Sur quelques modules d’Iwasawa semi-simples^{∗}

Jean-François Jaulent & Jonathan W. Sands

Résumé. Nous introduisons la notion de ℤ_{ℓ}-extension cyclotomiquement ramifiée sur un corps de nombres K pour obtenir des conditions arithmétiques générales de semisimplicité algébrique du module d’Iwasawa standard C_{K_{∞}} associé à une telle extension.

Revenant ensuite sur les exemples déjà étudiés par Jaulent ou Carroll et Kisilevsky, nous montrons que cette nouvelle approche permet de retrouver des résultats connus mais aussi de rendre compte naturellement de la plupart des cas de non semi-simplicité.

Les peuves reposent essentiellement sur la théorie ℓ-adique du corps de classes.

Abstract. We define the notion of a cyclotomically ramified ℤ_{ℓ}-extension of number fields K_{∞}/K, and relate it to the semisimplicity of the corresponding standard unramified Iwasawa module C_{K_{∞}}.

Returning to the setting in which semisimplicity was originally studied by Jaulent and Carroll-Kisilevsky, we find that our approach leads to some more precise results.

An essential tool is the ℓ-adic class-field theory, which we review.

Introduction

Soient K un corps de nombres, ℓ un nombre premier, K_{∞} = ∪_{n∈ℕ} K_{n} une ℤ_{ℓ}-extension de K, puis γ un générateur topologique du groupe procyclique Γ = Gal(K_{∞}/K), et Λ = ℤ_{ℓ}[[γ−1]] l’algèbre d’Iwasawa associée.Il est bien connu que

le groupe de Galois C_{K_{∞}} de la pro-ℓ-extension abélienne non ramifiée maximale C_{∞} de K_{∞} est un Λ-module noethérien et de torsion pseudo-isomorphe^{1} comme tel à une unique somme directe finie de Λ-modules élémentaires de la forme :

C_{K_{∞}} ∼ ⊕_{P} ( ⊕_{i=1}^{n_{P}} Λ/P^{ν_{P i}}Λ),

où P parcourt le système de représentants des éléments irréductibles de l’anneau factoriel Λ formé du nombre premier ℓ et des polynômes irréductibles et distingués de l’anneau ℤ_{ℓ}[γ − 1], la quantité n_{P} mesure le nombre de P -facteurs de C_{K_{∞}}, et les ν_{P i} forment pour chaque P une suite décroissante d’entiers naturels non nuls. Le produit fini des dénominateurs

χ_{C_{K∞}} = ∏_{n_{P} ≠0} ∏_{i=1}^{n_{P}} P^{ν_{P i}}

est ainsi le polynôme caractéristique du Λ-module C_{K_{∞}}, et le sous-produit P_{C_{K∞}} = ∏_{n_{P} ≠0} P^{ν_{P 1}}, est, lui, le polynôme minimal de ce même module ^{2}. On dit alors que C_{K_{∞}} est semi-simple (resp. semi-simple en un premier P) lorsque P_{C_{K∞}} est sans facteur carré (resp. lorsque P^{2} ne divise pas P_{C_{K∞}} ou, ce qui revient au même, lorsque ν_{P 1} vaut 1 pour n_{P} > 0).

∗Compositio Math. 99 (1995), 325–341.

1Un pseudo-isomorphisme est un morphisme à noyau et conoyau finis.

Le cas arithmétiquement le plus intéressant est celui où le polynôme premier P considéré est cyclotomique, i.e. de la forme ω_{0} = γ − 1 ou encore

ω_{n} = (γ^{ℓ^{n}} − 1)/(γ^{ℓ^{n−1}} − 1) = γ^{ℓ^{n−1}(ℓ−1)} + ⋯ + γ^{ℓ^{n−1}} + 1

pour n > 0, puisque dans ce cas le quotient C_{K_{∞}}/C_{K_{∞}}^{ω_{n}} s’interprète à l’aide de la théorie des genres : Plus précisement, si K_{n} est le sous-corps de K_{∞} fixé par γ^{ℓ^{n}}, le quotient C_{K_{∞}}/C_{K_{∞}}^{γ^{ℓ^{n}} −1} n’est autre que le groupe de Galois de la sous-extension maximale de C_{∞} qui est abélienne sur K_{n} et son calcul relève donc de la théorie du corps de classes dans le corps K_{n}.

Dans ce contexte bien précis, le premier résultat de semi-simplicité est celui obtenu par R. Greenberg, à l’aide des théorèmes d’indépendance de logarithmes de Baker-Brumer, (cf. [Gr]), pour les ℤ_{ℓ}-extensions cyclotomiques des corps abéliens (réels ou imaginaires), résultat qui fut généralisé ensuite par L.J. Federer et B. H. Gross (cf. [FG]) au cas ou le corps de base K sans être nécessairement abélien est cependant équipé d’une conjugaison complexe (c’est-à-dire qu’il se présente comme extension quadratique totalement imaginaire d’un sous-corps K^{+} totalement réel) et satisfait une condition d’indépendance ℓ-adique conjecturée par B. H. Gross.

Inversement, quelques exemples de non semi-simplicité pour certaines ℤ_{ℓ}- extensions non cyclotomiques de corps abéliens imaginaires ont été produits par J.-F. Jaulent, via la théorie des genres (cf. [J_{1}]), puis indépendamment mais de façon plus systématique par H. Kisilevsky (cf. [Ki]), à partir d’une idée voisine.

Le but de cet article est d’expliciter des conditions arithmétiques non triviales de ramification qui entraînent la semi-simplicité algébrique du groupe C_{K_{∞}}. Nous proposons ainsi d’appeler cyclotomiquement ramifiées les ℤ_{ℓ}-exten-sions qui vérifient ces conditions de ramification, et nous montrons dans plusieurs situations qu’elles sont bien en général semi-simples sous les conjectures ℓadiques standard.

C’est ainsi que, revenant sur le cas métabélien déjà étudié par J.-F. Jaulent (cf. [J_{1}], [J_{2}], [J_{3}]) ou J. Carroll et H. Kisilevsky (cf. [CK_{1}], [CK_{2}], [K]), nous prouvons par exemple que pour les corps de nombres à groupe de Galois sur ℚ abélien et d’exposant divisant (ℓ − 1), les ℤ_{ℓ}-extensions absolument galoisiennes pour lesquelles le Λ-module C_{K_{∞}} est semi-simple en ω_{0} = γ − 1 sont celles cyclotomiquement ramifiées et celles-là seulement dès lors que le caractère ω qui définit la décomposition semi-directe du groupe métaprocyclique Gal(K\ℚ) n’est pas d’ordre 2 ; et nous les déterminons explicitement.

2C’est le plus petit polynôme Q de l’anneau factoriel ℤ_{ℓ}[γ − 1] pour lequel le module C_{K_{∞}}^{Q} (en notation multiplicative) est pseudo-nul (i.e. fini).

Notre outil essentiel dans ce travail est la théorie ℓ-adique du corps de classes élaborée dans [J_{3}], dont nous commençons par rappeler brièvement quelques résultats.

1.- Le formalisme ℓ-adique du corps de classes.

Nous supposons fixés dans tout ce qui suit un corps de nombres K et un nombre premier ℓ.

Pour chaque place 𝔭 de K, nous écrivons K_{𝔭} le complété de K en 𝔭, puis R_{𝔭} la ℓ-partie du complété profini du groupe multiplicatif K_{𝔭}^{×}, c’est-à-dire la limite projective

R_{𝔭} = \underleftarrow{lim} K_{𝔭}^{×}/K_{𝔭}^{×ℓ^{n}}

que l’isomorphisme d’Artin local ω_{𝔭} identifie au groupe de Galois Gal(K_{𝔭}^{ab}/K_{𝔭}) de la pro-ℓ-extension abélienne maximale de K_{𝔭}. Le groupe compact ainsi obtenu est donc trivial lorsque 𝔭 est complexe, d’ordre 1 ou 2 lorsque 𝔭 est réelle, et s’écrit dans le cas ultramétrique

R_{𝔭} ≃ U_{𝔭} π_{𝔭}^{ℤ_{ℓ}},

si l’on note π_{𝔭} l’image dans R_{𝔭} d’une uniformisante arbitraire de K_{𝔭}, le sousgroupe unité U_{𝔭} étant

- soit le ℓ-groupe μ_{𝔭} des racines de l’unité dans K_{𝔭}, lorsque 𝔭 est modérée (i.e. étrangère à ℓ),

- soit le ℤ_{ℓ}-module U_{𝔭}^{1} = 1+𝔭 des unités principales, lorsque 𝔭 est sauvage (i.e. divisant ℓ).

Deux sous-groupes fermés de R_{𝔭} nous intéressent particulièrement ici :

- d’une part le sous-groupe unité U_{𝔭}, déjà défini, qui est associé dans la correspondance galoisienne du corps de classes local à la ℤ_{ℓ}-extension non ramifiée K_{𝔭}^{nr} de K_{𝔭} ;

- d’autre part le sous-groupe Ũ_{𝔭} des normes cyclotomiques, qui correspond, lui, à la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique K_{𝔭}^{c} de K_{𝔭}, et peut être défini comme le noyau dans R_{𝔭} de la valeur absolue ℓ-adique principale | |_{𝔭} qui prend ses valeurs dans 1 + 2ℓℤ_{ℓ} (cf. [J_{3}]).

Ces deux groupes sont toujours isomorphes (non canoniquement) mais ne coïncident en fait que lorsque la place 𝔭 est modérée i.e. ici étrangère à ℓ : ce sont des ℤ_{ℓ}-modules noethériens de rang d_{𝔭} = [K_{𝔭} : ℚ_{p}] et de même sous-module fini μ_{𝔭}.

Introduisons maintenant le ℓ-groupe des idèles de K, c’est-à-dire le produit restreint

J = ∏_{𝔭}^{res} R_{𝔭} = {(x_{𝔭})_{𝔭} ∈ ∏_{𝔭} R_{𝔭} | x_{𝔭} ∈ U_{𝔭} pour presque tout 𝔭},

étendu aux places (non complexes) 𝔭 de K, et équipé de sa topologie naturelle de limite inductive des sous-modules compacts

J^{S} = ∏_{𝔭∈S} R_{𝔭} ∏_{𝔭∉S} U_{𝔭}

pour S parcourant l’ensemble des sous-familles finies de places de K.

La théorie ℓ-adique du corps de classes global établit un isomorphisme (algébrique et topologique) entre le quotient C = J /R de J par son sous-groupe principal R = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} K^{×}, et le groupe de Galois Gal(K^{ab}/K) de la pro-ℓ-extension abélienne maximale de K, lequel met en bijection les sous-extensions de K^{ab} et les sous-groupes fermés de J qui contiennent R. Un certain nombre de pro-ℓ-extensions abéliennes de K nous intéressant plus particulièrement, donnons en la liste, en indiquant pour chacune sa définition ainsi que le ℓ-groupe d’idèles associé :

Extension  Définition  Groupe d’idèles associé
K  corps de base  J
K^{nr}  abélienne non ramifiée maximale  UR = (∏_{𝔭} U_{𝔭})R
K^{c}  ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique  J̃ = {(x_{𝔭})_{𝔭} ∈ J | ∏_{𝔭} |x|_{𝔭} = 1}
K^{lc}  localement cyclotomique  ŨR = (∏_{𝔭} Ũ_{𝔭})R
K^{ℓr}  abélienne ℓ-ramifiée maximale  (∏_{𝔭∤ℓ} U_{𝔭})R = (∏_{𝔭∤ℓ_{∞}} μ_{𝔭})R
K^{ab}  abélienne maximale  R

Remarques.

(i) Le corps K^{nr} qui est la ℓ-extension abélienne non ramifiée (aux places finies) maximale de K est ce qu’il est convenu d’appeler le ℓ-corps des classes de Hilbert (au sens restreint) de K : c’est une extension de degré fini, de groupe de galois Gal(K^{nr}/K) ≃ J /U R ≃ Cℓ isomorphe au ℓ-groupe des classes de diviseurs de K.

(ii) Le corps K^{lc} est la pro-ℓ-extension abélienne maximale de K qui est localement cyclotomique c’est-à-dire complètement décomposé en chaque place au-dessus de K^{c}. Comme la montée dans la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique K^{c}/K a épuisé toute possibilité d’inertie aux places ultramétriques modérées, on voit que la condition de complète décomposition signifie simplement que K^{lc}/K^{c} est non ramifiée (aux places modérés) et complètement décomposée en celles réelles ou sauvages.

(iii) Le groupe de Galois Gal(K^{lc}/K^{c}) ≃ J̃/ŨR ≃ C̃ℓ est, par définition , le ℓ-groupe des classes logarithmiques du corps K. Sa finitude constitue précisément la conjecture de Gross généralisée, pour le corps K et le nombre premier ℓ (cf. [J_{3}]). Lorsque celle-ci est vérifiée, le corps K^{lc} contient alors une unique ℤ_{ℓ}-extension de K, à savoir la cyclotomique K^{c}.

(iv) L’isomorphisme Gal(K^{ℓr}/K^{nr}) ≃ U R/ ∏_{𝔭∤ℓ} U_{𝔭} R identifie le groupe de Galois Gal(K^{ℓr}/ K^{nr}) au quotient U_{ℓ}/s_{ℓ}(E) du groupe des unités principales semi-locales U_{ℓ} = ∏_{𝔭 | ℓ} U_{𝔭} par l’image E_{ℓ} = s_{ℓ}(E) du tensorisé E = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} E du groupe des unités (totalement positives) de K. La conjecture de Leopoldt (pour le corps K et le premier ℓ) postule que E s’injecte dans U_{ℓ}, autrement dit que le quotient U_{ℓ}/s_{ℓ}(E) est de rang (r + 2c) − (r + c − 1) = c + 1 (r étant le nombre de places réelles et c le nombre de places complexes du corps K), i.e. que K admet c + 1 ℤ_{ℓ}-extensions linéairement indépendantes (seulement).

2.- Extensions cyclotomiquement ramifiées.

Définition 1. Nous disons qu’une pro-ℓ-extension L de K est cyclotomiquement ramifiée lorsqu’elle vérifie les deux conditions suivantes :

(i) Toutes les places de K au-dessus de ℓ se ramifient (infiniment) dans L/K.

(ii) L’extension induite LK^{c}/K^{c} au-dessus de la tour cyclotomique K^{c} est non ramifiée.

Avant de dégager l’intérêt de cette définition pour le problème qui nous préoccupe, commençons par dénombrer les ℤ_{ℓ}-extensions linéairement indépendantes qui sont cyclotomiquement ramifiées. Remarquons d’abord que toutes sont contenues dans la pro-ℓ-extension abélienne maximale K^{cr} de K qui est non ramifiée sur K^{c} (i.e. le corps des genres attaché à l’extension cyclotomique K^{c}/K). Or nous avons :

Théorème 2. Le ℓ-groupes d’idèles qui est associé par la théorie du corps de classes à la pro-ℓ-extension abélienne cyclotomiquement ramifiée maximale K^{cr} de K est le produit ÛR du ℓ-groupe Û = U ∩ Ũ des idèles unités qui sont des normes cyclotomiques par le sous-groupe principal R.

En particulier, il vient donc :

Gal(K^{cr}/K^{lc}) ≃ ŨR/ÛR ≃ Ũ_{ℓ}/Û_{ℓ}E_{ℓ} ,

où Ũ_{ℓ} (resp. Û_{ℓ}) est le noyau des valeurs absolues ℓ-adiques dans R_{ℓ} = ∏_{𝔩 | ℓ} R_{𝔩} (resp. dans U_{ℓ} = ∏_{𝔩 | ℓ} U_{𝔩}) et E_{ℓ} = s_{ℓ}(E) la projection dans R_{ℓ} du groupe Ẽ = Ũ ∩ R des normes cyclotomiques globales.

Preuve. La composée K^{cr} des pro-ℓ-extensions abéliennes cyclotomiquement ramifiées de K étant trivialement la pro-ℓ-extension abélienne maximale de K qui est non ramifiée sur K^{c}, elle contient en particulier K^{lc} (qui est, elle, la proℓ-extension abélienne maximale qui est complétement décomposée sur K^{c}) ; et d’un autre côté, elle est ℓ-ramifiée (i.e. non ramifiée en dehors des places divisant ℓ) c’est-à-dire qu’elle est contenue dans K^{ℓr}.

Considérons un instant l’extension abélienne K^{ab}/K : Pour chaque 𝔭 de K, le sous-groupe de décomposition correspondant D_{𝔭}(K^{ab}/K) dans Gal(K^{ab}/K) ≃ J /R étant l’image du facteur local R_{𝔭} dans le quotient J /R, sa trace dans le sous-groupe Gal(K^{ab}/K^{c}) ≃ J̃/R est donnée par l’intersection (R_{𝔭}R ∩ J̃)/R. Et comme J̃ est précisement le noyau dans J de la formule du produit pour les valeurs absolues, les éléments du numérateur sont exactement ceux de Ũ_{𝔭}R, où Ũ_{𝔭} est le noyau de | |_{𝔭} dans R_{𝔭}. Il vient donc :

D_{𝔭}(K^{ab}/K^{c}) ≃ Ũ_{𝔭}R/R,

et, par un calcul tout à fait semblable :

I_{𝔭}(K^{ab}/K^{c}) ≃ Û_{𝔭}R/R,

puisque le sous-groupe d’inertie I_{𝔭} provient, lui, du sous-groupe unité U_{𝔭} de R_{𝔭}.

Ainsi, le sous-groupe engendré par les groupes de décomposition D_{𝔭}(K^{ab}/K^{c}) est Gal(K^{lc}/K^{c}) ≃ ŨR/R, et celui engendré par les sous-groupes d’inertie I_{𝔭}(K^{ab}/K^{c}) est Gal(K^{cr}/K^{c}) ≃ ÛR/R ; d’où les résultats annoncés. Remarque. Nous avons vu que K^{cr} est intermédiaire entre l’extension localement cyclotomique K^{lc} et celle ℓ-ramifiée K^{ℓr}. Or les rangs ℓ-adiques de ces dernières extensions (i.e. le nombre de ℤ_{ℓ}-extensions linéairement indépendantes qu’elles contiennent) sont indépendants du nombre premier ℓ (du moins sous les conjectures standard), puisqu’on a rg Gal(K^{ℓr}/K) = c + 1 (sous la conjecture de Leopoldt) et rg Gal(K^{lc}/K) = 1 (sous celle de Gross). Mais il n’en va pas de même pour l’extension K^{cr} qui dépend effectivement de façon non triviale de la nature des places de K au-dessus de ℓ.

Ce dernier point apparait clairement sur les deux exemples limites suivants :

Proposition 3. (i) Supposons que K admette une unique place 𝔩 au dessus de ℓ (autrement dit que ℓ ne se décompose pas dans l’extension K/ℚ). Alors l’extension cyclotomiquement ramifiée maximale K^{cr} est de degré fini sur l’extension localement cyclotomique maximale K^{lc}. En particulier, si K vérifie la conjecture de Gross, le rang ℓ-adique du groupe de Galois Gal(K^{cr}/K) est égal à 1.

(ii) Supposons au contraire que ℓ soit complètement décomposé dans l’extension K/ℚ. Alors l’extension ℓ-ramifiée maximale K^{ℓr} est de degré fini sur l’extension cyclotomiquement ramifiée maximale K^{cr}. En particulier, si K vérifie la conjecture de Leopoldt, le rang ℓ-adique du groupe de Galois Gal(K^{cr}/K) est égal à 1 + c.

Preuve. (i) Lorsque K admet une unique place 𝔩 au-dessus de ℓ, le ℤ_{ℓ}-module U_{ℓ}ℓ^{ℤ_{ℓ}} engendré par le sous-groupe unité U_{ℓ} = U_{𝔩} et l’image du nombre ℓ est d’indice fini dans R_{ℓ} = R_{𝔩}. Et comme ℓ est une norme cyclotomique, il en résulte que Ũ_{ℓ} contient Ũ_{ℓ}ℓ^{ℤ_{ℓ}} avec un indice fini.

(ii) Inversement, lorque ℓ est complètement décomposé dans K/ℚ, chaque complété K_{𝔩} au dessus de ℓ est égal à ℚ_{ℓ}, et il suit : Ũ_{ℓ} = ∏_{𝔩 | ℓ} Ũ_{𝔩} = ∏_{𝔩 | ℓ} μ_{𝔩}ℓ_{𝔩}^{ℤ_{ℓ}}, où μ_{𝔩} est le ℓ-groupe des racines de l’unité dans K_{𝔩} = ℚ_{ℓ} et ℓ_{𝔩} l’image dans R_{𝔩} du nombre premier ℓ. Il vient ainsi : Û_{𝔩} = μ_{𝔩}, pour 𝔩|ℓ ; puis ÛR = (∏_{𝔭∤∞} μ_{𝔭})R, et ce dernier groupe contient bien (∏_{𝔭∤ℓ∞} μ_{𝔭}) R avec un indice fini.

Bien entendu, sous les conjectures d’indépendance ℓ-adique standard, il est possible de préciser ces résultats. Ainsi :

Proposition 4. Lorsque K est une extension quadratique totalement imaginaire d’un sous-corps totalement réel K_{+} qui vérifie la conjecture de Leopoldt (pour le nombre premier ℓ), le rang ℓ-adique du groupe de Galois Gal(K^{cr}/K) est égal à 1 + s^{−}, où s^{−} est le nombre de places sauvages de K_{+} (i.e. de places au-dessus de ℓ) qui se décomposent dans K/K_{+}.

Preuve. Comparons K^{cr} au ℓ-corps des classes de Hilbert (au sens restreint) K^{nr}. Nous obtenons immédiatement :

Gal(K^{cr}/K^{nr}) ≃ UR/ÛR ≃ U_{ℓ}/Û_{ℓ} E_{ℓ},

si E_{ℓ} = s_{ℓ}(E) désigne l’image du ℓ-adifié E = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} E du groupe des unités globales dans celui U_{ℓ} = ∏_{𝔩 | ℓ} U_{𝔩} des unités semi-locales. Or, puisque nous ne sommes intéressés que par le rang ℓ-adique, nous pouvons raisonner à un fini près et écrire en particulier U_{ℓ} ∼ U_{ℓ}^{+}⊕ U_{ℓ}^{−}, en faisant apparaitre les composantes propres de U_{ℓ} pour l’action de la conjugaison complexe. Et nous avons ainsi :

- d’un côté (U_{ℓ}/Û_{ℓ}s_{ℓ}(E))^{+} ∼ ℤ_{ℓ}, en vertu de la conjecture de Leopoldt ;

- de l’autre (U_{ℓ}/Û_{ℓ}s_{ℓ}(E))^{−} ∼ (U_{ℓ}/Û_{ℓ})^{−} ≃ ℤ_{ℓ}^{s^{−}}, en l’absence d’unités imaginaires ; d’où le résultat annoncé.

Corollaire 5. Sous la conjecture de Leopoldt, le rang ℓ-adique du groupe de Galois Gal(K^{cr}/K) est au plus 2 dans chacun des deux cas particuliers suivants :

(i) Lorsque K est une extension quadratique totalement imaginaire d’un souscorps totalement réel K_{+} dont au plus une place au-dessus de ℓ est décomposée par la conjugaison complexe.

(ii) Lorsque K possède au plus une place complexe.

Preuve. C’est clair. Remarque. Plusieurs familles infinies de corps qui satisfont l’hypothèse (ii) du corollaire sont connues pour vérifier également la conjecture de Leopoldt. Ainsi :

(i) Tous les corps quadratiques.

(ii) Tous les corps cubiques qui ne sont pas totalement réels, en particulier les corps cubiques purs ℚ[^{3}\sqrt{m}], pour lesquels le nombre de Dirichlet r +c−1 vaut 1.

(iii) Certaines familles de corps quintiques qui admettent S_{5} pour groupe de Galois de leur clôture galoisienne (cf. [BS]).

3.- Critère arithmétique de semi-simplicité.

Considérons un instant une ℤ_{ℓ}-extension arbitraire K_{∞} = ∪_{n∈ℕ}K_{n} d’un corps de nombres K. Pour chaque entier naturel n, notons Cℓ_{K_{n}} le ℓ-groupe des classes de diviseurs du corps K_{n} (i.e. le ℓ-sous-groupe de Sylow de son groupe de classes d’idéaux pris au sens restreint), et écrivons

C_{K_{∞}} = \underleftarrow{lim} Cℓ_{K_{n}}

leur limite pour le système projectif des applications normes, qui s’identifie, via l’isomorphisme du corps de classes, au groupe de Galois Gal(K_{∞}^{nr}/K_{∞}) de la pro-ℓ-extension abélienne non ramifiée (aux places finies) maximale de K_{∞}. Si γ désigne un générateur topologique du groupe procyclique Γ =Gal(K_{∞}/K), et Λ = ℤ_{ℓ}[[γ − 1]] l’algèbre d’Iwasawa associée à Γ, le groupe obtenu C_{K_{∞}} est un Λ-module noethérien et de torsion, et nous nous proposons d’étudier s’il est semi-simple en γ − 1 (autrement dit si ω_{0} = γ − 1 n’est pas un facteur carré de son polynôme minimal) ; et, plus généralement, s’il est semi-simple en ω_{n} = (γ^{ℓ^{n}} −1)/(γ^{ℓ^{n−1}} −1) pour n ≥ 1 (autrement dit s’il est encore semi-simple en γ^{ℓ^{n}} − 1 lorsqu’on l’étudie comme ℤ_{ℓ}[[γ^{ℓ^{n}} − 1]]-module).

Disons tout de suite que presque tous les résultats de semi-simplicité connus à ce jour reposent in fine sur le critère explicite ou implicite suivant :

Proposition 6. Soit K_{∞} = ∪_{n∈ℕ}K_{n} une ℤ_{ℓ}-extension d’un corps de nombres K, de groupe de Galois Γ = γ^{ℤ_{ℓ}}. Si les deux conditions suivantes sont vérifiées :

i) Les places au-dessus de ℓ sont finiment décomposées dans l’extension procyclique K_{∞}/K ;

(ii) La pro-ℓ-extension abélienne maximale de K (resp. de K_{n}) qui est complètement décomposée sur K_{∞} aux places qui divisent ℓ et non ramifiée partout, est de degré fini sur K_{∞} ;

Alors le Λ-module C_{K_{∞}} = \underleftarrow{lim} Cℓ_{K_{n}} est semi-simple en γ − 1 (resp. en γ^{ℓ^{n}} − 1).

Remarques. (i) Lorsque K_{∞} est la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique de K, la condition (ii) ci-dessus est l’une des formulations équivalente de la conjecture de Gross généralisée (cf. par exemple, [J_{3}] IV.2.3 §b) pour le corps K (resp. K_{n}). Elle est donc en particulier satisfaite lorsque K est abélien sur ℚ. Comme expliqué plus loin elle peut être cependant en défaut pour certaines ℤ_{ℓ}-extensions non cyclotomiques lors même que K est abélien sur ℚ.

(ii) La condition (ii) est toujours vérifiée, en revanche, lorsqu’il n’existe qu’une seule place de K qui se ramifie dans K_{∞} : Dans ce dernier cas, en effet, la formule des genres appliquée à l’extension procyclique K_{∞}/K (cf. [J_{3}], III.2.2 §b) montre directement que le groupe C_{K_{∞}}/C_{K_{∞}}^{γ−1} est pseudo-nul. Preuve. Pour chaque n ≥ 0, notons S_{K_{n}} le sous-groupe de Cℓ_{K_{n}} engendré par les classes des diviseurs construits sur les places au-dessus de ℓ, et Cℓ′_{K_{n}} = Cℓ_{K_{n}}/S_{K_{n}} le quotient correspondant. Par passage à la limite projective, nous obtenons la suite exacte courte de Λ-modules (cf. [J_{3}], prop. IV.2.5) :

1 ⟶ S_{K_{∞}} = \underleftarrow{lim} S_{K_{n}} ⟶ C_{K_{∞}} = \underleftarrow{lim} Cℓ_{K_{n}} ⟶ C′_{K_{∞}} = \underleftarrow{lim} Cℓ′_{K_{n}} ⟶ 1 qui nous montre que le polynôme caractéristique du Λ-module C_{K_{∞}} est le produit de ceux associés aux Λ-modules S_{K_{∞}} et C′_{K_{∞}}. Or, écrivons γ_{n} pour γ^{ℓ^{n}} :

- d’un côté, l’hypothèse (i) nous assure que le terme de gauche S_{K_{∞}} est annulé par γ_{n} − 1 dès que n est assez grand, et que de ce fait il est semi-simple en γ_{n} − 1, quel que soit n.

- de l’autre, le quotient C′_{K_{∞}}/C_{K_{∞}}^{′γ_{n}−1} s’interprète par la théorie des genres comme le groupe de Galois Gal(K_{∞}^{cd} ∩ K_{n}^{ab}/K_{∞}) attaché à la pro-ℓ-extension abélienne maximale de K_{n} qui est non ramifié partout et complètement décomposée aux places sauvages sur K_{∞} ; et l’hypothèse (ii) revient à affirmer que le polynôme caractéristique du terme de droite C′_{K_{∞}} est étranger à γ − 1 (resp. γ_{n} − 1).

Ce résultat nous conduit ainsi à la définition suivante :

Définition 7. Nous disons qu’une ℤ_{ℓ}-extension K_{∞} d’un corps de nombres est arithmétiquement semi-simple lorsqu’elle satisfait les deux conditions de la proposition 6.

Cela posé nous avons :

Théorème 8. Si K_{∞} est une ℤ_{ℓ}-extension cyclotomiquement ramifiée d’un corps de nombres K, la pro-ℓ-extension abélienne cyclotomiquement ramifiée maximale K^{cr} de K est exactement la pro-ℓ-extension abélienne maximale de K qui est non ramifiée sur K_{∞}.

En particulier, si Gal(K^{cr}/K) est de rang ≤ 2 (autrement dit si K admet au plus deux ℤ_{ℓ}-extensions cyclotomiquement ramifiées qui soient linéairement indépendantes), les ℤ_{ℓ}-extensions cyclotomiquement ramifiées de K sont arithmétiquement semi-simples si et seulement si K vérifie la conjecture de Gross (pour le nombre premier ℓ).

Preuve. Lorsque Gal(K^{cr}/K) est de rang 1, le corps K admet une unique ℤ_{ℓ}- extension cyclotomiquement ramifiée, à savoir la cyclotomique K^{c}, et celle-ci vérifie alors trivialement la conjecture de Gross, puisque la pro−ℓ-extension abélienne maximale K^{lc} de K qui est complètement décomposée sur K^{c} est contenue dans K^{cr}, donc de degré fini sur K^{c}.

En dehors de ce cas particulier, K admet des ℤ_{ℓ}-extensions cyclotomiquement ramifiées K_{∞} distinctes de la cyclotomique K^{c}. Celles-ci sont infiniment ramifiées aux places sauvages et contenues dans K^{cr}. Par suite, pour chaque place 𝔩 de K au-dessus de ℓ, le groupe d’inertie I_{𝔩}(K^{cr}/K), qui est procyclique, rencontre trivialement Gal(K^{cr}/K_{∞}), ce qui signifie que K^{cr} est non ramifié en 𝔩 (et donc partout) sur K_{∞}, et elle est évidemment maximale sous ces conditions (sans quoi nous pourrions la grossir en une extension N abélienne sur K et non ramifiée sur K^{cr}, donc finalement sur K^{c}).

Ainsi, lorsque Gal(K^{cr}/K) est de rang 2, la conjecture de Gross (pour le corps K et le nombre premier ℓ), qui affirme que la sous-extension maximale K^{lc} de K^{cr} qui est complètement décomposée sur K^{c} est de degré fini sur K^{c}, revient à postuler qu’il existe au moins une place 𝔩 de K au dessus de ℓ qui n’est pas infiniment décomposée dans K^{cr}/K^{c}, autrement dit dont le groupe de décomposition D_{𝔩}(K^{cr}/K) est d’indice fini dans Gal(K^{cr}/K). Pour chaque ℤ_{ℓ}-sous-extension K_{∞} de K^{cr}, la place 𝔩 est donc finiment décomposée dans K^{cr}/K_{∞}, et la sous-extension maximale de K^{cr} qui est complètement décomposée sur K_{∞} est en particulier de degré fini sur K_{∞}, comme annoncé.

Remarques. (i) Sous la conjecture de Leopoldt, la proposition 4 montre que la condition rg Gal(K^{cr}/K) = 2 a lieu, pour K extension quadratique totalement imaginaire d’un sous-corps K_{+} totalement réel, lorsqu’il existe exactement une place de K_{+} au-dessus de ℓ qui se décompose dans K/K_{+} (cf. Cor. 5).

(ii) Si rg Gal(K^{cr}/K) est strictement plus grand que 2, la condition de semi-simplicité pour une ℤ_{ℓ}-extension cyclotomiquement ramifiée K_{∞} de K revient à affirmer que les restrictions à Gal (K^{cr}/K_{∞}) des sous-groupes de décomposition D_{𝔩}(K^{cr}/K) attachés aux places sauvages engendrent un sousmodule d’indice fini de Gal (K^{cr}/K_{∞}). La conjecture de Gross postule que c’est vrai pour K_{∞} = K^{c}, mais ne permet pas de conclure en dehors de ce cas, sans hypothèse supplémentaire.

Bien entendu, le résultat ci-dessus parait trop restrictif pour permettre d’avancer une conjecture suffisamment générale, puisque l’hypothèse faite (rg Gal(K^{cr}/K) ≤ 2) implique des contraintes sévères sur l’arithmétique des extensions étudiées.

Aussi n’est-il pas inutile d’examiner avec une attention particulière le cas abélien, pour lequel les conjectures ℓ-adiques standard (Leopoldt & Gross) se trouvent satisfaites en vertu du théorème de Baker-Brumer (cf. [Br]).

4.- Etude du cas absolument abélien.

Dans ces dernières sections, K désigne désormais un corps de nombres imaginaire absolument abélien, K_{+} son sous-corps réel maximal, et Δ = Gal(K/ℚ) son groupe de Galois.

Pour des raisons de commodité technique, nous supposons que le degré d = [K : ℚ] de K est étranger à ℓ et, plus précisement, que l’exposant du groupe abélien Δ divise ℓ − 1, autrement dit que l’algèbre ℓ-adique du groupe Δ est produit direct de d exemplaires de ℤ_{ℓ} :

ℤ_{ℓ}[Δ] ≃ ⨁_{φ∈Δ^{∗}} ℤ_{ℓ} e_{φ} ,

les idempotents primitifs attachés à cette décomposition étant indexés par le groupe Δ^{∗} des caractères ℓ-adiques irréductibles du groupe Δ et donnés par la formule :

e_{φ} = \frac{1}{d} ∑_{τ∈Δ} φ(τ^{−1})τ.

Pour chaque place p de ℚ, désignons par Δ_{p} le sous-groupe de décomposition associé, notons Δ_{p}^{⊥} = {φ ∈ Δ^{∗} | (φ(Δ_{p}) = 1} son orthogonal dans Δ^{∗}, et écrivons :

χ_{p} = Ind_{Δ_{p}}^{Δ} 1_{Δ_{p}} = ∑_{φ∈Δ_{p}^{⊥}} φ

l’induit à Δ du caractère de la représentation unité du sous-groupe Δ_{p}. En particulier, lorsque p est la place à l’infini, il est commode de dire réels les caractères irréductibles représentés dans χ_{∞}, qui prennent la valeur +1 la conjugaison complexe, et imaginaires les autres (i.e. ceux représentés dans χ_{rég} − χ_{∞}), qui prennent la valeur −1 sur la conjugaison complexe.

Le résultat suivant est alors essentiellement bien connu (cf. [J_{1}] ou [CK_{1}]) :

Proposition 9. Avec les notations ci-dessus, le groupe de Galois Gal(Z/K) de la composée Z des ℤ_{ℓ}-extensions de K est un ℤ_{ℓ}[Δ]-module projectif de caractère χ_{rég} − χ_{∞} + 1.

En d’autres termes, le corps K possède exactement \frac{d}{2} + 1 ℤ_{ℓ}-extensions qui sont absolument galoisiennes, à savoir :

(i) La cyclotomique K^{c}, qui correspond au caractère unité, et dont le groupe

de Galois

Gal(K^{c}/ℚ) ≃ Γ × Δ

est abélien, produit direct du groupe procyclique Γ = γ^{ℤ_{ℓ}} isomorphe à ℤ_{ℓ} par un exemplaire de Δ.

(ii) Les \frac{d}{2} ℤ_{ℓ}-extensions K_{ω}, indexées par les caractères ℓ-adiques irréductibles

imaginaires de Δ, et dont les groupes de Galois Gal(K_{ω}/ℚ) ≃ Γ_{ω} ×_{ω} Δ

sont métaprocycliques, produits semi-directs d’un groupe procyclique Γ_{ω} = γ_{ω}^{ℤ_{ℓ}} isomorphe à ℤ_{ℓ} par un exemplaire de Δ avec les relations :

τγ_{ω} τ^{−1} = γ_{ω}^{ω(τ)}, ∀τ ∈ Δ.

Preuve (d’après [J_{1}]). Comme nous ne sommes intéressés que par les caractères des ℤ_{ℓ}[Δ]-modules étudiés, nous pouvons raisonner à un fini près en remplaçant Z par la pro−ℓ-extension abélienne ℓ-ramifiée maximale K^{ℓr} et K par la sousextension non ramifiée K^{nr} de K^{ℓr}, i.e. Gal(Z/K) par Gal(K^{ℓr}/K^{nr}) ≃ U_{ℓ}/E_{ℓ} (cf. §1, rem. (iv)). Cela étant, le caractère du groupe des unités semi-locales^{3} U_{ℓ} est le caractère régulier χ_{rég} ; et celui de l’image E_{ℓ} = s_{ℓ}(E) du tensorisé E = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} E du groupe des unités globales est χ_{∞} − 1 en vertu du théorème de représentation de Herbrand et du fait que la conjecture de Leopoldt est ici vérifiée. D’où le résultat annoncé.

Considérons maintenant les \frac{d}{2} +1 ℤ_{ℓ}-extensions ainsi obtenues, et comparons celles qui sont cyclotomiquement ramifiées (au sens de la définition 1) et celles qui sont semi-simples (au sens de la définition 7). Hormis le cas spécial où le sous-corps réel K_{+} n’admet qu’une seule place sauvage, la répartition des extensions K_{ω} est en fait extrèmement simple, puisque les résultats de [J_{2}] et de [Ki] peuvent être complétés comme suit :

3Par caractère d’un ℤ_{ℓ}[Δ]-module noethérien M, nous entendons le caractère du ℚ_{ℓ}[Δ]- module ℚ_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} M. Deux ℤ_{ℓ}[Δ]-modules noethériens sont ainsi pseudo-isomorphes si et seulement s’ils définissent le même caractère.

Théorème 10. Soit K un corps abélien imaginaire d’exposant divisant ℓ − 1, dont le sous-corps réel maximal K_{+} possède au moins deux places sauvages (autrement dit tel que la place ℓ admette effectivement de la décomposition dans K_{+}/ℚ). Alors pour chaque caractère ℓ-adique imaginaire irréductible ω du groupe Δ =Gal(K/ℚ), la nature de la ℤ_{ℓ}-extension absolument galoisienne associée K_{ω} est gouvernée par l’alternative suivante :

(i) ou bien ω divise χ_{ℓ}, et l’extension K_{ω} est cyclotomiquement ramifiée et arithmétiquement semi-simple ;

(ii) ou bien ω ne divise pas χ_{ℓ}, et K_{ω} n’est ni cyclotomiquement ramifiée ni arithmétiquement semi-simple.

Remarques. (i) Le degré du caractère de décomposition χ_{ℓ} est le nombre s = s^{+} + s^{−} de places sauvages dans K ; la quantité s^{+} =deg χ_{ℓ}^{+} mesure le nombre de places sauvages dans K_{+}, et la quantité s^{−} =deg χ_{ℓ}^{−} le nombre de places sauvages de K_{+} qui sont décomposées par la conjugaison complexe. Dans le cas spécial s^{+} = 1, on a s^{−} ≤ 1 et K possède donc au plus une ℤ_{ℓ}-extension absolument galoisienne cyclotomiquement ramifiée en sus de la cyclotomique K^{c}. Elle est arithmétiquement semi-simple en vertu du théorème 8.

(ii) la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique K^{c}, qui correspond elle au caractère unité, est évidemment cyclotomiquement ramifiée. Elle est également semisimple en vertu du résultat de Greenberg (cf. [Gr]).

5.- Démonstration du théorème énoncé.

Déterminons d’abord le caractère du groupe de galois Gal(K^{cr}/K) de la proℓ-extension abélienne cyclotomiquement ramifiée K^{cr} de K. Introduisons pour cela la sous-extension non ramifié maximale K^{nr} de K^{cr}. D’après le théorème 2, la théorie ℓ-adique du corps de classes nous donne l’isomorphisme

Gal(K^{cr}/K^{nr}) ≃ U R/Û R ≃ U_{ℓ}/Û_{ℓ} E_{ℓ},

où U_{ℓ} = ∏_{𝔩|ℓ} U_{𝔩} est le groupe des unités semi-locales, Û_{ℓ} = ∏_{𝔩|ℓ} Û_{𝔩} le sousgroupe des normes cyclotomiques dans U_{ℓ}, et E_{ℓ} l’image semi-locale du tensorisé E = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} E du groupe des unités globales. L’expression explicite des valeurs absolues ℓ-adiques montre alors que Û_{ℓ} est le noyau dans U_{ℓ} de la norme locale N_{ℓ} = ∑_{τ∈Δ_{ℓ}} τ = |Δ_{ℓ}| ∑_{φ∈Δ_{ℓ}^{⊥}} e_{φ}, autrement dit que le quotient U_{ℓ}/Û_{ℓ} est un ℤ_{ℓ}[Δ]-module projectif de caractère χ_{ℓ}.

Les ℤ_{ℓ}-extensions de K qui sont absolument galoisiennes et cyclotomiquement ramifiées sur K sont ainsi exactement celles attachées aux caractères ℓadiques irréductibles ω de Δ qui sont représentés dans χ_{ℓ} mais non dans χ_{∞} −1, c’est-à-dire en fin de compte :

- la cyclotomique K^{c}, qui correspond au caractère unité,

- et celles métaprocycliques K_{ω} qui sont associées aux diviseurs imaginaires du caractère χ_{ℓ}.

Reste alors à voir que celles-ci sont semi-simples, et que les autres ne le sont pas ! Introduisons pour cela quelques notations : Faisons choix dans le souscorps de décomposition K^{Δ_{ℓ}} de ℓ dans K d’un générateur ε d’une puissance principale non nulle de l’un des idéaux 𝔩_{0} au-dessus de ℓ, et notons V = ε^{ℤ[Δ]} le ℤ[Δ]-module multiplicatif engendré par ε, puis V = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} V son tensorisé ℓ-adique, et V_{ℓ} l’image de V dans R_{ℓ} = ∏_{𝔩|ℓ} R_{𝔩}, qui est donc un sous-module projectif de caractère χ_{ℓ}. En particulier, R_{ℓ} contient U_{ℓ} V_{ℓ} comme sous-module d’indice fini.

Cela posé, pour chaque caractère ℓ-adique irréductible ω de Δ, unité ou imaginaire, et pour chaque place 𝔩 de K au-dessus de ℓ, désignons par R_{𝔩}^{ω} le sousmodule fermé de R_{𝔩} formé des normes locales en 𝔩 dans l’extension procyclique K_{ω}/K ; notons U_{𝔩}^{ω} = R_{𝔩}^{ω} ∩ U_{𝔩} son sous-groupe unité ; et formons les groupes semi-locaux R_{ℓ}^{ω} = ∏_{𝔩|ℓ} R_{𝔩}^{ω} et U_{ℓ}^{ω} = ∏_{𝔩|ℓ} U_{𝔩}^{ω}. Distinguons alors deux cas suivant ω divise χ_{ℓ} ou non :

Lemme 11. Supposons ω|χ_{ℓ} (i.e. K_{ω} ⊂ K^{cr}). Dans ce cas le sous-module V_{ℓ}R_{ℓ}^{ω} est un pseudo-hyperplan^{4} du ℤ_{ℓ}-module R_{ℓ}. En particulier, les groupes de décomposition D_{𝔩}(K^{cr}/K_{ω}) attachés aux places au-dessus de ℓ dans l’extension K^{cr}/K_{ω} engendrent un sous-groupe d’indice fini de Gal(K^{cr}/K_{ω}) ; de sorte que la ℤ_{ℓ}-extension K_{ω}/K est bien semi-simple au sens de la définition 7.

Preuve. Puisque R_{ℓ} contient U_{ℓ}V_{ℓ} comme sous-module d’indice fini, la première assertion du lemme revient à affirmer que V_{ℓ}R_{ℓ}^{ω} ∩U_{ℓ} est un pseudo-hyperplan de U_{ℓ}. Or l’hypothèse K_{ω} ⊂ K^{cr}, transportée par le corps de classes, nous donne Û_{ℓ} ⊂ R_{ℓ}^{ω} donc Û_{ℓ} ⊂ (V_{ℓ}R_{ℓ}^{ω} ∩ U_{ℓ}). Ainsi, comme U_{ℓ} est un ℤ_{ℓ}[Δ]-module de caractère régulier, et Û_{ℓ} son sous-module annulé par N_{ℓ} = |Δ_{ℓ}| ∑_{φ∈Δ^{⊥}} e_{φ}, tout revient à vérifier que V_{ℓ} R_{ℓ}^{ω} ∩ U_{ℓ} ne peut être simultanément annulé par deux idempotents distincts e_{φ} et e_{ψ} associés à deux caractères de Δ_{ℓ}^{⊥}. Observons pour cela que la ℤ_{ℓ}-extension K_{ω}/K étant presque totalement ramifiée, nous pouvons trouver un élément π_{ω} de R_{𝔩_{0}}^{ω} qui n’est pas dans U_{𝔩_{0}}, disons de valuation v_{0} > 0, de sorte que la quantité :

η = ε^{v_{0}} π_{ω}^{−v_{𝔩0} (ε)} est dans U_{ℓ} ∩ V_{ℓ}R_{ℓ}^{ω}.

Si donc nous avions η^{e_{φ}} = η^{e_{ψ}} = 1, et, par suite, η^{e_{φ}−e_{ψ}} = 1, pour deux caractères distincts φ et ψ de Δ_{ℓ}^{⊥}, nous obtiendrons, en prenant les 𝔩_{0}-composantes puis les logarithmes 𝔩_{0}-adiques :

0 = ∑_{τ∈Δ_{ℓ}}(φ(τ^{−1}) − ψ(τ^{−1})) Log_{𝔩_{0}} η^{τ} = ∑_{τ∈Δ_{ℓ}\{1}}(φ(τ^{−1}) − ψ(τ^{−1})) Log_{𝔩_{0}} ε^{τ} ,

une combinaison linéaire à coefficients algébriques de logarithmes 𝔩_{0}-adiques d’unités 𝔩_{0}-adiques algébriques et ℤ-multiplicativement indépendantes, contrairement au théorème de Baker-Brumer ; ce qui établit la première assertion.

4Par pseudo-hyperplan d’un ℤ_{ℓ}-module M nous entendons tout sous-module N tel que le quotient M/N soit pseudo-isomorphe à ℤ_{ℓ}.

La seconde en résulte aussitôt, puisque dans le pseudo-isomorphisme donné par le corps de classes :

Gal(K^{cr}/K) ∼ U_{ℓ}/ŨŨ_{ℓ} E_{ℓ} ∼ R_{ℓ}/Ũ_{ℓ}V_{ℓ}E_{ℓ} ,

le sous-module engendré par les sous-groupes de décomposition D_{𝔩}(K^{cr}/K_{ω}) correspond à l’image R_{ℓ}^{ω}(Ũ_{ℓ}V_{ℓ}E_{ℓ})/Ũ_{ℓ}V_{ℓ}E_{ℓ} du sous-groupe R_{ℓ}^{ω} de R_{ℓ}.

Lemme 12. Supposons ω ∤ χ_{ℓ} (i.e. K_{ω} ⊄ K^{cr}). Dans ce cas, le sous-module V_{ℓ}U_{ℓ}^{ω} est d’indice fini dans le groupe V_{ℓ}R_{ℓ}^{ω}. En particulier la pro-ℓ-extension abélienne maximale K_{ω}^{nr} de K_{ω} qui est non ramifiée est de degré fini sur celle K_{ω}^{cd} qui est non-ramifiée et ℓ-décomposée ; de sorte que la condition de semisimplicité [K_{ω}^{cd} : K_{ω}] < ∞ est alors vérifiée si et seulement si on a χ_{ℓ} ∧χ_{∞} = 1, c’est à dire lorsqu’il n’existe qu’une seule place au-dessus de ℓ dans le sous-corps réel maximal K_{+} de K.

Preuve. Partons du pseudo-isomorphisme Gal(Z/K) ∼ U_{ℓ}/E_{ℓ} donné par le corps de classes. Puisque l’hyperplan Gal(Z/K_{ω}) de Gal(Z/K) qui fixe K_{ω} est le noyau de l’idempotent e_{ω}, et que ω n’est pas représenté dans E_{ω}, le sous-groupe U_{𝔩}^{ω} des unités locales de U_{𝔩} qui sont normes dans l’extension procyclique K_{ω}/K est encore le noyau dans U_{𝔩} cet idempotent. En particulier, le groupe semi-local U_{ℓ}^{ω} = ∏_{𝔩|ℓ} U_{ℓ}^{ω} est donc le sous-module pur de U_{ℓ} de caractère :

ω(χ_{règ} − χ_{ℓ}) = χ_{règ} − ωχ_{ℓ} .

Définissons alors η comme précédemment. Puisque χ_{ℓ} et ωχ_{ℓ} sont étrangers par hypothèse, il suit que U_{ℓ}^{ω} contient nécessairement le sous-module η^{ℤ_{ℓ}[Δ]} engendré par η. Et le ℤ_{ℓ}-module U_{𝔩_{0}}^{ω} · π_{ω}^{v_{𝔩0} (ε)}, qui est d’indice fini dans R_{𝔩_{0}}, est ainsi contenu dans V_{ℓ}U_{ℓ}^{ω}. Transportée par le corps de classes, cette inclusion nous dit alors que le sous-groupe de décomposition de la place 𝔩_{0} dans l’extension non ramifiée K_{ω}^{nr}/K_{ω} est fini, autrement dit que K_{ω}^{nr} est de degré fini sur K_{ω}^{cd}.

Cela étant, comme le groupe de Galois Gal(K_{ω}^{nr}/K) ∼ U_{ℓ}/U_{ℓ}^{ω} E_{ℓ} a pour caractère ωχ_{ℓ} ∧ (1 + ωχ_{∞}) = ω(χ_{ℓ} ∧ χ_{∞}), la condition de semi-simplicité [K_{ω}^{cd} : K_{ω}] < ∞, qui s’écrit ici [K_{ω}^{nr} : K_{ω}] < ∞, se lit en termes de caractère : ω = ω(χ_{ℓ} ∧ χ_{∞}), i.e. χ_{ℓ} ∧ χ_{∞} = 1, et exprime simplement que Δ_{ℓ} et Δ_{∞} engendrent conjointement Δ ou, si l’on préfère, qu’il n’existe qu’une seule place au-dessus de ℓ dans le sous-corps réel maximal K_{+} de K.

6.- Semi-simplicité algébrique et semi-simplicité arithmétique.

Il est naturel de se demander si le critère suffisant de semi-simplicité donné dans la section 3 est également nécessaire, autrement dit si toute ℤ_{ℓ}-extension K_{∞} d’un corps de nombres qui est algébriquement semi-simple (au sens de l’introduction) l’est encore arithmétiquement (i.e. au sens de la définition 7). Pour aborder cette question, il est alors essentiel de disposer d’un procédé permettant de construire des ℤ_{ℓ}-extensions qui ne soient pas algébriquement semisimples, ce que donne précisément la théorie des genres :

Supposons toujours K_{∞} métaprocyclique sur ℚ ; conservons les notations de la section 4 et notons en particulier ω le caractère ℓ-adique qui définit l’action de Δ = Gal(K/ℚ) sur Γ = Gal(K_{∞}/K). Observons maintenant que si le groupe de Galois C_{K_{∞}} est semi-simple en γ−1, son quotient des genres^{Γ}C_{K_{∞}} = C_{K_{∞}}/C_{K_{∞}}^{γ−1} et son sous-groupe ambige C_{K_{∞}}^{Γ} sont alors pseudo-isomorphes comme ℤ_{ℓ}[Δ]- modules donc définissent le même caractère. Or celui-ci est bien connu : D’après [J_{3}] (cf. th.III.2.21), le caractère du quotient des genres est le p.g.c.d.

β = ω(χ_{ℓ} − 1) ∧ ωχ_{∞} ,

tandis que celui du sous-groupe ambige est donné, par une extension convenable de la classique formule de Chevalley (cf. [J_{3}], th.III.1.20), comme somme de deux caractères entiers, par la formule

α = (χ_{ℓ} − χ_{1}ω^{−1}) + (χ_{2}ω^{−1} − ((χ_{ℓ} − 1) ∧ χ_{∞})ω^{−1}) ,

où χ_{1} et χ_{2} sont les caractères respectifs des groupes de cohomologie H^{1}(Γ, E_{K_{∞}}) et H^{2}(Γ, E_{K_{∞}}) construits sur le tensorisé ℓ-adique du groupe des unités de K_{∞}. Et comme le caractère unité n’est pas représenté dans χ_{2}, l’inégalité résultante

α ≤ χ_{ℓ} + χ_{2} ω^{−1} ,

montre que l’inverse ω^{−1} du caractère ω n’est pas représenté dans α, dès qu’il ne l’est pas dans χ_{ℓ}, en d’autres termes que l’on a :

< α, ω^{−1} >= 0, pour ω ∤ χ_{ℓ} ;

tandis que l’expression de β donnée ci-dessus conduit à l’égalité :

< β, ω^{−1} >= 1, pour ω^{2} | (χ_{ℓ} − 1) ,

puisque la condition ω^{2} | χ_{∞} est toujours vérifiée.

Telle est la clef des premiers contre-exemples produits dans [J_{2}] et repris sous une forme générale sensiblement différente par Kisilevsky dans [Ki]. En résumé, le théorème principal énoncé dans la section 4 peut donc être précisé comme suit :

Scolie 13. Sous les hypothèses du théorème 10, la ℤ_{ℓ}-extension métaprocyclique K_{ω} attachée au caractère ℓ-adique imaginaire irréductible ω n’est pas algébriquement semi-simple dès lors que ω vérifie les deux conditions :

(i) ω ∤ χ_{ℓ}, autrement dit K_{ω} n’est pas arithmétiquement semi-simple ;

(ii) ω^{2} | (χ_{ℓ} − 1).

Remarque. La théorie des genres ne permet pas de conclure si l’hypothèse (ii) est en défaut. Par exemple, lorsque l’ordre du sous-groupe de décomposition Δ_{ℓ} est impair, on a ω |_{Δ_{ℓ}}≠ 1 ⇔ ω^{2} |_{Δ_{ℓ}}≠ 1 i.e. ω ∤ χ_{ℓ} ⇔ ω^{2} ∤ χ_{ℓ}, et les conditions (i) et (ii) sont incompatibles.

Lorsque Δ_{ℓ} est pair, en revanche, les conditions (i) et (ii) expriment que ω doit être un caractère de Δ qui n’est pas d’ordre 2 (c’est-à-dire que l’extension K_{ω}/ℚ ne provient pas, par composition avec une extension absolument abélienne, d’une extension prodiédrale de ℚ), mais dont la restriction au sous-groupe Δ_{ℓ} est d’ordre 2.

Références

[Br] A. Brumer, On the units of algebraic number fields, Mathematica 14 (1967), 121–124.

[BS] J. Buchmann & J. Sands, Leopoldt’s conjecture in parametrized families, Proc. Amer. Math. Soc. 104 (1988), 43–49.

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[CK_{2}] J. Carroll & H. Kisilevsky, On the Iwasawa invariants of certain ℤ_{p}- extensions, Compositio Math. 49 (1983), 217–229.

[FG] L.J. Federer & B.H. Gross, (whith an appendix by W. Sinnot) Regulators and Iwasawa modules, Invent. Math. 62 (1981), 443–457.

[Gr] R. Greenberg, On a certain ℓ-adic representation, Invent. Math. 21 (1973), 117–124.

[Iw] K. Iwasawa, On ℤ_{ℓ}-extensions of algebraic number fields, Ann. of Math. 98 (1973), 243–326.

[J_{1}] J.-F. Jaulent, Théorie d’Iwasawa des tours métabéliennes, Sém. Th. Nombres Bordeaux (1980/81), exp. n^{∘}21.

[J_{2}] J.-F. Jaulent, Sur la théorie des genres dans les toursmétabéliennes, Sém. Th. Nombres Bordeaux (1981/82), exp. n^{∘}24.

[J_{3}] J.-F. Jaulent, L’arithmétique des ℓ-extensions (Thèse d’Etat), Pub. Math. Fac. Sci. Besançon Théor. Nombres 1984-85 & 1985/86, fasc. 1 (1986), 1–349.

[Ki] H. Kisilevsky, Some non-semi-simple Iwasawa modules, Compositio Math. 49 (1983), 399–404.

Jean-François Jaulent  Jonathan W. Sands
Université Bordeaux 1  Department of Mathematics
Institut de Mathématiques  and Statistics
351, cours de la Libération  University of Vermont
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