Sur le noyau sauvage des corps de nombres^{∗}

Jean-François Jaulent

Résumé. Soient ℓ un nombre premier et K un corps de nombres contenant les racines 2ℓ^{r}-ièmes de l’unité (pour un r ≥ 1). Nous montrons que les symboles de Hilbert ( \frac{ζ,x}{𝔭}) construits sur une racine ℓ^{r}-ièmes de l’unité ζ s’expriment simplement en fonction du logarithme de la valeur absolue ℓ-adique |x|_{𝔭}, ce qui autorise à définir directement le ℓ-groupe des classes logarithmiques C̃ℓ_{K} à partir des valuations logarithmiques ṽ_{𝔭} ainsi obtenues. L’isomorphisme résultant entre le quotient d’exposant ℓ^{r} du noyau sauvage WK_{2}(K) dans K_{2}(K) et le tensorisé_{ℓ^{r}} μ_{K} ⊗C̃ℓ_{K} du ℓ-groupe des classes logarithmiques de K par le groupe des racines ℓ^{r}-ièmes de l’unité, donne ainsi accès numériquement au noyau sauvage WK_{2}(K). Sous la conjecture de Gross dans la tour cyclotomique K_{∞}/K, nous prouvons enfin que le ℓ-noyau hilbertien _{ℓ^{∞}}WK_{2}(K_{∞}) s’identifie canoniquement au produit 𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} C̃ℓ_{K_{∞}} du ℓ-groupe des classes logarithmiques de K_{∞} par le module de Tate 𝕋_{ℓ} = \underleftarrow{lim} μ_{ℓ^{n}}, ce qui recoupe un résultat antérieur de Kolster.

Abstract. Let ℓ be a prime number and K be a number field which contains the 2ℓ^{r}-th roots of unity (for some r ≥ 1). We prove an explicit formula for the Hilbert symbols ( \frac{ζ,x}{𝔭}) where ζ is a ℓ^{r}-th root of unity, which just depends on the logarithm of the ℓadic absolute value |x|_{𝔭}, gives rise to a canonical isomorphism WK_{2}(K)/WK_{2}(K)^{ℓ^{r}} ≃ ℓ^{r}μ_{K} ⊗ C̃ℓ_{K} involving the wild kernel WK_{2}(K) in K_{2}(K) and the ℓ-group C̃ℓ_{K} of logarithmic classes in K and allows us to define the logarithmic ℓ-class group C̃ℓ_{K} in a quite explicit way in terms of logarithmic valuations. Under the Gross conjecture in the cyclotomic ℤ_{ℓ}-extension K_{∞}/K, this gives also an isomorphism between the ℓ-part of the Hilbert kernel WK_{2}(K_{∞}) and a twisted version of the logarithmic ℓ-class group C̃ℓ_{K_{∞}}.

Introduction

Notre point de départ dans ce travail est une formule explicite particulièrement simple pour le symbole de Hilbert sur un corps local K_{𝔭}, qui s’exprime comme suit : Soit ℓ un nombre premier tel que K_{𝔭} contienne les racines 2ℓ^{r}- ièmes de l’unité pour un r ≥ 1. Alors pour chaque racine ℓ^{r}-ième de l’unité ζ contenue dans K_{𝔭} et tout x de K_{𝔭}^{×}, le symbole de Hilbert correspondant est donné par la formule :

(\frac{ζ, x}{𝔭}) = ζ^{ṽ_{𝔭}(x)},

où ṽ_{𝔭} est une application à valeurs dans un ℤ_{ℓ}-réseau de ℚ_{ℓ} définie à partir des logarithmes des valeurs absolues ℓ-adiques.

Or l’intérêt de ce résultat n’est pas tant de donner un nouveau moyen de calcul des symboles de Hilbert (Nous avons choisi d’en donner ici une preuve directe particulièrement simple, mais nous aurions pu aussi bien l’obtenir en transformant les formules explicites classiques qui font déjà intervenir le logarithme), que de relier naturellement les symboles sauvages à une application ṽ_{𝔭} qui n’est pas définie seulement modulo une congruence, mais prend effectivement ses valeurs dans un ℤ_{ℓ}-module de rang 1, et peut ainsi être regardée comme l’analogue d’une valuation.

∗Acta Arith. 67 (1994), 335-348.

Plus précisement, si en chaque place non complexe 𝔭 d’un corps de nombres K contenant les racines 2ℓ^{r}-ièmes de l’unité, on convient de remplacer la valuation 𝔭-adique usuelle v_{𝔭} par celle logarithmique ṽ_{𝔭}, on peut alors définir un groupe logarithmique de classes de diviseurs C̃ℓ_{K}, analogue au ℓ-groupe des classes au sens ordinaire Cℓ_{K} (et donc d’une arithmétique voisine) et lié de surcroit au noyau symboles sauvages dans le groupe universel K_{2}(K). L’isomorphisme obtenu

ℓ^{r}μ_{K} ⊗_{ℤ} C̃ℓ_{K} ≃ ^{ℓ^{r}}WK_{2}(K),

déjà annoncé dans un article antérieur en termes idéliques (cf. [J_{2}], th. 2.12) et reproduit sous une forme voisine quoique non canonique par d’autres auteurs (cf. [CK], prop. 2.1), prend toute son importance ici du fait que le groupe C̃ℓ_{K} n’est plus défini comme quotient du groupe des classes d’idèles, mais explicitement comme groupe de classes de diviseurs, donc algorithmiquement accessible aux méthodes numériques, ce qui ouvre la voie à une approche effective du groupe WK_{2}(K).

Nous commençons pour cela par rappeler quelques propriétés des valeurs absolues ℓ-adiques et notamment leur interprétation en termes de corps de classes.

1. Rappel sur les valeurs absolues ℓ-adiques.

Si K_{𝔭} est un corps local, i.e. le complété en une place ultramétrique 𝔭 d’un corps de nombres K, la factorisation de son groupe multiplicatif

K_{𝔭}^{×} = μ_{𝔭}^{0} U_{𝔭}^{1} π_{𝔭}^{ℤ}

fait intervenir le groupe μ_{𝔭}^{0}, d’ordre N𝔭 − 1, formé des racines de l’unité d’ordre étranger à la caractéristique résiduelle p, le groupe U_{𝔭}^{1} = 1 + 𝔭 des unités principales, et le groupe monogène multiplicatif engendré par une uniformisante arbitraire π_{p}.

Si maintenant ℓ est un nombre premier, la valeur absolue ℓ-adique principale | |_{𝔭} est définie sur K_{𝔭}^{×} par la formule :

|x|_{𝔭} = \{ \begin{matrix}< N𝔭^{−v_{𝔭}(x)} > pour 𝔭 ∤ ℓ, \\ < N_{K_{𝔭}/ℚ_{ℓ}}(x)N𝔭^{−v_{𝔭}(x)} > pour 𝔭|ℓ, \end{matrix}

où < > est la projection canonique du groupe multiplicatif ℤ_{ℓ}^{×} des unités de ℤ_{ℓ} sur son sous-groupe libre maximal 1 + 2ℓℤ_{ℓ}. Par composition avec le logarithme ℓ-adique, défini sur 1 + 2ℓℤ_{ℓ} par le développement en série

Log(1 + x) = ∑_{n≥1}(−1)^{n+1} \frac{x^{n}}{n}, on obtient ainsi un morphisme continu^{1} Log | |_{𝔭} sur le groupe topologique K_{𝔭}^{×} à valeurs dans le groupe additif 2ℓℤ_{ℓ}.

Plus précisément, l’application obtenue induit canoniquement un ℤ_{ℓ}-mor-phisme, que nous continuerons à noter Log | |_{𝔭}, du compactifié ℓ-adique de K_{𝔭}^{×}, défini comme la limite projective

R_{𝔭} = \underleftarrow{lim}_{n} K_{𝔭}^{×}/K_{𝔭}^{×ℓ^{n}} ,

sur un sous-module d’indice fini de ℤ_{ℓ} qui sera précisé plus loin. Il est commode d’écrire

R_{𝔭} = U_{𝔭} · π_{𝔭}^{ℤ_{ℓ}}

comme produit direct de l’image U_{𝔭} du groupe des unités de K_{𝔭}^{×} (qui s’identifie au ℓ-sous-groupe de Sylow de μ_{𝔭}^{0} pour 𝔭 ∤ ℓ, au groupe U_{𝔭}^{1} sinon) et du ℤ_{ℓ}- module libre de rang 1 engendré topologiquement par l’image de l’uniformisante π_{𝔭}. Cela étant, l’application d’Artin identifie

- le compactifié R_{𝔭} au groupe de Galois Gal(K_{𝔭}^{ab}/K_{p}) de la pro-ℓ-extension abélienne maximale de K_{𝔭},

- le sous-groupe des unités U_{𝔭} au sous-groupe d’inertie Gal(K_{𝔭}^{ab}/K_{𝔭}^{nr}) qui correspond à la ℤ_{ℓ}-extension non ramifiée K_{𝔭}^{nr} de K_{𝔭},

- et le noyau

Ũ_{𝔭} = Ker Log | |_{𝔭}

au sous-groupe Gal(K_{𝔭}^{ab}/K_{𝔭}^{∞}) attaché à la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique K_{𝔭}^{∞} de K_{𝔭} (cf. [J_{1}], §2).

En d’autres termes Ũ_{𝔭} est le groupe des normes cyclotomiques dans R_{𝔭}. Et en particulier, on a : Ũ_{𝔭} = U_{𝔭} pour 𝔭 ∤ ℓ.

2. Expression du symbole de Hilbert en termes de valeurs absolues.

Notons m_{𝔭} l’ordre du sous-groupe de torsion μ_{𝔭} de K_{𝔭}^{×} (i.e. le nombre de racines de l’unité contenues dans le corps local K_{𝔭}), et ω_{𝔭} l’application d’Artin attachée à K_{𝔭} (à valeurs dans le groupe de Galois de l’extension abélienne maximale de K_{𝔭}). Avec ces notations, le symbole de Hilbert est l’application bilinéaire de K_{𝔭}^{×} × K_{𝔭}^{×} sur μ_{𝔭} définie par l’identité :

(\frac{a, b}{K_{𝔭}})_{m_{𝔭}} = \sqrt[m𝔭]{a}^{(ω_{𝔭}(b)−1)}.

Cela posé, le résultat de départ de ce travail peut s’énoncer comme suit :

Théorème 1. Soient ℓ un nombre premier, K_{𝔭} un corps local contenant les racines 2ℓ^{r}-ièmes de l’unité, et m_{𝔭} = 2ℓ^{r}m′_{𝔭} (avec ℓ ∤ m′_{𝔭}) l’ordre du groupe μ_{𝔭}. Alors , si ζ est une racine ℓ^{r}-ième de l’unité dans μ_{𝔭} et x un élément quelconque de K_{𝔭}^{×}, le symbole de Hilbert correspondant est donné par la formule :

(\frac{ζ, x}{K_{𝔭}})_{m_{𝔭}} = ζ^{− Log |x|_{𝔭} / m_{𝔭}} ,

où | |_{𝔭} désigne la valeur absolue ℓ-adique principale sur K_{𝔭}^{×}.

1La définition ci-dessus de la valeur absolue ℓ-adique principale diffère pour ℓ = 2 de celle utilisée dans [J_{1}] où sont prises en compte les composantes sur le facteur {±1} de ℤ_{2}^{×}. Cela est sans conséquence lorsqu’on compose par le logarithme 2-adique.

Preuve. Ecrivons m_{𝔭} = (N𝔭−1)p^{r_{p}} l’ordre de μ_{𝔭}, et distinguons deux cas suivant que la caractéristique résiduelle p de K_{𝔭} est égale à ℓ ou non.

(i) Dans le cas modéré ℓ ≠ p, il est bien connu (cf. [Se], ch. XIV) que la puissance p^{r_{𝔭}}-ième des symbole de Hilbert (\frac{a,b}{K_{𝔭}})_{m_{𝔭}} est le symbole régulier (a, b)_{𝔭} à valeurs dans μ_{𝔭}^{0}, caractérisé par la congruence :

(\frac{a,b}{K_{𝔭}} )_{m_{𝔭}}^{p^{rp}} = (a, b)_{𝔭} ≡ (−1)^{v_{𝔭}(a)v_{𝔭}(b)} \frac{a^{v𝔭(b)}}{b^{v𝔭(a)}} (mod 𝔭) .

Il vient donc ici :

(\frac{ζ,x}{K_{𝔭}})_{m_{𝔭}}^{p^{rp}} = ζ^{v_{𝔭}(x)} = ζ^{− Log |x|_{𝔭}/ Log N𝔭} ,

compte tenu de l’expression dans ce cas de la valeur absolue ℓ-adique :

|x|_{𝔭} =< N𝔭^{−v_{𝔭}(x)} > .

D’autre part, puisque K_{𝔭} est supposé contenir les racines 2ℓ^{r}-ièmes de l’unité, nous avons les congruences :

N𝔭 ≡ 1 (mod ℓ^{r}) si ℓ est impair et

N𝔭 ≡ 1 (mod 2^{r+1}) si ℓ vaut 2,

ce qui nous donne dans les deux cas :

\frac{Log N𝔭}{N𝔭−1} = \frac{Log(1+(N𝔭−1))}{N𝔭−1} ≡ 1 (mod ℓ^{r}) dans ℤ_{ℓ}^{×} .

Il vient donc finalement :

(\frac{ζ, x}{K_{𝔭}})_{m_{𝔭}}^{p^{rp}} = ζ^{− \frac{Log |x|𝔭}{N𝔭−1}} , i.e. (\frac{ζ, x}{K_{𝔭}})_{m_{𝔭}} = ζ^{− Log |x|_{𝔭}/(N𝔭−1)p^{rp}} = ζ^{− Log |x|_{𝔭}/m_{𝔭}},

comme attendu.

(ii) Dans le cas sauvage ℓ = p, considérons la quantité :

(\frac{ζ, x}{K_{𝔭}})_{m_{𝔭}}^{N𝔭−1} = \sqrt[ℓ^{r_{ℓ}}]{ζ}^{(ω_{𝔭}(x)−1)} .

Introduisons le sous-corps C_{𝔩} de K_{𝔭} engendré sur ℚ_{ℓ} par les racines ℓ^{r_{ℓ}}-ièmes de l’unité, et notons ω_{𝔩} l’application d’Artin associée à C_{𝔩}. Nous obtenons immédiatement :

(\frac{ζ, x}{K_{𝔭}})_{m_{𝔭}}^{N𝔭−1} = \sqrt[ℓ^{r_{ℓ}}]{ζ}^{(ω_{𝔩}(N_{K𝔭/C_{𝔩}} (x))−1)} = (\frac{ζ, N_{K_{𝔭}/C_{𝔩}}(x)}{C_{𝔩}})_{m_{𝔩}}^{N𝔩−1} ,

et nous sommes ainsi ramenés à un calcul dans le corps C_{𝔩}, unique complété audessus de ℓ du corps cyclotomique C engendré sur ℚ par les racines ℓ^{r_{ℓ}}-ièmes de l’unité. Or, ici, la formule du produit pour les symboles de Hilbert dans le corps C nous permet d’écrire pour tout y de C^{×} :

(\frac{ζ, y}{C_{𝔩}} )_{m_{𝔩}}^{m_{𝔩}/m} = ∏_{q≠𝔩} (\frac{ζ, y}{C_{𝔮}} )_{m_{𝔮}}^{−m_{𝔮}/m} = ζ^{− ∑_{𝔮≠𝔩} Log |y|_{𝔮}/m} avec \{ \begin{matrix}m = 2ℓ^{r} \\ m_{𝔩} = ℓ^{r_{ℓ}}(N𝔩 − 1) \end{matrix}

compte tenu des formules explicites déjà obtenues dans le cas modéré, c’est-à-dire :

(\frac{ζ,y}{C _{l}} )_{m_{𝔩}}^{m_{𝔩}/m} = ζ^{− Log |y|_{𝔩}/m} ,

en vertu de la formule du produit pour les valeurs absolues, et finalement :

(\frac{ζ,y}{C_{𝔩}} )_{m_{𝔩}}^{N𝔩−1} = ζ^{− Log |y|_{𝔩}/m} ,

pour tout y de C^{×} donc, par densité, pour tout y de C_{𝔩}^{×} ; et en particulier :

(\frac{ζ,x}{K_{𝔭}})_{m_{𝔭}}^{N𝔭−1} = (\frac{ζ,N_{K𝔭/C_{𝔩}} (x)}{C_{𝔩}})_{m_{𝔩}}^{N𝔩−1} = ζ^{− Log |x|_{𝔭}/ℓ^{r_{ℓ}}} ,

ce qui nous donne donc, comme annoncé :

(\frac{ζ, x}{K_{𝔭}}) = ζ^{− Log |x|_{𝔭}/m_{𝔭}}

Au passage, nous retrouverons la classique formule d’Artin-Hasse, généralisée pour ℓ impair par Iwasawa (cf. [Iw]), et qu’on peut aussi obtenir, indépendemment de toute considération de parité, via la théorie de Lubin-Tate (cf., par exemple, [La], Ch.9).

Scolie 2. Conservons les notations du théorème, et supposons ℓ = 2. Alors, si ξ est une racine 2^{r+1}-ième primitive de l’unité dans μ_{𝔭} et x un élément quelconque de K_{𝔭}^{×}, il vient :

(\frac{ξ, x}{K_{𝔭}})_{m_{𝔭}} = (−ξ)^{− Log |x|_{𝔭}/m_{𝔭}}

Preuve. Pour q ∈ 2^{r+1}ℤ_{2}, nous avons en effet :

\frac{Log(1+q)}{q} ≡ 1 − \frac{q}{2} (mod 2^{r+1}) ,

ce qui introduit un signe moins dans les calculs précédents en vertu de l’identité ξ^{2^{r}} = −1.

3.- Valuations logarithmiques sur un corps de nombres.

La formule explicite donnée au théorème 1 invite naturellement à prendre pour ℓ-valuation logarithmique attachée à une place 𝔭 d’un corps de nombres K contenant les racines 2ℓ^{r}-ièmes de l’unité la quantité − Log |x|_{𝔭}/m_{𝔭}. Malheureusement, cette définition donne lieu à des formules de transition inutilement compliquées lorsqu’on compare les ℓ-valuations logarithmes ainsi définies dans K à celles qui leur correspondent dans une extension donné L de K. C’est pourquoi il est préférable de procéder comme suit en posant :

Définition 3. Soit ℓ un nombre premier, K_{𝔭} un corps local et m_{𝔭} = p^{r_{𝔭}}(N𝔭−1) le cardinal du sous-groupe de torsion μ_{𝔭} de K_{p}^{×}. Par ℓ-symbole de Hilbert attaché à K, nous entendons le symbole sur K_{𝔭} à valeurs dans μ_{𝔭} défini sur K_{𝔭}^{×} × K_{𝔭}^{×} par la formule :

(\frac{a, b}{𝔭}) = \{ \begin{matrix}(\frac{a, b}{K_{𝔭}})_{m_{𝔭}}^{p^{rp}} = (\frac{a, b}{K_{𝔭}})_{N𝔭−1} , pour 𝔭 ∤ ℓ \\ (\frac{a, b}{K_{𝔭}})_{m_{𝔭}}^{N𝔭−1} = (\frac{a, b}{K_{𝔭}})_{p^{rp}} , pour 𝔭|ℓ \end{matrix}

obtenue en prenant la partie régulière du symbole de Hilbert ordinaire pour les 𝔭 étrangers à ℓ, et la partie sauvage pour les 𝔭 qui divisent ℓ.

Cela étant, nous avons, en vertu du Théorème 1 :

Définition & Théorème 4. Soient ℓ un nombre premier, et K un corps de nombres contenant les racines 2ℓ^{r}-ièmes de l’unité (pour un r ≥ 1). Pour chaque place ultramétrique 𝔭 de K, nous appelons ℓ-valuation logarithmique^{2} attachée à la place 𝔭 l’application ṽ_{𝔭} définie par :

ṽ_{𝔭} = −\frac{Log | |_{𝔭}}{Log N𝔭} = v_{𝔭}, pour p ∤ ℓ & ṽ_{𝔭} = −\frac{Log | |_{𝔭}}{ℓ^{r_{𝔭}}} , pour 𝔭|ℓ,

où v_{𝔭} est la 𝔭-valuation au sens ordinaire, N𝔭 la norme absolue de la place considérée, Log | |_{𝔭} le logarithme de la valeur absolue ℓ-adique principale associée, et ℓ^{r_{𝔭}} le nombre des racines de l’unité d’ordre ℓ-primaire dans le complété K_{𝔭} pour 𝔭|ℓ.

Avec ces conventions, pour toute racine ℓ^{r}-ième de l’unité ζ dans K, les ℓ-symboles de Hilbert attachés aux diverses places ultramétriques de K satisfont l’identité :

(\frac{ζ, x}{𝔭}) = ζ^{ṽ_{𝔭}(x)}, ∀x ∈ K^{×}.

Scolie 5. Pour chaque place ultramétrique 𝔭, la ℓ-valuation logarithmique ṽ_{𝔭} induit un ℤ_{ℓ}-épimorphisme (que nous continuerons à noter ṽ_{𝔭}) défini sur le compactifié ℓ-adique R_{𝔭} de K_{𝔭}^{×} et à valeurs dans ℤ_{ℓ}, qui a pour noyau le groupe Ũ_{𝔭} des normes cyclotomiques.

Preuve. Nous savons déjà que le noyau Ũ_{𝔭} = Ker Log | |_{𝔭} dans R_{p} est le groupe des normes cyclotomiques. Seule reste donc à vérifier la surjectivité de ṽ_{𝔭}, laquelle résulte immédiatement du Théorème 1 (et de son Scolie pour ℓ = 2), puisque les symboles de Hilbert (\frac{ζ,x}{K_{𝔭}})_{m_{𝔭}} pour ζ dans μ_{𝔭} et x dans K_{𝔭}^{×} prennent

toutes les valeurs dans μ_{𝔭}.

Introduisons maintenant le ℓ-adifié J_{K} du groupe des idèles de K, défini comme le produit

J_{K} = ∏_{𝔭}^{res} R_{𝔭}

des compactifiés ℓ-adiques R_{𝔭}, restreint aux familles (x_{p})_{𝔭} qui vérifient x_{𝔭} ∈ U_{𝔭} pour presque tout 𝔭.

Puisque Ũ𝔭 coïncide avec U_{𝔭} pour 𝔭 ∤ ℓ, la famille ṽ = (v_{𝔭})_{𝔭} des ℓ-valuations logarithmiques envoie J_{K} sur la somme directe ⨁_{𝔭} ℤ_{ℓ} 𝔭 d’autant d’exemplaires de ℤ_{ℓ} que de places ultramétriques de K. Plus précisement :

Définition & Proposition 6. Convenons d’appeler ℓ-diviseur logarithmique toute somme formelle finie

𝔡 = ∑_{𝔭} 𝔞_{𝔭}𝔭

2Pour quelques places de K divisant [K : ℚ], la normalisation retenue ici pour la ℓ-valuation logarithmique peut différer de celle donnée en toute généralité dans [J_{3}]. Comme on passe d’une normalisation à l’autre en multipliant par un élément de ℤ_{ℓ}^{×}, c’est sans conséquence pour ce qui suit.

de places ultramétriques de K à coefficients dans ℤ_{ℓ}. Cela posé, la famille ṽ = (ṽ_{𝔭})_{𝔭} des ℓ-valuations logarithmiques^{3} définit un ℤ_{ℓ}-épimorphisme continu du ℓadifié J_{K} = ∏_{𝔭}^{res} R_{𝔭} du groupe des idèles de K sur le groupe Dℓ_{K} = ⨁_{𝔭} ℤ_{ℓ} 𝔭 des ℓ-diviseurs logarithmiques qui a pour noyau le groupe Ũ_{K} = ∏_{𝔭} Ũ_{𝔭} formé des normes cyclotomiques locales.

Preuve. c’est clair.

Désignons enfin par R_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} K^{×} le sous-groupe principal de J_{K}, de sorte que le quotient Cℓ_{K} = J_{K}/R_{K} s’identifie, par la théorie ℓ-adique du corps de classes, au groupe de Galois Gal(K^{ab}/K) de la pro-ℓ-extension abélienne maximale de K (cf. [J_{1}], §1).

La formule du produit pour les valeurs absolues montre que R_{K} est contenu dans le noyau

J̃_{K} = {(x_{𝔭})_{𝔭} ∈ J_{K} | ∏_{𝔭} |x_{p}|_{𝔭} = 1}

qui s’interprète comme le sous-groupe des normes cyclotomiques globales dans J_{K} (cf. [J_{1}], §3). En particulier, transportant cette inclusion par la valuation ṽ, nous obtenons :

Définition & Proposition 7. Convenons de définir le degré d’un ℓ-diviseur logarithmique 𝔡 par la formule :

deg (∑_{𝔭} a_{𝔭} 𝔭) = ∑_{𝔭} a_{𝔭} deg 𝔭, avec deg 𝔭 = \{ \begin{matrix}Log N𝔭, pour 𝔭 ∤ ℓ \\ ℓ^{r_{𝔭}}, pour 𝔭|ℓ \end{matrix}

obtenue en affectant à chaque place ultramétrique 𝔭 un poids égal au logarithme de la norme absolue de 𝔭 pour 𝔭 ∤ ℓ et au nombre ℓ^{r_{𝔭}} de racines sauvages de l’unité dans K_{𝔭} pour 𝔭 | ℓ.

Cela étant, l’application d̃iv induite par les ℓ-valuations logarithmiques ṽ = (ṽ_{𝔭})_{𝔭} envoie le sous-groupe principal R_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} K^{×} de J_{K} dans le groupe D̃ℓ_{K} des ℓ-diviseurs logarithmiques de degré nul.

Nous disons que l’image P̃ℓ_{K} = d̃iv(R_{K}) est le sous-groupe principal de D̃ℓ_{K}, et que le quotient C̃ℓ_{K} = D̃ℓ_{K}/P̃ℓ_{K} est le ℓ-groupe des classes logarithmiques du corps K.

4. Application au noyau sauvage de K_{2}(K).

Conservons les notations précédentes et intéressons nous au ℓ-sous-groupe de Sylow du noyau WK_{2}(K) dans K_{2}(K) des symboles sauvages ou de Hilbert. Le théorème de Moore sur le K_{2} des corps de nombres nous donne une suite exacte courte :

1 ⟶ WK_{2}(K) ⟶ K_{2}(K) \underrightarrow{λ̃} ˜⊕_{𝔭} μ_{𝔭} ⟶ 1,

où l’application λ̃, induite par les symboles de Hilbert, prend ses valeurs dans le sous-groupe ˜⊕_{𝔭} μ_{𝔭} de la somme directe des groupes locaux de racines de l’unité attachés aux places non complexes de K, formé des familles (ζ_{𝔭})_{𝔭} qui satisfont la formule du produit :

3La définition ci-dessus précise celle donnée dans [J_{2}] : c’est évidemment la formule explicite du théorème 1 qui justifie la normalisation adoptée ici.

∏_{𝔭} ζ_{p}^{m_{𝔭}/m} = 1,

où m_{𝔭} désigne l’ordre de μ_{𝔭} et m celui du sous-groupe de torsion μ_{K} de K^{×}.

Supposons donc que K contienne les racines 2ℓ^{r}-ièmes de l’unité, écrivons m = 2ℓ^{r} m′ (avec r ≥ 1 et ℓ ∤ m′) l’ordre de μ_{K}, et formons la suite exacte du serpent associée au diagramme commutatif :

\xymatrix{1 \ar[r] & WK_{2}(K) \ar[r] \ar[d]^{ℓ^{r}} & K_{2}(K) \ar[r]^{λ̃} \ar[d]^{ℓ^{r}} & ˜⨁_{𝔭} μ_{𝔭} \ar[r] \ar[d]^{ℓ^{r}} & 1 \\ 1 \ar[r] & WK_{2}(K) \ar[r] & K_{2}(K) \ar[r]^{λ̃} & ˜⨁_{𝔭} μ_{𝔭} \ar[r] & 1}

Dans la suite exacte longue obtenue :

1 → _{ℓ^{r}}WK_{2}(K) → _{ℓ^{r}}K_{2}(K) \underrightarrow{λ̃} ˜⊕ _{ℓ^{r}}μ_{𝔭} → ^{ℓ^{r}}WK_{2}(K) → ^{ℓ^{r}}K_{2}(K) \underrightarrow{λ̃} ˜⊕ ^{ℓ^{r}}μ_{𝔭} → 1,

les deux groupes à droite sont isomorphes d’après un résultat de Tate (cf. [Ta])

K_{2}(K)/K_{2}(K)^{ℓ^{r}} ≃ ˜⨁ μ_{𝔭}/μ_{𝔭}^{ℓ^{r}} ;

et les éléments annulés par ℓ^{r} dans K_{2}(K) sont de la forme {ζ, x} pour ζ ∈ _{ℓ^{r}}μ_{K} et x dans K^{×}, c’est-à-dire qu’il proviennent via le symbole universel à valeurs dans K_{2}(K) du produit tensoriel _{ℓ^{r}}μ_{K} ⊗_{ℤ} K^{×} ≃ _{ℓ^{r}}μ_{K} ⊗_{ℤ_{ℓ}} R_{K}. Or :

Lemme 8. L’application ζ ⊗ (∑_{𝔭} ν_{𝔭}𝔭) ↦ (ζ^{ν_{𝔭}})_{𝔭} est un isomorphisme du tensorisé _{ℓ^{r}}μ_{K} ⊗ D̃ℓ_{K} sur la somme directe restreinte ˜⊕ _{ℓ^{r}}μ_{𝔭}.

Preuve. Fixons une racine primitive ℓ^{r}-ième de l’unité ζ dans K et considérons un élément (ζ^{ν_{𝔭}})_{𝔭} de la somme directe ⊕_{𝔭} _{ℓ^{r}}μ_{𝔭} satisfaisant la formule du produit, i.e. vérifiant la congruence :

∑_{𝔭} ν_{𝔭} \frac{m_{𝔭}}{m} ≡ 0 (modℓ^{r}).

Les 𝔭 pour lesquels ν_{𝔭} est non nul étant en nombre fini, le théorème de Čebotarev nous garantit l’existence d’une place 𝔮 en dehors du support de la famille (ν_{𝔭})_{𝔭} qui ne se décompose pas dans l’extension abélienne K[ζ_{2ℓ^{r+1}}]/K, c’est-à-dire pour laquelle \frac{m_{𝔮}}{m} est inversible dans ℤ_{ℓ}. La quantité ν_{𝔮} = −\frac{m}{m_{𝔮}} ∑_{𝔭} ν_{𝔭} \frac{m_{𝔭}}{m} est donc dans ℓ^{r}ℤ_{ℓ}, et si 𝔡 est le diviseur logarithmique de degré nul défini par 𝔡 = ∑_{𝔭} ν_{𝔭}𝔭 + ν_{𝔮}𝔮, il est clair que ζ ⊗ 𝔡 est un antécédent de la famille (ζ^{ν_{𝔭}})_{𝔭} ; ce qui établit la surjectivité. L’injectivité est, elle, immédiate.

Récapitulant ce qui précède, nous obtenons le diagramme exact :

\xymatrix{_{ℓ^{r}}K_{2}(K) \ar[r]^{λ̃} & ˜⨁_{𝔭} _{ℓ^{r}}μ_{𝔭} \ar[r] & _{ℓ^{r}}WK_{2}(K) \ar[r] & 1 \\ _{ℓ^{r}}μ_{K} ⊗ R_{K} \ar[r]^{ṽ} \ar@{->>}[u] & _{ℓ^{r}}μ_{K} ⊗ D̃ℓ_{K} \ar[r] \ar@{->>}[u] & _{ℓ^{r}}μ_{K} ⊗ C̃ℓ_{K} \ar[r] \ar@{->>}[u] & 1}

et le carré à gauche est commutatif en vertu du Théorème 1. Il vient donc finalement, comme annoncé dans [J_{1}] (th. 2.12) :

Théorème 9. Soient ℓ un nombre premier et K un corps de nombres contenant les racines 2ℓ^{r}-ièmes de l’unité pour un r ≥ 1. Ecrivons WK_{2}(K) le noyau dans K_{2}(K) des symboles de Hilbert, _{ℓ^{r}}μ_{K} le sous-groupe de ℓ^{r}-torsion de K^{×}, et C̃ℓ_{K} le ℓ-groupe des classes logarithmiques de K. Les ℓ-valuations logarithmiques induisent alors un isomorphisme canonique :

WK_{2}(K)/WK_{2}(K)^{ℓ^{r}} ≃ _{ℓ^{r}}μ_{K} ⊗ C̃ℓ_{K}.

En particulier, le ℓ-sous-groupe de Sylow du noyau hilbertien et le ℓ-groupe des classes logarithmiques sont simultanément triviaux.

Scolie 10. Le même résultat WK_{2}(K)/WK_{2}(K)^{2^{r+1}} ≃ _{2^{r+1}}μ_{K} ⊗ C̃ℓ_{K} vaut encore à l’ordre r + 1 pour ℓ = 2, mais dans ce dernier cas l’isomorphisme

2^{r+1}μ_{K} ⊗ D̃ℓ_{K} ≃ ˜⊕_{𝔭} _{2^{r+1}}μ_{𝔭}

est donné, pour ξ racine primitive 2^{r+1}-ième de l’unité, par la formule : ξ ⊗ (∑ ν_{𝔭} 𝔭) ↦ ((−ξ^{ν_{𝔭}})_{𝔭|2}, (ξ^{ν_{𝔭}})_{𝔭∤2}) .

L’isomorphisme obtenu est à rapprocher de celui donné par Keune (cf. [Ke], Th. 6.6) qui fait intervenir les ℓ-groupes de ℓ-classes au sens habituel Cℓ′_{K}, mais impose en revanche de monter dans la tour cyclotomique, alors que le Théorème 9 ci-dessus se lit directement dans le corps K. Une version voisine a également été établie par Kramer et Candiotti (cf. [CK], Prop. 2.1), mais l’isomorphisme qu’ils donnent n’est pas canonique et, en particulier, il ne respecte pas l’action galoisienne. Bien entendu, le point essentiel ici est la commutativité du diagramme c’est-à-dire le fait que l’application λ̃ provient de la valuation logarithmique ṽ.

Il est d’autre part tentant, compte tenu de l’isomorphisme entre quotients d’exposant ℓ^{r} donné par le théorème, d’essayer de construire directement un morphisme canonique non plus entre quotients mais entre sous-groupes d’exposant ℓ^{r}. Il se trouve que c’est en effet possible, du moins sous la conjecture de Gross, mais ici encore en acceptant de monter dans la tour cyclotomique.

5. Extension aux corps surciculaires.

Supposons donc toujours que K soit un corps de nombres contenant les racines 2ℓ^{r}-ièmes de l’unité, et introduisons sa ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique^{4}

K_{∞} = ∪_{n∈ℕ} K_{n} avec K_{n} = K[ζ_{ℓ^{n}}],

pour un système cohérent (ζ_{ℓ^{n}})_{n∈ℕ} de racines primitives ℓ^{n}-ièmes de l’unité (i.e. vérifiant ζ_{ℓ^{n+1}}^{ℓ} = ζ_{ℓ^{n}}).

Si maintenant 𝔭 est une place ultramétrique de K, 𝔭_{n} une place de K_{n} audessus de 𝔭 et K_{𝔭_{n}} le complété de K_{n} correspondant, la définition de la valeur absolue ℓ-adique montre que l’on a : |x|_{𝔭_{n}} = |x|_{𝔭}^{[K_{𝔭n}:K_{𝔭}]} et donc :

ṽ_{𝔭_{n}}(x) = ṽ_{𝔭}(x), pour tout x de K^{×},

4K_{∞} est ce qu’il est convenu d’appeler un corps surcirculaire (ou un ℤ_{ℓ}-corps dans la terminologie d’Iwasawa).

c’est-à-dire que la valuation logarithmique d’un élément x de K^{×} en une place 𝔭 peut se calculer en n’importe quelle place au-dessus de 𝔭 à chaque étage fini de la tour d’extensions K_{∞}/K. Il est ainsi naturel de regarder Dℓ_{K} comme un sous-module de Dℓ_{K_{n}} en écrivant formellement :

𝔭 = ∑_{𝔭_{n}|𝔭} 𝔭_{n}

chaque place ultramétrique 𝔭 de K comme somme des places de K_{n} qui sont au-dessus. L’identité immédiate deg_{K_{n}}(∑_{𝔭_{n}|𝔭} 𝔭_{n}) = [K_{n} : K] deg_{K} 𝔭 montre alors que l’on a :

deg_{K_{n}} 𝔡 = [K_{n} : K] deg_{K} 𝔡

pour tout diviseur logarithmique 𝔡 de K, et qu’en particulier D̃ℓ_{K} est contenu dans D̃ℓ_{K_{n}}.

Plus généralement, puisque chaque place ultramétrique 𝔭 de K est finiment décomposée dans la tour cyclotomique K_{∞}/K, nous pouvons encore écrire à la limite

𝔭 = ∑_{𝔭_{∞}|𝔭} 𝔭_{∞}

comme somme des places K_{∞} qui sont au-dessus, avec pour tout x de K^{×} :

ṽ_{𝔭_{∞}}(x) = ṽ_{𝔭}(x) ,

de sorte que l’ensemble de cette discussion peut se résumer comme suit :

Proposition 11. Pour chaque place ultramétrique 𝔭_{∞} du corps surcirculaire K_{∞} = ∪_{n∈ℕ} K_{n}, définissons la ℓ-valuation logarithmique ṽ_{𝔭_{∞}} sur le groupe R_{K_{∞}} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} K_{∞}^{×} = ∪_{n∈ℕ}(ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} K_{n}^{×}) en posant pour tout x de R_{K_{∞}} et tout n assez grand pour que x soit dans R_{K_{n}} :

ṽ_{𝔭_{∞}}(x) = ṽ_{𝔭_{n}}(x) .

Regardons enfin D̃ℓ_{K} comme un sous-module de D̃ℓ_{K_{∞}} = ∪_{n∈ℕ} D̃ℓ_{K_{n}} en définissant les morphismes d’inclusion pour chaque place finie 𝔭_{n} de K_{n} par :

𝔭_{n} = ∑_{𝔭_{∞}|𝔭_{n}} 𝔭_{∞} .

Nous obtenons alors le diagramme commutatif :

\xymatrix{D̃ℓ_{K} = ˜⨁_{𝔭} ℤ_{ℓ} 𝔭 \ar[r] & D̃ℓ_{K_{n}} = ˜⨁_{𝔭_{n}} ℤ_{ℓ} 𝔭_{n} \ar[r] & D̃ℓ_{K_{∞}} = ˜⨁_{𝔭_{∞}} ℤ_{ℓ} 𝔭_{∞} \\ R_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} K^{×} \ar[r] \ar[u]^{d̃iv} & R_{K_{n}} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} K_{n}^{×} \ar[r] \ar[u]^{d̃iv} & R_{K_{∞}} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} K_{∞}^{×} \ar[u]^{d̃iv}}

où les flèches horizontales sont les inclusions canoniques et celles verticales sont induites par les ℓ-valuations logarithmiques.

Définition 12. Nous disons que le quotient C̃ℓ_{K_{∞}} = D̃ℓ_{K_{∞}}/P̃ℓ_{K_{∞}} = \underrightarrow{lim} C̃ℓ_{K_{n}} du groupe des diviseurs de degré nul D̃ℓ_{K_{∞}} par son sous-groupe principal P̃ℓ_{K_{∞}} = d̃iv(R_{K_{∞}}) est le ℓ-groupe des classes logarithmiques du corps K_{∞}.

Cela posé, faisons choix d’une ℤ_{ℓ}-base ζ = (ζ_{ℓ^{n}})_{n∈ℕ} du module de Tate 𝕋_{ℓ} = \underleftarrow{lim} μ_{ℓ^{n}}, c’est-à-dire d’un système projectif de racines primitives ℓ^{n}-ièmes de l’unité, disons (ζ_{ℓ^{n}})_{n} avec ζ_{ℓ^{n+1}}^{ℓ} = ζ_{ℓ^{n}}, pour tout n ∈ ℕ. Avec les conventions ci-dessus, le Théorème 9 s’énonce à la limite comme suit :

Théorème 13. Soient ℓ un nombre premier, K un corps de nombres contenant les racines 2ℓ^{r}-ièmes de l’unité, et K_{∞} la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique de K.

L’application {ζ_{ℓ^{r}}, x} ↦ ζ ⊗ c̃ℓ_{K_{∞}}(ℓ^{−r}d̃iv(x)) (où c̃ℓ_{K_{∞}} désigne la surjection canonique de D̃ℓ_{K_{∞}} sur C̃ℓ_{K_{∞}}) est un épimorphisme du ℓ-groupe de Sylow _{ℓ^{∞}}WK_{2}(K_{∞}) du noyau sauvage WK_{2}(K_{∞}) ⊂ K_{2}(K_{∞}) sur le tensorisé 𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} C̃ℓ_{K_{∞}}^{tor} du sous-groupe de torsion du ℓ-groupe des classes logarithmiques de K_{∞} ; son noyau est le sous-groupe de _{ℓ^{∞}}WK_{2}(K_{∞}) formé des symboles {ζ, x} construits sur les normes cyclotomiques.

En particulier, sous la conjecture de Gross dans K_{∞}, on obtient ainsi l’isomorphisme :

ℓ^{∞}WK_{2}(K_{∞}) ≃ 𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} C̃ℓ_{K_{∞}} .

Remarques. (i) Ce dernier résultat est sans rapport immédiat avec celui énoncé à la fin de la section précédente : On peut aussi, bien entendu, passer à la limite dans l’isomorphisme entre quotients donné par le théorème 9. Il convient cependant pour cela de remplacer le système inductif associé aux applications d’extension par le système projectif associé aux applications normes ou à leurs équivalents (i.e. au transfert en termes de K-théorie). L’isomorphisme final entre modules d’Iwasawa (qui est, lui, indépendant de la conjecture de Gross) :

\underleftarrow{lim}_{ℓ^{∞}}WK_{2}(K_{n}) ≃ 𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} \underleftarrow{lim} C̃ℓ_{K_{n}}

est essentiellement bien connu (cf. [J_{2}]). Par la théorie du corps de classes, la limite projective \underleftarrow{lim} C̃ℓ_{K_{n}} s’interprète en effet comme le groupe de Galois Gal(C′_{∞}/K_{∞}) attaché à la pro-ℓ-extension abélienne maximale de K_{∞} qui est complètement décomposée en chacune de ses places. On notera dans ce cas que la condition normique sur le système projectif de racines de l’unité s’écrit pour ℓ = 2 : N_{K_{n+1}/K_{n}}(ζ_{2^{n+1}}) = ζ_{2^{n}}, i.e. ζ_{2^{n+1}}^{2} = −ζ_{2^{n}}, ce qui introduit bien le signe moins attendu ici, conformément au scolie du théorème 9.

(ii) L’isomorphisme obtenu est à rapprocher, en revanche, du théorème principal de l’article de Kolster (cf. [Ko], th. 2.7). On notera cependant que la définition des groupes C̃ℓ_{K_{n}} est strictement de type corps de classes, tandis que celle des groupes ℌ_{K_{n}}/𝔑_{K_{n}} (dans les notations de [J_{2}]) intervenant dans [Ko] relève de la théorie de Kummer. L’isomorphisme canonique résultant (sous Gross) C̃ℓ_{K_{∞}} ≃ ℌ_{K_{∞}}/𝔑_{K_{∞}} peut être regardé comme l’une des formes les plus élaborées du Spiegelungssatz de Leopoldt.

Preuve du Théorème. Les résultats cohomologiques de Tate (cf. [Ta]) montrent que les éléments de K_{2}(K_{∞}) annulés par une puissance de ℓ sont ceux de la forme {ζ_{ℓ^{r}}, x}, avec r ≥ 1 et x ∈ K_{∞}^{×} (que nous pouvons tout aussi bien regarder dans R_{K_{∞}} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} K_{∞}^{×}, puisqu’il n’est défini qu’à une puissance ℓ^{r}-ième près). Or, ici, pour {ζ_{ℓ^{r}}, x} ∈ WK_{2}(K_{∞}), l’expression explicite des ℓ-symboles de Hilbert donnée par le théorème 3 implique que le diviseur logarithmique d̃iv(x) tombe dans le sous-module ℓ^{r}D̃ℓ_{K_{∞}} de D̃ℓ_{K_{∞}}, ce qui invite à considérer la classe c̃ℓ_{K_{∞}}(ℓ^{−r}d̃iv(x)) dans le groupe C̃ℓ_{K_{∞}}.

Cela étant, l’application ψ | ζ_{ℓ^{r}} ⊗ x ↦ ζ ⊗ c̃ℓ_{K_{∞}}(ℓ^{−r}d̃iv(x)) est clairement un ℤ_{ℓ}-morphisme du groupe {ζ_{ℓ^{r}} ⊗ x ∈ μ_{ℓ^{∞}} ⊗_{ℤ_{ℓ}} R_{K_{∞}}|{ζ_{ℓ^{r}}, x} ∈ WK_{2}(K_{∞})} sur le produit 𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} C̃ℓ_{K_{∞}}^{tor}. Son noyau est formé des éléments ζ_{ℓ^{r}} ⊗ x pour lesquels d̃iv(x) est de la forme ℓ^{r}d̃iv(y) pour un y de R_{K_{∞}}, autrement dit pour lesquels x s’écrit x = ε y^{ℓ^{r}} avec d̃iv ε = 0. Il vient donc :

Ker ψ = {ζ_{ℓ^{r}} ⊗ ε ∈ μ_{ℓ^{∞}} ⊗_{ℤ_{ℓ}} R_{K_{∞}} | d̃iv ε = 0} .

Et le noyau de ψ est le sous-module de μ_{ℓ^{∞}} ⊗ R_{K_{∞}} construit sur les normes cyclotomiques.

En particulier (cf. [Ko] ou [J_{2}], th. 8 (ii)), Ker ψ contient le noyau universel :

{ζ_{ℓ^{r}} ⊗ x ∈ μ_{ℓ^{∞}} ⊗ R_{K_{∞}} | {ζ_{ℓ^{r}}, x} = 1 dans WK_{2}(K_{∞})} ;

ce qui conduit bien à l’épimorphisme annoncé : _{ℓ^{∞}}WK_{2}(K_{∞}) ↠ 𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} C̃ℓ_{K_{∞}}^{tor}.

Plus précisément même, la conjecture de Gross affirmant l’égalité de Ker ψ et du noyau universel ainsi que celle de C̃ℓ_{K_{∞}} et de son sous-groupe de torsion, nous obtenons dans ce cas un isomorphisme canonique :

ℓ^{∞}WK_{2}(K_{∞}) ≃ 𝕋_{ℓ} ⊗ C̃ℓ_{K_{∞}},

ce qui ramène l’étude arithmétique des noyaux hilbertiens attachés aux corps surcirculaires celle des ℓ-groupes de classes logarithmiques de ces corps.

Comme expliqué dans [J_{2}], cet isomorphisme ne se redescend pas, en général, à un niveau fini de la tour cyclotomique.

Références

[CK] A. Candiotti & K. Kramer, On the 2-Sylow-subgroup of the Hilbert kernel of K_{2} of number fields, Acta Arithmetica 52 (1989), 49–65.

[Iw] K. Iwasawa, On explicit formulas for the norm residue symbol, J. Math. Soc. Japan 20 (1968), 151–165.

[Ja_{0}] J.-F. Jaulent, L’arithmétique des ℓ-extensions (Thèse d’Etat), Pub. Math.

Fac. Sci. Besançon Théor. Nombres 1984-85 & 1985/86, fasc. 1 (1986), 1–349. [Ja_{1}] J.-F. Jaulent, Sur l’indépendance ℓ-adique de nombres algébriques, J. Théor.

Nombres Bordeaux 2 (1990), 377–411. [Ja_{2}] J.-F. Jaulent, Noyau universel et valeurs absolues, Astérisque 198-199-200

(1991), 187-207. [Ja_{3}] J.-F. Jaulent, Classes logarithmiques des corps de nombres, J. Théor. Nombres

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[Ke] F. Keune, On the structure of the K_{2} of the ring of integers in a number field, K-Theory 2 (1989), 625–645.

[Ko] M. Kolster, An idelic approach to the wild kernel, Invent. Math. 103 (1991), 9–24.

[La] S. Lang, Cyclotomic fields, GMT 59, Springer Verlag, New-York Heidelberg Berlin (1978).

[Se] J.-P. Serre, Corps locaux, Hermann, Paris (1968).

[Ta] J. Tate, Relations between K_{2} and galois cohomology, Invent. Math. 36 (1976), 257–274.

Jean-François Jaulent Institut de Mathématiques Université Bordeaux I 351, cours de la libération F-33405 Talence Cedex jaulent@math.u-bordeaux1.fr