Noyau universel et valeurs absolues^{∗}

Jean-François Jaulent

à la mémoire de Georges Poitou

Résumé. Nous discutons les relations entre le noyau universel de Tate pour la Kthéorie des corps de nombres, le radical initial des ℤ_{ℓ}-extensions et le noyau des valeurs absolues ℓ-adiques aux divers étages de la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique d’un corps de nombres F contenant les racines 2ℓ-ièmes de l’unité, à la lumiére de la théorie ℓ-adique globale du corps de classes introduite dans [Ja_{2}] et des conjectures de Leopodt et de Gross.

Abstract. We discuss the relationship between the universal kernel introduced by Tate in the K-theory of number fields, the radical associated to the ℤ_{ℓ}-extensions and the kernel of the ℓ-adic absolute values in the cyclotomic ℤ_{ℓ}-extension of a number field F which contains the 2ℓ-th roots of unity. Our study relies on the ℓ-adic global class field theory introduced in [Ja_{2}] and both involves the generalized Leopoldt and Gross conjectures.

Introduction

L’objet du travail est de présenter quelques unes des relations entre la ℓpartie du noyau universel de Tate, pour la K-théorie d’un corps de nombres F contenant les racines 2ℓ-ièmes de l’unité, et le noyau des valeurs absolues ℓ-adiques principales, définies sur le ℓ-adifié du groupe des idèles de F, à la lumière des conjectures de Leopoldt et de Gross généralisées.

En fait cet article trouve sa motivation dans de récents travaux de M. Kolster [Ko] et de K. Kramer [Kr], qui recoupent des résultats antérieurs de l’auteur [Ja_{2}] et de T. Nguyen Quang Do [Ng_{2}] obtenus par d’autres voies, et mettent plus particulièrement en relief le réle non explicité jusqu’ici d’un noyau remarquable que l’on peut construire trés facilement en s’aidant des valeurs absolues ℓ-adiques principales (i.e. des valeurs absolues à valeurs ℓ-adiques) attachées aux places non complexes d’un corps de nombres quelconque.

Notre point de départ sera donc la théorie ℓ-adique du corps de classes, élaborée dans [Ja_{2}], que nous allons brièvement rappeler.

∗Astérisque 198-199-200 (1991), 187-207.

1. Le ℓ-adifié du groupe des idèles d’un corps de nombres

Fixons une fois pour toutes un nombre premier ℓ et considérons un corps de nombres F arbitraire (mais de degré fini sur ℚ).

Le groupe des idèles classique de F est défini depuis Chevalley comme le produit restreint

J_{F} = ∏_{𝔭∈P l_{F}}^{res} F_{𝔭}^{×}

des groupes multiplicatifs des complétés respectifs de F en ses diverses places.Le facteur F_{𝔭}^{×} désigne donc :

- soit le groupe divisible ℂ^{×}, si 𝔭 est complexe ;

- soit le groupe ℝ^{×} = {±1} × ℝ_{+}^{×}, si 𝔭 est réelle ;

- soit le produit F_{𝔭}^{×} = μ_{𝔭}^{0} U_{𝔭}^{1} π_{𝔭}^{ℤ} du groupe fini μ_{𝔭}^{0} des racines de l’unité dans F_{𝔭} d’ordre étranger à 𝔭, du groupe U_{𝔭}^{1} des unités principales de F_{𝔭} et du ℤ-module libre engendré par une uniformisante arbitraire π_{𝔭}.

Dans aucun des cas, F_{𝔭}^{×} n’est donc un ℤ_{ℓ}-module. Ainsi, pour construire un tel module à partir de F_{𝔭}^{×}, la solution la plus économique consiste-t-elle à former la limite projective

R_{F_{𝔭}} = \underleftarrow{lim}_{n} F^{×}/F^{×ℓ^{n}}

des quotients ℓ-primaires du groupe F^{×}. Cela étant, le passage au quotient ayant pour effet de tuer la partie ℓ-divisible de f^{×}, le module obtenu est évidemment trivial lorsque 𝔭 est complexe ; et il est égal à {±1}^{ℤ_{ℓ}/2ℤ_{ℓ}}, lorsque 𝔭 est réelle, donc encore trivial, sauf dans le cas ℓ = 2 pour lequel il est isomorphe à ℤ/2ℤ.

Enfin, si 𝔭 est ultramétrique, deux cas se présentent :

- ou bien 𝔭 est modérée (i.e. étrangère à ℓ) et

R_{F_{𝔭}} = μ_{𝔭} π_{𝔭}^{ℤ_{ℓ}}

s’identifie au produit du ℓ-groupe de Sylow μ_{𝔭} de μ_{𝔭}^{0} et du ℤ_{ℓ}-module libre engendré par l’image de l’uniformisante π_{𝔭} (que nous écrirons encore π_{𝔭}) ;

- ou bien 𝔭 est sauvage (i.e. au-dessus de ℓ) et

R_{F_{𝔭}} = U_{𝔭}^{1} π_{𝔭}^{ℤ_{ℓ}}

est le produit du sous-groupe U_{𝔭}^{1} des unités principales de F_{𝔭} et du ℤ_{ℓ}- module libre engendré par l’image de π_{𝔭} (que nous écrirons encore π_{𝔭}).

Dans tous les cas, R_{F_{𝔭}} est ainsi un ℤ_{ℓ}-module noethérien (donc compact pour sa topologie naturelle de ℤ_{ℓ}-module) et il est commode d’écrire :

R_{F_{𝔭}} = U_{𝔭} π_{𝔭}^{ℤ_{ℓ}}

en convenant de prendre π_{𝔭} = −1 pour 𝔭 réelle lorsque ℓ vaut 2.

Il est alors naturel de définir le ℓ-adifié J_{F} du groupe des idèles J_{F} comme le produit restreint :

J_{F} = ∏_{𝔭∈P l_{F}}^{res} R_{F_{𝔭}}

c’est-é-dire comme la réunion sur tous les ensembles finis S de places de F :

J_{F} = ⋂_{S⊂P l_{F}} U_{F}^{S} , avec U_{F}^{S} = ∏_{𝔭∈S} R_{F_{𝔭}} ∏_{𝔭∉S} U_{F_{𝔭}} ;

et d’équiper J_{F} de la topologie limite inductive des topologies des U_{F}^{S} ; ces derniers étant regardés comme compacts en tant que produits de modules compacts, de sorte que la topologie de J_{F} n’est pas la restriction à J_{F} du produit des topologies des R_{F_{𝔭}}, mais fait cependant de J_{F} une réunion dénombrable de sous-modules compacts.

Si maintenant on prend comme ℓ-adifié du groupe des idèles principaux le tensorisé ℓ-adique

R_{F} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} F^{×}

du groupe multiplicatif de F (qui joue donc le rôle du rayon), et qu’on envoie R_{F} dans J_{F} en s’aidant du plongement diagonal de F^{×} dans J_{F}, le résultat fondamental du corps de classes ℓ-adique est le suivant (cf. [Ja_{2}], Th. I.1.13) :

Théorème 1 (Isomorphisme ℓ-adique du corps de classes). Le groupe R_{F} des idèles principaux s’identifie canoniquement à un sous-groupe fermé du groupe des idèles J_{F} et le quotient topologique

C_{F} = J_{F} /R_{F}

est un groupe compact isomorphe au groupe de Galois G_{F} = Gal(\overline{F}^{ab}/F) de la pro-ℓ-extension maximale \overline{F}^{ab} du corps F.

Sans doute n’est-il pas inutile de rappeler, puisqu’elle intervient plus loin, comment s’exprime dans ce contexte la conjecture de Leopoldt : désignons pour cela par μ_{F} le ℓ-groupe des racines de l’unité dans F (i.e. le ℓ-sous-groupe de Sylow de F^{×}) puis, pour chaque place 𝔭 de F, écrivons μ_{𝔭} son homologue dans F_{𝔭}. Cela posé, nous avons (cf. [Ja_{2}], Ch. I) :

Conjecture de Leopoldt généralisée. Les idèles principaux (i.e. les éléments de R_{F}) qui sont localement partout des racines de l’unité (dans J_{F}) sont des racines globales de l’unité ; ce qui s’écrit :

R_{F} ∩ ∏_{𝔭∈P l_{F}} μ_{𝔭} = μ_{F} .

Bien entendu, les idèles concernés étant trivialement des unités, i.e. des éléments du tensorisé ℓ-adique

E_{F} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} E_{F}

du groupe des unités E_{F} de F, la conjecture précédente revient à affirmer que le rang ℓ-adique du groupe des unités de F est égal au nombre de Dirichlet r_{F} + c_{F} − 1, ce qui, lorsque le corps F est totalement réel, est bien le postulat initial de H.W. Leopoldt.

2. Définition des valeurs absolues ℓ-adiques principales

On sait que les valeurs absolues réelles (c’est-é-dire à valeurs dans ℝ^{×}), attachées aux diverses places d’un corps de nombres F et définies sur le groupe des idèles J_{F}, sont telles que leurs restrictions à F^{×} satisfont la formule du produit :

∏_{𝔭∈P l_{F}} | x |_{𝔭} = 1, ∀x ∈ F^{×}.

Pour obtenir un analogue dans J_{F}, il est nécessaire de définir des valeurs absolues à valeurs non dans ℝ_{+}^{×} mais dans le groupe multiplicatif ℤ_{ℓ}^{×}; en fait dans son sous-groupe principal 1+ℓℤ_{ℓ}. Pour cela on peut procéder comme suit :

- pour ℓ impair, soit :

< · > = ⟨ · ⟩ | ℤ_{ℓ}^{×} → 1 + ℓℤ_{ℓ}

la projection canonique de ℤ_{ℓ}^{×} sur 1+ℓℤ_{ℓ}, qui a pour noyau le sous-groupe μ_{ℓ}^{0} des racines (ℓ − 1)-ièmes de l’unité dans ℤ_{ℓ};

- et pour ℓ = 2, soit :

< · > = sg(·)) ⟨ · ⟩ | ℤ_{2}^{×} → {±1} (1 + 4ℤ_{2})

la décomposition canonique de ℤ_{2}^{×} = 1 + 2ℤ_{2} ≃ {±1}(1 + 4ℤ_{2}).

Définition 2. Pour chaque place 𝔭 de F on définit sur le ℓ-adifié J_{F} du groupe des idèles du corps F une valeur absolue || · ||_{𝔭} à valeurs dans 1 + ℓℤ_{ℓ}, qui se factorise via le compactifié profini R_{F_{𝔭}}, en posant pour tout 𝔵 = (x_{𝔭})_{𝔭} de J_{F} :

(i) || 𝔵 ||_{𝔭}:= 1, si 𝔭 est complexe ;

(ii) || 𝔵 ||_{𝔭}:=< sg(x_{𝔭} >, si 𝔭 est réelle ;

(iii) || 𝔵 ||_{𝔭}:=< N𝔭^{−v_{𝔭}(x_{𝔭})} >, si 𝔭 est ultramétrique mais étrangére à ℓ; (iv) || 𝔵 ||_{𝔭}:=< N_{F_{𝔭}/ℚ_{ℓ}}(x_{𝔭})N𝔭^{−v_{𝔭}(x_{𝔭})} >, enfin si 𝔭 est au-dessus de ℓ.

Nous disons que || · ||_{𝔭} est la valeur absolue ℓ-adique signée attachée à 𝔭; et que

| · |_{𝔭} := ⟨ || · ||_{𝔭}⟩

est la valeur absolue ℓ-adique principale (é valeurs dans 1 + 2ℓℤ_{ℓ}) attachée à 𝔭.

Remarque. La valeur absolue principale ainsi définie ne coïncide pas exactement avec celle donnée par J. Tate (cf. [Ta_{2}], Ch. VI, Déf. 1.1). Plus précisément, elle est égale au crochet ⟨ · ⟩ de la valeur absolue de Tate.

Dans les trois premiers cas la définition des valeurs absolues ℓ-adiques est la transposition directe de la définition réelle, le choix de la norme absolue N𝔭 correspondant à une normalisation naturelle. La condition (iv) est alors dictée par la formule du produit. En effet, avec les conventions précédentes, on a immédiatement (cf. [Ja_{2}], Prop. I.1.8), comme attendu :

∏_{𝔭∈P l_{F}} || x ||_{𝔭} = ∏_{p∈P l_{ℚ}} || N_{F/ℚ}(x) ||_{p} = 1, ∀x ∈ F^{×}.

D’un autre cété, pour chaque place finie 𝔭, l’image | R_{F_{𝔭}} |_{𝔭} est évidemment un sous-module d’indice fini de 1+2ℓℤ_{ℓ}. En particulier, c’est un ℤ_{ℓ}-module libre de rang 1 et le noyau Ũ_{F_{𝔭}} de | · |_{𝔭} est ainsi un sous-module pur de R_{F_{𝔭}} :

Proposition 3. Le noyau Ũ_{F_{𝔭}} dans R_{F_{𝔭}} de la valeur absolue ℓ-adique principale | · |_{𝔭} est donné par les formules suivantes :

(i) Ũ_{F_{𝔭}} = U_{F_{𝔭}}, pour 𝔭 ∤ ℓ. Autrement dit, Ũ_{F_{𝔭}} est trivial si 𝔭 est réelle ; il est égal au sous-groupe de torsion μ_{𝔭} de R_{F_{𝔭}} si 𝔭 est une place ultramétrique qui ne divise pas ℓ.

(ii) Ũ_{F_{𝔭}} = Ker (Log_{ℓ} ∘N_{F_{𝔭}/ℚ_{ℓ}}), oé Log_{ℓ} est le logarithme d’Iwasawa dans ℚ_{ℓ}^{×}, pour 𝔭 | ℓ. Dans ce cas, Ũ_{F_{𝔭}} est le produit direct du sous-groupe de torsion μ_{𝔭} de R_{F_{𝔭}} et d’un ℤ_{ℓ} module libre de dimension [F_{𝔭} : ℚ_{ℓ}] ; et c’est encore un sous-module pur de R_{F_{𝔭}}.

Preuve. le cas (i) étant immédiat, examinons attentivement le cas (ii). Si 𝔭 divise ℓ, la condition | x_{𝔭} |_{𝔭}= 1 s’écrit pour un x_{𝔭} de R_{F_{𝔭}} :

⟨N_{F_{𝔭}/ℚ_{ℓ}}(x_{𝔭})N𝔭^{−v_{𝔭}(x_{𝔭})}⟩ = 1.

Elle affirme donc que la norme locale de x_{𝔭} s’écrit comme produit d’une puissance de ℓ ( qui est nécessairement N𝔭^{−v_{𝔭}(x_{𝔭})}) et d’une racine de l’unité. Mais cette propriété caractérise précisément le logarithme d’Iwasawa dans ℚ_{ℓ}, ce qui conduit à l’égalité annoncée.

Remarque. Lorsque ℓ vaut 2, la condition || x_{𝔭} ||_{𝔭}= 1 pour 𝔭 | ℓ s’écrit :

N_{F_{𝔭}/ℚ_{ℓ}}(x_{𝔭}) ∈ 2^{ℤ_{2}}.

Elle définit donc un sous-groupe Ũ_{F_{𝔭}}^{+} d’indice 1 ou 2 du noyau Ũ_{F_{𝔭}} de la valeur absolue principale | · |_{𝔭}. Cet indice s’interprète d’ailleurs très simplement par la théorie locale du corps de classes.

Considérons, en effet, l’extension abélienne de F_{𝔭}, disons L_{𝔭}, qui est associée à Ũ_{F_{𝔭}}^{+} par le corps de classes : le groupe de Galois G_{𝔭} = Gal(\overline{F} _{𝔭}^{ab}/F_{𝔭}) de la pro-ℓ-extension abélienne maximale \overline{F} _{𝔭}^{ab} de F_{𝔭} s’identifiant au groupe profini R_{F_{𝔭}} = \underleftarrow{lim} F_{𝔭}^{×}/F_{𝔭}^{× ℓ^{n}}, le corps L_{𝔭} est tout simplement la sous-extension de \overline{F} _{𝔭}^{ab} qui est fixée par Ũ_{F_{𝔭}}^{+} :

- si 𝔭 est réelle (i.e. pour F_{𝔭} = ℝ), c’est ℝ si ℓ est impair et ℂ si ℓ vaut 2 ; et, dans les deux cas, c’est la ℓ-extension cyclotomique de ℝ;

- si 𝔭 est modérée (i.e. ultramétrique mais étrangère à ℓ), Ũ_{F_{𝔭}}^{+} s’identifie au sous-groupe d’inertie de G_{𝔭} et L_{𝔭} est donc la pro-ℓ-extension abélienne maximale non ramifiée de F_{𝔭}; c’est-é-dire sa ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique.

- si 𝔭 est sauvage (i.e. au-dessus de ℓ) et ℓ est impair, Ũ_{F_{𝔭}}^{+} est l’image réciproque par la norme locale N_{F_{𝔭}/ℚ_{ℓ}} du noyau dans ℚ_{ℓ} du logarithme d’Iwasawa, noyau qui est précisément constitué des normes cyclotomiques ; de sorte que dans ce cas encore L_{𝔭} est exactement la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique de F_{𝔭};

- enfin si 𝔭 est sauvage et ℓ vaut 2, la même description normique montre que L_{𝔭} est la pro-2-extension cyclotomique maximale de F_{𝔭}, laquelle est une extension au plus quadratique de la ℤ_{2}-extension cyclotomique de F_{𝔭}.

3. Le groupe des classes de valeurs absolues

Nous avons vu dans la section précédente que les idèles principaux (i.e. les éléments de R_{F_{𝔭}}) satisfont la formule du produit pour les valuations ℓ-adiques :

|| x || := ∏_{𝔭∈P l(F)} | x |_{𝔭} = 1.

Désignons par J̃_{F} le sous-groupe fermé de J_{F} constitué de tous les idèles qui vérifient la formule du produit :

J̃_{F} = ˜∏_{𝔭∈P l(F)}R_{F_{𝔭}} = {((x_{𝔭})_{𝔭} ∈ J_{F} | || x || := ∏ | x |_{𝔭} = 1}.

C’est un sous-module fermé de J_{F} qui contient R_{F} et il lui correspond donc, par la théorie ℓ-adique du corps d classes, une extension abélienne de F, disons F_{∞}. Pour la déterminer, il suffit de remarquer que J̃_{F} est l’image réciproque par la norme arithmétique N_{F/ℚ} de son analogue J̃_{ℚ} dans J_{ℚ}. Maintenant, un calcul immédiat montre que J̃_{ℚ} est engendré par R_{ℚ} et le produit ∏_{p≠ℓ} U_{p}. La proℓ-extension abélienne de ℚ associée à J̃_{F} est donc celle ℓ-ramifiée maximale, c’est-à-dire tout simplement la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique ℚ_{∞} de ℚ; et celle associée à J̃_{F} est donc la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique F_{∞} = F ℚ_{∞} de F.

Définition 4. Etant donné un corps de nombres F, soit (i) J̃_{F} = ˜∏_{𝔭∈P l(F)}R_{F_{𝔭}} le noyau dans J_{F} de la formule du produit, (ii) Ũ_{F}^{+} = ∏_{𝔭∈P l(F)} Ũ_{F_{𝔭}}^{+} le noyau des valeurs absolues ℓ-adiques et

(iii) Ũ_{F} = ∏_{𝔭∈P l(F)} Ũ_{F_{𝔭}} le noyau des valeurs absolues principales. Nous disons que le quotient

C̃ℓ_{F}^{+} := J̃_{F} /Ũ_{F}^{+}R_{F}

est le groupe des classes de valeurs absolues du corps F ; et que son quotient

C̃ℓ_{F} := J̃_{F} /Ũ_{F} R_{F}

est le ℓ-groupe des classes logarithmiques de F.

L’appellation classes logarithmiques se comprend comme suit : aux places finies modérées, l’application composée de la valeur absolue ℓ-adique principale | · |_{𝔭} sur R_{F_{𝔭}} et de l’opposé du logarithme ℓ-adique Log_{ℓ}, défini sur le groupe multiplicatif 1 + 2ℓ‘Zl par son développement en série

− Log_{ℓ}(1 + x) = ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n}x^{n},

induit un isomorphisme du quotient R_{F_{𝔭}}/Ũ_{F_{𝔭}} sur le sous-module de ℤ_{ℓ} engendré par le logarithme ℓ-adique de la norme absolue de l’idéal 𝔭 :

R_{F_{𝔭}}/ Ũ_{F_{𝔭}} = ℤ_{ℓ} Log_{ℓ} N𝔭.

Comme un résultat semblable (bien que plus compliqué) vaut pour les places sauvages, le quotient J̃_{F} /Ũ_{F} représente en quelque sorte le ℓ-groupe des diviseurs logarithmiques du corps F ; et son quotient par le sous groupe principal R_{F_{𝔭}} Ũ_{F} /Ũ_{F} est bien le ℓ-groupe des classes logarithmiques de F.

Cela posé, nous avons :

Conjecture de Gross généralisée. Le groupe C̃ℓ_{F} est fini.

Pour retrouver la conjecture initiale de Gross dans cette formulation, considérons la suite exacte canonique (ou le tilde signifie que l’on se restreint aux familles qui vérifient la formule du produit) :

[figure: E′_{F}; ˜∏_{𝔭|ℓ} | R_{F_{𝔭}} |_{𝔭}; C̃ℓ_{F}; Cℓ′_{F}; E′_{F}; ˜∏_{𝔭|ℓ}R_{F_{𝔭}}/Ũ_{F_{𝔭}}; ≃; J̃_{F} /Ũ_{F} R_{F}; ≃; J_{F} /U_{F}^{ℓ∞}R_{F}; ≃]

Dans celle-ci le terme de gauche E_{F} = ℤ_{ℓ} ⊗ E′_{F} est le tensorisé ℓ-adique du groupe des unités de F ; le terme de droite Cℓ′_{F} n’est rien d’autre que le ℓ-groupe des ℓ-classes d’idéaux (i.e. le quotient du ℓ-groupe des classes d’idéaux au sens ordinaire par le sous-groupe engendré par les classes des idéaux premiers audessus de ℓ) ; le terme en ˜∏ est un ℤ_{ℓ}-module libre de dimension l_{F} − 1, si l_{F} désigne le nombre de places de F au-dessus de ℓ; et C̃ℓ_{F} est le ℓ-groupe des classes logarithmiques. Cela étant, le groupe Cℓ′_{F} étant fini, affirmer la finitude du groupe C̃ℓ_{F} équivaut donc à affirmer que le sous-module de ˜∏_{𝔭|ℓ} | R_{F_{𝔭}} |_{𝔭} qui est engendré par les valeurs absolues principales des ℓ-unités de F est encore de dimension l_{F} − 1 ; ce qui, appliqué aux seules composantes imaginaires pour un corps à conjugaison complexe (i.e. extension quadratique totalement imaginaire d’un sous-corps totalement réel) est bien la première conjecture de B.H. Gross.

Pour relier maintenant la conjecture de Gross à ses interprétations cyclotomiques, il est commode de réinterpréter le groupe C̃ℓ_{F} ≃ J̃_{F} /Ũ_{F} R_{F} à l’aide de la théorie ℓ-adique du corps de classes :

- D’un coté, nous avons vu plus haut que le numérateur J̃_{F} est associé à la ℓ-extension cyclotomique F_{∞} de F.

- D’un autre coté, nous savons par la théorie locale du corps de classes que le facteur Ũ_{F_{𝔭}} de R_{F_{𝔭}} est le groupe de normes qui correspond à la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique locale F_{𝔭}^{c} de F_{𝔭}. L’extension globale associée au produit Ũ_{F} R_{F} est donc la plus grande ℓ-extension abélienne de de F qui est localement cyclotomique en chacune des places de F, autrement dit la pro-ℓ-extension maximale K_{∞} de F_{∞} qui est abélienne sur F et complètement décomposée partout sur F_{∞}.

Remarque. Aux places modérées la montée dans la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique F_{∞}/F ayant épuisé les possibilités d’inertie, la condition de complète décomposition est simplement une condition de non ramification. Le corps L_{∞} est donc aussi la pro-ℓ-extension abélienne maximale de F qui est non ramifiée et ℓ-décomposée sur F_{∞} : c’est ce qu’il est convenu d’appeler le ℓ-corps des ℓ-genres de l’extension profinie F_{∞}/F. C’est pourquoi, puisque F_{∞}/F est procyclique, disons F_{∞} = ∩_{n∈ℕ}F_{n} avec F_{n} cyclique de degré ℓ^{n}, le groupe C̃ℓ_{F} s’identifie au quotient des genres

C̃ℓ_{F} = C_{∞}/C_{∞}^{γ−1}

oé C_{∞} = \underleftarrow{lim} Cℓ′_{F_{n}} est le groupe de Galois de la ℓ-extension abélienne non ramifiée ℓ-décomposée maximale de F_{∞} et γ un générateur topologique du groupe procyclique Γ = Gal(F_{∞}/F). On retrouve ainsi l’interprétation classique de la conjecture de Gross, qui consiste à postuler que le polynôme caractéristique P ∈ ℤ_{ℓ}[γ − 1] du ℤ_{ℓ}[[γ − 1]]-module C_{∞} n’est pas un multiple de (γ − 1) (cf. [Ja_{2}], p. 317).

4. Le noyau des valeurs absolues

Supposons, pour simplifier l’exposé que la ℓ-tour cyclotomique L de F soit procyclique (ce qui est automatique lorsque ℓ est impair, mais peut être en défaut si ℓ vaut 2).^{1} Précisément, lorsque ℓ vaut 2, le corps F est nécessairement totalement imaginaire, de sorte que l’hypothèse faite implique en particulier que les valeurs absolues attachées aux places réelles n’intervienne pas (parce qu’elles sont triviales pour ℓ impair, parce qu’il n’y en pas pas pour ℓ = 2). Plus généralement, l’image || R_{F_{𝔭}} ||_{𝔭} ≃ R_{F_{𝔭}}/Ũ_{F_{𝔭}} du compactifié R_{F_{𝔭}} par la valeur absolue correspondante || · ||_{𝔭} est alors un ℤ_{ℓ}-module libre quelle que soit la place 𝔭 (de rang 0 si 𝔭 est réelle ou complexe, 1 sinon) et la valeur absolue ℓ-adique || · ||_{𝔭} coïncide avec la valeur absolue principale | · |_{𝔭}.

Introduisons maintenant le noyau N_{F} = R_{F} ∩ Ũ_{F} des valeurs absolues dans R_{F}, qui est contenu dans le tensorisé E′_{F} = ℤ_{ℓ} ⊗ E′_{F} du groupe des ℓ-unités de F. Cela étant, dans la suite exacte déjé rencontrée :

\xymatrix{1 \ar[r] & N_{F} \ar[r] & E′_{F} \ar[r] & ˜∏_{𝔭|ℓ} | R_{F_{𝔭}} |_{𝔭} \ar[r] & C̃ℓ_{F} \ar[r] & Cℓ′_{F}}

le terme médian ∏_{𝔭|ℓ} | R_{F_{𝔭}} |_{𝔭} est un ℤ_{ℓ}-module libre de dimension l_{F} −1 (où l_{F} désigne le nombre de places sauvages de F) et E′_{F} est le produit du sous-module de torsion μ_{F} de R_{F} (i.e. du ℓ-groupe des racines de l’unité de F) par un ℤ_{ℓ}- module libre de dimension : r_{F} +c_{F} +l_{F} −1 (si r_{F} et c_{F} dénotent respectivement les nombres de places réelles et complexes de F).

Nous pouvons donc énoncer :

Proposition 5. Le noyau N_{F} = R_{F} ∩ Ũ_{F} dans R_{F} des valeurs absolues ℓadiques principales est un ℤ_{ℓ}-module noethérien de dimension :

r_{F} + c_{F} + δ_{F}

oé r_{F} est le nombre de places réelles de F ; c_{F} le nombre de places complexes ; et δ_{F} := dim_{ℤ_{ℓ}} C̃ℓ_{F} mesure le défaut de la conjecture de Gross dans F.

Scolie 6. Le tensorisé 𝔑_{F} := (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} N_{F} est un ℤ_{ℓ}-module divisible de codimension^{2} :

r_{F} + c_{F} + δ_{F} .

On notera, en effet, que le produit tensoriel par le groupe divisible ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ} a eu pour conséquence de tuer le sous-groupe de torsion μ_{F} de N_{F}.

Ce point acquis, le théorème principal de [Ko] (Th. 1.12) peut s’énoncer comme suit : désignons par ℌ_{F} le radical hilbertien attaché au corps F défini par

ℌ_{F} = {ℓ^{−k} ⊗ x ∈ ℜ_{F} := (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} R_{F} | x ∈ J_{F}^{ℓ^{k}} Ũ_{F} }.

Nous avons alors :

1. Pour ℓ = 2, cela revient à supposer que l’on a : i ∈ F_{∞}; i.e. dans la pratique : i ∈ F_{1}

2. La codimension d’un ℤ_{ℓ}-module divisible est la dimension sur ℤ_{ℓ} de son dual de Pontrjagin.

Théorème 7. Il existe une suite exacte naturelle scindée de ℤ_{ℓ}-modules :

1 → 𝔑_{F} = ℌ_{F}^{div} → ℌ_{F} → C̃ℓ_{F}^{tor} → 1

oé C̃ℓ_{F}^{tor} est le sous-groupe de torsion du groupe des classes logarithmiques C̃ℓ_{F} (autrement dit C̃ℓ_{F} lui-méme, sous la conjecture de Gross) et 𝔑_{F} = ℌ_{F}^{div} le sous-module divisible maximal de ℌ_{F}.

Preuve du Théoréme. Remarquons d’abord que N_{F} étant un sous-module pur de R_{F}, comme expliqué à la proposition 5, son tensorisé 𝔑_{F} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} N_{F} est un sous-module du tensorisé ℜ_{F} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} R_{F} et il est trivialement contenu dans ℌ_{F}. Tout le problème est donc d’interpréter le quotient ℌ_{F} /𝔑_{F}.

Pour cela , considérons un élément ℓ^{−k} ⊗ x de ℌ_{F}. Par définition, nous pouvons écrire x = 𝔶^{ℓ^{k}}𝔲 avec 𝔶 ∈ J_{F} et 𝔲 ∈ Ũ_{F}, en fait 𝔲 ∈ J̃_{F}, puisque x et 𝔲 sont tous deux dans le noyau J̃_{F} de la formule du produit. En associant à l’élément ℓ^{−k} ⊗ x la classe cl(𝔶) de 𝔶 dans le quotient C̃ℓ_{F} = J̃_{F} /Ũ_{F} R_{F}, nous définissons un morphisme de ℌ_{F} dans C̃ℓ_{F} dont l’image est exactement le sou-groupe de torsion C̃ℓ_{F}^{tor}.

Quel est son noyau ? Supposons cl(𝔶) = 1, i.e. 𝔶 = 𝔳z avec 𝔳 ∈ Ũ_{F} et z ∈ R_{F}. Nous avons alors : ℓ^{−k} ⊗ x = ℓ^{−k} ⊗ (x/z^{ℓ^{k}}) et x/z^{ℓ^{k}} ∈ R_{F} ∩ Ũ_{F} = N_{F} ; ce qui établit l’exactitude de la suite.

Interprétation du noyau hilbertien ℌ_{F}. Considérons l’image, disons ℌ′_{F}, de ℌ_{F} dans le tensorisé 𝔍_{F} := (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} J_{F} du groupe des idèles. Par définition, les éléments de ℌ′_{F} sont ceux construits à partir des éléments de Ũ_{F}, c’est-é-dire, comme on l’a vu, à partir des normes cyclotomiques locales. maintenant, dans l’extension procyclique F_{∞}/F, le fait d’être norme ou pas se lit localement, en vertu du principe de Hasse. les éléments de ℌ_{F} sont donc tout simplement les éléments du radical ℜ_{F} := (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} R_{F} qui sont représentés par les normes cyclotomiques :

ℌ_{F} = {ℓ^{−k} ⊗ x ∈ ℜ_{F} | ∀n ∈ ℕ x ∈ F^{×ℓ^{k}}N_{F_{n}/F} (F_{n}^{×})},

oé N_{F_{n}/F} est la norme arithmétique dans la sous-extension F_{n}/F de degré ℓ^{n} de l’extension cyclotomique F_{∞}/F.

L’introduction du groupe ℌ_{F} dans la théorie cyclotomique, sous une forme naturellement très différente, remonte en fait à F. Bertrandias et J.-J. Payan, qui l’ont utilisée dans [BP] pour étudier une condition suffisante de la conjecture de Leopoldt (cf. [Ja_{1}]).

Enfin l’appellation radical hilbertien que nous préférons, s’explique aisément : du point de vue de la K-théorie des corps de nombres, les normes cyclotomiques sont caractérisées comme noyaux des symboles de Hilbert construits sur les racines de l’unité (cf. [Ja_{2}], Ch. I.2).

5. Noyau universel et radical des ℤ_{ℓ}-extensions

Nous supposons désormais que le corps F contient les racines 2ℓ-ièmes de l’unité (de sorte que l’hypothèse restrictive considérée au début de la section 4 est alors remplie). Disons cependant que lorsque cette condition n’est pas vérifiée, il est toujours possible de pallier cette difficulté (du moins pour ℓ impair) en raisonnant sur le sur-corps F′ = F [ζ_{ℓ}] puis en redescendant les résultats sur F en s’aidant de la décomposition semi-locale de l’algèbre de groupe ℤ_{ℓ}[Gal(F′/F)] donnée par les idempotents primitifs associés aux caractères ℓ-adiques irréductibles du groupe Gal(F′/F).

Commenéons par fixer quelques notations : pour chaque naturel n, désignons par F_{n} le l’extension F [ζ_{ℓ^{n}}] engendrée sur F par les racines ℓ^{n}-ièmes de l’unité (de sorte que nous avons F = F_{0} = ⋯ = F_{m} jusqu’à un certain rang m, puis [F_{n+1} : F_{n}] = ℓpour n ≥ m) ; notons Γ le groupe de Galois Gal(F_{∞}/F), identifié à ℤ_{ℓ} par le choix d’un générateur topologique γ, puis Λ = ℤ_{ℓ}[[γ − 1]] l’algèbre d’Iwasawa associée ; et Γ_{n} = Γ^{ℓ^{n−m}}, pour n ≥ m, le sous-groupe Gal(F_{∞}/F_{n}).

Introduisons enfin le module de Tate :

𝕋_{ℓ} = \underleftarrow{lim} μ_{ℓ^{n}}

qui est la limite projective des sous-groupes finis de μ_{ℓ^{∞}} pour les applications normes (et qui est isomorphe à ℤ_{ℓ} comme groupe abstrait) ; et notons :

\overline{𝕋}_{ℓ} = Hom(μ_{ℓ^{∞}}, ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ})

le module opposé, défini comme dual de Pontrjagin de la limite inductive μ_{ℓ^{∞}} des μ_{n} (qui est encore ℤ_{ℓ} comme groupe abstrait, mais avec une action galoisienne différente). Cela posé, les résultats de [Ja_{2}] montrent que les radicaux respectifs

ℜ_{F_{n}} := (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ} F_{n}^{×} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} R_{F_{n}}

associés aux corps F_{n} vérifient la théorie de Galois dans la tour F_{∞}/F ; c’est-à-dire que l’on a :

ℜ_{F_{n}} ⊂ ℜ_{F_{∞}}, et en fait : ℜ_{F_{n}} = ℜ_{F_{∞}}^{Γ_{n}}

(cf. [Ja_{1}], Prop. I.2.2). Un résultat analogue vaut pour les radicaux hilbertiens :

ℌ_{F_{n}} = {ℓ^{−k} ⊗ x ∈ ℜ_{F} | x ∈ J_{F}^{ℓ^{k}} Ũ_{F} } = ℌ_{F_{∞}}^{Γ_{n}}

(cf. [Ja_{1}], Prop. I.2.18).

Nous sommes plus particulièrement intéressés ici par trois sous-groupes remarquables du groupe ℜ_{F_{∞}} := (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗ F_{∞}^{×}, tous contenus dans ℌ_{F_{∞}} :

(i) Le noyau 𝔘_{F_{∞}} dans ℜ_{F_{∞}} des symboles universels à valeurs dans K_{2}(F_{∞}) :

𝔘_{F_{∞}} := {ℓ^{−k} ⊗ x ∈ ℜ_{F_{∞}} | {ζ_{ℓ^{k}}, x} = 1 dans K_{2}(F_{∞})};

(ii) Le radical ℨ_{F_{∞}} de la réunion Z_{∞} = ∪_{n∈ℕ}Z_{n} des composées des ℤ_{ℓ}- extensions Z_{n} des étages finis F_{n} de la tour F_{∞} :

ℨ_{F_{∞}} := \{ℓ^{−k} ⊗ x ∈ ℜ_{F_{∞}} | F_{∞}[ \sqrt[ℓ^{k}]{x}] ⊂ Z_{∞}\}.

(iii) Le radical 𝔑_{𝔉_{∞}} construit sur le noyau N_{F_{∞}} dans R_{F_{∞}} des valeurs absolues :

𝔑_{F_{∞}} := {ℓ^{−k} ⊗ x ∈ ℜ_{F_{∞}} | x ∈ N_{F_{∞}} := ∪_{n∈ℕ}N_{F_{n}}}.

Avec ces notations, les résultats de J. Coates (cf. [Co], Th. 4) et de M. Kolster (cf. [Ko], Th. 2.6) peuvent être présentés synoptiquement comme suit :

Théorème 8. En haut de la tour cyclotomique F_{∞}/F, on a les deux inclusions : (i) 𝔘_{F_{∞}} ⊂ ℨ_{F_{∞}}, avec égalité sous la conjecture de Leopoldt dans F_{∞}; (ii) 𝔘_{F_{∞}} ⊂ 𝔑_{F_{∞}}, avec égalité sous la conjecture de Gross généralisée dans

F_{∞}.

Preuve. Désignons par H_{F_{∞}} le dual de Pontrjagin de ℌ_{F_{∞}}. La théorie d’Iwasawa (cf. [Iw], §8) montre que le groupe H_{F_{∞}} est un Λ-module noethérien qui n’a pas de sous-module fini non nul ; et, plus précisément, qu’il existe une suite exacte de Λ-modules

1 ⟶ H_{F_{∞}} ⟶ Λ^{c} ⊕ T ⟶ F ⟶ 1

oé c est le nombre de places complexes du corps F ; F est un module fini qui sera précisé plus loin ; et T une somme directe de quotients de Λ par des puissances d’idéaux premiers de hauteur 1. Les produits tensoriels par 𝕋_{ℓ} et \overline{𝕋}_{ℓ} respectivement des divers termes de la suite fournissent alors deux autres suites analogues pour 𝕋_{ℓ} ⊗H_{F_{∞}} et \overline{𝕋}_{ℓ} ⊗H_{F_{∞}} dans lesquelles le terme Λ^{c} est inchangé :

1 ⟶ 𝕋_{ℓ} ⊗ H_{F_{∞}} ⟶ Λ^{c} ⊕ (𝕋_{ℓ} ⊗ T ) ⟶ 𝕋_{ℓ} ⊗ F ⟶ 1,

et

1 ⟶ \overline{𝕋}_{ℓ} ⊗ H_{F_{∞}} ⟶ Λ^{c} ⊕ (\overline{𝕋}_{ℓ} ⊗ T ) ⟶ \overline{𝕋}_{ℓ} ⊗ F ⟶ 1.

Choisissons donc l’entier n assez grand pour que le générateur γ_{n} = γ^{ℓ^{n−m}} de Γ_{n} opère trivialement sur F et ses tensorisés 𝕋_{ℓ} ⊗ F et \overline{𝕋}_{ℓ} ⊗ F ; puis faisons agir l’élément ω_{n} = γ_{n} − 1 sur chacun des termes des trois suites obtenues. Partant par exemple de la première suite exacte, nous obtenons par le lemme du serpent la suite exacte à quatre termes :

1 ⟶ F ⟶ H_{F_{∞}}/H_{F_{∞}}^{ω_{n}} ⟶ (Λ/ω_{n}Λ)^{c} ⊕ T /ω_{n}T ⟶ F ⟶ 1,

qui nous montre que la dimension sur ℤ_{ℓ} du plus grand quotient de H_{F_{∞}}/H_{F_{∞}}^{ω_{n}} qui est un ℤ_{ℓ} module libre (autrement dit la codimension du sous-module divisible maximal de son dual de Pontrjagin ℌ_{F_{n}}/ = ℌ_{F_{∞}}^{Γ_{n}} est égale à celle c_{n} = cℓ^{n} du ℤ_{ℓ}-module libre (Λ/ω_{n}Λ)^{c} augmentée de celle du plus grand quotient de T /ω_{n}T qui est un ℤ_{ℓ}-module libre. Et un résultat analogue vaut naturellement pour les trois suites tensorisées.

Distinguons donc les trois cas :

(i) Cas des valeurs absolues : le sous-module divisible maximal de ℌ_{F_{n}} est le groupe 𝔑_{F_{n}} dont la codimension a été calculée au scolie 6. Cela montre que le défaut δ_{n} de la conjecture de Gross dans F_{n} est donné par la formule :

δ_{n} = dim_{ℤ_{ℓ}} T /ω_{n}T .

En d’autres termes, la conjecture de Gross dans F_{n} postule donc simplement que le polynôme caractéristique du Λ-module T n’a pas de facteur cyclotomique. Lorsqu’elle est satisfaite, le sous-groupe 𝔑_{F_{∞}} de ℌ_{F_{∞}} est donc exactement l’orthogonal du sous-module de torsion T_{F_{∞}} = T ∩H_{F_{∞}} de H_{F_{∞}} dans la dualité de Pontrjagin ; il est strictement plus grand sinon.

(ii) Cas des symboles : d’après la théorie de Tate (cf. [Ta_{1}]), la dimension du sous-module maximal 𝕋_{ℓ} ⊗ 𝔘_{F_{n}} = (𝕋_{ℓ} ⊗ ℌ_{F_{∞}})_{div}^{Γ_{n}} du module des points fixes du produit 𝕋_{ℓ} ⊗ ℌ_{F_{∞}} est égale au nombre de places complexes c_{n} = cℓ^{n} du corps F_{n}. Le noyau universel 𝔘_{F_{∞}} est donc toujours l’orthogonal du sous-module de torsion T_{F_{∞}} de H_{F_{∞}}. En particulier, il est contenu dans 𝔑_{F_{∞}} ; et il coïncide avec lui sous la conjecture de Gross généralisée.

(iii) Cas des ℤ_{ℓ}-extensions : d’après la théorie de Kummer (cf. [Ja_{2}], 1.2.1 §c), le radical \overline{𝕋}_{ℓ} ⊗ ℨ_{F_{n}}, qui est associé à la composée des ℤ_{ℓ}-extensions du corps F_{n}, est le sous-module divisible maximal (\overline{𝕋}_{ℓ} ⊗ℌ_{F_{∞}})_{div}^{Γ_{n}} du sousgroupe des points fixes (\overline{𝕋}_{ℓ}⊗ℌ_{F_{∞}})^{Γ_{n}} du tensorisé \overline{𝕋}_{ℓ}⊗ℌ_{F_{∞}}. Il s’ensuit que le défaut δ_{n}^{∗} de la conjecture de Leopoldt dans F_{n} (qui mesure précisément le nombre de ℤ_{ℓ}-extensions en excès) est donné par la formule :

δ_{n} = dim_{ℤ_{ℓ}} \overline{𝕋}_{ℓ} ⊗ T /ω_{n}(\overline{𝕋}_{ℓ} ⊗ T ).

En d’autres termes, la conjecture de Leopoldt dans F_{n} postule donc simplement que le polynôme caractéristique du Λ-module T n’a pas de facteur cyclotomique. Lorsqu’elle est satisfaite, le sous-groupe ℨ_{F_{∞}} = ∩_{n∈ℕ}ℨ_{F_{n}} de ℌ_{F_{∞}} est donc exactement l’orthogonal du sous-module de torsion T_{F_{∞}} de H_{F_{∞}} dans la dualité de Pontrjagin ; il est strictement plus grand sinon.

Scolie 9. Sous les conjectures de Leopoldt et de Gross dans la tour cyclotomique, (i) le noyau 𝔑_{F_{n}} des valeurs absolues dans F_{n}, (ii) le noyau 𝔘_{F_{n}} des symboles universels à valeurs dans K_{2}(F_{n}), (iii) et le radical ℨ_{F_{n}} des ℤ_{ℓ}-extensions du corps F_{n}

sont tout trois des ℤ_{ℓ}-modules divisibles de codimension : c_{n} = cℓ^{n}. Il ne coïncident en général pas car les descentes galoisienne s’écrivent :

𝔑_{F_{n}} = (𝔑_{F_{∞}}^{Γ_{n}})_{div} ; 𝕋_{ℓ} ⊗ 𝔘_{F_{n}} = (𝕋_{ℓ} ⊗ 𝔘_{F_{∞}})_{div}^{Γ_{n}} ; \overline{𝕋}_{ℓ} ⊗ ℨ_{F_{n}} = (\overline{𝕋}_{ℓ} ⊗ ℨ_{F_{∞}})_{div}^{Γ_{n}} ;

si 𝔐_{div} désigne le sous-module divisible maximal d’un ℤ_{ℓ}-module 𝔐.

Remarque. Sous la condition nécessaire et suffisante C̃ℓ_{F} = 1, les trois radicaux ci-dessus coïncident pour tout n avec le radical hilbertien ℌ_{F_{n}}. on retrouve ainsi la condition suffisante des conjectures de Leopoldt et de Gross avancée dans [BP] et discutée dans [Ja_{1}].

6. La question de la capitulation

Conservons les hypothèses de la section 5 et supposons vérifiées en outre les conjectures de Leopoldt et de Gross aux divers étages finis de la tour cyclotomique F_{∞}/F. Dans ce cas, les résultats de R. Greenberg (cf. [Gb]) montrent que la seule obstruction à l’égalité des trois radicaux définis dans le scolie 9 ci-dessus réside dans le sous-groupe C = Λ^{c}/Λ^{c} ∩ (H_{F_{∞}} + T ) du quotient fini F évoqué plus haut.

Avant de préciser ce point, disons un mot sur le groupe C lui-même. Les calculs d’Iwasawa (cf. [Iw], §5.4, 6.3, 8.4 et 8.5) prouvent implicitement que le dual de Pontrjagin C^{∗} = Hom(C, ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) de C s’identifie à la limite projective

Cap′_{F_{∞}} = \underleftarrow{lim} Cap′_{F_{n}}

des sous-groupes respectifs de capitulation Cap′_{F_{n}} des ℓ-groupes de ℓ-classes des corps F_{n} formés des classes dans Cℓ′_{F_{n}} qui capitulent dans Cℓ′_{F_{∞}} ; ces groupes étant par ailleurs finis et stationnaires (é isomorphisme canonique prés).

Pour retrouver directement ce résultat en termes de classes logarithmiques, nous pouvons procéder comme suit : désignons par 𝔑_{F_{∞}}^{∗} = Hom(𝔑_{F_{∞}}, ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) le dual de Pontrjagin du noyau 𝔑_{F_{∞}} et partons de la suite exacte courte qui définit le groupe fini C :

1 → 𝔑_{F_{∞}}^{∗} → Λ^{c} → C → 1.

Faisant opérer Γ_{n}, mais fixant n assez grand pour que l’élément ω_{n} = γ_{ℓ^{n}} − 1 annule C, nous obtenons la suite exacte à quatre termes ;

1 → C → 𝔑_{F_{∞}}^{∗}/𝔑_{F_{∞}}^{∗ω_{n}} → (Λ/ω_{n}Λ)^{c} → C → 1;

ce qui nous prouve, puisque le quotient Λ/ω_{n}Λ est un ℤ_{ℓ}-module libre, que C est exactement le sous-groupe de torsion du quotient 𝔑_{F_{∞}}^{∗}/𝔑_{F_{∞}}^{∗ω_{n}} ; autrement dit que son dual de Pontrjagin C^{∗} s’identifie au quotient du sous-groupe 𝔑_{F_{∞}}^{∗Γ_{n}} fixé par Γ_{n} par son sous-module divisible maximal.

Écrivons maintenant la suite exacte naturelle donnée par le théorème 7 :

1 → 𝔑_{F} → ℌ_{F} → C̃ℓ_{F}^{tor} → 1.

Passant à la limite inductive avec n et prenant les points fixes par Γ_{n}, nous obternons la suite exacte longue de cohomologie

1 → 𝔑_{F_{∞}}^{Γ_{n}} → ℌ_{F_{∞}}^{Γ_{n}} → C̃ℓ_{F_{∞}}^{Γ_{n}} → …

oé le terme médian ℌ_{F_{∞}}^{Γ_{n}} n’est autre que le radical hilbertien ℌ_{F_{n}}. Par le lemme du serpent, nous en concluons immédiatement que le quotient 𝔑_{F_{∞}}^{Γ_{n}}/𝔑_{F} s’identifie au noyau de l’application naturelle de C̃ℓ_{F_{n}} dans C̃ℓ_{F_{∞}}, c’est-é-dire précisément au sous-groupe de C̃ap_{F_{n}} de C̃ℓ_{F_{n}} formé des classes logarithmiques qui capitulent dans l’extension F_{∞}/F_{n}.

Bien entendu les mémes calculs menés à partir des suites exactes tordues

1 ⟶ 𝕋_{ℓ} ⊗_{ℓ} 𝔘_{F_{∞}}^{∗} ⟶ 𝕋_{ℓ} ⊗_{ℓ} Λ^{c} ≃ Λ^{c} ⟶ 𝕋_{ℓ} ⊗ C ⟶ 1,

et

1 ⟶ \overline{𝕋}_{ℓ} ⊗_{ℓ} ℨ_{F_{∞}}^{∗} ⟶ \overline{𝕋}_{ℓ} ⊗_{ℓ} Λ^{c} ≃ Λ^{c} ⟶ \overline{𝕋}_{ℓ} ⊗ C ⟶ 1

conduisent à des interprétations analogues faisant intervenir soit le noyau de l’homomorphisme d’extension pour les noyaux hilbertiens WK_{2}(F_{n}) de la Kthéorie, soit le même noyau pour les groupes \overline{WK}_{2}(F_{n}) (cf. [Ja_{2}], Ch. I.2), définis comme les duaux de Pontrjagin respectifs des sous-groupes de torsion des groupes de Galois H_{n} := Gal(H_{n}/F_{n}) attachés aux composés H_{n} des ℓextensions cycliques des corps F_{n} qui sont localement ℤ_{ℓ}-plongeables ; et dans ce dernier cas la capitulation en question traduit le fait banal qu’une ℓ-extension cyclique d’un F_{n} qui est localement ℤ_{ℓ}-plongeable sur F_{n} peut l’être globalement sur F_{m} pour m assez grand sans l’être pour autant sur F_{n}.

Résumons ces résultats, qui prolongent ceux de J. Coates sur le noyau régulier (cf. [Co]) :

Proposition 10. Sous les conjectures de Leopoldt et de Gross, le dual de Pontrjagin du groupe fini C s’identifie comme module galoisien :

(i) à la limite projective Cap′_{F_{∞}} = \underleftarrow{lim} Cap′_{F_{n}} des sous-groupes de capitulation formés des ℓ-classes des F_{n} qui capitulent dans Cℓ′_{F_{∞}} ;

(ii) à la limite projective C̃ap_{F_{∞}} = \underleftarrow{lim} C̃ap_{F_{n}} des sous-groupes de capitulation

formés des ℓ-classes logarithmiques des F_{n} qui capitulent dans C̃ℓ_{F_{∞}} ; (iii) aux tensorisés \overline{𝕋}_{ℓ} ⊗ Ker(WK_{2}(F_{n}) → WK_{2}(F_{∞})), pour tout n assez

grand ; (iv) aux tensorisés 𝕋_{ℓ} ⊗ Ker(\overline{WK}_{2}(F_{n}) → \overline{WK}_{2}(F_{∞})), pour tout n assez

grand.

Il est alors possible de préciser comme suit les résultats de Greenberg [Gb] :

Théorème 11. Choisissons l’entier n assez grand pour que le groupe fini C soit annulé à la fois par ω_{n} = γ_{n} et par ℓ^{n}. Dans ce cas, sous les conjectures de Leopoldt et de Gross, les trois propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) Le groupe C est nul ; autrement dit l’homomorphisme d’extension entre groupes de ℓ-classes Cℓ′_{F_{n}} → Cℓ′_{F_{∞}} est injectif.

(ii) Il y a coïncidence entre les sous-groupes de ℓ^{n}-torsion respectifs du noyau

universel 𝔘_{F_{n}} et du noyau des valeurs absolues 𝔑_{F_{n}}. (iii) Il y a coïncidence entre les sous-groupes de ℓ^{n}-torsion respectifs du ra-

dical ℨ_{F_{n}} des ℤ_{ℓ}-extensions de F_{n} et du noyau des valeurs absolues 𝔑_{F_{n}}. (iv) [Lorsque ℓ est impair] Il y a coïncidence entre les sous-groupes de ℓ^{n}-

torsion respectifs du radical ℨ_{F_{n}} et du noyau universel 𝔘_{F_{n}}.

Remarque. L’intérêt du théorème 11 réside avant tout dans l’extrême inégalité des complexités numériques des trois radicaux concernés : lorsque le corps F_{n} est connu numériquement, le calcul du noyau 𝔑_{F_{n}} est facile , les normes cyclotomiques étant définies par des formules explicites ; la détermination du radical initial ℨ_{F_{n}} des ℤ_{ℓ}-extensions est moins directe : il faut utiliser par exemple le logarithme de Gras défini sur les groupes de classes (cf. [Gr]) ; celle de 𝔘_{F_{n}} est beaucoup plus difficile encore en présence de symboles exotiques. Preuve du Théoréme. Les calculs qui précédent montrent que le noyau _{ℓ^{n}}𝔑_{F_{n}} est l’ensemble des éléments de ℓ^{n}-torsion du sous-module divisible maximal du groupe des points fixes 𝔑_{F_{∞}}^{Γ_{n}}. Dans la dualité de Pontrjagin entre 𝔑_{F_{∞}} et 𝔑_{F_{∞}}^{∗} ⊂ Λ^{c}, l’orthogonal (_{ℓ^{n}}𝔑_{F_{n}})^{∗} de _{ℓ^{n}}𝔑_{F_{n}} est donc (en notations additives) le sousmodule ω_{n}Λ^{c} + ℓ^{n}𝔑_{F_{∞}}^{∗} de 𝔑_{F_{∞}}^{∗}. En effet, n ayant été choisi assez grand pour que ω_{n} annule C = Λ^{c}/𝔑_{F_{∞}}^{∗}, nous avons bien ω_{n}Λ^{c} ⊂ 𝔑_{F_{∞}}^{∗} et le quotient ω_{n}Λ^{c}/ω_{n}𝔑_{F_{∞}}^{∗} est précisément le sous-groupe de torsion de 𝔑_{F_{∞}}^{∗}/ω_{n}𝔑_{F_{∞}}^{∗}.

Considérons donc le quotient Λ^{c}/(_{ℓ^{n}}𝔑_{F_{n}})^{∗}.

- D’un coté, puisque c’est un quotient de Λ^{c}/ω_{n}Λ^{c} ≃ ℤ_{ℓ}^{c_{n}}, sa décomposition comme produit de groupes cycliques fait intervenir au plus c_{n} facteurs.

- D’un autre coté, son sous-module 𝔑_{F_{n}}^{∗}/(_{ℓ^{n}}𝔑_{F_{n}})^{∗}, qui est le dual de Pontrjagin de _{ℓ^{n}}𝔑_{F_{n}} est, lui, un ℤ/ℓ^{n}ℤ-module libre de dimension c_{n}.

Il vient donc :

Λ^{c}/(_{ℓ^{n}}𝔑_{F_{n}})^{∗} ≃ ∑_{i=1}^{c_{n}} ℤ/ℓ^{n+e_{i}}ℤ, avec ∏_{i=1}^{c_{n}} ℓ^{e_{i}} = (Λ^{c} : 𝔑_{F_{n}})^{∗}) = | C | .

Et le théorème sera établi si nous prouvons que chacune des quatre conditions énoncées équivaut à la nullité de tous les entiers naturels e_{i}. Or l’équivalence avec (i) résulte directement de la proposition 10. Et celle avec (ii) ou (iii) s’établit comme suit : l’égalité de _{ℓ^{n}}𝔑_{F_{n}} avec _{ℓ^{n}}𝔘_{F_{n}} (respectivement avec _{ℓ^{n}}ℨ_{F_{n}}) signifie que (_{ℓ^{n}}𝔑_{F_{n}})^{∗} reste inchangé lorsqu’on tord l’action de Γ_{n} sur Λ^{c} par le caractère cyclotomique (respectivement anticyclotomique), autrement dit que Γ_{n} agit trivialement sur 𝕋_{ℓ} ⊗ Λ^{c}/(_{ℓ^{n}}𝔑_{F_{n}})^{∗} (respectivement sur \overline{𝕋}_{ℓ} ⊗ Λ^{c}/(_{ℓ^{n}}𝔑_{F_{n}})^{∗}). Mais le groupe Γ_{n} étant engendré topologiquement par l’élément γ_{n} caractérisé par l’identité

ζ^{γ_{n}} = ζ^{1+ℓ^{n}} ∀ζ ∈ μ_{ℓ^{∞}}

cela revient à dire dans les deux cas que 1+ℓ^{n} agit trivialement sur Λ^{c}/(_{ℓ^{n}}𝔑_{F_{n}})^{∗}, i.e. que Λ^{c}/(_{ℓ^{n}}𝔑_{F_{n}})^{∗} est d’exposant ℓ^{n}. Enfin, le cas (iv) se traite de façon analogue, à ceci près qu’il convient de remplacer 1 + ℓ^{n} par (1 + ℓ^{n})^{2}, ce qui nécessite d’exclure le cas ℓ = 2.

Scolie 12. Sous les conjectures de Leopoldt et de Gross, il existe un entier naturel k tel qu’on ait pour tout n assez grand l’égalité entre radicaux :

ℓ^{n−k}𝔑_{F_{n}} = _{ℓ^{n−k}}𝔘_{F_{n}} = _{ℓ^{n−k}}ℨ_{F_{n}}.

Preuve. Il suffit, en effet, de choisir k tel que ℓ^{k} annule C.

Terminons par deux exemples pour lesquels le théorème de Baker-Brumer assure la validité des conjectures de Leopoldt et de Gross (cf. [Ja_{1}]) :

Exemple 1. Prenons ℓ = 3 et F = ℚ[\sqrt{d}, \sqrt{−3d}] biquadratique contenant les racines cubiques de l’unité. Supposons 3 non décomposé dans le sous-corps quadratique réel k = ℚ[\sqrt{d}] et le 3-groupe de 3-classes Cℓ′_{k} trivial. Dans ce cas, la formule des classes ambiges (cf. [Ja_{2}], Ch ; III.1), appliquée aux sous-extensions finies k − n/k de la ℤ_{”}-extension cyclotomique de k, montre que l’on a identiquement Cℓ′_{k_{n}} = 1 pour tout n, donc qu’il n’y a pas de capitulation dans k_{∞}/k, et, partant, dans F_{∞}/F. Il suit donc, pour tout n ∈ ℕ :

ℓ^{n}𝔑_{F_{n}} = _{ℓ^{n}}𝔘_{F_{n}} = _{ℓ^{n}}ℨ_{F_{n}}.

En particulier, le radical initial des ℤ_{ℓ}-extensions (pris dans F^{×}/F^{× ℓ}), tout comme le noyau des symboles universels, sont engendrés conjointement par les classes respectives de la racine cubique de l’unité j, du nombre 3 et de l’unité fondamentale ε du corps quadratique réel k.

Bien entendu, ce résultat est en défaut en cas de capitulation (cf. [Gb]).

Exemple 2. Soit ℓ un nombre premier impair satisfaisant la conjecture de Vandiver, i.e. ne divisant pas le nombre de classes du sous-corps réel maximal F^{+} du ℓ-ième corps cyclotomique F = ℚ[ζ_{ℓ}]. Dans ce cas, la formule des classes ambiges montre que la même propriété est encore vrai à chaque étage fini de la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique F_{n} = ℚ[ζ_{ℓ^{n}}]. Il vient alors comme plus haut :

ℓ^{n}𝔑_{F_{n}} = _{ℓ^{n}}𝔘_{F_{n}} = _{ℓ^{n}}ℨ_{F_{n}}.

Et le groupe 𝔘_{F_{n}} n’est autre ici que le ℤ_{ℓ}-module divisible construit sur les ℓ-unités de F_{n}.

Références

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Jean-François Jaulent Institut de Mathématiques Université Bordeaux I 351, cours de la libération F-33405 Talence Cedex jaulent@math.u-bordeaux1.fr