}}.

Le caractère ω de l’action du groupe de Galois Gal(K_{∞}/K) sur le module de Tate 𝕋_{ℓ} est, par définition, le caractère cyclotomique du groupe Gal(K_{∞}/K) ; son opposé ω̄, défini par

ω̄(σ) = ω(σ^{−1}) ∀σ ∈ Gal(K_{∞}/K)

est le caractère anticyclotomique ; c’est aussi le caractère du module \overline{𝕋}_{ℓ}.

Si n_{0} est le plus grand entier qui vérifie K_{n} = K (de sorte que K contient μ_{ℓ^{n_{0}}} mais non μ_{ℓ^{n_{0}+1}}, nous supposerons implicitement dans tout ce qui suit n ≥ n_{0}, et donc [K_{n+1} : K_{n}] = ℓ. En particulier, par γ_{n} nous entendons l’unique générateur topologique du groupe procyclique Γ_{n} = Gal(K_{∞}/K_{n}) défini par l’identité :

ζ^{γ_{n}} = ζ^{1+ℓ^{n}}, pour tout ζ de μ_{ℓ^{∞}},

c’est à dire par la condition ω(γ_{n}) = 1 + ℓ^{n}.

Convention : Nous disons qu’un élément x d’un module multiplicatif 𝔛 est :

(i) de hauteur m, lorsque c’est une puissance ℓ^{m}-ième dans 𝔛, i.e. lorsqu’il s’écrit x = x_{m}^{ℓ^{m}} pour un x_{m} de 𝔛 ;

(ii) de hauteur ∞, lorsqu’il est de hauteur m pour tout m, i.e. lorsque pour tout m ∈ ℕ, il existe un x_{m} ∈ 𝔛 qui vérifie x = x_{m}^{ℓ^{m}} ;

(iii) divisible, lorsqu’il peut être indéfiniment divisé, i.e. lorsqu’il existe une suite (x_{m})_{m∈ℕ} ∈ 𝔛^{ℕ}, avec x = x_{1}^{ℓ}, x_{1} = x_{2}^{ℓ}, etc.

Nous notons 𝔛_{∞} = ⋂_{m∈ℕ} 𝔛^{ℓ^{m}} le sous-module de 𝔛 formé des éléments de hauteur infinie, et 𝔛_{div} celui constituté des éléments divisibles de 𝔛. Le module 𝔛_{div} coïndide avec 𝔛_{∞}, lorsque 𝔛 est de cotype fini (i.e. lorsque le sous-module ℓ𝔛 annulé par ℓ est fini), mais ce résultat est faux en général.

Enfin, suivant l’usage, nous appelons codimension d’un module divisible de torsion 𝔛 la dimension sur ℤ_{ℓ} de son dual de Pontrjagin 𝔛̂ = Hom(𝔛, ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}). Lorsque 𝔛, supposé de cotype fini, est stable pour l’action d’un groupe d’automorphismes Δ, nous disons de même que le caractère du ℚ_{ℓ}[Δ]-module ℚ_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} 𝔛̂ est le caractère défini par 𝔛.

1. Le radical universel ℜ

Définition 1.1. Par ℓ-radical universel d’un corps de nombres K, nous entendons le tensorisé par ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ} de son groupe multiplicatif, que nous notons :

ℜ_{K} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ} K^{×}.

Le groupe ℜ_{K} est, par construction, un ℤ_{ℓ}-module divisible de torsion, dont tout élément admet une représentation de la forme ℓ^{−m} ⊗ x avec m ∈ ℕ et x ∈ K^{×}. La condition ℓ^{−m} ⊗ x = 1 signifie alors que l’élément x est le produit x = ζ y^{ℓ^{m}} d’une racine de l’unité et d’une puissance ℓ^{m}-ième dans K^{×}. On prendra garde, en effet, que le produit tensoriel par le groupe divisible ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ} a pour conséquence la disparition du sous-groupe de torsion de K^{×}. Dans le cas qui nous intéresse, la tour cyclotomique K_{∞} étant la réunion des sous-corps K_{n}, le radical universel, disons ℜ_{K_{∞}}, qui lui correspond s’obtient naturellement comme limite inductive des radicaux ℜ_{K_{n}} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ} K_{n}^{×}. Le point essentiel ici est que les groupes ℜ_{K_{n}} vérifient la théorie de Galois :

Proposition 1.2. L’application naturelle de ℜ_{K_{n}} dans ℜ_{K_{∞}} est un morphisme injectif. Plus précisément, pour chaque entier naturel n, le radical universel ℜ_{K_{n}} associé au corps K_{n} s’identifie canoniquement au sous-module des points fixes dans ℜ_{K_{∞}} du groupe de Galois Γ_{n} = Gal(K_{∞}/K_{n}) ; ce que nous écrivons tout simplement :

ℜ_{K_{n}} = ℜ_{K_{∞}}^{Γ_{n}}, ∀n ∈ ℕ.

Preuve (cf. [7], section II, pour un cas particulier). Soit x_{n} un élément de K_{n}^{×}. La relation ℓ^{−1} ⊗x_{n} = 1 dans ℜ_{K_{∞}} entraîne K_{n}[^{ℓ}\sqrt{x}] ⊂ K_{∞}[^{ℓ}\sqrt{x}] = K_{∞}, donc, par la théorie de Kummer : x_{n} ≡ ζ_{n}(mod^{×}K_{n}^{×ℓ}), pour un ζ_{n} de μ_{ℓ^{n}} ; c’est à dire, en fin de compte, ℓ^{−1} ⊗ x_{n} = 1 dans ℜ_{K_{n}}. Autrement dit, tout élément d’ordre ℓ de ℜ_{K_{n}} s’envoie sur un élément d’ordre ℓ de ℜ_{K_{∞}}, et l’application naturelle de ℜ_{K_{n}} dans ℜ_{K_{∞}} est bien injective.

Soit maintenant ℓ^{−p} ⊗ x_{p} un élément de ℜ_{K_{p}} fixé par Γ_{n}, pour un n ≤ p. Dans ce cas, ℓ^{−p} ⊗ x_{p}^{γ_{n}−1} est égal à 1, ce qui signifie (puisque les racines de l’unité sont divisibles dans K_{∞}^{×}) que x_{p}^{γ_{n}−1} est une puissance ℓ^{p}-ième dans K_{∞}^{×}. Écrivons donc x_{p}^{γ_{n}−1} = y_{q}^{ℓ^{p}} pour un y_{q} de K_{q}^{×}, avec q ≥ n ; et considérons l’élément N_{q/n}(y_{q}) donné par la norme arithmétique N_{q/n} = N_{K_{q}/K_{n}}. Nous avons N_{q/n}(y_{q})^{ℓ^{p}} = N_{q/n}(x_{p}^{γ_{n}−1}) = x_{p}^{γ_{q}−1} = 1, ce qui prouve que N_{q/n}(y_{q}) est une racine de l’unité dans K_{n}^{×}, et, par conséquent la norme N_{q/n}(ζ_{q}) d’une racine de l’unité ζ_{q} de K_{q}^{×}. Il suit : N_{q/n}(y_{q}/ζ_{q}) = 1, puis, en vertu du théorème 90 de Hilbert appliqué à l’extension cyclique K_{q}/K_{n}, y_{q} = ζ_{q}z_{q}^{γ_{n}−1}, pour un z_{q} de K_{q}^{×}. En particulier, l’élément (x_{p}z_{q}^{−ℓ^{p}})^{γ_{n}−1} = ζ_{q}^{ℓ^{p}} est une racine de

l’unité, de sorte que nous pouvons écrire (x_{p}z_{q}^{−ℓ^{p}})^{γ_{n}−1} = ζ_{q}^{ℓ^{p−n}}^{(γ_{n}−1)} ce qui nous prouve que x_{p} est le produit x_{n}ζ_{q}^{ℓ^{p−n}}z_{q}^{ℓ^{p}} d’un élément x_{n} de K_{n}^{×}, d’une racine de l’unité, et d’une puissance ℓ^{p}-ième ; autrement dit que nous avons ℓ^{−p} ⊗ x_{p} = ℓ^{−p} ⊗ x_{n} ∈ ℜ_{K_{n}}, comme attendu.

Corollaire 1.3. Lorsque ℓ est impair, l’intersection des sous-modules respectifs de 𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}} et \overline{𝕋}_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}} fixés par Γ_{n} est le sous-groupe de ℓ^{n}-torsion de ℜ_{K_{n}} :

(𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}})^{Γ_{n}} ∩ (\overline{𝕋}_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}})^{Γ_{n}} = _{ℓ^{n}}ℜ_{K_{∞}}^{Γ_{n}} = _{ℓ^{n}}ℜ_{K_{n}},

Pour ℓ = 2, en revanche, on a seulement :

(𝕋_{2} ⊗_{ℤ_{2}} ℜ_{K_{∞}})^{Γ_{n}} ∩ ℜ_{K_{∞}}^{Γ_{n}} = _{2^{n}}ℜ_{K_{n}} = (\overline{𝕋}_{2} ⊗_{ℤ_{2}} ℜ_{K_{∞}})^{Γ_{n}} ∩ ℜ_{K_{∞}}^{Γ_{n}}.

Preuve. Les modules ℤ_{ℓ}, 𝕋_{ℓ}, et \overline{𝕋}_{ℓ} étant identiques en tant que groupes abstraits, les modules ℜ_{K_{∞}}, 𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}}, et \overline{𝕋}_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}} ne diffèrent que par l’action du groupe de Galois. Soit donc ℓ^{−p} ⊗ x_{p} un élément de l’intersection (𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}}

ℜ_{K_{∞}})^{Γ_{n}} ∩ (\overline{𝕋}_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}})^{Γ_{n}}. L’identité ℓ^{−p} ⊗ x_{p}^{γ_{n}−ω(γ_{n})} = ℓ^{−p} ⊗ x_{p}^{γ_{n}^{−1}−ω(γ_{n})} = 1 nous montre que ℓ^{−p} ⊗x_{p}, qui est annulé par γ_{n} −γ_{n}^{−1}, est fixé par γ_{n}^{2}, donc contenu dans ℜ_{K_{n}} d’après la proposition 1 ci-dessous dès lors que ℓ est impair. Nous pouvons ainsi supposer x_{p} ∈ K_{n}^{×}, auquel cas nous obtenons immédiatement :

ℓ^{−p+n} ⊗ x_{p} = ℓ^{−p} ⊗ x_{p}^{ℓ^{n}} = ℓ^{−p} ⊗ x_{p}^{ω(γ_{n})−γ_{n}} = 1, i.e. ℓ^{−p} ⊗ x_{p} ∈_{ℓ^{n}} ℜ_{K_{n}} ; ce qui achève la démonstration dans ce cas. Le cas ℓ = 2 est immédiat.

a. Définition des groupes \overline{K}_{2}(K_{n})

Le groupe universel K_{2}(K) pour les symboles sur un corps K peut être défini comme le quotient du carré tensoriel K^{×} ⊗_{ℤ} K^{×} du ℤ-module multiplicatif K^{×} par l’idéal engendré par les éléments de la forme x ⊗ (1 − x), pour x ∈ K\{0, 1}. Dans le cas des corps de nombres, on sait depuis les résultats de Tate et Bass, et le théorème de finitude de Garland (cf.[2]) que K_{2}(K) est un groupe de torsion, donc le produit direct de ses sous-groupes de Sylow. En fait, seul le ℓ-sous-groupe de Sylow nous importe ici, de sorte que nous continuerons par abus à le noter K_{2}(K) pour ne pas alourdir inutilement les notations. Cela posé, le résultat fondamental de Tate (cf. [24] et [26]) est alors que les éléments d’ordre ℓ-primaire de K_{2}(K) (c’est-à-dire ceux de K_{2}(K), avec la convention d’écriture ci-dessus) s’obtiennent par montée dans la ℓ-tour cyclotomique K_{∞} :

Théorème 1.4. Pour chaque naturel n, le ℓ-sous-groupe de Sylow K_{2}(K_{n}) du groupe universel pour les symboles sur le corps K_{n} est donné par la suite exacte canonique de ℤ_{ℓ}-modules galoisiens :

(1) 1 ⟶ (𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}})_{div}^{Γ_{n}} ⟶ (𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}})^{Γ_{n}} ⟶ K_{2}(K_{n}) ⟶ 1.

Dans celle-ci, le terme médian désigne le sous-groupe des points fixes par Γ_{n} = Gal(K_{∞}/K_{n}) du produit tensoriel 𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}} ≃ μ_{ℓ^{∞}} ⊗_{ℤ} K_{∞}^{×}, et le terme de gauche son sous-groupe divisible maximal.

Le calcul de la codimension du sous-groupe divisible (𝕋_{ℓ}⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}})_{div}^{Γ_{n}} est l’un des théorèmes essentiels de Tate sur le K_{2} des corps de nombres (cf. [26], §5). Comme nous allons le voir plus loin, ce résultat est l’analogue pour la K-théorie des corps de nombres, de la conjecture de Leopoldt pour la ℓ-ramification. Avant de développer ce point de vue, disons brièvement comment le résultat de Tate peut s’énoncer de façon sensiblement plus précise en termes de représentations : Donnons nous un groupe (fini), disons Δ, d’automorphismes de K, et notons F son corps des invariants : puis pour chaque entier naturel n, écrivons Δ_{n} ≃ Δ le relèvement naturel de Δ dans K_{n}, et F_{n} son sous corps des points fixes. Pour chaque place à l’infini 𝔭_{n} du corps F_{n}, désignons par Δ_{𝔭_{n}} un sous-groupe de décomposition dans l’extension K_{n}/F_{n}, lequel ne dépend en fait que de la place 𝔭_{o} de F_{o} = F au dessous de 𝔭_{n} ; notons χ_{𝔭_{n}} = Ind_{Δ_{𝔭n}}^{Δ} 1_{Δ_{𝔭n}} l’induit à Δ du caractère de la représentation unité de Δ_{𝔭_{n}} ≃ Δ_{𝔭_{o}} ; et formons la somme

∑_{𝔭_{n}|∞} χ_{𝔭_{n}} = [K_{n} : K_{o}] ∑_{𝔭_{o}|∞} χ_{𝔭_{o}}.

D’après les résultats de Tate (cf. [26]), le caractère obtenu est celui du noyau universel 𝔘_{K_{n}} défini par l’identité :

𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} 𝔘_{K_{n}} =_{déf} (𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}})_{div}^{Γ_{n}}

Scolie 1.5. Le sous-groupe divisible maximal (𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}})_{div}^{Γ_{n}} du groupe tordu (𝕋_{ℓ}⊗_{ℤ_{ℓ}}ℜ_{K_{∞}})^{Γ_{n}} est un ℤ_{ℓ}-module divisible de codimension finie, égale au nombre de places complexes c_{K_{n}} du corps K_{n} :

(𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}})_{div}^{Γ_{n}} ≃ (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ})^{c_{Kn}} .

Plus précisément, pour tout groupe (fini) Δ_{n} d’automorphismes du corps K_{n}, le caractère de Δ_{n} associé au ℤ_{ℓ}-module divisible 𝔘_{K_{n}} défini par l’identité

𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} 𝔘_{K_{n}} = (𝕋_{ℓ} ⊗ ℜ_{K_{∞}})_{div}^{Γ_{n}}

est la somme ∑_{𝔭_{n}|∞} χ_{𝔭_{n}} des induits à Δ_{n} des caractères unités des sous groupes de décomposition des places à l’infini dans l’extension relative attachée à Δ_{n}.

Théorème & Définition 1.6. Par \overline{K}_{2}(K_{n}) nous entendons le quotient du ℓ-groupe (\overline{𝕋}_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}})^{Γ_{n}} = (\overline{μ}_{ℓ^{∞}} ⊗_{ℤ} K_{∞}^{×})^{Γ_{n}} par son sous-module divisible maximal, c’est-à-dire le ℓ-groupe de torsion défini par l’exactitude de la suite courte :

(\overline{1}) 1 ⟶ (\overline{𝕋}_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}})_{div}^{Γ_{n}} ⟶ (\overline{𝕋}_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}})^{Γ_{n}} ⟶ \overline{K_{2}}(K_{n}) ⟶ 1.

Le groupe \overline{K}_{2}(K_{n}) ainsi obtenu décrit, via la théorie de Kummer, l’ensemble des ℓ-extensions de K_{∞} qui proviennent par composition avec K_{∞} d’une extension abélienne de K_{n} modulo celles qui proviennent des ℤ_{ℓ}-extensions de K_{n}.

Preuve. Désignons par X_{K_{∞}} le groupe de Galois de la ℓ-extension abélienne maximale de K_{∞}, puis par^{Γ_{n}}X_{K_{∞}} son quotient des genres relatif à l’extension procyclique K_{∞}/K, i.e. le plus grand quotient de X_{∞} sur lequel Γ_{n} opère trivialement, autrement dit X_{K_{∞}}/X_{K_{∞}}^{γ_{n}−1} : c’est aussi le groupe de Galois Gal(K_{n}^{ab}/K_{∞}) attaché à la plus grande ℓ-extension K_{n}^{ab} de K_{∞} qui est abélienne sur K_{n}. Cela posé, nous avons immédiatement :

\begin{aligned}(\overline{𝕋}_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}})^{Γ_{n}} & = (\overline{𝕋}_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} Hom(X_{K_{∞}}, μ_{ℓ^{∞}}))^{Γ_{n}} \\ & = Hom_{Γ_{n}}(X_{K_{∞}}, ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) = Hom(^{Γ_{n}}X_{K_{∞}}, ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}). \end{aligned}

Et le groupe (\overline{𝕋}_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}})^{Γ_{n}} est donc le dual de Pontrjagin de ^{Γ_{n}}X_{K_{∞}}, c’està-dire le tensorisé \overline{𝕋}_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} Rad(K_{n}^{ab}/K_{∞}) du radical kummérien annoncé ; son sous-groupe divisible maximal (\overline{𝕋}_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}})_{div}^{Γ_{n}} correspond, lui, au radical sur K_{∞} de la composée Z_{n} des ℤ_{ℓ}-extensions de K_{n}. Il vient donc finalement :

\overline{K}_{2}(K_{n}) ≃ \overline{𝕋}_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} Rad(K_{n}^{ab}/Z_{n}),

ce qui est précisément le résultat annoncé.

La conjecture de Leopoldt pour le corps K_{n} (et le nombre premier ℓ) affirme l’existence d’exactement (c_{K_{n}} + 1) ℤ_{ℓ}-extensions linéairement indépendantes sur K_{n}, autrement dit l’égalité entre la codimension du groupe divisible (\overline{𝕋}_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}})_{div}^{Γ_{n}}, et celle c_{K_{n}} du groupe (𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}})^{Γ_{n}} (donnée par le scolie 5). On sait, de façon générale, que la codimension du radical (\overline{𝕋}_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}})_{∞}^{Γ_{n}} = Rad(Z_{n}/K_{∞}) n’excède c_{K_{n}} que d’une quantité finie δ_{K_{n}}, qui mesure donc le défaut de la conjecture de Leopoldt pour K_{n}, et qui reste d’ailleurs bornée lorsqu’on monte la tour cyclotomique K_{∞}/K_{o} (cf. [7], §1). Comme précédemment, ces résultats s’expriment en outre de façon plus précise en termes de représentations, la quantité δ_{K_{n}} s’interprétant comme degré du caractère de défaut pour la conjecture de Leopoldt dans le corps K_{n} (cf. [13] IV.2, 3§b), le point remarquable étant que, sous la condition δ_{K_{n}} = 0 les groupes (\overline{𝕋}_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}})_{div}^{Γ_{n}} et (𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}})_{div}^{Γ_{n}} définissent le même caractère.

Scolie 1.7. Le sous-groupe divisible maximal (\overline{𝕋}_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}})_{div}^{Γ_{n}} du radical kummerien (\overline{𝕋}_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}})^{Γ_{n}} est un module de torsion de codimension finie égale au nombre de places complexes c_{K_{n}} du corps K_{n} augmenté du défaut δ_{K_{n}} de la conjecture de Leopoldt dans K_{n} :

(\overline{𝕋}_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}})_{div}^{Γ_{n}} ≃ (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ})^{c_{Kn} +δ_{Kn}} .

Plus précisément, lorsque celle-ci est vérifiée, le noyau 𝔘_{K_{n}} des symboles universels et le radical ℨ_{K_{n}} des ℤ_{ℓ}-extensions définis respectivement par

𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} 𝔘_{K_{n}} = (𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}})_{div}^{Γ_{n}} et \overline{𝕋}_{ℓ} ⊗_{ℤ} ℨ_{K_{n}} = (\overline{𝕋}_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}})_{div}^{Γ_{n}}

ont même caractère, pour tout groupe (fini) Δ d’automorphismes de K_{n}. b. Introduction des groupes d’unités logarithmiques

Le nombre premier ℓ étant toujours supposé fixé, rappelons qu’à chaque place non complexe 𝔭 d’un corps de nombres K est attachée une valeur absolue ℓ-adique (i.e. à valeurs dans le groupe des unités ℤ_{ℓ}^{×} de l’anneau ℤ_{ℓ}) définie sur le sous groupe multiplicatif K_{𝔭}^{×} du complété 𝔭-adique de K par la formule :

|x|_{𝔭} = \{ \begin{matrix}sg_{𝔭}(x), si 𝔭 est réelle; \\ N𝔭^{−v_{𝔭}(x)}, si 𝔭 est finie et étrangère à ℓ; \\ N_{K_{𝔭}/ℚ_{ℓ}}(x)N𝔭^{−v_{𝔭}(x)}, si p divise ℓ; \end{matrix}

(sg_{𝔭} étant la fonction signe attachée à la place réelle 𝔭, v_{𝔭} la valuation associée à la place modérée 𝔭, et N𝔭 la norme absolue de l’idéal 𝔭) : c’est la valuation ℓadique de Tate (cf. [27], ch. VI,§1). Par composition avec la projection naturelle < . > de ℤ_{ℓ}^{×} sur son sous-groupe principal 1+2ℓℤ_{ℓ}, on obtient la valeur absolue ℓ-adique principale définie dans [13] (cf. I.1, 1§c), qui se prolonge, elle, au complété profini :

R_{𝔭} = \underleftarrow{lim} K_{𝔭}^{×}/K_{𝔭}^{×ℓ^{m}}

Dans les deux cas, par composition avec le logarithme ℓ-adique Log de ℤ_{ℓ}^{×} dans ℤ_{ℓ}, ces deux valeurs absolues nous donnent un même morphisme h_{𝔭} = Log| |_{𝔭} qui se factorise par le complété profini R_{𝔭} et prend ses valeurs dans le groupe additif ℤ_{ℓ}.

Définition 1.8. Nous appelons groupe des diviseurs logarithmiques d’un corps de nombres K, et nous notons Dℓ_{K}, l’image canonique du ℓ-adifié

J_{K} = ∏_{𝔭}^{res} R_{𝔭}

du groupe des idèles de K (défini comme produit restreint des compactifiés ℓadiques R_{𝔭} des groupes multiplicatifs K_{𝔭}^{×}) par la famille des applications h_{𝔭} = Log| |_{𝔭} lorsque 𝔭 parcourt l’ensemble des places finies de K.

Par convention, le degré deg𝔡 d’un diviseur logarithmique est la somme dans ℤ_{ℓ} de ses composantes.

D’après [13] (cf. prop. 1.1.8), le sous-groupe Pℓ_{K} de Dℓ_{K}, image par h = (h_{𝔭})_{𝔭} du sous-groupe principal R_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} K^{×} de J_{K} est formé de diviseurs de degré nul. Plus précisément :

Scolie 1.9. Le sous-groupe principal P̃ℓ_{K} de Dℓ_{K} est contenu dans le sousgroupe D̃ℓ des diviseurs logarithmiques de degré 0. Le quotient correspondant

C̃ℓ_{K} = D̃ℓ_{K}/P̃ℓ_{K}

est, par définition, le groupe des classes logarithmiques de K. La conjecture de Gross généralisée (pour le corps K et le premier ℓ) affirme que c’est un ℓ-groupe fini.

Cela posé, introduisons le tensorisé ℓ-adique D_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} D_{K} du groupe des diviseurs de K. L’application naturelle div qui a un idèle principal x ∈ R_{K} associe le diviseur principal div(x) = ∏_{𝔭} 𝔭^{v_{𝔭}(x)} conduit à la suite exacte à quatre

termes

1 ⟶ E_{K} ⟶ R_{K} ⟶^{div} D_{K} ⟶ Cℓ_{K} ⟶ 1,

où le noyau à gauche est le tensorisé ℓ-adique E_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} E_{K} du groupe des unités de K, et le conoyau à droite n’est rien d’autre que le ℓ-groupe Cℓ_{K} des classes de diviseurs de K (i.e. le ℓ-sous-groupe de Sylow du groupe des classes de diviseurs). La suite exacte analogue attachée à h

1 ⟶ Ẽ_{K} ⟶ R_{K} ⟶^{h} D̃ℓ_{K} ⟶ C̃ℓ_{K} ⟶ 1,

définit un sous-module pur Ẽ_{K} de R_{K}, qu’il est commode d’appeler groupe des unités logarithmiques du corps K. Pour déterminer son rang, remarquons d’abord que l’expression de h_{𝔭} aux places modérées (i.e. étrangères à ℓ) montre que Ẽ_{K}, tout comme E_{K}, est contenu dans le tensorisé ℓ-adique E′_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} E′_{K} du groupe des ℓ-unités de K. Par restriction à E′_{K}, nous obtenons alors la suite exacte :

1 ⟶ Ẽ_{K} ⟶ E′_{K} ⟶ ˜⊕_{𝔩|ℓ}Log|R_{𝔩}|_{𝔩} ⟶ C̃ℓ_{K} ⟶ Cℓ′_{K}

(où ˜⊕_{𝔩|ℓ}Log|R_{𝔩}|_{𝔩} désigne le sous-groupe de D̃ℓ_{K} constitué des diviseurs logarithmiques de degré nul construits sur les places au-dessus de ℓ, et Cℓ′_{K} le ℓ-groupe des ℓ-classes de diviseurs de K, i.e. le quotient de Cℓ_{K} par le sous-groupe des diviseurs construits sur les places au dessus de ℓ), qu’il convient de rapprocher de la suite classique

1 ⟶ E_{K} ⟶ E′_{K} ⟶ ⊕_{𝔩|ℓ}𝔩^{ℤ_{ℓ}} ⟶ Cℓ_{K} ⟶ Cℓ′_{K} ⟶ 1

Maintenant, le groupe C̃ℓ_{K} est fini sous la conjecture de Gross, et le terme médian ˜⊕_{𝔩|ℓ}Log|R_{𝔩}|_{𝔩} s’identifie (non canoniquement) au noyau de la formule du produit dans ⊕_{𝔩|ℓ}𝔩^{ℤ_{ℓ}}. Il vient donc directement :

rgẼ_{K} = 1 + rgE_{K} = r_{K} + c_{K}

(r_{K} : nombre de places réelles ; c_{K} : nombre de places complexes de K). Plus généralement :

Théorème & Définition 1.10. Pour tout corps de nombres K le sous-groupe Ẽ_{K} du tensorisé R_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} K^{×} formé des idèles principaux dont le diviseur logarithmique est trivial, est un sous-module pur de R_{K}, produit direct du ℓgroupe μ_{K} des racines de l’unité dans K, et d’un ℤ_{ℓ}-module libre de dimension r_{K} + c_{K} + δ̃_{K}, où r_{K} est le nombre de places réelles, c_{K} le nombre de places complexes et δ̃_{K} le défaut de la conjecture de Gross dans le corps K.

Nous disons que Ẽ_{K} est le groupe des unités logarithmiques de K.

Scolie 1.11. Avec les conventions des sections précédentes, pour chaque naturel n, le groupe divisible 𝔈̃_{K_{n}} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} Ẽ_{K_{n}} construit sur les unités logarithmiques du corps K_{n}, est un sous groupe de ℜ_{K_{n}}, et un ℤ_{ℓ}-module divisible de codimension finie égale au nombre de places complexes du corps K_{n}, augmenté du défaut δ̃_{K_{n}} de la conjecture de Gross dans K_{n} :

𝔈̃_{K_{n}} ≃ (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ})^{c_{Kn} +δ̃_{Kn}} .

Lorsque celle-ci est vérifiée, les groupes 𝔈̃_{K_{n}} et 𝔘_{K_{n}} définissent le même caractère, pour tout groupe fini Δ_{n} d’automorphismes de K_{n}.

Preuve. Les suites exactes précédentes montrent que le caractère du ℤ_{ℓ}[Δ_{n}]- module Ẽ_{K_{n}} est égal à celui du module E_{K_{n}} des unités augmenté du caractère unité, sous réserve de la conjecture de Gross. Maintenant, le caractère de E_{K_{n}} est donné par le théorème de représentation de Herbrand, et celui du groupe 𝔘_{K_{n}} par la théorie de Tate (cf. Scolie 1.5).

c. Application aux groupes de Brauer

Étant donné un entier naturel m ≥ 1, fixons n ≥ m pour que le corps K_{n} contienne le groupe μ_{ℓ^{m}} les racines ℓ^{m}-ièmes de l’unité. L’application trilinéaire

(ζ, a, b) ↦ [a, b]_{ζ}

qui a un élément ζ de μ̄_{ℓ^{m}}, et à un couple (a, b) d’éléments de K_{n}^{×}, associe la classe dans le ℓ-groupe de Brauer Br(K_{n}) de la K_{n}-algèbre centrale simple construite sur deux éléments α et β avec les trois relations

α^{ℓ^{m}} = a, β^{ℓ^{m}} = b, αβ = ζβα

définit, pour ζ fixé, un symbole sur K_{n} à valeurs dans le sous-groupe de ℓ^{m}- torsion de Br(K_{n}), et, en fin de compte, un morphisme non trivial du produit tensoriel μ̄_{ℓ^{m}} ⊗_{ℤ} K_{2}(K_{n}) dans _{ℓ^{m}}Br(K_{n}), qui est un isomorphisme de modules galoisiens, en vertu d’un résultat de Tate (cf. [24], §5). Ce résultat est d’ailleurs extrèmement général, puisque Mercurjev et Suslin ont montré qu’il vaut en fait pour tout corps (cf. [20]).

Dans le cas des corps de nombres qui nous intéresse ici, l’isomorphisme obtenu

μ̄_{ℓ^{m}} ⊗_{ℤ} K_{2}(K_{n}) ≃ _{ℓ^{m}}Br(K_{n})

transporté par l’isomorphisme canonique de localisation

Br(K_{n}) ≃ ˜⨁_{𝔭_{n}∈P l_{Kn}} Br(K_{𝔭_{n}}) ≃ ˜⨁_{𝔭_{n}∈P l_{Kn}} ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}

(où la somme de droite porte sur les familles (b_{𝔭_{n}})_{𝔭_{n}} d’éléments des ℓ-groupes de Brauer locaux qui satisfont la formule du “produit” ∑_{𝔭_{n}} b_{𝔭_{n}} = 0 dans ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}, lorsque 𝔭_{n} décrit l’ensemble des places non complexes de K_{n}) conduit aux identifications :

ℓ^{m}K_{2}(K_{n}) ≃ μ_{ℓ^{m}} ⊗_{ℤ ℓ^{m}} Br(K_{n}) ≃ ˜⨁_{𝔭_{n}∈P l_{Kn}} _{ℓ^{m}}μ_{𝔭_{n}} ≃ ˜⨁_{𝔭_{n}∈P l_{Kn}} μ_{𝔭_{n}}/μ_{𝔭_{n}}^{ℓ^{m}},

Et les applications projetantes obtenues K_{2}(K_{n})/K_{2}(K_{n})^{ℓ^{m}} → μ_{𝔭_{n}}/μ_{𝔭_{n}}^{ℓ^{m}} ne sont rien d’autre que les morphismes induits par les symboles de Hilbert attachés aux places non complexes de K_{n} (On notera que K_{n} étant supposé totalement imaginaire, il n’y a pas lieu de comptabiliser de contribution réelle). C’est le résultat cité de Tate.

Considérons maintenant le groupe \overline{K}_{2}(K_{n}) ou plutôt son quotient d’exposant ℓ^{m} : ^{ℓ^{m}} \overline{K}_{2}(K_{n}) = \overline{K}_{2}(K_{n})/\overline{K}_{2}(K_{n})^{ℓ^{m}}. D’après le théorème 1.6, c’est exactement le dual de Pontrjagin du sous-groupe de ℓ^{m}-torsion, disons _{ℓ^{m}}X_{K_{n}} du groupe de Galois Gal(K_{n}^{ab}/K_{∞}) attaché à la ℓ-extension abélienne maximale K_{n}^{ab} de K_{n}. Maintenant, le quotient Gal(K_{∞}/K_{n}) de Gal(K_{n}^{ab}/K_{n}) étant projectif et sans torsion, _{ℓ^{m}}X_{K_{n}} est aussi le sous-groupe de ℓ^{m}-torsion du groupe X_{K_{n}} = Gal(K_{n}^{ab}/K_{n}) qui peut être décrit par la théorie ℓ-adique du corps de classes. D’après [13] (ch.I, section 1) le groupe X_{K_{n}} s’identifie en effet au quotient J_{K_{n}}/R_{K_{n}} du ℓ-adifié J_{K_{n}} = ∏_{𝔭_{n}}^{res} R_{𝔭_{n}} du groupe des idèles de K_{n} par le sous-groupe R_{K_{n}} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} K_{K_{n}}^{×} des idèles principaux, et les éléments de ℓ^{m}X_{K_{n}} se trouvent représentés par les idèles (𝔵_{𝔭_{n})_{𝔭n}} dont la puissance ℓ^{m}-ième est un élément x de R_{K_{n}}. Comme K_{n} contient par construction les racines ℓ^{m}-ièmes de l’unité, nous pouvons appliquer la théorie de Kummer qui nous dit que l’extension abélienne K_{n}[^{ℓ^{m}} \sqrt{x}], localement triviale partout, est globalement triviale, autrement dit que x est lui-même une puissance ℓ^{m}-ième dans R_{K_{n}}. Écrivant alors x = y^{ℓ^{m}}, et posant (𝔶_{𝔭_{n}})_{𝔭_{n}} = (𝔵_{𝔭_{n}}/y)_{𝔭_{n}}, nous obtenons 𝔶_{𝔭_{n}}^{ℓ^{m}} = 1 quel que soit 𝔭_{n}, ce qui nous prouve que les éléments de _{ℓ^{m}}X_{K_{n}} sont ceux représentés par les racines ℓ^{m}-ièmes de l’unité dans J_{K_{n}} :

ℓ^{m}X_{K_{n}} ≃ (∏_{𝔭_{n}} _{ℓ^{m}}μ_{𝔭_{n}})/(R_{K_{n}} ∩ ∏_{𝔭_{𝔫}} _{ℓ^{m}}μ_{𝔭_{𝔫}}) = (∏_{𝔭_{n}} _{ℓ^{m}}μ_{𝔭_{n}})/μ_{ℓ^{m}}.

Transportant enfin par dualité l’identité obtenue, nous obtenons l’analogue exact du théorème de Tate :

ℓ^{m} \overline{K}_{2}(K_{n}) ≃ ⨁_{𝔭_{n}} μ̄_{𝔭_{n}}/μ̄_{𝔭_{n}}^{ℓ^{m}};

et, ici encore, les applications projetantes sont données par les symboles de Hilbert locaux. Ainsi :

Théorème 1.12. Pour tout m ≥ 1 et chaque n ≥ m, les symboles de Hilbert attachés aux places non complexes 𝔭_{n} du corps K_{n} induisent les isomorphismes :

K_{2}(K_{n})/K_{2}(K_{n})^{ℓ^{m}} ≃ ˜⨁_{𝔭_{n}} μ_{𝔭_{n}}/μ_{𝔭_{n}}^{ℓ^{m}}

et

\overline{K}_{2}(K_{n})/\overline{K}_{2}(K_{n})^{ℓ^{m}} ≃ ˜⨁_{𝔭_{n}} μ̄_{𝔭_{n}}/μ̄_{𝔭_{n}}^{ℓ^{m}},

où le membre de droite est la somme directe des quotients d’exposants ℓ^{m} des ℓ-groupes locaux de racines de l’unité, restreinte aux familles qui vérifient la formule du produit.

Dans les deux cas, on obtient ainsi un isomorphisme faisant intervenir le ℓ-groupe de Brauer :

μ̄_{ℓ^{m}} ⊗_{ℤ} K_{2}(K_{n}) ≃_{ℓ^{m}} Br(K_{n}) ≃ μ_{ℓ^{m}} ⊗_{ℤ} \overline{K_{2}}(K_{n}).

d. Restriction au noyau modéré (ou régulier) 𝔐

Le radical universel ℜ étant très gros, il peut être commode de le remplacer par un sous-groupe canonique plus petit, le radical modéré (ou encore régulier, la distinction étant sans objet en l’absence de places réelles) 𝔐, défini comme suit :

Définition 1.13. Pour tout corps de nombres K, l’application naturelle x ↦ (x)′ du groupe multiplicatif K^{×} dans le groupe I′_{K} des idéaux inversibles du localisé O′_{K} = O_{K}[1/ℓ] en dehors de ℓ de l’anneau des entiers de K, induit une surjection du radical universel ℜ_{K} = ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} K^{×} sur le produit tensoriel ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} I′_{K}. Son noyau

𝔐_{K} = {ℓ^{−k} ⊗ x ∈ ℜ_{K} | (x)′ ∈ I′_{K}^{ℓ^{k}}}

est appelé le sous-groupe modéré du radical ℜ_{K}.

Notons d’abord que dans une tour cyclotomique K_{∞}/K, les sous-groupes modérés 𝔐_{K_{n}}, attachés aux divers étages finis, satisfont les mêmes propriétés galoisiennes que les radicaux ℜ_{K_{n}}. En effet, en l’absence de ramification en dehors de ℓ, le fait d’être une puissance ℓ^{k}-ième de ℓ-idéal, pour un élément de K_{n}^{×}, se lit indifférement dans K_{n} ou dans K_{∞}. Et la proposition 1.2 vaut donc aussi pour les sous-groupes modérés :

Proposition 1.14. Dans une tour cyclotomique, les radicaux modérés vérifient la théorie de Galois ; ce qui s’écrit :

𝔐_{K_{n}} = 𝔐_{K_{∞}}^{Γ_{n}}, ∀n ∈ ℕ.

Cela étant, tout comme leurs homologues ℜ_{K_{n}} les sous groupes modérés 𝔐_{K_{n}} sont susceptibles d’une triple interprétation : symbolique, kummérienne, ou en termes de valeurs absolues :

- Du point de vue de la K-théorie, les radicaux 𝔐_{K_{n}} sont les noyaux dans ℜ_{K_{n}} des ℓ-symboles réguliers (ou modérés) à valeurs dans les ℓ-sous-groupes de Sylow μ_{𝔭_{n}} des groupes locaux de racines de l’unité attachés aux complétions non complexes K_{𝔭_{n}} de K_{n}, lesquels sont donnés par la formule bien connue :

(a, b)_{𝔭_{n}} =< (−1)^{v_{𝔭n} (a)v_{𝔭n} (b)} \frac{a^{v_{𝔭n} (b)}}{b^{v_{𝔭n} (a)}} >_{𝔭_{n}}

où < . >_{𝔭_{n}} désigne ici la projection naturelle de K_{𝔭_{n}}^{×} sur μ_{𝔭_{n}}. Il vient donc en haut de la tour :

𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} 𝔐_{K_{∞}} = {ζ ⊗ x ∈ μ_{ℓ^{∞}} ⊗ K_{∞}^{×}| (ζ, x)_{𝔭_{∞}} = 1 ∀𝔭_{∞} ∈ P l_{K_{∞}}}.

Et la descente galoisienne peut s’effectuer comme suit : Partant de la suite exacte courte tordue

1 ⟶ 𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} 𝔐_{K_{∞}} ⟶ μ_{ℓ^{∞}} ⊗_{ℤ} K_{∞}^{×} ⟶ μ_{ℓ^{∞}} ⊗_{ℤ} I′_{K_{∞}} ⟶ 1,

qui définit 𝔐_{K_{∞}}, et prenant les points fixes par Γ_{n}, nous obtenons le diagramme commutatif :

\xymatrix{1 \ar[r] & (𝕋_{ℓ} ⊗ 𝔐_{K_{∞}})^{Γ_{n}} \ar[r] \ar[d] & (μ_{ℓ^{∞}} ⊗ K_{∞}^{×})^{Γ_{n}} \ar[r] \ar[d] & (μ_{ℓ^{∞}} ⊗ I′_{K_{∞}})^{Γ_{n}} \ar[r] \ar[d] & 1 \\ 1 \ar[r] & R_{2}(K_{n}) \ar[r] & K_{2}(K_{n}) \ar[r] & ⨁_{𝔭_{n}∤ℓ} μ_{𝔭_{n}} \ar[r] & 1}

Dans la première suite, le groupe de cohomologie H^{1}(Γ_{n}, 𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} 𝔐_{K_{∞}}) est nul par un résultat de Tate (cf.[25]), et la suite exacte du bas est induite par les symboles réguliers.

- Du point de vue kummérien, la condition de puissance ℓ^{k}-ième de ℓ- idéal, pour un élément ℓ^{−k} ⊗ x de 𝔐_{K_{∞}} traduit la non ramification en dehors de ℓ de l’extension cyclique K_{∞}[^{ℓ^{k}} \sqrt{x}]/K_{∞}. Le groupe \overline{𝕋}_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} 𝔐_{K_{∞}} est donc le radical kummérien associé à la ℓ- extension abélienne ℓ-ramifiée maximale M_{∞} du corps K_{∞}, c’est à dire le dual de Pontrjagin du groupe de Galois Gal(M_{∞}/K_{∞}). En particulier, son sous-groupe (\overline{𝕋}_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} 𝔐_{K_{∞}})^{Γ_{n}} est, lui, le dual de Pontrjagin du quotient des genres Gal(M_{n}/K_{∞}) =^{Γ_{n}} (Gal(M_{∞}/K_{∞}) de Gal(M_{∞}/K_{∞}) associé à Γ_{n}, c’est à dire du groupe de Galois sur K_{∞} attaché à la sous-extension maximale M_{n} de M_{∞} qui est abélienne sur K_{n}, autrement dit à la ℓ-extension abélienne ℓ-ramifiée maximale M_{n} de K_{n}. L’ensemble de cette discussion peut donc se résumer comme suit :

Théorème & Définition 1.15. Pour chaque entier n, le noyau R_{2}(K_{n}) des symboles réguliers dans le ℓ-groupe K_{2}(K_{n}) est le noyau modéré (𝕋_{ℓ}⊗_{ℤ_{ℓ}} 𝔐_{K_{∞}})^{Γ_{n}} du groupe (𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}})^{Γ_{n}} = (μ_{ℓ^{∞}} ⊗_{ℤ} K_{∞}^{×})^{Γ_{n}} ; ce qui se traduit par l’exactitude de la suite courte canonique :

(2) 1 ⟶ (𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}})_{div}^{Γ_{n}} ⟶ (𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} 𝔐_{K_{∞}})^{Γ_{n}} ⟶ R_{2}(K_{n}) ⟶ 1.

Nous notons \overline{R}_{2}(K_{n}) le ℓ-groupe de torsion défini par l’exactitude de la suite courte :

(\overline{2}) 1 ⟶ (\overline{𝕋}_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}})_{div}^{Γ_{n}} ⟶ (\overline{𝕋}_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} 𝔐_{K_{∞}})^{Γ_{n}} ⟶ \overline{R}_{2}(K_{n}) ⟶ 1.

Le groupe \overline{R}_{2}(K_{n}) est un ℓ-groupe fini, qui s’identifie au dual de Pontrjagin du sous-groupe de torsion T_{K_{n}} du groupe de Galois de la ℓ-extension abélienne ℓ-ramifiée maximale M_{n} de K_{n}.

En particulier, les groupes R_{2}(K_{n}) et \overline{R}_{2}(K_{n}) sont tous deux finis.

La finitude du noyau régulier R_{2}(K_{n}) résulte du théorème de Garland (cf., par exemple, [2]) ; celle du groupe \overline{R}_{2}(K_{n}) de la théorie du corps de classes. Dans les deux cas, on voit ainsi que le groupe tordu (𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} 𝔐_{K_{∞}})^{Γ_{n}} (respectivement (\overline{𝕋}_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} 𝔐_{K_{∞}})^{Γ_{n}}) est un ℤ_{ℓ}-module de cotype fini. Pour vérifier qu’il en va de même pour le radical 𝔐_{K_{n}}, on peut faire appel à la suite exacte canonique

1 ⟶ 𝔈′_{K_{n}} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ} E′_{K_{n}} ⟶ 𝔐_{K_{n}} ⟶ Cℓ′_{K_{n}} ⟶ 1.

obtenue en associant à l’élément ℓ^{−k} ⊗ x de 𝔐_{K_{n}} la classe du ℓ-idéal ^{ℓ^{k}} \sqrt{(x)′} dans le ℓ-groupe des ℓ-classes d’idéaux du corps K_{n}, qui montre que le sousgroupe divisible maximal de 𝔐_{K_{n}} est le ℤ_{ℓ}-module divisible 𝔈′_{K_{n}} construit sur les ℓ-unités de K_{n}. Mais ici l’analogie est imparfaite en général, parce que la codimension c_{K_{n}} − 1 + s_{K_{n}} de 𝔈′_{K_{n}} dépasse c_{K_{n}} du nombre s_{K_{n}} de places de K_{n} au dessus de ℓ diminué de 1. Enfin, il est bon de noter que les groupes 𝔈′_{K_{n}} ne vérifient pas la théorie de Galois (cf. [11], §5.4 et 6.3) :

Proposition 1.16. Dans une tour cyclotomique, les groupes divisibles 𝔈′_{K_{n}} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ} E′_{K_{n}} construits sur les ℓ-unités ne satisfont pas en général la théorie de Galois, puisqu’on a

𝔈′_{K_{∞}}^{Γ_{n}}/𝔈′_{K_{n}} ≃ Cap′_{K_{n}},

où Cap′_{K_{n}} désigne le sous-groupe du groupe des ℓ-classes Cℓ′_{K_{n}} qui capitule dans Cℓ′_{K_{∞}}.

Preuve. Cela résulte immédiatement de la suite exacte du serpent appliquée au diagramme :

1 ⟶ ℭ′_{K_{n}} ⟶ 𝔐_{K_{n}} ⟶ Cℓ′_{K_{n}} ⟶  1
↓  ∥  ↓
1 ⟶ ℭ_{K_{∞}}^{′^{Γn}} ⟶ 𝔐_{K_{∞}}^{Γ_{n}} ⟶ Cℓ_{K_{∞}}^{′^{Γn}} ⟶ H^{1}(Γ_{n}, ℭ′_{K_{∞}})

Pour obtenir une analogie plus complète dans le cas des valeurs absolues, il est ainsi nécessaire de remplacer le sous-groupe modéré par un autre, plus fin, que nous allons maintenant définir.

2. Le radical hilbertien ℌ

Définition 2.1. Pour chaque entier naturel n, nous appelons radical hilbertien attaché au corps K_{n}, et nous notons ℌ_{K_{n}} le sous-groupe du radical universel ℜ_{K_{n}} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ} K_{n}^{×} qui est engendré par les normes cyclotomiques, i.e.

ℌ_{K_{n}} = {ℓ^{−k} ⊗ x_{n} ∈ ℜ_{K_{n}}| ∀m ≥ n ∃x_{m} ∈ K_{m}^{×}, x_{n} ∈ N_{m/n}(x_{m})K_{n}^{×ℓ^{k}}}

(l’opérateur N_{m/n} désignant la norme arithmétique dans K_{m}/K_{n}).

La réunion H_{K_{∞}} = \underrightarrow{lim} ℌ_{K_{n}} est, par définition, le radical hilbertien attaché au corps surcirculaire K_{∞}.

Nous verrons un peu plus loin (cf. scolie 2.10) que les groupes ℌ_{K_{n}} vérifient la théorie de Galois, tout comme les radicaux universels ℜ_{K_{n}} ou modérés 𝔐_{K_{n}}.

a. Interprétation symbolique : les groupes H_{2}(K_{n}) = WK_{2}(K_{n})

Pour chaque place non complexe 𝔭_{n} du corps K_{n}, désignons par (\frac{,}{𝔭_{n}}) le symbole de Hilbert associé à 𝔭_{n} par le corps de classes local, ou plutôt la ℓpartie de ce symbole, qui prend ses valeurs dans le ℓ-sous-groupe de Sylow μ_{𝔭_{n}} du groupe des racines de l’unité du complété K_{𝔭_{n}} de K_{n} à la place 𝔭_{n}. Par la propriété universelle du groupe K_{2}(K_{n}) le symbole obtenu induit un morphisme surjectif du groupe K_{2}(K_{n}) sur μ_{𝔭_{n}}, et le théorème de Moore sur le K_{2} des corps de nombres (cf. [24], §2) affirme même que la famille des symboles ainsi obtenus ((\frac{,}{𝔭_{n}}))_{𝔭_{n}∈P l(K_{n})} induit un morphisme surjectif de K_{2}(K_{n}) sur le sous-groupe ˜⊕_{𝔭_{n}}μ_{𝔭_{n}} de la somme directe des μ_{𝔭_{n}} formé des familles (ζ_{𝔭_{n}})_{𝔭_{n}} qui vérifient la formule du produit ∏_{𝔭_{n}} ζ_{𝔭_{n}}^{g_{𝔭n}} = 1 (où g_{𝔭_{n}} est l’indice de décomposition de la place 𝔭_{n} dans l’extension K_{∞}/K_{n}).

Par passage à la limite, nous obtenons ainsi un morphisme surjectif du ℓgroupe K_{2}(K_{∞}) = \underrightarrow{lim} K_{2}(K_{n}) sur le sous-groupe ˜⊕_{𝔭_{∞}}μ_{𝔭_{∞}} de la somme directe des ℓ-groupes de racines de l’unité des complétés non complexes de K_{∞}, formé des familles (ζ_{𝔭_{∞}})_{𝔭_{∞}} qui satisfont la formule du produit ∏_{𝔭_{∞}} ζ_{𝔭_{∞}} = 1. En effet, dans l’identification de chaque μ_{𝔭_{n}} avec son image diagonale dans la somme directe ⊕_{𝔭_{∞}|𝔭_{n}}μ_{𝔭_{∞}}, chaque ζ_{𝔭_{n}} est bien compté g_{𝔭_{n}} fois dans K_{∞}).

Une autre façon d’exprimer ce résultat consiste à dire que les symboles de Hilbert (\frac{,}{𝔭_{∞}}) attachés aux places non complexes du corps K_{∞} définissent un morphisme surjectif du groupe 𝕋_{ℓ}⊗_{ℤ_{ℓ}}ℜ_{K_{∞}} ≃ μ_{ℓ^{∞}}⊗_{ℤ}K_{∞}^{×} sur la somme restreinte ˜⊕_{𝔭_{∞}}μ_{𝔭_{∞}}. Plus précisément :

Lemme 2.2. Le noyau de l’épimorphisme du groupe 𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}} sur la somme restreinte ˜⊕_{𝔭_{∞}}μ_{𝔭_{∞}}, qui est donné par les symboles de Hilbert (\frac{,}{𝔭_{∞}}) est le sousgroupe 𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℌ_{K_{∞}} construit sur le radical hilbertien.

Preuve. Le noyau de l’épimorphisme ainsi construit est constitué des éléments ζ ⊗x de μ_{ℓ^{∞}} ⊗_{ℤ} K_{∞}^{×} qui vérifient les conditions locales (\frac{ζ,x}{𝔭_{m}}) = 1, pour chaque m assez grand, c’est à dire, d’après la définition normique du symbole de Hilbert, pour lesquels le nombre x est norme locale partout dans chacune des extensions cycliques K_{m+k}/K_{m}, si k est la ℓ-valuation de l’ordre de ζ. Prenons donc un tel élément ζ⊗x ; supposons par exemple ζ d’ordre ℓ^{k} et x ∈ K_{n}^{×} ; puis notons m′ = m+k, et invoquons le principe de Hasse pour écrire x = N_{m′/m}(x′_{m}), avec x_{m′} ∈ K_{m′}^{×}, dès que m est assez grand. La condition x^{γ_{n}−1} = 1 = N_{m′/m}(x_{m′}^{γ_{n}−1}), et le théorème 90 de Hilbert appliqué à l’extension cyclique K_{m′}/K_{m} nous permettent d’écrire x_{m′}^{γ_{n}−1} = y_{m′}^{γ_{m}−1} pour un y_{m′} de K_{m′}^{×}, c’est à dire x_{m′}^{γ_{n}−1} = N_{m/n}(y_{m′}^{γ_{n}−1}), et finalement x_{m′} = N_{m/n}(y_{m′}) z_{m′}, avec z_{m′} ∈ K_{n}^{×}. Il suit x = N_{m′/m}(x′_{m}) = N_{m′/n}(y_{m′}) z_{m′}^{ℓ^{k}}, i.e. ζ ⊗ x = ζ ⊗ N_{m′/n}(y_{m′}) ; ce qui nous prouve que ζ ⊗ x est bien dans 𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}}.

Considérons maintenant la suite exacte courte donnée par le lemme :

1 ⟶ 𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℌ_{K_{∞}} ⟶ 𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}} ⟶ ˜⊕_{𝔭_{∞}}μ_{𝔭_{∞}} ⟶ 1

Prenant les points fixes par Γ_{n}, nous obtenons une suite exacte de cohomologie qui commence ainsi :

1 ⟶ (𝕋_{ℓ} ⊗ ℌ_{K_{∞}})^{Γ_{n}} ⟶ (𝕋_{ℓ} ⊗ ℜ_{K_{∞}})^{Γ_{n}} ⟶ (˜⊕μ_{𝔭_{∞}})^{Γ_{n}} ⟶ H^{1}
↓  ↓  ∥
1 ⟶ H_{2}(K_{n}) ⟶ K_{2}(K_{n}) ⟶ ˜⊕μ_{𝔭_{n}} ⟶ 1

Dans celle-ci, le groupe de cohomologie

H^{1}(Γ_{n}, 𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}}) = (μ_{ℓ^{∞}} ⊗_{ℤ} K_{∞}^{×})/(μ_{ℓ^{∞}} ⊗_{ℤ} K_{∞}^{×})^{γ_{n}−1}

est nul, par un argument de Tate : les valeurs spectrales de l’action de γ_{n} sur K_{∞}^{×} étant des racines de l’unité, leur produit par ω(γ_{n}) n’est jamais 1, et γ_{n}−1 opère surjectivement sur le produit tensoriel μ_{ℓ^{∞}} ⊗_{ℤ} K_{∞}^{×}. Ainsi, par rapprochement avec la suite exacte de Moore pour le groupe K_{2}(K_{n}), écrite dessous, nous obtenons immédiatement l’identité cohomologique H^{1}(Γ_{n}, 𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℌ_{K_{∞}}) = 1, et le théorème :

Théorème 2.3. Le noyau H_{2}(K_{n}) des symboles de Hilbert (\frac{,}{𝔭_{n}}) dans K_{2}(K_{n}) est l’image du sous-groupe (𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℌ_{K_{∞}})^{Γ_{n}} du groupe (𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}})^{Γ_{n}}, ce qui s’écrit :

(3) 1 ⟶ (𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}})_{div}^{Γ_{n}} ⟶ (𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℌ_{K_{∞}})^{Γ_{n}} ⟶ H_{2}(K_{n}) ⟶ 1.

En particulier, le groupe (𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℌ_{K_{∞}})^{Γ_{n}} est exactement le sous-groupe des éléments de hauteur infinie dans (𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}})^{Γ_{n}}.

Preuve. En effet, d’après Tate (cf. [24] §5), le cas spécial étant exclu, le groupe H_{2}(K_{n}) est exactement le sous-groupe des éléments de hauteur infinie dans K_{2}(K_{n}). Comme tout élément divisible est trivialement de hauteur infinie, cette caractérisation du noyau hilbertien se relève dans (𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}})^{Γ_{n}}, ce qui donne le résultat annoncé.

b. Interprétation kummérienne : les groupes \overline{H}_{2}(K_{n})

L’introduction du noyau hilbertien ℌ_{K} (sous une forme sensiblement moins générale) est due à F. Bertrandias et J.-J. Payan, qui avaient en vue l’étude d’une condition suffisante de la conjecture de Leopoldt, liée à un problème de plongement (cf.[3],§7). D’après Artin-Tate, en effet (cf. [1], 10 §3, th. 6), une condition nécessaire et suffisante pour qu’une extention cyclique L_{m} = K_{m}[^{ℓ^{m}} \sqrt{x_{m}}], définie (à composition près par K_{∞}) par un élément ℓ^{−m} ⊗ x_{m} de ℜ_{K_{m}} se plonge dans une ℓ-extension cyclique de K_{m} de degré arbitrairement grand est précisément que pour chaque place non complexe 𝔭_{m} de K_{m}, la racine primitive ζ_{𝔭_{m}} de μ_{𝔭_{m}} soit norme dans l’extension locale K_{𝔭_{m}}[^{ℓ^{m}} \sqrt{x_{m}}]/K_{𝔭_{m}}, ce

qui se lit sur le symbole de Hilbert (\frac{ζ_{m}, x_{m}}{𝔭_{m}}), où ζ_{m} désigne une racine ℓ^{m}-ième

primitive de l’unité dans K_{m}. Plus généralement, si l’extension L_{m} provient par composition avec K_{m} d’une ℓ-extension cyclique L_{n} de degré ℓ^{m} sur un sous-corps K_{n} de K_{m} (i.e. si l’élément ζ_{m} ⊗ x_{m} tombe dans (\overline{𝕋_{ℓ}} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}})^{Γ_{n}}), le même critère appliqué à l’extension globale L_{n}/K_{n} et l’équivalence donnée par le corps de classes local

(\frac{ζ_{𝔭_{m}}, L_{𝔓_{m}}/K_{𝔭_{m}}}{𝔭_{m}} ) = 1 ⟺ (\frac{ζ_{𝔭_{n}}, L_{𝔓_{n}}/K_{𝔭_{n}}}{𝔭_{n}} ) = 1

montrent que la trivialité des symboles (\frac{ζ_{m}, x_{m}}{𝔭_{m}}) est encore la condition pour

que l’extension L_{n} se plonge dans une ℓ-extension cyclique de K_{n} de degré arbitrairement grand. Autrement dit :

Proposition 2.4. Pour chaque entier naturel n, le groupe (\overline{𝕋}_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℌ_{K_{∞}})^{Γ_{n}} est le sous-groupe des éléments de hauteur infinie dans (\overline{𝕋}_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}})^{Γ_{n}}.

Par analogie avec le cas des symboles, il est alors logique de poser :

Théorème & Définition 2.5. Par \overline{H}_{2}(K_{n}) nous entendons le quotient du ℓgroupe (\overline{𝕋}_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℌ_{K_{∞}})^{Γ_{n}} des éléments de hauteur infinie dans (\overline{𝕋}_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℌ_{K_{∞}})_{div}^{Γ_{n}}, par son sous-groupe divisible maximal (\overline{𝕋}_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}})_{div}^{Γ_{n}}, c’est à dire le ℓ-groupe de torsion défini par l’exactitude de la suite courte :

(\overline{3}) 1 ⟶ (\overline{𝕋}_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℌ_{K_{∞}})_{div}^{Γ_{n}} ⟶ (\overline{𝕋}_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℌ_{K_{∞}})^{Γ_{n}} ⟶ \overline{H}_{2}(K_{n}) ⟶ 1.

Le groupe \overline{H}_{2}(K_{n}) est l’ensemble des éléments de hauteur infinie dans \overline{K}_{2}(K_{n}). C’est un ℓ-groupe fini, qui s’identifie au dual de Pontrjagin du module de Bertrandias-Payan du corps K_{n}, défini comme le sous-groupe de torsion T′_{K_{n}} = H_{K_{n}}^{tor} du groupe de Galois H_{K_{n}} = Gal(H_{n}/K_{n}) de la composée des ℓ-extensions cycliques de K_{n} qui se plongent dans une ℓ-extension cyclique de K_{n} de degré arbitrairement grand.

Preuve. Nous avons vu que la théorie de Kummer identifie le groupe divisible (\overline{𝕋}_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}})_{div}^{Γ_{n}} au dual de Pontrjagin du groupe de Galois Gal(Z_{n}/K_{∞}) associé à la composée Z_{n} des ℤ_{ℓ}-extensions de K_{n}. Le sous-groupe des éléments de hauteur infinie dans (\overline{𝕋}_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}})^{Γ_{n}} correspond, lui, au groupe de Galois Gal(H_{n}/K_{∞}) associé à la composée H_{n} des ℓ-extensions cycliques de K_{n}, qui sont plongeables dans une ℓ-extension cyclique de degré arbitrairement grand sur K_{n}. Leur quotient \overline{H}_{2}(K_{n}) est donc, comme annoncé, le dual de Pontrjagin du ℓ-groupe de torsion T′_{K_{n}} = Gal(H_{n}/Z_{n}). Enfin, le fait que T′_{K_{n}} soit fini résulte de la théorie du corps de classes : la condition de plongement qui la définit montre que l’extension H_{n}/K_{n} est non ramifiée aux places modérées (i.e. étrangères à ℓ), autrement dit que H_{n} est contenue dans la ℓ-extension abélienne ℓ-ramifiée maximale M_{n} de K_{n}, dont le groupe de Galois Gal(M_{n}/K_{n}) est un ℤ_{ℓ}-module neothérien, de sorte qu’il en est de même de son quotient H_{K_{n}} = Gal(H_{n}/K_{n}).

Il est d’ailleurs possible de décrire complètement le groupe H_{K_{n}} en s’aidant de la théorie ℓ-adique du corps de classes (cf. [13], ch. I.1). Par l’isomorphisme de réciprocité, en effet, le corps H_{n} est associé à un sous-groupe fermé du ℓ-adifié J_{K_{n}} = ∏_{𝔭_{n}}^{res} R_{𝔭_{n}} du groupe des idèles de K_{n} (défini comme le produit restreint des compactifiés ℓ-adiques R_{𝔭_{n}} = \underleftarrow{lim}_{n} K_{𝔭_{n}}^{×}/K_{𝔭_{n}}^{×ℓ^{n}} des groupes multiplicatifs des complétés non complexes de K_{n}) qu’il est aisé de déterminer : la caractérisation purement locale de H_{n} (via les symboles de Hilbert) montre que H_{n} est exactement la composée des ℓ-extensions cycliques de K_{n} qui sont localement plongeables dans une ℓ-extension cyclique de degré arbitrairement grand, c’est à dire, en fin de compte localement plongeables dans une ℤ_{ℓ}-extension. Du point de vue du corps de classes local, l’obstruction commune à ces plongements est, en effet, le sous-groupe de torsion μ_{𝔭_{n}} du ℤ_{ℓ}-module R_{𝔭_{n}}. Il en résulte que le groupe de classes d’idèles qui fixe H_{n} est celui engendré par les μ_{𝔭_{n}}, autrement dit que nous avons canoniquement :

H_{K_{n}} ≃ J_{K_{n}}/R_{K_{n}} ∏_{𝔭_{n}} μ_{𝔭_{n}}, d’où : T′_{K_{n}} ≃ \sqrt{R_{K_{n}} ∏_{𝔭_{n}} μ_{𝔭_{n}}}/R_{K_{n}} ∏_{𝔭_{n}} μ_{𝔭_{n}}.

Pour réinterpréter en termes kummériens ce dernier isomorphisme, il est commode de poser :

Définition 2.6. Nous appelons sous-groupe infinitésimal du radical universel ℜ_{K_{n}} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ})⊗_{ℤ_{ℓ}} R_{K_{n}}, et nous notons ℭ̃_{K_{n}} le noyau de l’application naturelle de ℜ_{K_{n}} dans le tensorisé 𝔍_{K_{n}} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} J_{K_{n}} du groupe des idèles de K_{n}.

Par la théorie de Kummer, les éléments de ℭ̃_{K_{n}} annulés par ℓ^{n} sont associés à la ℓ-extension abélienne maximale de K_{n} qui est d’exposant ℓ^{n} et complètement décomposée partout sur K_{∞}.

Preuve. La condition ℓ^{−k} ⊗ (x_{𝔭_{n}})_{𝔭_{n}} = 1 pour un idèle principal x = (x_{𝔭_{n}})_{𝔭_{n}} signifie que pour chaque place non complexe 𝔭_{n} de K_{n}, la 𝔭_{n}-composante de x est le produit d’une racine locale de l’unité ζ_{𝔭_{n}} et d’une puissance ℓ^{k}-ième, disons y_{𝔭_{n}}^{ℓ^{k}} ; de sorte que l’extension abélienne K_{∞}[^{ℓ^{k}} \sqrt{x}] est bien localement triviale partout.

Cela dit, l’isomorphisme du miroir (cf. [14], th. 10) s’énonce comme suit :

Théorème 2.7. Isomorphisme du Miroir - Il existe un épimorphisme canonique du radical infinitésimal ℭ̃_{K_{n}} sur le sous-groupe de torsion T′_{K_{n}} = H_{K_{n}}^{tor} du groupe de Galois H_{K_{n}} = Gal(H_{n}/K_{n}), qui a pour noyau le sous-module divisible maximal ℭ̃_{K_{n}}^{div} de ℭ̃_{K_{n}} :

1 ⟶ ℭ̃_{K_{n}}/ℭ̃_{K_{n}}^{div} ⟶ H_{n} ⟶ Gal(Z_{n}/K_{n}) ⟶ 1

Le sous-module divisible ℭ̃_{K_{n}}^{div} est nul lorsque le corps K_{n} satisfait la conjecture de Leopoldt, et, dans tous les cas, sa codimension est égale au défaut δ_{K_{n}} de cette conjecture.

Preuve. La description idélique du radical infinitésimal donnée plus haut

ℭ̃_{K_{n}} = {ℓ^{−k} ⊗ x ∈ ℜ_{K_{n}}| x ∈ J_{K_{n}}^{ℓ^{k}} ∏_{𝔭_{n}} μ_{𝔭_{n}}}

permet de construire aisément l’épimorphisme annoncé en associant à l’élément ℓ^{−k} ⊗ x, où l’idèle principal x = (x_{𝔭_{n}})_{𝔭_{n}} s’écrit localement x_{𝔭_{n}} = y_{𝔭_{n}}^{ℓ^{k}}ζ_{𝔭_{n}}, la classe modulo R_{K_{n}} ∏_{𝔭_{n}} μ_{𝔭_{n}} de l’idèle y = (y_{𝔭_{n}})_{𝔭_{n}}, qui est bien un élément de T′_{K_{n}}. Le noyau de l’application obtenue est le sous-groupe de ℜ_{K_{n}} construit sur les éléments de R_{K_{n}} qui sont localement partout des racines de l’unité. Si le corps K_{n} vérifie la conjecture de Leopoldt, ce sont exactement les racines globales de l’unité, et l’épimorphisme construit est un isomorphisme. Dans tous les cas, cependant le sous-groupe R_{K_{n}} formé des éléments qui sont localement partout des racines de l’unité est la racine dans R_{K_{n}} du sous-module E_{K_{n}}^{∞} des unités infinitésimales (i.e. des éléments de E_{K_{n}} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} E_{K_{n}} d’image locale 1 aux places qui divisent ℓ), et la codimension du groupe divisible associé est donc bien la dimension de E_{K_{n}}^{∞} qui mesure par convention le défaut de la conjecture de Leopoldt dans K_{n}.

c. Application aux unités logarithmiques

Considérons le ℓ-adifié J_{K_{n}} = ∏_{𝔭_{n}}^{res} R_{𝔭_{n}} du groupe des idèles du corps K_{n} (i.e. comme expliqué plus haut, le produit restreint des complétés profinis des groupes multiplicatifs des complétés non complexes de K_{n}), et intéressons nous au sous-groupe Ũ_{K_{n}} = ∏_{𝔭_{n}} Ũ_{𝔭_{n}} construit sur les noyaux respectifs des logarithmes des valeurs absolues :

Ũ_{𝔭_{n}} = \{x_{𝔭_{n}} ∈ R_{𝔭_{n}} = \underleftarrow{lim}_{m} K_{𝔭_{n}}^{×}/K_{𝔭_{n}}^{×ℓ^{m}}| Log|x_{𝔭_{n}}|_{𝔭_{n}} = 0\}.

Distinguons les deux cas :

- Si la place 𝔭_{n} est modérée (i.e. si 𝔭_{n} est une place finie étrangère à ℓ), le complété profini correspondant se décompose comme produit direct

R_{𝔭_{n}} = μ_{𝔭_{n}}.π_{𝔭_{n}}^{ℤ_{ℓ}}

du ℓ-groupe fini des racines de l’unité dans K_{𝔭_{n}} et du ℤ_{ℓ}-module libre engendré par une uniformisante. Le sous-module Ũ_{𝔭_{n}} est donc égal à μ_{𝔭_{n}} : c’est simultanément le sous module de torsion de R_{𝔭_{n}} et son sous-groupe des unités. L’extension abélienne qui lui est associée par le corps de classes local est donc la pro-ℓ-extension abélienne non ramifiée maximale de K_{𝔭_{n}}, et sa ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique.

- Si la place 𝔭_{n} est sauvage, la situation est moins simple, sauf pour K_{𝔭_{n}} = ℚ_{ℓ} : dans ce dernier cas, en effet, le complété profini du groupe ℚ_{ℓ}^{×} s’écrit canoniquement (1 + ℓℤ_{ℓ}).ℓ^{ℤ_{ℓ}} ; le noyau du logarithme ℓ-adique est le groupe ℓ^{ℤ_{ℓ}} ; et l’extension qui lui correspond par le corps de classes local est la ℤ_{ℓ}- extension cyclotomique de ℚ_{ℓ}. En général maintenant, le sous module Ũ_{𝔭_{n}} de R_{𝔭_{n}} est simplement l’image réciproque pour la norme locale N_{K_{𝔭n}} /ℚ_{ℓ} de son homologue pour le corps ℚ_{ℓ} ; et l’extension abélienne qui lui correspond est donc tout simplement la composée avec K_{𝔭_{n}} de la ℤ_{ℓ}.extension cyclotomique de ℚ_{ℓ}, c’est à dire ici encore la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique de K_{𝔭_{n}}.

Dans tous les cas, il résulte du corps de classes local que Ũ_{𝔭_{n}} est le sousgroupe des normes cyclotomiques dans R_{𝔭_{n}}, autrement dit que le produit

Ũ_{K_{n}} = ∏_{𝔭_{n}∈P ℓ(K_{n})} Ũ_{𝔭_{n}}

est le sous-groupe des normes cyclotomiques locales du groupe des idèles J_{K_{n}} = ∏_{𝔭_{n}}^{res} R_{𝔭_{n}}.

Son intersection Ẽ_{K_{n}} = Ũ_{K_{n}} ∩ R_{K_{n}} avec le groupe des idèles principaux R_{K_{n}} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} K_{n}^{×} (intersection qui est, par définition, le sous-groupe des unités logarithmiques de K_{n}) est donc exactement, en vertu du principe de Hasse, le groupe des normes cyclotomiques globales. Ainsi :

Théorème 2.8. Les unités logarithmiques sont exactement les normes cyclotomiques.

Revenons maintenant sur la description du radical hilbertien donnée au début de la section 2. D’après la caractérisation du noyau Ũ_{K_{n}} comme sousgroupe des normes cyclotomiques dans J_{K_{n}}, la définition normique du groupe ℌ_{K_{n}} donnée plus haut

ℌ_{K_{n}} = {ℓ^{−k} ⊗ x_{n} ∈ ℜ_{K_{n}} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ} K_{n}^{×}| x_{n} ∈ ⋂_{m≥n} N_{m/n}(K_{m}^{×}) K_{n}^{×ℓ^{k}}}

s’écrit tout simplement, en termes d’idèles :

ℌ_{K_{n}} = {ℓ^{−k} ⊗ x_{n} ∈ ℜ_{K_{n}} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} R_{K_{n}}| x_{n} ∈ Ũ_{K_{n}}J_{K_{n}}^{ℓ^{k}}}

Cela étant, il est immédiat que l’application qui à un élément ℓ^{−k} ⊗ x_{n} du groupe ℜ_{K_{n}}, satisfaisant la condition x_{n} = [𝔵_{n}^{∗}𝔶_{n}^{ℓ^{k}} ∈ Ũ_{K_{n}}J_{K_{n}}^{ℓ^{k}}, associe la classe dans C̃ℓ_{K_{n}} du diviseur logarithmique h(𝔶_{n}), est un morphisme surjectif du radical hilbertien ℌ_{K_{n}} sur le sous-groupe de torsion C̃ℓ_{K_{n}}^{tor} du groupe des classes logarithmiques du corps K_{n}, dont le noyau est constitué des éléments ℓ^{−k} ⊗ x_{n} de ℜ_{K_{n}} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} R_{K_{n}} pour lesquels l’idèle principal x_{n} peut être pris dans Ũ_{K_{n}}, c’est à dire en fin de compte dans le sous-noyau Ẽ_{K_{n}} des normes cyclotomiques. Autrement dit :

Théorème 2.9. Il existe un épimorphisme canonique du radical hilbertien ℌ_{K_{n}} sur le sous groupe de torsion C̃ℓ_{K_{n}}^{tor} du groupe des classes logarithmiques de K_{n} (en fait sur C̃ℓ_{K_{n}} tout entier, sous la conjecture de Gross), qui a pour noyau le tensorisé 𝔈̃_{K_{n}} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} Ẽ_{K_{n}} du groupe des unités logarithmiques :

(˜3) 1 ⟶ 𝔈̃_{K_{n}} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ} Ẽ_{K_{n}} ⟶ ℌ_{K_{n}} ⟶ C̃ℓ_{K_{n}}^{tor} ⟶ 1

En particulier, le groupe 𝔈̃_{K_{n}} est exactement le sous-module divisible maximal de ℌ_{K_{n}}.

Le résultat obtenu est évidemment l’analogue pour les valeurs absolues des suites exactes (3) et (\overline{3}) ci-dessus. La suite (˜3) peut également être regardée comme la suite duale de celle donnée par l’isomorphisme du miroir (cf. th. 2.7).

Scolie 2.10. Dans une tour cyclotomique, les radicaux hilbertiens vérifient la théorie de Galois, ce qui s’écrit :

ℌ_{K_{n}} = ℌ_{K_{∞}}^{Γ_{n}}.

En revanche, les sous-groupes divisibles 𝔑_{K_{n}} ne la satisfont pas, puisqu’on a :

𝔈̃_{K_{∞}}^{Γ_{n}}/𝔈̃_{K_{n}} ≃ C̃ap_{K_{n}},

où C̃ap_{K_{n}} désigne le sous-groupe de C̃ℓ_{K_{n}} formé des classes logarithmiques qui capitulent dans C̃ℓ_{K_{∞}}.

Preuve : La description ℌ_{K_{n}} = {ℓ^{−k} ⊗ x_{n} ∈ ℜ_{K_{n}}| x_{n} ∈ Ũ_{K_{n}}J_{K_{n}}^{ℓ^{k}}} du radical hilbertien en termes idéliques montre que ℌ_{K_{n}} est l’ensemble des éléments de la forme ℓ^{−k} ⊗x_{n}, pour lesquels le diviseur logarithmique h(x_{n}) associé à l’élément x_{n} de R_{K_{n}} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} K_{n}^{×} est une puissance ℓ^{k}-ième dans Dℓ_{K_{n}}. Et, comme cette propriété est invariante par montée dans la tour cyclotomique, nous avons directement

ℜ_{K_{n}} ∩ ℌ_{K_{m}} = ℌ_{K_{n}}, pour tout m ≥ n;

ce qui est bien le résultat annoncé.

Cela étant, la suite exacte du serpent appliquée au diagramme :

\xymatrix{1 \ar[r] & 𝔈̃_{K_{n}} \ar[r] \ar[d] & ℌ_{K_{n}} \ar[r] \ar[d] & C̃ℓ_{K_{n}}^{tor} \ar[r] \ar[d] & 1 \\ 1 \ar[r] & 𝔈̃_{K_{∞}}^{Γ_{n}} \ar[r] & ℌ_{K_{∞}}^{Γ_{n}} \ar[r] & _{C̃ℓ{tor^{Γn} \atop K_{∞}}} \ar[r] & H^{1}(Γ_{n}, 𝔈̃_{K_{∞}})}

nous donne l’isomorphisme attendu

𝔈̃_{K_{∞}}^{Γ_{n}}/𝔈̃_{K_{n}} ≃ C̃ap_{K_{n}},

puisque la capitulation pour les groupes de classes logarithmiques ne concerne en fait que les sous-groupes de torsion, de sorte que le résultat annoncé vaut indépendemment de la conjecture de Gross.

d. Isomorphismes de fausse dualité

Intéressons nous d’abord aux noyaux réguliers (ou modérés). Partant de la suite exacte courte de K-théorie donnée par les symboles modérés

1 ⟶ R_{2}(K_{n}) ⟶ K_{2}(K_{n}) ⟶ ⨁_{𝔭_{n}∤ℓ} μ_{𝔭_{n}} ⟶ 1,

prenant les puissances ℓ^{m}-ièmes pour un m ≥ n, puis formant la suite exacte du serpent, nous obtenons une suite exacte à six termes :

[figure: _{ℓ^{m}}K_{2}(K_{n}); ⨁_{𝔭_{n}∤ℓ}_{ℓ^{m}}μ_{𝔭_{n}}; ^{ℓ^{m}}R_{2}(K_{n}); ^{ℓ^{m}}K_{2}(K_{n}); ⨁_{𝔭_{n}∤ℓ}^{ℓ^{m}} μ_{𝔭_{n}}; _{ℓ^{m}}μ ⊗_{ℤ} K_{n}^{×}; μ_{ℓ^{m}} ⊗_{ℤ} I′_{K_{n}}; ˜⊕_{𝔭_{n}}^{ℓ^{m}}μ_{(}𝔭_{n})]

Dans celle-ci, le quotient^{ℓ^{m}}K_{2}(K_{n}) s’identifie à la somme restreinte ˜⨁_{𝔭_{n}} ^{ℓ^{m}}μ_{𝔭_{n}}, en vertu du théorème 1.12 ; le groupe _{ℓ^{m}}K_{2}(K_{n}) provient de μ_{ℓ^{m}} ⊗_{ℤ} K_{n}^{×} d’après les résultats de Tate ; et la somme directe ⨁_{𝔭_{n}∤ℓ}_{ℓ^{m}}μ_{𝔭_{n}} s’identifie canoniquement

au produit tensoriel μ_{ℓ^{m}} ⊗_{ℤ} I′_{K_{n}} construit sur le groupe I′_{K_{n}} des ℓ-idéaux du corps K_{n}.

Rassemblant ces résultats, et remarquant que le carré de gauche est commutatif, nous en déduisons la suite exacte courte

1 ⟶ μ_{ℓ^{m}} ⊗_{ℤ} Cℓ′_{K_{n}} ⟶ ^{ℓ^{m}}R_{2}(K_{n}) ⟶ ⨁_{𝔩_{n}|ℓ} ^{ℓ^{m}}μ_{𝔩_{n}} ⟶ 1,

qui relie le quotient d’exposant ℓ^{m} du groupe R_{2}(K_{n}) au tensorisé μ_{ℓ^{m}} ⊗ Cℓ′_{K_{n}} construit sur le ℓ-groupe des classes d’idéaux du localisé en dehors de ℓ de l’anneau des entiers de K_{n} (i.e. sur le quotient Cℓ′_{K_{n}} du ℓ-groupe des classes au sens ordinaire Cℓ_{K_{n}} par le sous-groupe engendré par les classes des idéaux premiers au-dessus de ℓ).

Bien entendu, nous pouvons tout aussi bien écrire les mêmes suites pour les modules opposés, en partant cette fois de la suite courte (donnée encore par les symboles modérés) :

1 ⟶ \overline{R}_{2}(K_{n}) ⟶ \overline{K}_{2}(K_{n}) ⟶^{\overline{r}} ⨁_{𝔭_{n}∤ℓ} \overline{μ}_{𝔭_{n}} ⟶ 1.

Mais ici, la surjectivité de l’application r̄ fait problème. Transportée par dualité, elle équivaut en effet à l’injectivité de l’application naturelle du produit ∏_{𝔭_{n}∤ℓ} μ_{𝔭_{n}} dans le groupe de Galois Gal(K_{n}^{ab}/Z_{n}). Et comme, dans l’isomorphisme ℓ-adique du corps de classes J_{K_{n}}/R_{K_{n}} ≃ Gal(K_{n}^{ab}/K_{n}), l’image du produit ∏_{𝔭_{n}∤ℓ} μ_{𝔭_{n}} n’est autre que le sous-groupe de Gal(K_{n}^{ab}/K_{n}) engendré topologiquement par les sous-groupes d’inertie des 𝔭_{n}, lequel fixe naturellement la composée Z_{n} des ℤ_{ℓ}-extensions de K_{n}, l’injectivité étudiée équivaut à celle de l’application canonique

∏_{𝔭_{n}∤ℓ} μ_{𝔭_{n}} ⟶ J_{K_{n}}/R_{K_{n}},

c’est à dire, en fin de compte, à l’identité

R_{K_{n}} ∩ ∏_{𝔭_{n}∤ℓ} μ_{𝔭_{n}} = 1,

qui n’est rien d’autre que l’une des formulations équivalentes de la conjecture de Leopoldt : les éléments de l’intersection sont, en effet, les idèles principaux construits sur les ℓ-unités infinitésimales (i.e. les éléments du tensorisé ℓ-adique E′_{K_{n}} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} E′_{K_{n}} du groupe des ℓ-unités, qui ont une image triviale aux places au dessus de ℓ).

En résumé nous avons donc :

Proposition 2.11. Pour chaque naturel n, les symboles réguliers (ou modérés) attachés au corps K_{n} donnent naissance à la suite exacte courte de K-théorie :

(4) 1 ⟶ R_{2}(K_{n}) ⟶ K_{2}(K_{n}) ⟶ ⨁_{𝔭_{n}∤ℓ} μ_{𝔭_{n}} ⟶ 1.

Et la conjecture de Leopoldt dans K_{n} postule qu’une suite analogue vaut pour les modules opposés :

(\overline{4}) 1 ⟶ \overline{R}_{2}(K_{n}) ⟶ \overline{K}_{2}(K_{n}) ⟶ ⨁_{𝔭_{n}∤ℓ} \overline{μ}_{𝔭_{n}} ⟶ 1.

Théorème 2.12. (Premier isomorphisme de fausse dualité). Pour chaque entier naturel n, et chaque m ≤ n, les symboles de Hilbert attachés aux places de K_{n} au-dessus de ℓ donnent naissance à la suite scindée :

(5) 1 ⟶ μ_{ℓ^{m}} ⊗_{ℤ} Cℓ′_{K_{n}} ⟶ ^{ℓ^{m}}R_{2}(K_{n}) ⟶ ˜⊕_{𝔩_{n}|ℓ} ^{ℓ^{m}}μ_{𝔩_{n}} ⟶ 1,

où Cℓ′_{K_{n}} désigne le ℓ-groupe des ℓ-classes d’idéaux du corps K_{n}, et le tilde sur le signe ⊕ signifie que la somme est restreinte aux familles qui vérifient la formule du produit.

Lorsque le corps K_{n} satisfait la conjecture de Leopoldt, la même suite vaut pour les modules opposés :

(\overline{5}) 1 ⟶ \overline{μ}_{ℓ^{m}} ⊗ Cℓ′_{K_{n}} ⟶ ^{ℓ^{m}} \overline{R}_{2}(K_{n}) ⟶ ˜⊕_{l_{n}|ℓ} ^{ℓ^{m}} \overline{μ}_{𝔩_{n}} ⟶ 1,

En particulier, il existe alors un isomorphisme de modules galoisiens :

μ_{ℓ^{m}} ⊗_{ℤ} \overline{R}_{2}(K_{n}) ≃ \overline{μ}_{ℓ^{m}} ⊗_{ℤ} R_{2}(K_{n}).

Preuve. Seul reste à vérifier le fait que les deux suites obtenues sont effectivement scindées.

Écrivons les pour simplifier avec m = n, sous la forme commune

1 ⟶ ^{ℓ^{n}}Cℓ′_{K_{n}} ⟶ ^{ℓ^{n}}R_{n} ⟶ ˜⊕_{l_{n}|ℓ} ℤ/ℓ^{m}ℤ ⟶ 1,

En désignant par R_{n} l’un quelconque des deux modules \overline{μ}_{ℓ^{n}} ⊗_{ℤ}R_{2}(K_{n}) et μ_{ℓ^{n}} ⊗_{ℤ} \overline{R_{2}}(K_{n}). Cela étant, l’injection ^{ℓ^{m}}Cℓ′_{K_{m}} ↪ ^{ℓ^{m}}R_{n}, pour chaque m ≤ n, montre que le groupe quotient ^{ℓ^{n}}Cℓ′_{K_{n}} est un sous-module pur de R_{n}, donc un facteur direct, puisque celui-ci est fini.

Venons en maintenant aux noyaux hilbertiens : Dans le cas symbolique, le théorème de Moore sur le K_{2} des corps de nombres (cf. [24]) nous donne la suite exacte courte canonique

1 ⟶ H_{2}(K_{n}) ⟶ K_{2}(K_{n}) ⟶ ˜⊕_{𝔭_{n}}μ_{𝔭_{n}} ⟶ 1,

où le terme de droite ˜⊕_{𝔭_{n}}μ_{𝔭_{n}} représente le sous-groupe de la somme directe des ℓ-groupes locaux de racines de l’unité attachés aux places non complexes de K_{n}, formé des familles (ζ_{𝔭_{n}})_{𝔭_{n}} qui vérifient la formule du produit ∏_{𝔭_{n}} ζ_{𝔭_{n}}^{g_{𝔭n}} = 1, l’entier g_{𝔭_{n}} étant l’ordre du groupe de décomposition de 𝔭_{n} dans l’extension procyclique K_{∞}/K_{n}.

Dans le cas kummérien, les mêmes arguments que ceux développés plus haut montrent que la conjecture de Leopoldt dans K_{n} affirme exactement l’existence d’une suite analogue pour les modules opposés :

1 ⟶ \overline{H}_{2}(K_{n}) ⟶ \overline{K}_{2}(K_{n}) ⟶ ˜⊕_{𝔭_{n}} \overline{μ}_{𝔭_{n}} ⟶ 1,

Ainsi, dans l’un ou l’autre cas, prenant les puissances ℓ^{m}-ièmes pour un m ≤ n, et formant la suite exacte du serpent, nous obtenons une suite exacte à quatre termes de la forme :

[figure: 1; _{ℓ^{m}} \begin{matrix}... \\ H \end{matrix}_{2}(K_{n}); _{ℓ^{m}} \begin{matrix}... \\ K \end{matrix}_{2}(K_{n}); ˜⊕_{𝔭_{n}} _{ℓ^{m}} \begin{matrix}... \\ μ \end{matrix}_{𝔭_{n}}; ^{ℓ^{m}} \begin{matrix}... \\ H \end{matrix}_{2}(K_{n}); \begin{matrix}... \\ μ \end{matrix}_{ℓ^{m}} ⊗_{ℤ} K_{n}^{×}; \begin{matrix}... \\ μ \end{matrix}_{ℓ^{m}} ⊗_{ℤ} D̃ℓ_{K_{m}}]

puisque le quotient d’exposant ℓ^{m} ^{ℓ^{m}} \begin{matrix}... \\ K \end{matrix}_{2}(K_{n}) s’identifie à la somme restreinte ˜⊕_{𝔭_{n}}^{ℓ^{m}} \begin{matrix}... \\ μ \end{matrix}_{𝔭_{n}} d’après le théorème 1.12.

Dans celle-ci, le terme _{ℓ^{m}} \begin{matrix}... \\ K \end{matrix}_{2}(K_{n}) provient du produit tensoriel \begin{matrix}... \\ μ \end{matrix}_{ℓ^{m}} ⊗_{ℤ} K_{n}^{×} et le terme ˜⊕_{𝔭_{n}}_{ℓ^{m}} \begin{matrix}... \\ μ \end{matrix}_{𝔭_{n}} s’identifie canoniquement au tensorisé \begin{matrix}... \\ μ \end{matrix}_{ℓ^{m}} ⊗_{ℤ} D̃ℓ_{K_{n}} du groupe des diviseurs logarithmiques de degré nul. Ici encore, le carré au centre est commutatif, ce qui conduit en fin de compte à l’isomorphisme canonique :

ℓ^{m} \begin{matrix}... \\ H \end{matrix}_{2}(K_{n}) ≃ \begin{matrix}... \\ μ \end{matrix}_{ℓ^{m}} ⊗_{ℤ} C̃ℓ_{K_{n}}.

L’ensemble de la discussion peut donc se résumer comme suit :

Proposition 2.13. Pour chaque entier naturel n, les symboles de Hilbert attachés au corps K_{n} donnent naissance à la suite exacte courte (de C. Moore) :

(6) 1 ⟶ H_{2}(K_{n}) ⟶ K_{2}(K_{n}) ⟶ ˜⊕_{𝔭_{n}} μ_{𝔭_{n}} ⟶ 1.

Et la conjecture de Leopoldt dans K_{n} postule qu’une suite analogue vaut pour les modules opposés.

(\overline{6}) 1 ⟶ \overline{H}_{2}(K_{n}) ⟶ \overline{K}_{2}(K_{n}) ⟶ ˜⊕_{𝔭_{n}} \overline{μ}_{𝔭_{n}} ⟶ 1.

Théorème 2.14. (Deuxième isomorphisme de dualité). - Pour chaque naturel n, et chaque m ≤ n, il existe un isomorphisme de modules galoisiens du quotient d’exposant ℓ^{m} du noyau hilbertien de la K-théorie H_{2}(K_{n}) associé au corps K_{n} sur le tensorisé μ_{ℓ^{m}} ⊗_{ℤ} C̃ℓ_{K_{n}} du ℓ-groupe C̃ℓ_{K_{n}} des classes logarithmiques de K_{n}. Et un résultat analogue vaut pour le groupe \overline{H}_{2}(K_{n}) sous la conjecture de Leopoldt dans K_{n}, auquel cas on a :

\overline{μ}_{ℓ^{m}} ⊗_{ℤ} H_{2}(K_{n}) ≃ ^{ℓ^{m}} C̃ℓ_{K_{n}} ≃ μ_{ℓ^{m}} ⊗_{ℤ} \overline{H}_{2}(K_{n}).

Les isomorphismes obtenus (th. 10 dans le cas régulier, th. 12 dans le cas hilbertien) permettent dans la pratique de calculer le ℓ^{m}-rang des noyaux considérés.

Appendice

Les conjectures de Leopoldt et de Gross

Nous revenons dans cet appendice sur une condition suffisante de la conjecture de Leopoldt, introduite par F. Bertrandias et J.-J. Payan [3] et déjà étudiée par R. Gillard [7] et H. Miki [21], dont nous avons dit ailleurs [12] qu’elle entraîne également la conjecture de Gross.

Nous commençons pour cela à rappeler quelques formulations équivalentes de ces conjectures faisant intervenir directement le groupe des classes logarithmiques du corps considéré.

Dans son énoncé originel, la conjecture de Leopoldt postule que le rang ℓadique du groupe des unités d’un corps de nombres K est égal au nombre de Dirichlet c_{K} + r_{K} − 1, autrement dit que l’application naturelle

E_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} E_{K} ⟶ U_{K} = ∏_{𝔩|ℓ} U_{𝔩}

du tensorisé ℓ-adique du groupe des unités (au sens ordinaire) de K dans le groupe des unités principales du semi-localisé de K au dessus de ℓ est un monomorphisme. Du point de vue de la théorie ℓ-adique du corps de classes, les éléments de E_{K} étant précisément les idèles principaux x = (𝔵_{𝔭})_{𝔭} ∈ R_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} K^{×} qui vérifient la condition x_{𝔭} ∈ μ_{𝔭} en chaque place modérée (i.e. étrangère à ℓ), la conjecture de Leopoldt revient à affirmer que les idèles principaux qui sont localement partout des racines de l’unité sont les racines globales de l’unité dans R_{K}, et c’est sous cette forme que nous l’avons utilisée au théorème 2.7 pour montrer qu’elle équivaut en fait à la finitude du radical infinitésimal ℭ̃_{K} attaché à K.

La conjecture de Gross affirme, elle, que le rang ℓ-adique des logarithmes des valeurs absolues des ℓ-unités d’un corps de nombres K est égal au nombre s_{K} −1 de places de K au-dessus de ℓ diminué de 1, autrement dit que le sous-module du groupe Dℓ_{K} des diviseurs logarithmiques de K engendré par les diviseurs logarithmiques principaux construits sur les ℓ-unités est un ℤ_{ℓ}-module libre de dimension s_{K} − 1, ce qui revient à postuler, comme expliqué au scolie 1.9, la finitude du groupe C̃ℓ_{K} des classes logarithmiques du corps K.

Supposons, pour simplifier, que le corps K contienne les racines 2ℓ-ièmes de l’unité. Notons K_{∞} = ⋃_{n∈ℕ} K_{n} la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique de K, et Γ le

groupe procyclique Gal(K_{∞}/K). Écrivons enfin

C̃_{K_{∞}} = \underleftarrow{lim} C̃ℓ_{K_{n}} et ℭ̃_{K_{∞}} = \underrightarrow{lim} ℭ̃_{K_{n}}

la limite projective (pour les applications normes) des ℓ-groupes de classes logarithmiques des corps K_{n} d’une part, la limite inductive (i.e. la réunion croissante) des radicaux infinitésimaux associés d’autre part. Cela posé, nous avons :

Théorème 3.1. Dans l’isomorphisme du corps de classes, le ℓ-groupe C̃_{K_{∞}} s’identifie au groupe de Galois Gal(K_{∞}^{loc}/K_{∞}) de la pro-ℓ-extension abélienne maximale de K_{∞} qui est complètement décomposée en chacune de ses places ; et le groupe ℭ̃_{K_{∞}} est, lui, le radical kummérien Rad(K_{∞}^{loc}/K_{∞}) attaché à cette extension, de sorte que la théorie de Kummer nous donne une dualité parfaite

C̃_{K_{∞}} × ℭ̃_{K_{∞}} → μ_{ℓ^{∞}}

à valeurs dans le groupe μ_{ℓ^{∞}} des racines d’ordre ℓ-primaire de l’unité. Le groupe C̃ℓ_{K} est le quotient des genres ^{Γ}C̃_{K_{∞}} attaché à C̃_{K_{∞}}. Le groupe ℭ̃_{K} est le sous-groupe des points fixes ℭ̃_{K_{∞}}^{Γ} de ℭ̃_{K_{∞}}.

Preuve. En termes idéliques, le groupe des classes logarithmiques C̃ℓ_{K_{n}} s’écrit comme le quotient J̃_{K_{n}}/Ũ_{K_{n}}R_{K_{n}} du groupe J̃_{K_{n}} des idèles de K_{n} qui vérifient la formule du produit (pour les valeurs absolues ℓ-adiques dans K_{n}) par le sous-groupe Ũ_{K_{n}}R_{K_{n}} construit sur le noyau Ũ_{K_{n}} des valeurs absolues. Or dans l’isomorphisme du corps de classes, J̃_{K_{n}} est le groupe d’idèles associé à la ℤ_{ℓ}- extension cyclotomique K_{∞} de K_{n}, et Ũ_{K_{n}}R_{K_{n}} celui associé à la pro-ℓ-extension abélienne maximale K_{n}^{loc} de K_{n} qui est localement cyclotomique sur K_{n}. Par passage à la limite à partir de l’isomorphisme obtenu C̃ℓ_{K_{n}} ≃ Gal(K_{n}^{loc}/K_{∞}), nous en déduisons celui annoncé C̃_{K_{∞}} ≃ Gal(K_{∞}^{loc}/K_{∞}), puisque K_{∞}^{loc} n’est autre que la réunion des K_{n}^{loc}. Bien entendu K_{n}^{loc} étant la sous-extension maximale de K_{∞}^{loc} qui est abélienne sur K_{n}, nous en tirons immédiatement l’identité des genres C̃ℓ_{K_{n}} ≃ C̃_{K_{∞}}/C̃_{K_{∞}}^{γ_{n}−1}, où γ_{n} désigne un générateur topologique arbitraire du groupe procyclique Γ_{n} = Gal(K_{∞}/K_{n}).

D’un autre côté, nous avons vu plus haut que le sous-groupe de ℓ^{n}-torsion ℓ^{n} ℭ̃_{K_{n}} de K_{n} est précisément le radical initial de l’extension abélienne K_{n}^{loc}/K_{∞}. Il vient donc directement ℭ̃_{K_{∞}} = Rad(K_{∞}^{loc}/K_{∞}), comme attendu, et inversement :

ℭ̃_{K_{∞}}^{Γ_{n}} = ℭ̃_{K_{∞}} ∩ ℜ_{K_{n}} = ℭ̃_{K_{n}},

ce qui achève la démonstration.

Théorème & Définition 3.2. Pour tout corps de nombres K contenant les racines 2ℓ-ièmes de l’unité, les trois propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) Le ℓ-groupe des classes logarithmiques C̃ℓ_{K} est trivial.

(ii) Le radical infinitésimal ℭ̃_{K} est trivial. (iii) Pour qu’une ℓ-extension abélienne de K soit cyclotomique il (faut et il) suffit qu’elle le soit localement. Lorsqu’elles sont vérifiées, nous disons que K est logarithmiquement principal.

Preuve. La condition (iii) exprime la trivialité du groupe de Galois C̃_{K_{∞}} = Gal(K_{∞}^{loc}/K_{∞}) comme du radical ℭ̃_{K_{∞}} = Rad(K_{∞}^{loc}/K_{∞}). Maintenant, la trivialité du groupe compact C̃_{K_{∞}} se lit sur le quotient des genres C̃ℓ_{K} ; et celle du groupe discret ℭ̃_{K_{∞}} sur son sous-groupe invariant ℭ̃_{K}.

Bien entendu, le premier intérêt des corps logarithmiquement principaux est qu’ils vérifient pour des raisons purement algébriques les conjectures de Leopoldt et de Gross. Plus précisément :

Corollaire 3.3. Sous les conditions équivalentes du corollaire 2, les conjectures de Leopoldt et de Gross sont satisfaites à chaque étage fini de la tour cyclotomique K_{∞}/K, et il y a identité pour tout n ≥ 1 entre le sous-groupe de ℓ^{n}-torsion _{ℓ^{n}}ℌ_{K_{n}} du radical hilbertien attaché au corps K_{n} et chacun des trois sous-groupes suivants du radical universel ℜ_{K_{∞}} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⨂_{ℤ} K_{∞}^{×} :

(i) Le sous-groupe de ℓ^{n}-torsion _{ℓ^{n}}(\overline{𝕋}_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} 𝔘_{K_{∞}}) = _{ℓ^{n}}(𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}})_{div}^{Γ_{n}} du noyau des symboles universels à valeurs dans K_{2}(K_{n}).

(ii) Le radical initial _{ℓ^{n}}(\overline{𝕋}_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} 𝔘_{K_{∞}}) = _{ℓ^{n}}(\overline{𝕋}_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}})_{div}^{Γ_{n}} de la composée Z_{n} des ℤ_{ℓ}-extensions du corps K_{n}.

(iii) Le sous-groupe de ℓ^{n}-torsion _{ℓ^{n}} 𝔈̃_{K_{n}} du groupe divisible (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⨂_{ℤ} Ẽ_{K_{n}} construit sur les normes cyclotomiques dans K_{n}.

Preuve. L’identité ℌ_{K_{n}} = 𝔈̃_{K_{n}} résulte directement du théorème 2.9. Les deux premières assertions proviennent elles du théorème 2.14 qui donne ici H_{2}(K_{n}) = \overline{H_{2}}(K_{n}) = 1, pour tout n.

Remarque 1. Par passage à la limite inductive à partir du corollaire, on obtient les identités plus faibles :

⋃_{n∈ℕ}(\overline{𝕋}_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}})_{div}^{Γ_{n}} = ⋃_{n∈ℕ}(𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}})_{div}^{Γ_{n}} = 𝔑_{K_{∞}}

Comme expliqué dans [14], celle de gauche est simplement la conjecture de Leopoldt écrite dans le corps K_{∞} (ce résultat est du à J. Coates (cf. [4])) ; celle de droite est la conjecture de Gross dans le même K_{∞} (ce résultat est dû à M. Kolster (cf. [17])). En revanche, même lorsque les deux conjectures sont satisfaites dans K_{∞}, l’égalité des trois radicaux du corollaire pose problème en général puisque la redescente impose une torsion de l’action galoisienne conformément aux inclusions (cf. [14], §6) :

ℓ^{n}(𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}})_{div}^{Γ_{n}} ⊂ _{ℓ^{n}}(𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} 𝔈̃_{K_{∞}})^{Γ_{n}},
ℓ^{n}(\overline{𝕋}_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}})_{div}^{Γ_{n}} ⊂ _{ℓ^{n}}(\overline{𝕋}_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} 𝔈̃_{K_{∞}})^{Γ_{n}}

et bien entendu :

ℓ^{n} 𝔈̃_{K_{n}} ⊂ _{ℓ^{n}} 𝔈̃_{K_{∞}}^{Γ_{n}}.

Remarque 2. En présence des racines 2ℓ-ièmes de l’unité (en fait sous une condition plus faible) l’identité C̃ℓ_{K} = 1 équivaut à la nullité H_{2}(K) = 1 du ℓ-groupe de Sylow du noyau hilbertien. Si l’on remplace cette condition par la condition plus forte R_{2}(K) = 1, on tombe sur la notion de corps ℓ-régulier (ou ℓrationnel) étudiée en collaboration avec G. Gras dans [9] et, indépendemment par H. Movahhedi et T. Nguyen Quang Do (cf. [15]). Ceci permet de construire très facilement des familles infinies de corps non abéliens qui satisfont les conjectures de Leopoldt et de Gross.

Index des notations

Notations latines

K : un corps de nombres contenant les racines 2ℓ-ièmes de l’unité ; K_{∞} = ∪_{n∈ℕ}K_{n} avec K_{n} = K[μ_{ℓ^{n}}] : sa ℤ_{ℓ} extension cyclotomique ; M_{n} : la pro-ℓ-extension abélienne ℓ-ramifiée maximale de K_{n} ; H_{n} : la composée des extensions de K_{n} localement ℤ_{ℓ}-plongeables ; Z_{n}: la composée des ℤ_{ℓ}-extensions de K_{n} ; K_{n}^{loc} : la ℓ-extension abélienne maximale localement cyclotomique de K_{n} ; E_{K_{n}} : le groupe des unités de K_{n} et E′_{K_{n}} le groupe des ℓ-unités ; c_{K_{n}}, r_{K_{n}}, s_{K_{n}}: les nombres de places complexes, réelles, ou sauvages ; I_{K_{n}}: le groupe des idéaux de K_{n} et I′_{K_{n}} le quotient des ℓ-idéaux ; Cℓ_{K_{n}} : le ℓ-groupe des classes d’idéaux (au sens ordinaire) du corps K_{n} ; Cℓ′_{K_{n}} : le ℓ-groupe des ℓ-classes, quotient de Cℓ_{K_{n}} correspondant à I′_{K_{n}} ; C̃ℓ_{K_{n}}: le ℓ-groupe des classes logarithmiques ; K_{2}(K_{n}) : le ℓ-groupe des symboles et \overline{K}_{2}(K_{n}) le ℓ- groupe opposé ; R_{2}(K_{n}): le ℓ-noyau régulier dans K_{2} et \overline{R}_{2}(K_{n}) le ℓ-groupe opposé ; H_{2}(K_{n}): le ℓ-noyau hilbertien dans K_{2} et \overline{R}_{2}(K_{n}) le ℓ-groupe opposé ; 𝕋_{ℓ} = \underleftarrow{lim} μ_{ℓ^{n}} : le module de Tate, et \overline{𝕋}_{ℓ} le module opposé.

Notations anglaises

R_{𝔭_{n}} = \underleftarrow{lim} K_{𝔭_{n}}^{×}/K_{𝔭_{n}}^{×ℓ^{m}} : le compactifié ℓ-adique du groupe multiplicatif K_{𝔭_{n}}^{×} ; U_{𝔭_{n}}: le sous-groupe unité et Ũ_{𝔭_{n}} le groupe des normes cyclotomiques locales ; J_{K_{n}} = ∏_{𝔭_{n}}^{res} R_{𝔭_{n}} : le ℓ-adifié du groupe des idèles de K_{n} ; R_{K_{n}} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} K_{n}^{×}: le sous-groupe principal de J_{K_{n}} ; U_{K_{n}} = ∏_{𝔭_{n}} U_{𝔭_{n}}: le sous-groupe unité de J_{K_{n}} ; Ũ_{K_{n}} = ∏_{𝔭_{n}} Ũ_{𝔭_{n}}: le noyau dans J_{K_{n}} des valeurs absolues ; E′_{K_{n}} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} E′_{K_{n}}: le ℓ-adifié du groupe des ℓ-unités de K_{n} ; E_{K_{n}} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} E_{K_{n}}: le ℓ-adifié du groupe des unités (au sens ordinaire) ; E_{K_{n}}^{∞} : le groupe de défaut de la conjecture de Leopoldt dans K_{n} ; Ẽ_{K_{n}} = R_{K_{n}} ∩ Ũ_{K_{n}}: le ℓ-groupe des normes cyclotomiques dans R_{K_{n}} ; Dℓ_{K_{n}} = J_{K_{n}}/Ũ_{𝔭_{n}} : le ℓ-groupe des diviseurs logarithmiques de K_{n} ; D̃ℓ_{K_{n}}: le sous-groupe des diviseurs logarithmiques de degré nul dans Dℓ_{K_{n}} ; P̃ℓ_{K_{n}} ≃ R_{K_{n}}/Ẽ_{K_{n}}: le sous-groupe principal, image de R_{K_{n}} dans Dℓ_{K_{n}}.

Notations gothiques

ℜ_{K_{n}} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤℓ} R_{K_{n}}: le radical universel attaché au corps K_{n} ; ℑ′_{K_{n}} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ} I′_{K_{n}}: le co-ℓ-adifié du groupe des ℓ-idéaux de K_{n} ; 𝔐_{K_{n}}: le radical modéré, i.e. le noyau Ker (ℜ_{K_{n}} ⟶ ℑ′_{K_{n}}) ; 𝔇̃𝔩_{K_{n}} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤℓ} D̃ℓ_{K_{n}}: le groupe des codiviseurs logarithmiques ; ℌ_{K_{n}}: le sous-radical hilbertien, i.e. le noyau Ker (ℜ_{K_{n}} ⟶ 𝔇̃𝔩_{K_{n}}) ; ℨ_{K_{n}}: le radical des ℤ_{ℓ}-extensions ; 𝔍_{K_{n}}: le tensorisé (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} J_{K_{n}} du groupe des idèles ; ℭ̃_{K_{n}}: le radical logarithmique, i.e. le noyau Ker (ℜ_{K_{n}} ⟶ 𝔍_{K_{n}}) ; 𝔈_{K_{n}} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ} E_{K_{n}} ≃ (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} E_{K_{n}}: le groupe des coünités ; 𝔈′_{K_{n}}: le tensorisé (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ} E′_{K_{n}} du groupe des ℓ-unités ; 𝔈̃_{K_{n}}: le tensorisé (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} Ẽ_{K_{n}} du groupe des normes cyclotomiques ; 𝔘_{K_{n}}: le noyau universel attaché au corps K_{n}.

Notations grecques

μ_{ℓ^{n}}: le groupe des racines ℓ^{n}-ièmes de l’unité ; μ_{ℓ^{∞}}: la réunion des μ_{ℓ^{n}} et \overline{μ}_{ℓ^{∞}} le module opposé ; μ_{𝔭_{n}} : le sous-groupe fini de R_{𝔭_{n}} ; Γ : le groupe procyclique Gal(K_{∞}/K) et γ un pro-générateur de Γ ; Γ_{n}: le sous-groupe Gal(K_{∞}/K_{n}) et γ_{n} un pro-générateur de Γ_{n} ; δ_{K_{n}}: le défaut de Leopoldt dans K_{n} ; et δ̃_{K_{n}}: le défaut de Gross.

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Jean-François Jaulent Institut de Mathématiques Université Bordeaux I 351, cours de la libération F-33405 Talence Cedex email : jaulent@math.u-bordeaux1.fr