Sur les normes cyclotomiques et les conjectures de Leopoldt et de Gross-Kuz’min^{∗}

Jean-François Jaulent

Résumé. À la lumière de la Théorie ℓ-adique du corps de classes, nous dressons un bref panorama des propriétés arithmétiques des groupes de normes cyclotomiques en liaison avec les conjectures de Leopoldt et de Gross. Nous revenons pour les compléter sur quelques résultats classiques que nous illustrons au moyen des classes et unités logarithmiques par divers exemples et contre-exemples obtenus avec PARI.

Abstract. We use ℓ-adic class field theory to take a new view on cyclotomic norms and Leopoldt or Gross-Kuz’min conjectures. By the way we recall and complete some classical results. We illustrate the logarithmic approach by various numerical examples and counter-examples obtained with PARI.

Introduction

Le groupe des ℓ-normes cyclotomiques, i.e. des éléments du ℓ-adifié R_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} K^{×} du groupe multiplicatif d’un corps de nombres K qui sont normes dans tous les étages finis K_{n}/K de la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique K_{∞} de ce corps, joue un rôle crucial dans notre compréhension de l’arithmétique de ses pro-ℓ-extensions abéliennes.

Or ce groupe est de nature irréductiblement ℓ-adique et ne peut être compris en profondeur si on tente de le le regarder (ou si l’on essaie de le définir) comme le ℓ-adifié d’un sous-groupe naturel (ou naïf) du groupe multiplicatif K^{×} : c’est intrinsèquement un sous-module de R_{K} qui ne provient pas en général (par ℓ-adification) d’un tel sous-groupe du groupe K^{×}.

La Théorie ℓ-adique du corps de classes (cf. [23, 28] ou [16]), qui permet de travailler avec les objets ℓ-adiques comme s’ils étaient des objets classiques, fournit en revanche un cadre conceptuel efficace pour en mener l’étude. Plus précisément, l’introduction des classes et unités logarithmiques permet d’interpréter ce groupe des normes cyclotomiques comme un groupe d’unités, analogue au ℓ-adifié E_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} E_{K} du groupe des unités au sens habituel, en lien avec un groupe de classes, qui est le pendant logarithmique du ℓ-groupe des classes d’idéaux au sens habituel.

Ces groupes logarithmiques possèdent un comportement à certains égards très voisin de ceux des groupes classiques (cf. [27]), quelquefois différents (cf. [29]). Ils mettent en jeu des conjectures encore ouvertes – on ne sait pas, par exemple si le ℓ-groupe des classes logarithmiques est fini en dehors du cas abélien et de quelques autres (cf. [21, 22]) – mais sont totalement effectifs en ce sens que pour un corps de nombres K et un premier ℓ donnés, on dispose d’algorithmes permettant de les calculer tout comme leurs analogues standard. De plus, comme observé dans [18], de par leurs propriétés de descente, ces groupes se révèlent bien adaptés à la théorie d’Iwasawa cyclotomique.

Le but de cette note est ainsi de revisiter un certain nombre de résultats connus, méconnus ou carrément ignorés, à la lumière de l’arithmétique logarithmique qui apporte des informations précises sur des objets a priori définis en haut de la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique K_{∞}, mais que l’on peut ainsi (au moins partiellement) appréhender à l’aide d’invariants arithmétiques ne faisant intervenir que le corps K, et d’illustrer le tout par des exemples numériques éclairants qui contredisent en particulier une conjecture de Seo [57]. L’approche retenue peut ainsi être regardée comme complémentaire de celle de Movahhedi et Nguyen Quang Do [52] sur les mêmes sujets.

∗Ann. Math. Québec 41 (2017), 119–140.

1. Normes cyclotomiques et unités logarithmiques

Soient K un corps de nombres et K_{∞} = ∪_{n∈ℕ}K_{n} sa ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique. Notons Γ = γ^{ℤ_{ℓ}} le groupe de Galois Gal(K_{∞}/K), identifié à ℤ_{ℓ} par le choix d’un générateur topologique γ et Γ_{n} = Γ^{ℓ^{n}} le sous-groupe ouvert Gal(K_{∞}/K_{n}).

Pour appréhender les problèmes normiques dans la pro-ℓ-extension K_{∞}/K, nous nous appuierons sur la Théorie ℓ-adique du corps de classes, telle qu’exposée dans [23] et [28], qui permet de raisonner sur les extensions infinies comme sur celles finies.

Notons donc J_{K} le ℓ-adifié du groupe des idéles de K, i.e. le produit J_{K} = ∏_{𝔭}^{res} R_{K_{𝔭}} des compactifés ℓ-adiques respectifs R_{K_{𝔭}} = \underleftarrow{lim} K_{𝔭}^{×}/K_{𝔭}^{×ℓ^{m}} des groupes multiplicatifs des complétés K_{𝔭}, restreint aux familles (x_{𝔭})_{𝔭} dont presque tous les éléments tombent dans le sous-groupe unité.

Définition & Proposition 1. Pour chaque place finie 𝔭 le sous-groupe U_{K_{𝔭}} de R_{K_{𝔭}} formé des normes cyclotomiques locales, i.e. des éléments de R_{K_{𝔭}} qui sont normes à chaque étage fini de la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique locale K_{𝔭}^{c}/K_{𝔭}, est par convention le groupe des unités logarithmiques de K_{𝔭} car c’est le noyau de la valuation logarithmique ν̃_{𝔭} à valeurs dans ℤ_{ℓ} définie par la formule :

ν̃_{𝔭} : x_{𝔭} ↦ −\frac{Log_{ℓ} |x_{𝔭}|_{𝔭}}{deg 𝔭} = −\frac{Log_{ℓ} N_{K𝔭/ℚp} (x_{𝔭})}{deg 𝔭},

qui fait intervenir le logarithme d’Iwasawa de la norme locale de x_{𝔭} (cf. [27, 28]).

La Théorie ℓ-adique du corps de classes établit un isomorphisme de groupes topologiques compacts entre le ℓ-groupe des classes d’idèles C_{K} défini comme quotient

C_{K} = J_{K}/R_{K}

de J_{K} par son sous-groupe principal R_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} K^{×} et le groupe de Galois G_{K} = Gal(K^{ab}/K) de la pro-ℓ-extension abélienne maximale de K. Ainsi (cf. [27, 28]) :

Théorème & Définition 2. Dans la correspondance du corps de classes ℓ-adique :

(i) le groupe de normes associé à la plus grande sous-extension K^{lc} de K^{ab} qui est localement cyclotomique (i.e. complètement décomposée sur K_{∞} en chacune de ses places) est le produit U_{K}R_{K} du sous-groupe U_{K} = ∏_{𝔭} U_{K_{𝔭}} des unités logarithmiques locales et de R_{K} ;

(ii) le groupe de normes associé à la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique K^{c} = K_{∞} est le sous-groupe

des idèles de degré nul : J_{K} = {𝔵 = (x_{𝔭})_{𝔭} ∈ J_{K} | deg(𝔵) = ∑_{𝔭} ν̃(x_{𝔭}) deg 𝔭 = 0}. En particulier, le groupe de Galois Gal(K^{lc}/K^{c}) s’identifie au quotient Cℓ_{K} = J_{K}/U_{K}R_{K}.

Nous disons que Cℓ_{K} est le ℓ-groupe des classes logarithmiques du corps K.

Le groupe Cℓ_{K} peut être regardé comme le quotient du groupe Dℓ_{K} = J_{K}/U_{K} des diviseurs logarithmiques (de degré nul) par son sous-groupe principal Pℓ_{K} = R_{K}U_{K}/U_{K} ; le numérateur Dℓ_{K} s’identifie au sous-groupe ˜⊕_{𝔭} ℤ_{ℓ} 𝔭 des diviseurs de degré nul de la somme formelle ⊕_{𝔭} ℤ_{ℓ} 𝔭.

Définition & Théorème 3. Le noyau E_{K} = R_{K} ∩ U_{K} du morphisme d̃iv : x ↦ ∑_{𝔭} ν̃_{𝔭}(x) 𝔭 de R_{K} dans Dℓ_{F} est le groupe des unités logarithmiques (globales) du corps K. Il est donné par la suite exacte :

1 → E_{K} → R_{K} → Dℓ_{K} = ˜⊕_{𝔭} ℤ_{ℓ} 𝔭 → Cℓ_{K} → 1.

Le groupe E_{K} est exactement le sous-groupe des normes cyclotomiques globales de R_{K}.

Preuve. Par construction les éléments de E_{K} sont, en effet, les éléments globaux qui sont normes locales partout dans chacune des sous-extensions finies K_{n}/K de l’extension procyclique K_{∞}/K, donc normes globales dans K_{∞}/K, en vertu du principe ℓ-adique de Hasse (cf. Th. 31 ci-après).

Remarque. Plusieurs auteurs (ainsi [18, 39, 45, 52, 46]) utilisent l’appellation normes universelles pour désigner les éléments qui sont normes à chaque étage fini d’une ℤ_{ℓ}-extension donnée, et même plus spécifiquement normes (locales ou globales) de ℓ-unités : ce sont, en effet, les normes universelles pour un certain foncteur (cf. §7). Il convient de ne pas les confondre avec les normes universelles au sens de la Théorie du corps de classes : dans la théorie classique (cf. e.g. [1]), ces normes universelles sont les éléments de la composante connexe du neutre dans le groupe des classes d’idèles ; dans la théorie ℓ-adique (cf. [16, 23, 28]), cette composante se réduit au neutre.

2. La conjecture de Gross-Kuz’min

Définition 4 (Module de Kuz’min-Tate). Nous appelons module de Kuz’min-Tate d’un corps de nombres K le groupe de Galois T_{K} = Gal(K_{∞}^{cd}/K_{∞}) de la pro-ℓ-extension abélienne maximale de la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique K_{∞} de K qui est complètement décomposée en toutes les places, groupe que la Théorie du corps de classes identifie à la limite projective pour les applications normes \underleftarrow{lim} Cℓ′_{K_{n}} des ℓ-groupes de ℓ-classes Cℓ′_{K_{n}} attachés aux étages finis K_{n} de la tour K_{∞}/K.

L’appellation module de Tate pour désigner le groupe T_{K} a été introduite par Kuz’min [45]. Mais d’autres traditions existent dans le cadre de la Théorie d’Iwasawa. Ainsi dans [23, 24], elle est utilisée pour désigner la limite projective 𝕋_{ℓ} = \underleftarrow{lim} μ_{K_{n}} des ℓ-groupes de racines de l’unité dans la tour cyclotomique K_{∞}/K, lorsque le corps K contient les racines 2ℓ-ièmes de l’unité. C’est pourquoi, pour prévenir toute confusion, nous parlons ici de module de Kuz’min-Tate.

Ce point de vocabulaire précisé, nous avons (cf. [10, 19, 23, 27, 28, 40, 45]) :

Théorème 5 (Conjecture de Gross-Kuz’min). Pour tout corps de nombres K et tout premier ℓ, les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) Le polynôme caractéristique χ_{T_{K}} (X) du Λ-module T_{K} n’est pas divisible par X : χ_{T_{K}} (0) ≠ 0. (ii) Le sous-groupe ambige T_{K}^{Γ} est fini. (iii) Le quotient des genres _{Γ}T_{K} = T_{K}/T_{K}^{(γ−1)} ≃ Cℓ_{K} est fini.

Lorsqu’elles sont réalisées, i.e. lorsque le ℓ-groupe des classes logarithmiques Cℓ_{K} est fini, nous disons que le corps K satisfait la conjecture de Gross-Kuz’min pour le premier ℓ.

Preuve. L’équivalence résulte de la théorie d’Iwasawa ; l’isomorphisme _{Γ}T_{K} ≃ Cℓ_{K} de l’interprétation galoisienne du groupe des classes logarithmiques donnée par le Théorème 2.

Nota. Cette conjecture est référée sous diverses appellations suivant le contexte comme conjecture de Kuz’min, de Gross ou encore de Gross généralisée. On sait notamment par des arguments de transcendance qu’elle est vérifiée par les corps absolument abéliens et quelques autres.

Scolie 6. Le groupe E_{K} des unités logarithmiques de K est le produit :

E_{K} = μ_{K} ℤ_{ℓ}^{r_{K}+c_{K}+δ_{K}^{�}}

du ℓ-sous-groupe μ_{K} des racines globales de l’unité et d’un ℤ_{ℓ}-module libre de rang r_{K} +c_{K} +δ_{K}^{�}, où r_{K} et c_{K} sont respectivement les nombres de places réelles et complexes de K ; et δ_{K}^{�} = dim_{ℤ_{ℓ}} Cℓ_{K} mesure le défaut dans K de la conjecture de Gross-Kuz’min pour le premier ℓ.

Preuve. C’est une conséquence immédiate de la suite exacte restreinte aux ℓ-unités (cf. [10, 27, 28]) : 1 → E_{K} → E′_{K} → Dℓ_{K} = ˜⊕_{𝔭|ℓ} ℤ_{ℓ} 𝔭 → Cℓ_{K} → Cℓ′_{K}.

Remarque. La plupart des modules ℓ-adiques globaux que nous manipulons sont les ℓ-adifiés des groupes usuels attachés à un corps de nombres. Mais ce n’est pas le cas des groupes d’unités logarithmiques, comme le montre le contre-exemple suivant (qui contredit une affirmation de [59]).

Proposition 7. L’image ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} Ẽ_{K} dans R_{K} du sous-groupe Ẽ_{K} = ∩_{n∈ℕ}N_{K_{n}/K}(K_{n}^{×}) de K^{×} formé des éléments qui sont normes (locales comme globales) dans chaque sous-extension finie de la tour K_{∞}/K est contenue dans le groupe des unités logarithmiques ; mais ce dernier n’en est pas, en général, le ℓ-adifié, l’inclusion

ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} Ẽ_{K} ⊂ E_{K}

pouvant être stricte ; ainsi pour K = ℚ[\sqrt{d}] corps quadratique réel dans lequel ℓ est décomposé.

Preuve. Soient K = ℚ[\sqrt{d}] un corps quadratique réel et ℓ ≥ 3 décomposé dans K/ℚ . Le groupe E′_{K} des ℓ-unités de K est le ℤ-module multiplicatif engendré par les quatre éléments −1, ε, ℓ et η, où ε est l’unité fondamentale et η un générateur de la plus petite puissance principale non triviale de l’une des places au-dessus de ℓ. Notons η̄ le conjugué de η. Pour (a, b, c) ∈ ℤ^{3}, l’implication

Log_{ℓ}(±ε^{a}ℓ^{b}η^{c}) = log_{ℓ}(ε^{a}/η̄^{c}) = 0 ⇒ ε^{a}/η̄^{c} = 1 ⇒ a = c = 0

montre que le sous-groupe des normes cyclotomiques naïves Ẽ_{K} est engendré par -1 et ℓ. Il suit : dim_{ℤ} Ẽ_{K} = 1 < 2 = dim_{ℤ_{ℓ}} E_{K} (puisqu’on a ici δ_{K}^{�} = 0 par abélianité).

3. Non trivialité du ℓ-groupe des classes logarithmiques

Étudions maintenant plus attentivement la trivialité de Cℓ_{K} pour un ℓ fixé. Notons comme précédemment K_{∞} = ∪_{n∈ℕ}K_{n} la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique de K et considérons le module de Kuz’min-Tate T_{K} = \underleftarrow{lim} Cℓ′_{K_{n}}, c’est à dire la limite projective des ℓ-groupes de ℓ-classes d’idéaux des étages finis K_{n}, qui s’identifie au groupe de Galois le la pro-ℓ-extension abélienne maximale de K_{∞} qui est complètement décomposée en toutes les places.

Proposition & Définition 8. Les assertions suivantes sont équivalentes :

(i) Le quotient des genres de T_{K} est trivial : Cℓ_{K} = 1.

(ii) Les ℓ-groupes de ℓ-classes Cℓ′_{K_{n}} sont ultimement triviaux : Cℓ′_{K_{n}} = 1 pour n ≫ 0.

(iii) Le module de Kuz’min-Tate T_{K} est trivial : T_{K} = 1. Lorsqu’elles sont vérifiées, nous disons que le corps K est ℓ-logarithmiquement principal.

Preuve. La ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique étant ultimement ramifiée, l’application naturelle T_{K} → Cℓ′_{K_{n}} est ultimement surjective ; d’où l’équivalence (ii) ⇔ (iii). L’équivalence (i) ⇔ (iii) résulte directement, elle, du lemme de Nakayama appliqué au Λ-module noethérien T_{K}.

Il est très facile de vérifier qu’il existe des corps de nombres non logarithmiquement principaux : un algorithme général de calcul du groupe des ℓ-classes logarithmiques, pour un premier ℓ et un corps de nombres K donnés, a ainsi été développé d’abord dans [9], puis, dans une version améliorée, dans [8]. Il en est de même pour ℓ = 2 de versions raffinées prenant en compte la notion de classe logarithmique signée, qui est l’analogue logarithmique des classes d’idéaux au sens restreint [33, 34]. Ces algorithmes sont effectifs et ne présupposent nullement la validité de la conjecture de Gross-Kuz’min : ils vérifient concrètement par le calcul même qu’elle est satisfaite pour le premier ℓ et le corps de nombres K étudiés. Des versions ad hoc plus élémentaires peuvent être mises en œuvre dans les cas de tout petit degré. Ainsi :

Exemple 9 (Corps quadratiques imaginaires non logarithmiquement principaux). Nous listons ci-dessous quelques exemples de couples (K, ℓ) pour lesquels Cℓ_{K} est non trivial.

(i) Pour K = ℚ[\sqrt{−1}], le plus petit premier pour lequel Cℓ_{K} est non trivial est : ℓ = 29 789. (ii) Pour K = ℚ[\sqrt{−5}], le plus petit premier pour lequel Cℓ_{K} est non trivial est : ℓ = 5 881. (iii) Pour K = ℚ[\sqrt{−7}], le plus petit premier pour lequel Cℓ_{K} est non trivial est : ℓ = 19 531. (iv) Pour K = ℚ[\sqrt{−11}], le plus petit premier pour lequel Cℓ_{K} est non trivial est : ℓ = 5.

(v) Pour K = ℚ[\sqrt{−13}], le plus petit premier pour lequel Cℓ_{K} est non trivial est : ℓ = 113. (vi) Pour K = ℚ[\sqrt{−31}], le plus petit premier pour lequel Cℓ_{K} est non trivial est : ℓ = 2.

Pour chacun d’eux, le ℓ-groupe des classes logarithmiques est d’ordre exactement ℓ.

Les calculs –très simples– conduisant à ces résultats ont été effectués à Bordeaux par Bill Allombert à l’aide du logiciel PARI. Comme on peut le voir, la taille du plus petit ℓ donnant un groupe non trivial n’est pas corrélée simplement au discriminant du corps considéré. Les heuristiques amènent par ailleurs à penser que, pour chaque corps quadratique imaginaire K, il existe en fait une infinité de premiers ℓ pour lesquels le ℓ-groupe Cℓ_{K} est non trivial. Ainsi :

Exemple 10 (Groupes de classes logarithmiques du corps quadratique ℚ[\sqrt{−3}]). Pour K = ℚ[\sqrt{−3}], les plus petits premiers ℓ pour lequel Cℓ_{K} est non trivial sont : 13, 181, 2 521, 76 543, 489 061. Dans tous ces cas le ℓ-groupe des classes logarithmiques est d’ordre exactement ℓ.

Pour les corps réels, en revanche, on peut toutefois risquer une conjecture différente :

Conjecture 11. Pour chaque corps quadratique réel K donné, il existe un nombre fini de premiers ℓ pour lesquels le ℓ-groupe des classes logarithmiques de K est non trivial.

Comme un tel corps vérifie trivialement la conjecture de Gross-Kuz’min, la conjecture ci-dessus postule donc que le groupe des classes logarithmiques global d’un corps quadratique réel, i.e. le produit des ℓ-groupes de classes logarithmiques pour tous les premiers ℓ, est un groupe fini.

4. Énoncés de la conjecture de Leopoldt

La conjecture initiale de Leopoldt a été énoncée pour les corps totalement réels. Mais elle vaut, en fait, mutatis mutandis, quelle que soit la signature du corps de nombres considéré. Elle a alors une traduction particulièrement élégante en termes de corps de classes.

Rappelons que la Théorie ℓ-adique du corps de classes (cf. [23, 28]) assure que le ℓ-adifié R_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗K^{×} du groupe multiplicatif d’un corps de nombres K s’injecte naturellement dans le ℓadifié J_{K} du groupe des idèles (défini comme le produit restreint J_{K} = ∏_{𝔭}^{res} R_{K_{𝔭}} des compactifiés ℓ-adiques R_{K_{𝔭}} = \underleftarrow{lim} K_{𝔭}^{×}/K_{𝔭}^{×ℓ^{m}} des groupes multiplicatifs respectifs des complétés de K), ce qui permet de considérer l’intersection

μ_{K}^{loc} = R_{K} ∩ ∏_{𝔭} μ_{K_{𝔭}}

de R_{K} avec les produit des sous-groupes locaux de racines de l’unités (dans les compactifiés R_{K_{𝔭}}), c’est-à-dire le sous-groupe des éléments globaux qui sont localement des racines de l’unité.

Écrivons r_{K} et c_{K} les nombres de places réelles et complexes de K et X_{K} = Gal(M/K) le groupe de Galois de sa pro-ℓ-extension abélienne ℓ-ramifiée ; E_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} E_{K} le ℓ-adifié du groupe des unités E_{K} de K et U_{K_{ℓ}} = ∏_{𝔩|ℓ} U_{K_{𝔩}} le produit des sous-groupes unités des R_{K_{𝔩}} aux places 𝔩 qui divisent ℓ. Soit enfin s_{K} : R_{K} → R_{K_{ℓ}} = ∏_{𝔩|ℓ} R_{K_{𝔩}} l’épimorphisme naturel de semi-localisation.

Avec ces notations, il vient (cf. e.g. [11, 16, 20, 21, 22, 23, 49, 64]) :

Théorème 12 (Conjecture de Leopodt). Pour tout corps de nombres K et tout premier ℓ, les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) Le corps K admet (au plus) c_{K} + 1 ℤ_{ℓ}-extensions indépendantes.

(ii) Le groupe de Galois X_{K} = Gal(M/K) est un ℤ_{ℓ}-module de rang essentiel c_{K} + 1.

(iii) L’application naturelle de E_{K} dans U_{K_{ℓ}} est injective.

(iv) Les idèles principaux localement racines de l’unité sont les racines de l’unité : μ_{K}^{loc} = μ_{K}. Lorsque c’est le cas on dit que le corps K satisfait la conjecture de Leopoldt pour le premier ℓ.

Preuve. Ces équivalences sont bien connues (à l’exception de la dernière, qui l’est moins) et se démontrent immédiatement à l’aide de la Théorie ℓ-adique du corps de classes : les ℤ_{ℓ}-extensions étant ℓ-ramifiées, les conditions (i) et (ii) sont évidemment équivalentes ; si H désigne le ℓ-corps de classes de Hilbert de K, i.e. sa ℓ-extension abélienne non ramifiée maximale, il vient(cf. [28]) :

Gal(M/H) ≃ U_{K}/s_{K}(E_{K}),

où s_{K} est le morphisme de semi-localisation, ce qui donne l’équivalence de (ii) et de (iii), puisque le degré [H : K] est fini et qu’on a : rg_{ℤ_{ℓ}}(U_{K}) = [K : ℚ] = r_{K} + 2c_{K} et rg_{ℤ_{ℓ}}(E_{K}) = r_{K} + c_{K} − 1.

Enfin l’équivalence de (iii) et de (iv) résulte tout simplement du fait que le noyau de s_{K} est formé d’idèles principaux qui sont localement partout des racines de l’unité.

Ici encore le résultat d’indépendance de logarithmes de Baker-Brumer assure que cette conjecture est vérifiée par les corps absolument abéliens et quelques autres. Dans le cas général, il est commode d’en introduire le défaut δ_{K}^{�}, qu’on peut définir comme suit :

Scolie 13. Le groupe μ_{K}^{loc} = R_{K} ∩ ∏_{𝔭} μ_{K_{𝔭}} des idèles principaux qui sont localement partout

racines de l’unité est le produit : μ_{K}^{loc} = μ_{K} ℤ_{ℓ}^{δ_{K}^{�}} du sous-groupe des racines globales de l’unité et d’un ℤ_{ℓ}-module libre de rang fini.

On dit que δ_{K}^{�} mesure le défaut de la conjecture de Leopoldt dans le corps K pour le premier ℓ.

Preuve. Comme sous-module de E_{K} ≃ μ_{K} ℤ_{ℓ}^{r_{K}+c_{K}−1}, le ℤ_{ℓ}-module μ_{K}^{loc} est, en effet, le produit direct de son sous-module de torsion μ_{K} et d’un ℤ_{ℓ}-module libre de rang fini. Remarque. Avec ces notations, le rang essentiel du ℤ_{ℓ}-module X_{K} est ainsi : c_{K} + 1 + δ_{K}^{�} ; et on retrouve ainsi les invariants classiques dans l’étude de ces questions.

Le groupe μ_{K}^{loc} est un sous-groupe du groupe des unités logarithmiques E_{K}. L’image de celui-ci par l’application de semi-localisation s_{K} : R_{K} → ∏_{𝔩|ℓ} R_{K_{𝔩}} est ainsi un ℤ_{ℓ}-module dont le rang essentiel fait apparaître la différence des défauts des conjectures de Gross-Kuz’min et de Leopoldt :

Corollaire 14. On a : dim_{ℤ_{ℓ}} s_{K}(E_{K}) = dim_{ℤ_{ℓ}} E_{K} − dim_{ℤ_{ℓ}} μ_{K}^{loc} = r_{K} + c_{K} + δ_{K}^{�} − δ_{K}^{�}.

5. Conditions algébriques suffisantes de la conjecture de Leopoldt

La trivialité du ℓ-groupe des classes logarithmiques Cℓ_{K} implique trivialement la validité de la conjecture de Gross-Kuz’min pour le corps K et le premier ℓ, laquelle postule simplement la finitude du groupe Cℓ_{K}. En présence des racines ℓ-ièmes de l’unité, elle emporte également, ce qui est moins évident, la validité de la conjecture de Leopoldt pour le corps K et le premier ℓ. Plus précisément :

Théorème 15. Soit K un corps de nombres contenant les racines 2ℓ-ièmes de l’unité. Sous la condition Cℓ_{K} = 1, le corps K satisfait les conjectures de Gross-Kuz’min et de Leopoldt pour le premier ℓ et il en est de même de chacun des étages K_{n} de la tour cyclotomique K_{∞}/K.

Preuve. Que chacun des K_{n} vérifie alors la conjecture de Gross-Kuz’min est immédiat : sous l’hypothèse Cℓ_{K} = 1, on a immédiatement T_{K} = 1, en vertu du lemme de Nakayama et, par suite,

Cℓ_{K_{n}} = 1, pour tout n ∈ ℕ,

puisque les ℓ-groupes de classes logarithmiques des K_{n} sont les quotients T_{K}/T_{K}^{(γ^{ℓ^{n}} −1)} relatifs aux sous-groupes Γ^{ℓ^{n}}. Reste donc à vérifier que la trivialité de T_{K} entraîne la validité de la conjecture de Leopoldt à chaque étage fini K_{n} de la tour cyclotomique.

L’hypothèse μ_{2ℓ} ⊂ K assurant que K_{∞} contient toutes les racines ℓ-primaires de l’unité, nous allons procéder par dualité en utilisant la Théorie de Kummer. Rappelons qu’en vertu des résultats de [23, 24], l’application naturelle de ℜ_{K_{n}} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ} K_{n}^{×} dans ℜ_{K_{∞}} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ} K_{∞}^{×} est injective, ce qui permet de regarder les éléments de ℜ_{K_{n}} comme des radicaux kummériens audessus de K_{∞}.

Considérons donc l’image canonique dans ℜ_{K_{∞}} du sous-groupe μ_{K_{n}}^{loc} = R_{K_{n}} ∩ ∏_{𝔭_{n}} μ_{K_{𝔭n}} de R_{K_{n}} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} K_{n}^{×} formé des idèles principaux qui sont localement partout des racines de l’unité. Comme expliqué plus haut, la conjecture de Leopoldt pour le corps K_{n} (et le premier ℓ) affirme que le groupe μ_{K_{n}}^{loc} se réduit au sous-groupe μ_{K_{n}} des racines globales de l’unité. Lorsqu’elle est en défaut, le radical correspondant (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ})⊗_{ℤ_{ℓ}} μ_{K_{n}}^{loc} est infini et définit une pro-ℓ-extension abélienne non triviale de K_{∞} qui est, par construction, localement triviale partout, c’est-à-dire complètement décomposée en toutes les places ; ce qui contredit la trivialité de T_{K}. D’où le résultat.

Scolie 16. Soit K un corps de nombres contenant les racines 2ℓ-ièmes de l’unité. La conclusion du Théorème vaut encore sous la condition plus faible : T_{K} fini.

Preuve. D’un côté, la finitude du module de Tate T_{K} entraîne celle de tous ses quotients des genres Cℓ_{K_{n}}, donc la conjecture de Gross-Kuz’min dans chacun des K_{n}. D’un autre côté, la preuve montre que T_{K} est infini dès que la conjecture de Leopoldt est en défaut dans l’un des K_{n}.

Plusieurs conditions suffisantes (mais non nécessaires) de la conjecture de Leopoldt pour un premier ℓ donné et un corps K contenant les racines 2ℓ-ièmes de l’unité, ont été proposées, notamment par Bertrandias et Payan [4], en termes de plongements localement cyclotomiques ; par Miki [48, 49], en termes kummériens ; par Gillard [11], en termes de théorie d’Iwasawa.

Comme expliqué dans [22, 23], toutes ces conditions sont en fait rigoureusement équivalentes à la trivialité du groupe des classes logarithmiques, c’est-à-dire à la condition suffisante du Théorème 15. Par exemple la condition donnée dans [11] s’écrit : T_{K} = 1. D’après le Théorème 8, elle s’écrit aussi bien Cℓ_{K} = 1.

L’intérêt majeur de la description que nous donnons, outre d’uniformiser ces diverses conditions, est de les traduire directement, via le corps de classes ℓ-adique, en termes d’invariants arithmétiques effectivement calculables du corps considéré.

La notion de corps de nombres ℓ-rationnel ou ℓ-régulier (cf. [13, 14, 32, 50, 51]) et ses généralisations (cf. [5, 35, 36]) permet ainsi de construire des tours infinies de corps de nombres non abéliens sur ℚ, qui satisfont les conjectures de Leopodt et de Gross-Kuz’min pour des raisons purement algébriques, et qui restent, pour l’instant, inaccessibles aux méthodes transcendantes. Remarque. En présence des racines 2ℓ-ièmes de l’unité, transposée par la Théorie de Kummer, la conjecture de Leopodt exprime la finitude du sous-groupe des points fixes d’un tordu à la Tate convenable du module de Kuz’min-Tate T_{K}. Ce point est précisé en fin de section 9.

6. Trivialité du sous-module ambige du module de Kuz’min-Tate T_{K}^{Γ}

Plutôt que de tester la trivialité du module de Kuz’min-Tate T_{K} sur son quotient des genres ΓT_{K} ≃ Cℓ_{K}, intéressons-nous à son sous-groupe des points fixes T_{K}^{Γ}.

D’évidence, on a les implications : _{Γ}T_{K} = 1 ⇔ T_{K} = 1 ⇒ T_{K}^{Γ} = 1 ; mais il peut arriver que T_{K}^{Γ} soit trivial sans que T_{K} le soit.

La condition T_{K}^{Γ} = 1 est ainsi plus faible que la condition suffisante étudiée dans la section précédente. Néanmoins, et contrairement à une conjecture de Seo (cf. [57], §3), il peut arriver qu’elle soit en défaut. Pour voir cela, partons de l’interprétation classique du groupe T_{K}^{Γ} :

Théorème 17. Le sous-groupe ambige T_{K}^{Γ} du module de Kuz’min-Tate s’identifie au quotient E_{K}/N_{K_{∞}/K}(E_{K_{∞}}) du ℓ-groupe des unités logarithmiques par le sous-groupe des normes cyclotomiques d’unités logarithmiques :

T_{K}^{Γ} ≃ E_{K}/N_{K_{∞}/K}(E_{K_{∞}}).

Preuve. Ce résultat est essentiellement bien connu au vocabulaire près (cf. [45, 57, 58, 59] ou encore [39] dans un contexte plus général), et remonte au travail de Kuz’min cité ci-dessus ([45], Prop. 7.5), mais certaines des démonstrations proposées ailleurs étant erronées (du fait d’une confusion malheureuse entre unités logarithmiques au sens naïf et au sens ℓ-adique), nous en redonnons ci-dessous une preuve très simple basée sur l’arithmétique des classes ambiges.

Faisons choix d’un ensemble fini S de places finies de K contenant les places au-dessus de ℓ et suffisamment gros pour que le ℓ groupe Cℓ_{K}^{S} des S-classes d’idéaux de K soit trivial ; et appliquons les isomorphismes des classes ambiges de Chevalley (cf. [6, 23]) aux ℓ-groupes de S-classes des corps K_{n}. Puisque par hypothèse les S-classes d’idéaux ambiges sont triviales (du fait que S contient à la fois les places ramifiées dans K_{n}/K et un système de générateurs des classes étendues), il existe un isomorphisme canonique :

Cℓ_{K_{n}}^{S Γ_{n}} ≃ (E_{K}^{S} ∩ N_{K_{n}/K}(R_{K_{n}})/N_{K_{n}/K}(E_{K_{n}}^{S})

obtenu en envoyant la classe ambige d’un S-idéal 𝔄 sur l’image par la norme d’un générateur α du S-idéal principal 𝔄^{(γ−1)}. Par passage à la limite projective, il suit :

T_{K}^{S Γ} = \underleftarrow{lim} Cℓ_{K_{n}}^{S Γ} ≃ (E_{K}^{S} ∩ N_{K_{∞}/K}(R_{K_{∞}})/N_{K_{∞}/K}(E_{K_{∞}}^{S}).

(i) Par la théorie du corps de classes, la limite projective à gauche s’identifie au sous-groupe des points fixes du groupe de Galois T_{K}^{S} de la pro-ℓ-extension abélienne maximale de K_{∞} qui est non ramifiée partout et complètement décomposée aux places au-dessus de S. Et comme la montée dans la tour cyclotomique K_{∞}/K a épuisé toute possibilité d’inertie aux places de S qui ne divisent pas ℓ, le groupe T_{K}^{S} coïncide de ce fait avec le module de Kuz’min-Tate T_{K}.

(ii) Comme expliqué dans la section 1, le groupe de normes E_{K}^{S} ∩N_{K_{∞}/K}(R_{K_{∞}}) au numérateur à droite n’est autre que le groupe des unités logarithmiques du corps K.

(iii) Enfin, les places de S étant au sens logarithmique presque totalement inertes dans la tour cyclotomique K_{∞}/K, le groupe des normes de S-unités N_{K_{∞}/K}(E_{K_{∞}}^{S}) se réduit au sous-groupe des normes d’unités logarithmiques ; d’où l’isomorphisme annoncé.

Corollaire 18. La conjecture de Seo « T_{K}^{Γ} = 1 pour tout corps de nombres K » est fausse.

Contre-exemple. Soit d ≡ 2 [mod 3] un entier naturel sans facteur carré et k le corps quadratique réel ℚ[\sqrt{d}]. Le nombre premier ℓ = 3 étant inerte dans K/ℚ, le 3-groupe des unités logarithmiques de k coïncide avec le 3-adifié E′_{k} = ℤ_{3} ⊗_{ℤ} E′_{k} du groupe des 3-unités. Or, pour d = 257, l’unité fondamentale de k n’est pas norme d’une 3-unité dans le premier étage k[cos(2π/9)]/k de la ℤ_{3}- extension cyclotomique K_{∞}/k. Il vient donc :

| T_{k}^{Γ} | = (E_{k} : N_{K_{∞}/k}(E_{K_{∞}})) ≥ 3 ;

ce qui contredit la conjecture de Seo ([57], §3).

Remarque. On peut imaginer que parmi les corps quadratiques réels k = ℚ[\sqrt{d}] avec d = 2 [mod 3], qui ont un 3-groupe des 3-classes non trivial, il en est une infinité qui contredisent la conjecture.

7. Lien avec les groupes de normes universelles au sens de Kuz’min

Dans [45] Kuz’min définit les normes universelles globales associées à la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique K_{∞}/K à partir des suites cohérentes (ε_{n})_{n∈ℕ} ∈ ∏_{n∈ℕ} E′_{K_{n}} construites sur les ℓ-adifiés E′_{K_{n}} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} E′_{K_{n}} des groupes de ℓ-unités attachés aux divers étages de la tour. C’est également le vocabulaire employé notamment par [18, 39, 46, 52] dans divers contextes.

La condition de cohérence requise, N_{K_{m}/K_{n}}(ε_{m}) = ε_{n} pour m ≥ n, impose ainsi aux ε_{n} non seulement d’être normes globales dans chaque étage fini K_{m}/K_{n} (i.e. d’être des unités logarithmiques), mais d’être des normes d’unités logarithmiques dans chaque étage fini K_{m}/K_{n} de la tour. De fait, il est facile de voir que les éléments initiaux de ces suites sont ceux de N_{K_{∞}/K}(E_{K_{∞})} :

Proposition & Définition 19. Les termes initiaux des éléments de la limite projective N = \underleftarrow{lim} E′_{K_{n}} des groupes de ℓ-unités pour les applications normes sont les normes cyclotomiques des unités logarithmiques, i. e. les éléments E_{K}^{ν} de l’intersection N_{K_{∞}/K}(E_{K_{∞}}) =_{déf} ⋂_{n∈ℕ}N_{K_{n}/K}(E_{K_{n}}).

En d’autres termes, on a l’identité : \underleftarrow{lim} E′_{K_{n}} = \underleftarrow{lim} E_{K_{n}} = \underleftarrow{lim}_{n∈ℕ}( ⋂_{m≥n}N_{K_{m}/K_{n}}(E_{K_{m}})) = \underleftarrow{lim} E_{K_{n}}^{ν}.

Nous disons que E_{K_{n}}^{ν} est le (pro-)ℓ-groupe des normes logarithmiques attaché à K_{n}.

Donnons une preuve rapide de ce résultat de Kuz’min (cf. [18] pour une approche fonctorielle). Les arguments utilisés dans la démonstration du Théorème 17 montrent que pour tout ensemble fini S de places de K contenant les places au-dessus de ℓ, on a l’égalité :

⋂_{n∈ℕ}N_{K_{n}/K}(E_{K_{n}}^{S}) = ⋂_{n∈ℕ}N_{K_{n}/K}(E′_{K_{n}}) = ⋂_{n∈ℕ}N_{K_{n}/K}(E_{K_{n}}) = N_{K_{∞}/K}(E_{K_{∞}}) = E_{K}^{ν}.

Partons donc d’un élément ε ∈ N_{K_{∞}/K}(E_{K_{∞}}) et montrons que c’est le premier terme d’une suite cohérente (ε_{n})_{n∈ℕ} ∈ \underleftarrow{lim} E_{K_{n}}^{ν}. Écrivons pour tout n entier : ε = N_{K_{n}/K}(η_{n}) avec η_{n} ∈ E_{K_{n}} ; prenons pour ε_{1} une valeur d’adhérence de la suite (N_{K_{n}/K_{1}}(η_{n}))_{n≥1} ; et observons que nous avons par construction ε = N_{K_{1}/K}(ε_{1}) et ε_{1} ∈ N_{K_{∞}/K_{1}}(E_{K_{∞}}) ; puis itérons le procédé. Nous pouvons construire ainsi de proche en proche les ε_{n}, ce qui donne bien la suite cohérente annoncée.

Contrairement aux groupes d’unités logarithmiques E_{K_{n}}, les groupes normiques N_{K_{∞}/K_{n}}(E_{K_{∞}}) ne sont pas caractérisés par leurs seules propriétés locales : leur définition fait intervenir de façon irréductible l’arithmétique globale de la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique K_{∞}/K_{n}. En revanche, ils possèdent les meilleures propriétés fonctorielles qu’on peut attendre (cf. [18] ou [45]) :

Théorème 20. Soit Λ = ℤ_{ℓ}[[γ − 1]] l’algèbre d’Iwasawa attachée à un groupe procyclique Γ = γ^{ℤ_{ℓ}} = Gal(K_{∞}/K). Notons r_{K} et c_{K} les nombres de places réelles et complexes du corps K. Alors :

(i) La limite projective N = \underleftarrow{lim} E′_{K_{n}} des groupes de ℓ-unités est le produit direct du module procyclique (éventuellement trivial) \underleftarrow{lim} μ_{K_{n}} et d’un Λ-module libre de dimension r_{K} + c_{K}.

(ii) Pour chaque n ∈ ℕ le groupe normique E_{K_{n}}^{ν} = N_{K_{∞}/K_{n}}(E_{K_{∞}}) est le produit direct du ℓgroupe μ_{K_{n}} des racines de l’unité dans K_{n} et d’un ℤ_{ℓ}-module libre de dimension (r_{K}+c_{K})ℓ^{n}.

Compte tenu de l’isomorphisme T_{K}^{Γ} ≃ E_{K}/N_{K_{∞}/K}(E_{K_{∞}}) donné par le Théorème 17 et de l’interprétation de la conjecture de Gross-Kuz’min donnée par le Théorème 5, il suit :

Scolie 21. Le corps K vérifie la conjecture de Gross-Kuz’min si et seulement si le sous groupe normique E_{K}^{ν} = N_{/K}(E_{K_{∞}}) est d’indice fini dans le groupe des unités logarithmiques E_{K} ; auquel cas le groupe E_{K} est la racine dans R_{K} du ℤ_{ℓ}-module E_{K}^{ν} = N_{K_{∞}/K}(E_{K_{∞}}).

De façon générale, le quotient E_{K}/\sqrt[∗]{E_{K}^{ν}} est un ℤ_{ℓ}-module libre de dimension δ_{K}^{�}. Il représente donc le module de défaut de la conjecture de Gross-Kuz’min dans le corps K.

Scolie 22. Soit F_{K} le sous-module fini du Λ-module noethérien T_{K} et F_{K}^{Γ} = F_{K} ∩ T_{K}^{Γ} son sousmodule des points fixes. Indépendamment de toute conjecture, on a l’isomorphisme canonique :

F_{K}^{Γ} ≃ \sqrt[∗]{N_{K_{∞}/K}(E_{K_{∞}})}/N_{K_{∞}/K}(E_{K_{∞}}) = \sqrt[∗]{E_{K}^{ν}} /E_{K}^{ν}.

8. Sous-module fini F_{K} du module de Kuz’min-Tate et capitulation

La conjecture de Gross-Kuz’min postulant la finitude du sous-module des points fixes T_{K}^{Γ} du module de Kuz’min-Tate, il est naturel de s’intéresser au sous-module fini F_{K} de T_{K} : comme Λ-module noethérien, le groupe T_{K} possède un plus grand sous-module fini, qui n’est autre que l’ensemble de ses éléments pseudo-nuls. En termes de classes logarithmiques, celui-ci a une double interprétation arithmétique très simple (cf. [31], §2.c et [47], Th. 1.4 pour les groupes de ℓ-classes ; [45], Th. 1.2 pour les ℓ-groupes logarithmiques, au vocabulaire près) :

Théorème 23. Les sous-groupes de capitulation logarithmiques Cap_{K_{n}} =_{m≫n} Ker (Cℓ_{K_{n}} → Cℓ_{K_{m}}^{Γ_{n}})

sont ultimement constants dans la tour cyclotomique K_{∞}/K et ont pour limite projective le sousmodule fini F_{K} du module de Kuz’min-Tate T_{K}. Sous la conjecture de Gross-Kuz’min dans K_{∞}, un résultat analogue vaut pour les conoyaux de capitulation logarithmiques :

Cap_{K_{n}} =_{m≫n} Ker (Cℓ_{K_{n}} → Cℓ_{K_{m}}^{Γ_{n}}) ≃_{n≫0} F_{K} ≃_{n≫0} Cocap_{K_{n}} =_{m≫n} Coker (Cℓ_{K_{n}} → Cℓ_{K_{m}}^{Γ_{n}}).

Preuve. Du point de vue de Théorie d’Iwasawa, la question de la capitulation se présente comme suit (cf. [45], §1 et [31] §2.c) : on dispose d’un module noethérien et de torsion T sur l’algèbre d’Iwasawa Λ = ℤ_{ℓ}[[γ − 1]] attachée à un groupe procyclique Γ = γ^{ℤ_{ℓ}} ; on note ω_{n} = γ^{ℓ^{n}} − 1 ; et on s’intéresse aux noyaux des morphismes de transition j_{n↦m} : T_{n} → T_{m}^{Γ_{n}} pour m ≫ n ≫ 0 induits par la multiplication par ω_{m}/ω_{n} entre les quotients T_{n} = T/ω_{n}T et T_{m} = T/ω_{m}T pour n et m − n assez grands ; ce qui revient à considérer le noyau Ker_{n} = Ker (T_{n} → T_{∞}) du morphisme d’extension à valeurs dans la limite inductive T_{∞} des T_{n}

Notant F le plus grand sous-module fini de T, on obtient directement :

Ker_{n} = {t + ω_{n}T ∈ T/ω_{n}T | (ω_{m}/ω_{n}) t = 0} =_{m≫n≫0} (F + ω_{n}T)/ω_{n}T ≃_{n≫0} F,

puisque, pour m ≥ n ≫ 0, les \frac{ω_{m}}{ω_{n}} sont étrangers au polynôme caractéristique de T.

C’est le résultat classique sur la capitulation, qui ne nécessite aucune hypothèse supplémentaire sur le module T. Regardons maintenant les conoyaux. Des égalités :

T_{m}^{Γ_{n}} = \{t + ω_{m}T ∈ T/ω_{m}T | ω_{n}t ∈ ω_{m}T \} et j_{n↦m}(T_{n}) = \frac{ω_{m}}{ω_{n}} T/ω_{m}T,

on tire d’autre part :

Coker_{n} = \{t + \frac{ω_{m}}{ω_{n}} T ∈ T/\frac{ω_{m}}{ω_{n}} T | ω_{n}t ∈ ω_{m}T \} = (T^{Γ_{n}} + \frac{ω_{m}}{ω_{n}} T)/\frac{ω_{m}}{ω_{n}} T =_{n≫0} (F + \frac{ω_{m}}{ω_{n}} T)/\frac{ω_{m}}{ω_{n}} T ≃_{m≫n} F,

dès lors que les T^{Γ_{n}} sont finis. Prenant T = T_{K} et observant qu’on a encore T_{K_{n}} = T, nous obtenons le résultat annoncé d’après le Théorème 5, la condition de finitude requise exprimant précisément la validité de la conjecture de Gross-Kuz’min à chaque étage K_{n} de la tour K_{∞}/K.

Nota. Soit T̄ = T/F le quotient de T par son sous-module fini F. De l’égalité pour n ≫ 0 : T_{m}^{Γ_{n}} = \{t + ω_{m}T | ω_{n}t ∈ ω_{m}T \} = (T^{Γ_{n}} + \frac{ω_{m}}{ω_{n}} T )/ω_{m}T = (F + \frac{ω_{m}}{ω_{n}} T )/ω_{m}T,

on tire (en cohérence avec [47], Lemme. 1.1), le sous-module F étant tué par \frac{ω_{m+k}}{ω_{m}} pour k ≫ 0 :

\underrightarrow{lim} T_{m}^{Γ_{n}} = \underrightarrow{lim} (F + \frac{ω_{m}}{ω_{n}} T )/ω_{m}T = \underrightarrow{lim} \frac{ω_{m}}{ω_{n}} T/ω_{m}T = \underrightarrow{lim} \frac{ω_{m}}{ω_{n}} T̄/ω_{m}T̄ ≃ T̄/ω_{n}T̄ = T/(ω_{n}T + F );

de sorte que l’extension de Cℓ_{K_{n}} ≃ T/ω_{n}T vers Cℓ_{K_{∞}}^{Γ_{n}} = \underrightarrow{lim} Cℓ_{K_{m}}^{Γ_{n}} ≃ T/(ω_{n}T + F ) est surjective.

Remarques. Lorsque l’invariant mu d’Iwasawa du Λ-module T_{K} est nul, ce qui est le cas si le corps K est absolument abélien (d’après un résultat de Ferrero et Washington) et conjecturé pour tout corps de nombres (cf. [64]), on peut également dire mieux : transposant dans le cadre logarithmique les résultats de [12], on voit que Cap_{K_{n}} ≃ F_{K} est alors un facteur direct de Cℓ_{K_{n}} pour tout n ≫ 0.

En présence d’une conjugaison complexe τ, i.e. lorsque le corps K est une extension quadratique totalement imaginaire d’un sous-corps K^{+} totalement réel, les divers ℤ_{ℓ}-modules étudiés plus haut sont munis canoniquement d’une action de Δ = {1, τ} ≃ Gal(K_{∞}/K_{∞}^{+}) ≃ Gal(K/K^{+}). Pour ℓ impair ils s’écrivent comme sommes directes de leurs composantes réelles et imaginaires à l’aide des idempotents e_{±} = \frac{1}{2}(1±τ) de l’algébre ℤ_{ℓ}[Δ]. Le Théorème 20 montre que le groupe normique E_{K}^{ν} = N_{K_{∞}/K}(E_{K_{∞}}) est réel, de même donc que sa racine. On conclut alors du Scolie 22 que la composante imaginaire du module fini F_{K} est triviale : F_{K}^{⊖} = 1. On retrouve par là le fait bien connu que T_{K}^{⊖} ne possède pas de sous-module fini non nul (cf. e.g. [10, 17, 20]).

9. Lien avec les noyaux étales sauvages de la K-théorie

L’étude des noyaux de la K-théorie des corps de nombres via la cohomologie galoisienne remonte aux travaux de Tate [61]. Nombre de contributions ont eu pour objet de préciser ces relations, en lien éventuellement avec les conjectures de Leopoldt ou de Gross-Kuz’min (cf. e.g. [2, 3, 25, 38, 42, 43, 40, 41, 42, 44, 53, 54, 55, 56]). L’appellation noyau étale sauvage est due à Nguyen Quang Do.

Le point de vue logarithmique a été introduit dans [26] pour les noyaux sauvages WK_{2}(K) en liaison avec l’expression explicite du symbole de Hilbert, puis développé dans [37], et finalement dans [31] pour les noyaux étales supérieurs WK_{2i}(K). Rappelons qu’en vertu des résultats de Schneider [56], ceux-ci peuvent être décrits, en présence des racines d’ordre ℓ-primaire de l’unité, comme les quotients des copoints fixes du i-ième tordu à la Tate du module de Kuz’min-Tate T_{K} :

WK_{2i}(K) ≃ ^{Γ}(𝕋_{ℓ}^{⊗i} ⊗_{ℤ_{ℓ}} T_{K}),

où 𝕋_{ℓ}^{⊗i} désigne la |i|-ième puissance tensorielle du module de Tate 𝕋_{ℓ} = \underleftarrow{lim} μ_{K_{n}}, pour i ≥ 0 ; du module opposé \overline{𝕋}_{ℓ} = Hom(μ_{ℓ^{∞}}, ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}), pour i ≤ 0 ; et WK_{0}(K) = ^{Γ}T_{K} ≃ Cℓ_{K}, par construction.

En l’absence éventuelle des racines de l’unité, raisonnant dans K′ = K[ζ_{ℓ}], on a d’après [31] :

Théorème 24. Soient ℓ un nombre premier, K un corps de nombres dont la tour cyclotomique K[ζ_{ℓ^{∞}}]/K est procyclique, K′ ⊃ K[ζ_{ℓ}] une extension abélienne de K de groupe Δ = Gal[K′/K] d’ordre d étranger à ℓ. Notons |μ_{K′}| = ℓ^{m}. Pour tout i ∈ ℤ on a l’isomorphisme de ℤ_{ℓ}[Δ]-modules :

ℓ^{m}WK_{2i}(K′) ≃ μ_{ℓ^{m}}^{⊗i} ⊗_{ℤ_{ℓ}} C̃ℓ_{K′}

entre le quotient d’exposant ℓ^{m} du noyau étale sauvage WK_{2i}(K′) et le tensorisé i fois par μ_{ℓ^{m}} du ℓ-groupe des classes logarithmiques du corps K′.

En particulier, si ω̄ désigne le caractère de l’action de Δ sur le module \overline{𝕋}_{ℓ}, il suit :

ℓ^{m}WK_{2i}(K) = ^{ℓ^{m}}WK_{2i}(K′)^{e_{1}} ≃ μ_{ℓ^{m}}^{⊗i} ⊗_{ℤ_{ℓ}} C̃ℓ_{K′}^{e_{ω̄^{i}}}

où e_{φ} = \frac{1}{d} ∑_{τ∈Δ} φ(τ^{−1})τ désigne l’idempotent de l’algèbre ℤ_{ℓ}[Δ] associé au caractère φ; de sorte que le ℓ-rang comme la trivialité du noyau sauvage étale WK_{2i}(K) se lisent sur la ω̄^{i}-composante du ℓ-groupe des classes logarithmiques du corps K′.

Donnons un exemple (le miroir de Scholz) illustrant ce dernier résultat pour ℓ = 3 (cf. [31]) :

Corollaire 25. Soit k = ℚ[\sqrt{d}] un corps quadratique distinct de ℚ[\sqrt{−3}]) et k^{∗} = ℚ[\sqrt{−3d}] son reflet dans l’involution du miroir. Alors pour chaque i > 0, les quotients d’exposant 3 des noyaux sauvages étales de k sont donnés à partir des 3-goupes de classes logarithmiques de k et k^{∗} par :

3WK_{2i}(k) ≃ \{ \begin{matrix}μ_{3}^{⊗i} ⊗_{ℤ_{3}} C̃ℓ_{k} & pour i pair, \\ μ_{3}^{⊗i} ⊗_{ℤ_{3}} C̃ℓ_{k^{∗}} & pour i impair. \end{matrix}

Remarque. Pour k = ℚ[\sqrt{−3}], il vient directement : ^{3}WK_{2i}(k) ≃ μ_{3}^{⊗i} ⊗_{ℤ_{3}} C̃ℓ_{k} = 1.

Venons en maintenant au noyau du morphisme d’extension déjà étudié par [2, 3, 7, 17, 25, 38, 42, 43, 54, 55, 63]. Les arguments conduisant au Théorème 23 nous donnent semblablement :

Corollaire 26. Sous les hypothèses du Théorème 24 et pour tout caractère ℓ-adique irréductible φ du groupe Δ, la φ-composante F_{K′}^{e_{φ}} du sous-module fini de T_{K′} s’identifie pour n ≫ 0 à la φ-partie

(i) Cap′_{K′_{n}}^{e_{φ}} du sous-groupe de Cℓ′_{K′_{n}} formé des ℓ-classes qui capitulent dans Cℓ′_{K′_{∞}} ;

(ii) C̃ap_{K′_{n}}^{e_{φ}} du sous-groupe de Cℓ′_{K′_{n}} formé des classes logarithmiques qui capitulent dans Cℓ_{K′_{∞}} ;

(iii) \overline{𝕋}_{ℓ}^{⊗i} ⊗_{ℤ_{ℓ}} CWK_{2i}^{e_{φω^{i}}} du noyau \overline{𝕋}_{ℓ}^{⊗i} ⊗_{ℤ_{ℓ}} Ker(WK_{2}(K′_{n}) → WK_{2}(K′_{∞})), pour tout i ≠ 0.

Remarque. Ces résultats ne présupposent ni la conjecture de Gross-Kuz’min dans K′, i.e. la finitude de WK_{0}(K′) ; ni celle de Schneider, qui postule celle des WK_{2i}(K′) pour i < −1 ; ni celle de Leopoldt, qui affirme dans ce contexte la finitude du quotient WK_{−1}(K′) = ^{Γ}(\overline{𝕋}_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} T_{K}) ou, de façon équivalente, celle du sous-groupe (\overline{𝕋}_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} T_{K})^{Γ} (cf. e.g. l’appendice de [31]).

10. Radicaux kummériens en lien avec les normes cyclotomiques

Lorsque le corps K_{∞} contient le groupe μ_{ℓ^{∞}} des racines de l’unité d’ordre ℓ-primaire, ses ℓextensions sont caractérisées par leurs radicaux kummériens regardés dans le groupe :

ℜ_{K_{∞}} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ} K_{∞}^{×} ≃ (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} R_{K_{∞}}.

D’après [23, 24], ces radicaux vérifient la théorie de Galois dans la tour K_{∞}/K, ce qui s’écrit :

ℜ_{K_{n}} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ} K_{n}^{×} ≃ (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} R_{K_{n}} = ℜ_{K_{∞}}^{Γ_{n}},

un résultat analogue valant pour les radicaux hilbertiens ([23], Prop. I.2.2 & I.2.18) :

ℌ_{K_{n}} = {ℓ^{−k} ⊗ x ∈ ℜ_{K_{n}} | x ∈ J_{K_{n}}^{ℓ^{k}}U_{K_{n}}} = ℌ_{K_{∞}}^{Γ_{n}} avec ℌ_{K_{∞}} = ∪_{n∈ℕ} ℌ_{K_{n}}.

Le groupe ℌ_{K_{n}} est le radical kummérien de l’extension de Bertrandias-Payan du corps K_{n}, i.e. i.e. du compositum K_{n}^{bp} des pro-ℓ-extensions abéliennes de K_{n} qui sont localement ℤ_{ℓ}-plongeables (cf. [23, 24, 53]). Trois sous-groupes de ℌ_{K_{∞}} nous intéressent plus particulièrement :

(i) Le noyau de Tate 𝔑_{K_{∞}} dans ℜ_{K_{∞}} des symboles universels à valeurs dans K_{2}(K_{∞}) : 𝔑_{K_{∞}} = {ℓ^{−k} ⊗ x ∈ ℜ_{K_{∞}} | {ζ_{ℓ^{k}}, x} = 1 dans K_{2}(K_{∞})};

(ii) Le radical ℨ_{K_{∞}} de la réunion Z_{∞} = ∪_{n∈ℕ} Z_{n} des composées des ℤ_{ℓ}-extensions Z_{n} des K_{n} : ℨ_{K_{∞}} = Rad(Z_{∞}/K_{∞}) = \{ℓ^{−k} ⊗ x ∈ ℜ_{K_{∞}} | K_{∞}[ \sqrt[ℓ^{k}]{x}] ⊂ Z_{∞}\};

(iii) Le radical 𝔈_{K_{∞}} construit sur le groupe E_{K_{∞}} des unités logarithmiques dans R_{K_{∞}} : 𝔈_{K_{∞}} = {ℓ^{−k} ⊗ x ∈ ℜ_{K_{∞}} | x ∈ E_{K_{∞}} = ∪_{n∈ℕ} E_{K_{n}}}.

Théorème 27. Sous la condition μ_{ℓ^{∞}} ⊂ K_{∞}, on a l’égalité et les deux inclusions : (i) 𝔑_{K_{∞}} = 𝔈_{K_{∞}}^{ν} est l’image dans ℜ_{K_{∞}} du groupe normique E_{K_{∞}}^{ν} = ∪_{n∈ℕ} E_{K_{n}}^{ν}. (ii) 𝔑_{K_{∞}} ⊂ ℨ_{K_{∞}}, avec égalité sous la conjecture de Leopoldt dans K_{∞} (i.e. dans tous les K_{n}) ; (iii) 𝔑_{K_{∞}} ⊂ 𝔈_{K_{∞}}, avec égalité sous la conjecture de Gross-Kuz’min dans K_{∞} (i.e. idem).

Preuve. L’égalité (i) résulte directement du fait que les duaux de Pontrjagin respectifs des deux modules sont tous deux des Λ-modules libres de même dimension c_{K} (cf. [18], Th. et [52], Prop. 1.7). D’un autre côté d’après [25], Th. 8, les assertions (ii) et (iii) ne sont qu’une reformulation des résultats de Coates ([7], Th. 4) et de Kolster ([40], Th. 2.6).

Ainsi, sous les deux conjectures de Gross-Kuz’min et de Leopoldt, les divers radicaux coïncident en haut de la tour et s’expriment directement à partir des groupes d’unités logarithmiques. Cependant, comme expliqué dans [24, 25], la descente impose une torsion de l’action galoisienne :

Théorème 28. Toujours sous la condition μ_{ℓ^{∞}} ⊂ K_{∞}, on a les identités de descente :

(i) Le noyau 𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} 𝔑_{K_{n}} du morphisme de Tate (μ_{ℓ^{∞}}⊗_{ℤ} K_{n}^{×})^{Γ_{n}} ↠ K_{2}(K_{n}) est le sous-groupe divisible maximal du groupe des points fixes (𝕋_{ℓ}⊗ℌ_{K_{∞}})^{Γ_{n}} ⊂ (𝕋_{ℓ}⊗ℜ_{K_{∞}})^{Γ_{n}} ≃ (μ_{ℓ^{∞}}⊗_{ℤ}K^{×})^{Γ_{n}}.

(ii) Le tensorisé 𝔈_{K_{n}} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} E_{K_{n}} est le sous-module divisible maximal du radical hilbertien ℌ_{K_{n}} = ℌ_{K_{n}} ; d’où l’isomorphisme : 𝔈_{K_{∞}}^{Γ_{n}}/𝔈_{K_{n}} ≃ Cap_{K_{n}} ≃_{n≫0} F_{K}.

(iii) Le radical ℨ_{K_{∞}} = \{ℓ^{−k} ⊗ x ∈ ℜ_{K_{∞}} | K_{∞}[ \sqrt[ℓ^{k}]{x}] ⊂ Z_{n}\} attaché au compositum Z_{n} des

ℤ_{ℓ}-extensions de K_{n} est le sous-groupe divisible maximal du groupe (\overline{𝕋}_{ℓ} ⊗ ℌ_{K_{∞}})^{Γ_{n}} En résumé, on a donc les trois identités :

\overline{𝕋}_{ℓ} ⊗ ℨ_{K_{n}} = (\overline{𝕋}_{ℓ} ⊗ ℨ_{K_{∞}})_{div}^{Γ_{n}};  𝔈_{K_{n}} = (𝔈_{K_{∞}})_{div}^{Γ_{n}};  𝕋_{ℓ} ⊗ 𝔑_{K_{n}} = (𝕋_{ℓ} ⊗ 𝔑_{K_{∞}})_{div}^{Γ_{n}};

Preuve. L’assertion (i) provient de la description cohomologique par Tate du K_{2} d’un corps de nombres (cf. [61]) ; l’assertion (iii) de la Théorie de Kummer (cf. [24]). Quant à l’assertion (ii), elle résulte de la suite exacte reliant noyau hilbertien et classes logarithmiques (cf [24], 2§c) :

1 → 𝔈_{K_{n}} → ℌ_{K_{n}} → Cℓ_{K_{n}}^{tor} → 1,

jointe à la finitude du sous-groupe de torsion Cℓ_{K_{n}}^{tor} de Cℓ_{K_{n}}. Passant à la limite inductive et prenant les points fixes par Γ_{n}, on obtient ensuite la suite exacte longue

1 → 𝔈_{K_{∞}}^{Γ_{n}} → ℌ_{K_{∞}}^{Γ_{n}} = ℌ_{K_{n}} → (Cℓ_{K_{∞}}^{tor})^{Γ_{n}} → ⋯

d’où l’on déduit, par le lemme du serpent, que le quotient 𝔈_{K_{∞}}^{Γ_{n}}/𝔈_{K_{n}} s’identifie au sous-groupe de capitulation Cap_{K_{n}} ; lequel est ultimement isomorphe à F_{K} d’après le Théorème 23.

11. Descente radicielle et radicaux initiaux

Du fait des différences introduites par la torsion à la Tate, la détermination des radicaux ℨ_{K_{n}} et 𝔗_{K_{n}} n’est pas du tout immédiate (cf. e.g. [15, 30, 52]), en dehors du cas simple étudié par Bertrandias et Payan dans [4], où le radical hilbertien convient :

Proposition 29. Supposons μ_{2ℓ} ⊂ K et notons ℓ^{m} l’ordre de μ_{K} avec m ≥ 1. Sous la condition Cℓ_{K} = 1, les sous-groupes de ℓ^{m}-torsion du noyau universel de Tate 𝔑_{K}, du radical ℨ_{K} et du groupe divisible 𝔈_{K} coïncident avec le radical initial de l’extension de Bertrandias-Payan :

ℓ^{m}ℌ_{K} = _{ℓ^{m}}𝔑_{K} = _{ℓ^{m}}ℨ_{K} = _{ℓ^{m}}𝔈_{K} = {ℓ^{−m} ⊗ x ∈ ℜ_{K} | x ∈ E_{K}}.

Preuve. Sous la condition Cℓ_{K} = 1, le corps K vérifie, en effet, les conjectures de Gross-Kuz’min et de Leopodt (cf. Théorème 15). On a de plus l’égalité ℌ_{K} = 𝔈_{K}, en vertu de la suite exacte :

1 → 𝔈_{K_{n}} → ℌ_{K_{n}} → Cℓ_{K_{n}}^{tor} = Cℓ_{K_{n}} → 1,

déjà rencontrée lors de preuve du Théorème 28. Il suit :

ℓ^{m}ℌ_{K} = _{ℓ^{m}}𝔈_{K} ≃ (ℓ^{−m}ℤ_{ℓ}/ℤ_{ℓ})^{c_{K}},

en vertu du Scolie 6 ; d’où le résultat annoncé, puisque ℌ_{K} contient ℨ_{K} comme 𝔑_{K}.

En fait, comme expliqué dans [25], c’est le le module fini F_{K} (ou plutôt son dual F_{K}^{∗}) qui représente l’obstruction à l’égalité des radicaux initiaux aux niveaux finis de la tour cyclotomique K_{∞}/K. Plus précisément, les résultats de [17] et [25] peuvent être complétés comme suit :

Théorème 30. Supposons toujours μ_{ℓ^{∞}} ⊂ K_{∞} et écrivons ℓ^{n+m} l’ordre de μ_{K_{n}} pour n > 1. Alors, sous les conjectures de Leopoldt et de Gross-Kuz’min, il y a équivalence entre les assertions :

(i) F_{K} est trivial ; autrement dit les morphismes Cℓ_{K_{n}} → Cℓ_{K_{∞}}^{Γ_{n}} sont ultimement bijectifs. (ii) Les groupes T_{K}^{Γ_{n}} sont tous triviaux ; autrement dit, on a les égalités E_{K_{n}} = E_{K_{n}}^{ν}. (iii) Pour n ≫ 0, il y a égalité entre les sous-groupes de ℓ^{n}-torsion des trois radicaux :

ℓ^{n}𝔑_{K_{n−m}} = _{ℓ^{n}}ℨ_{K_{n−m}} = _{ℓ^{n}}𝔈_{K_{n−m}} = {ℓ^{−n} ⊗ x ∈ ℜ_{K_{n−m}} | x ∈ E_{K_{n−m}}}.

Preuve. Le Λ-module F_{K} étant un ℓ-groupe fini, on a trivialement : F_{K} = 1 ⇔ F_{K}^{Γ_{n}} = 1. Sous la conjecture de Gross-Kuz’min, l’équivalence des deux premières assertions résulte donc de la double inclusion F_{K}^{Γ_{n}} ⊂ T_{K}^{Γ_{n}} ⊂ F_{K} et des interprétations données par les Théorèmes 17 et 23.

Notons n̄ = n − m. Sous la condition F_{K} = 1, les radicaux 𝔈_{Kn̄} construits sur les normes cyclotomiques vérifient la théorie de Galois dans la tour K_{∞}/K (cf. Th. 28). Cela étant, le groupe de Galois Γn̄ agissant trivialement sur les racines ℓ^{n}-ièmes de l’unité, on obtient, comme annoncé :

v𝔑_{Kn̄} = _{ℓ^{n}}𝔑_{K_{∞}}^{Γn̄} = _{ℓ^{n}}𝔈_{K_{∞}}^{Γn̄} = _{ℓ^{n}}𝔈_{Kn̄} = {ℓ^{−n} ⊗ x ∈ ℜ_{Kn̄} | x ∈ E_{Kn̄}}.

Et le même résultat vaut pour les radicaux _{ℓ^{n}}ℨ_{Kn̄} sous la conjecture de Leopoldt.

Réciproquement, on sait depuis Iwasawa [20] que le dual de Kummer F_{K}^{∗} = Hom(F_{K}, μ_{ℓ_{∞}}) du groupe fini F_{K} s’identifie au conoyau Λ^{c_{K}} /Z_{K_{∞}} du groupe Z_{K_{∞}} = Gal(Z_{∞}/K_{∞}) dans le Λ-module libre qu’il détermine. Sous les conjectures de Leopoldt et de Gross-Kuz’min les calculs qui précèdent montrent que le radical _{ℓ^{n}}𝔈_{Kn̄} est l’ensemble des éléments de ℓ^{n}-torsion du sousmodule divisible maximal du groupe des points fixes 𝔈_{K_{∞}}^{Γn̄}. Dans la dualité de Kummer entre 𝔈_{K_{∞}} et 𝔈_{K_{∞}}^{∗} ⊂ Λ^{c_{K}}, l’orthogonal (_{ℓ^{n}}𝔈_{Kn̄})^{⊥} de _{ℓ^{n}}𝔈_{Kn̄} est ainsi pour n ≫ 0 (et en notations additives) le sous-module ωn̄Λ^{c_{K}} + ℓ^{n}𝔈_{K_{∞}}^{∗} de 𝔈_{K_{∞}}^{∗}. Considérons donc le quotient Λ^{c_{K}} /(_{ℓ^{n}}𝔈_{Kn̄})^{⊥} :

— d’un côté, puisque c’est un quotient de Λ^{c_{K}} /ωn̄Λ^{c_{K}} ≃ ℤ_{ℓ}^{c_{Kn}}, sa décomposition comme produit de groupes cycliques fait intervenir au plus c_{Kn̄} = c_{K}ℓn̄ facteurs ;

— d’un autre côté, son sous-module 𝔈_{Kn̄}^{∗}/(_{ℓ^{n}}𝔈_{Kn̄})^{⊥}, qui est le dual de Kummer de _{ℓ^{n}}𝔈_{Kn̄} est,

lui, un ℤ/ℓ^{n}ℤ-module libre de dimension c_{Kn̄} ; Il vient donc : Λ^{c}/(_{ℓ^{n}}𝔈_{K_{n}})^{⊥} ≃ ∑_{i=1}^{c_{Kn̄}} ℤ/ℓ^{n+e_{i}}ℤ, avec ∏_{i=1}^{c_{Kn̄}} ℓ^{e_{i}} = (Λ^{c_{K}} : 𝔈_{Kn̄}^{∗}) = | F_{K} | .

Or l’égalité de _{ℓ^{n}}𝔑_{Kn̄} avec _{ℓ^{n}}𝔈_{Kn̄} signifie que (_{ℓ^{n}}𝔈_{Kn̄})^{⊥} reste inchangé lorsqu’on tord l’action de Γn̄ par le caractère cyclotomique, i.e. que 1+ℓ^{n} agit trivialement sur le quotient Λ^{c_{K}} /(_{ℓ^{n}}𝔈_{Kn̄})^{⊥}, qui est donc d’exposant ℓ^{n}; ce qui donne : F_{K} = 1. De même pour _{ℓ^{n}}ℨ_{Kn̄} = _{ℓ^{n}}𝔈_{Kn̄}. Remarque. Sous les conjectures de Schneider [56], la condition F_{K} = 1 entraîne de façon semblable l’égalité des radicaux initiaux associés aux divers tordus à la Tate _{ℓ^{n}}(\overline{𝕋}_{ℓ}^{⊗i} ⊗ (𝕋_{ℓ}^{⊗i} ⊗ 𝔑_{K_{∞}})_{div}^{Γn̄}).

Appendice

12. Le principe de Hasse dans la Théorie ℓ-adique du corps de classes

Classiquement le principe de Hasse affirme que dans une extension cyclique L/K de corps de nombres les éléments de K^{×} qui sont normes locales partout sont exactement les normes globales.

Par plongement du groupe multiplicatif K^{×} dans le groupe des idèles J_{K}, cela s’écrit :

Théorème (Principe de Hasse). Dans une extension cyclique L/K de corps de nombres, on a : K^{×} ∩ N_{L/K}(J_{L}) = N_{L/K}(L^{×}).

Et ce résultat s’étend trivialement au cas procyclique comme suit :

Scolie. Dans une extension procyclique L d’un corps de nombres K, on a de même :

K^{×} ∩ N_{L/K}(J_{L}) = N_{L/K}(L^{×}).

en convenant de définir les sous-groupes normiques global et local comme intersections respectives des mêmes sous-groupes associés aux sous-extensions (cycliques) finies F/K de L/K :

N_{L/K}(L^{×}) = ⋂_{K⊂F ⊂L}N_{F/K}(F^{×}) & N_{L/K}(J_{L}) = ⋂_{K⊂F ⊂L}N_{F/K}(J_{F}).

Le but du présent appendice est d’expliquer comment ce principe se transpose dans le contexte de la Théorie ℓ-adique du corps de classes. Bien qu’utilisé ici et là dans la description des unités logarithmiques, ce résultat ne fait pas l’objet, en effet, d’un énoncé explicite dans les textes fondateurs de l’arithmétique ℓ-adique comme [23] ou [28]. Il nous a donc paru utile d’en donner ici une courte preuve pour la commodité du lecteur, les groupes de normes cyclotomiques jouant un rôle central dans le présent article.

Rappelons que si R_{K_{𝔭}} = \underleftarrow{lim} K_{𝔭}^{×}/K_{𝔭}^{×ℓ^{m}} désigne le compactifié ℓ-adique du groupe multiplicatif K_{𝔭}^{×} du complété de K en la place 𝔭, le ℓ-adifié du groupe des idèles est défini comme le produit J_{K} = ∏_{𝔭}^{res} R_{K_{𝔭}} des compactifiés R_{K_{𝔭}} restreint aux familles (𝔵_{𝔭})_{𝔭} dont presque tous les éléments tombent dans le sous-groupe unité U_{K} = ∏_{𝔭} U_{K_{𝔭}}, où U_{K_{𝔭}} s’identifie au ℓ-groupe μ_{K_{𝔭}} des racines de l’unité dans K_{𝔭} d’ordre ℓ-primaire, pour 𝔭 ∤ ℓ; à celui des unités principales, pour 𝔭 | ℓ. Et que le plongement diagonal de K^{×} dans le groupe des idèles J_{K} induit un morphisme injectif du ℓ-adifié R_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗K^{×} du groupe multiplicatif K^{×} dans le ℓ-adifié J_{K} ; ce qui permet de regarder R_{K} comme un sous-module de J_{K} (cf. [23] ou [28]). Avec ces notations, il vient :

Théorème 31 (Principe ℓ-adique de Hasse). Dans une ℓ-extension cyclique de corps de nombres L/K, on a l’identité normique :

R_{K} ∩ N_{L/K}(J_{L}) = N_{L/K}(R_{L}).

Et le même résultat vaut encore lorsque L/K = K_{∞}/K est une ℤ_{ℓ}-extension, avec les conventions :

N_{K_{∞}/K}(R_{K_{∞}}) = ⋂_{n∈ℕ}N_{K_{n}/K}(R_{K_{n}}) & N_{K_{∞}/K}(J_{K_{∞}}) = ⋂_{n∈ℕ}N_{K_{n}/K}(J_{K_{n}}),

où K_{n}/K décrit les étages finis de degrés respectifs [K_{n} : K] = ℓ^{n} dans la tour K_{∞}/K.

Preuve. Considérons une ℓ-extension cyclique L/K de degré, disons, ℓ^{n} et partons d’un idèle principal 𝔵_{K} ∈ R_{K} ∩ N_{L/K}(J_{L}). Notons x ↦ x^{⊗} le ℤ-morphisme naturel de K^{×} dans R_{K} et observons que la classe de 𝔵_{K} modulo R_{K}^{ℓ^{n}} est représentée par l’image x_{K}^{⊗} d’un élément x_{K} de K^{×} (qui est défini de façon unique à une puissance ℓ^{n}-ième près). Par construction, nous avons 𝔵_{K} = x_{K}^{⊗}𝔶_{K}^{ℓ^{n}} pour un 𝔶_{K} ∈ R_{K}. Par hypothèse, l’élément x_{K}^{⊗} est ainsi une norme locale i.e. contenu dans le sous-module N_{L/K}(J_{L}) de J_{K} ; de sorte que x_{K} est lui-même dans le sous-groupe N_{L/K}(J_{L}) de J_{K}. D’après le principe de Hasse classique, c’est donc la norme d’un élément global y_{L} ∈ L^{×}. Il suit 𝔵_{K} = N_{L/K}(y_{L}^{⊗})𝔶_{K}^{ℓ^{n}} = N_{L/K}(y_{L}^{⊗}𝔶_{K}) ∈ N_{L/K}(R_{L}), comme attendu.

Remarque. Pour chaque premier p ≠ ℓ, l’élément p étant inversible dans l’anneau ℤ_{ℓ}, chaque élément de R_{K} est une puissance p^{n}-ième pour tout n ∈ ℕ, donc banalement norme dans toute p-extension L/K. Le principe ℓ-adique de Hasse n’a donc d’intérêt que dans les (pro-)ℓ-extensions.

Index des principales notations

Nous recensons ci-dessous les principales notations utilisées dans le corps de l’article.

Notations latines K : un corps de nombres arbitraire ; K_{𝔭} : le complété de K en la place 𝔭; K_{∞} = ∪_{n∈ℕ}K_{n} avec [K_{n} : K] = ℓ^{n} : la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique de K; K_{n}^{bp} : la composée des ℓ-extensions abéliennes de K_{n} localement ℤ_{ℓ}-plongeables ; Z_{n} : le compositum des ℤ_{ℓ}-extensions de K_{n}; et Z_{∞} leur réunion ; K_{∞}^{cd} : la pro-ℓ-extension abélienne localement triviale maximale de K_{∞}; E_{K_{n}} : le groupe des unités de K_{n} et E′_{K_{n}} le groupe des ℓ-unités ; r_{K}, c_{K} : les nombres respectifs de places réelles et complexes du corps K; 𝕋_{ℓ} = \underleftarrow{lim} μ_{ℓ^{n}} : le module de Tate ; et \overline{𝕋}_{ℓ} : le module opposé (cf. §9).

Notations anglaises (cf. §1) R_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} K^{×} : le ℓ-adifié du groupe multiplicatif du corps K; R_{K_{𝔭}} = \underleftarrow{lim} K_{𝔭}^{×}/K_{𝔭}^{×ℓ^{m}}: le compactifié ℓ-adique du groupe multiplicatif K_{𝔭}^{×}; U_{K_{𝔭}} : le sous-groupe unité et U_{K_{𝔭}} le groupe des normes cyclotomiques dans R_{K_{𝔭}} ; J_{K} = ∏_{𝔭}^{res} R_{K_{𝔭}} : le ℓ-adifié du groupe des idèles de K; U_{K} = ∏_{𝔭} U_{K_{𝔭}} : le sous-groupe unité de J_{K} ; U_{K} = ∏_{𝔭} U_{K_{𝔭}} : le sous-groupe des normes cyclotomiques dans J_{K} ; Cℓ_{K} = J_{K}/U_{K}R_{K} : le ℓ-groupe des classes logarithmiques du corps K; E′_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} E′_{K} : le ℓ-adifié du groupe des ℓ-unités de K; E_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} E_{K} = R_{K} ∩ U_{K} : le ℓ-adifié du groupe des unités de K; E_{K} = R_{K} ∩ U_{K} : le ℓ-groupe des unités logarithmiques de K; E_{K_{∞}} = ⋃_{n∈ℕ} E_{K_{n}} : le ℓ-groupe des unités logarithmiques de K_{∞}; E_{K}^{ν} = N_{K_{∞}/K}(E_{K_{∞}}) : le sous-module des normes logarithmiques (cf. §7) ; \sqrt[∗]{E_{K}^{ν}} = \{x ∈ R_{K} | ∃k ∈ ℕ x^{ℓ^{k}} ∈ E_{K}^{ν}\} la racine du sous-module E_{K}^{ν} dans R_{K} ; T_{K} = Gal(K_{∞}^{cd}/K_{∞}) : le module de Kuz’min-Tate attaché au corps K (cf. §2) ; F_{K} : le plus grand sous-Λ-module fini de T_{K} (cf. §8).

Notations gothiques (cf. §10) ℜ_{K_{∞}} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ} K_{∞}^{×} : le radical universel attaché au corps K_{∞}; 𝔑_{K_{∞}} = {ℓ^{−m} ⊗ x ∈ ℜ_{K_{∞}} | {ζ_{ℓ^{m}}, x} = 1} : le noyau des symboles universels ; ℌ_{K_{∞}} = \{ℓ^{−m} ⊗ x ∈ ℜ_{K_{∞}} | (\frac{ζ_{ℓ^{m}} , x}{𝔭_{∞}}) = 1, ∀𝔭_{∞}\} : le noyau des symboles de Hilbert ; ℨ_{K_{∞}} : le radical du compositum des ℤ_{ℓ}-extensions de tous les K_{n}; ℜ_{K_{n}} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ} K_{n}^{×} = ℜ_{∞}^{Γ_{n}} : le radical attaché au sous-corps K_{n}; 𝔑_{K_{n}} = \overline{𝕋}_{ℓ} ⊗ (𝕋_{ℓ} ⊗ 𝔑_{K_{∞}})_{div}^{Γ_{n}} : le noyau universel de Tate attaché au corps K_{n}. ℌ_{K_{n}} = ℌ_{∞}^{Γ_{n}} : le radical hilbertien attaché au sous-corps K_{n}; ℨ_{K_{n}} = 𝕋_{ℓ} ⊗ (\overline{𝕋}_{ℓ} ⊗ ℨ_{K_{∞}})_{div}^{Γ_{n}} : le radical du compositum des ℤ_{ℓ}-extensions de K_{n}; 𝔈′_{K_{n}} : le tensorisé (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ} E′_{K_{n}} du groupe des 𝔩-unités ; 𝔈_{K_{n}} : le tensorisé (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} E_{K_{n}} du groupe des unités logarithmiques ; 𝔈_{K_{n}}^{ν} : l’image canonique de E_{K_{n}}^{ν} dans ℜ_{K_{n}}.

Notations grecques μ_{ℓ^{n}} : le groupe des racines ℓ^{n}-ièmes de l’unité et μ_{ℓ^{∞}} = ∪_{n∈ℕ} μ_{ℓ^{n}} ; μ_{K}, μ_{K_{𝔭}} : les ℓ-groupes de racines de l’unité respectifs de K et K_{𝔭}; μ_{K}^{loc} = R_{K} ∩ ∏_{𝔭} μ_{K_{𝔭}}, le groupe global des racines locales de l’unité ; Γ : le groupe procyclique Gal(K_{∞}/K) et γ un générateur topologique de Γ ; Λ = ℤ_{ℓ}[[γ − 1]] l’algèbre d’Iwasawa du groupe Γ ; Γ_{n} : le sous-groupe Γ^{ℓ^{n}} = Gal(K_{∞}/K_{n}) et ω_{n} = γ^{ℓ^{n}} − 1 ; δ_{K}^{�} = dim_{ℤ_{ℓ}} μ_{K}^{loc}/μ_{K} : le défaut de la conjecture de Leopoldt dans K; δ_{K}^{�} = dim_{ℤ_{ℓ}} E_{K}/E_{K}^{ν} : le défaut de la conjecture de Gross-Kuz’min dans K.

Remerciements

L’auteur remercie particulièrement Bill Allombert qui a effectué à l’aide du logiciel pari les calculs sur les classes et unités logarihmiques présentés dans ce travail, ainsi que le rapporteur pour les nombreuses et judicieuses observations contenues dans son rapport d’arbitrage.

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Jean-François Jaulent Institut de Mathématiques de Bordeaux Université de Bordeaux & CNRS 351, cours de la libération F-33405 Talence Cedex courriel : Jean-Francois.Jaulent@math.u-bordeaux.fr