Approche logarithmique des noyaux étales sauvages des corps de nombres^{∗}

Jean-François Jaulent & Alexis Michel

Abstract. We study the ℓ-part of the the wild étale kernels WK_{2i}(F) of an arbitary number field F for a given prime ℓ in connection with the logarithmic ℓ-class groups C̃ℓ_{F}. From the logarithmic arithmetic we deduce rank formulas, periodicity and reflection theorems, triviality characterizations and various consequences.

Résumé. Nous étudions la ℓ-partie des noyaux étales sauvage WK_{2i}(F) d’un corps de nombres arbitaire F en liaison avec l’arithmétique des classes logarithmiques. Nous en déduisons notamment des formules de rang, des résultats de périodicité et de réflexion, des caractérisations de la trivialité, ainsi que diverses conséquences.

Table des matières

Introduction  1
1 Classes logarithmiques et noyaux étales sauvages  2
1.1 Le contexte galoisien semi-simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Rappels sur le groupe des classes logarithmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Introduction des noyaux étales sauvages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Énoncé de l’isomorphisme logarithmique et applications  7
2.1 Formules de rang et surjectivité de la descente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Trivialité des noyaux étales supérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Le problème de la capitulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Appendice  12
Bibliographie  14

Introduction

Introduits par P. Schneider [Sc] comme noyaux de localisation pour certains groupes de cohomologie ℓ-adique attachés à un corps de nombres F, les ℓ-noyaux étales sauvages WK_{2i}(F) ont été interprétés en termes de K-théorie supérieure suite en particulier aux travaux de C. Soulé [So], W. Dwyer & E. Friedlander [DF], G. Banaszak [Ba_{1}, Ba_{2}, Ba_{3}], et ainsi nommés par T. Nguyen Quang Do [Ng_{1}] car ils coïncident pour 2i = 2 avec les noyaux sauvages usuels de la K-théorie, en vertu de la conjecture de Quillen-Lichtenbaum établie dans ce cas par Tate.

Nous sommes plus particulièrement intéressés ici par certaines de leurs propriétés arithmétiques déjà étudiés par plusieurs auteurs ; notamment par M. Kolster [Ko_{3}], en liaison avec la conjecture de Leopoldt ; par J.-F. Jaulent et F. Soriano [JS_{2}] pour 2i = 2, sous celle de Gross (cf. [FG, Ja_{6}]), en lien avec le ℓ-groupe des classes logarithmiques.

∗J. Number Th. 120 (2006), 72–91.

L’objet du présent travail est ainsi de généraliser les résultats de [JS_{2}] à n’importe quel corps de nombres, pour tout i dans ℤ et indépendamment de toute conjecture.

Le principe de notre méthode est simple : Partant de la description tordue à la Tate de ces divers groupes en haut de la tour cyclotomique, nous en déduisons par codescente, sous l’hypothèse essentielle de procyclicité^{1} de la tour cyclotomique F [ζ_{ℓ^{∞}}]/F, des relations précises entre les ℓnoyaux WK_{2i}(F) et le ℓ-groupe des classes logarithmiques du corps F [ζ_{2ℓ}], lesquelles permettent en retour de transporter aux noyaux étales sauvages les informations sur ce groupe données par la Théorie logarithmique des genres et, plus généralement, l’arithmétique des classes et des unités logarithmiques développée pour elle-même dans [Ja_{6}].

Outre les perspectives algorithmiques qu’ouvre notre approche (cf. [DS, Dy]), il nous parait important de souligner trois points : D’abord la simplicité des résultats obtenus^{2}. Ensuite les implications heuristiques de cette description, dont la discussion finale en appendice est une assez belle illustration. Enfin l’importance de l’hypothèse de procyclicité pour ℓ = 2, en l’absence de laquelle le bon approximant des 2-noyaux étales n’est plus le 2-groupe des classes logarithmiques qui apparait dans [Ja_{5}], mais le 2-groupe des classes positives Cℓ_{F}^{pos} introduit à cet effet dans [JS_{3}], en cohérence avec les résultats de [Hu_{1}]. Ce dernier point est à mettre en relation avec le fait que le 2-noyau sauvage WK_{2i}(F) ne coïncide pas dans ce cas avec le sous-groupe des éléments de hauteur infinie de la 2-partie du groupe K_{2i}(F) (cf. [Ta, Hu_{2}, Hu_{3}, HR, JS_{4}]).

Remerciements. Le présent article est la rédaction d’une conférence donnée à Metz en juin 2002 lors d’un colloque sur la K-théorie des corps de nombres. Les auteurs remercient tout particulièrement le rapporteur pour les améliorations apportées à leur texte.

1 Classes logarithmiques et noyaux étales sauvages

Nous nous plaçons tout au long de cet article dans la situation générale suivante : le nombre premier ℓ étant fixé, nous désignons par F un corps de nombres arbitraire, à cette seule réserve^{3} que nous demandons que l’extension cyclotomique F [ζ_{ℓ^{∞}}]/F, engendrée par les racines d’ordre ℓ-primaire de l’unité, soit procyclique.

1.1 Le contexte galoisien semi-simple

Le corps F étant fixé, nous notons L une extension abélienne de F, de groupe de Galois Δ = Gal(L/F), de degré d étranger à ℓ, et contenant une racine primitive ℓ-ième de l’unité ζ. Sous l’hypothèse ℓ ∤ d, l’algèbre résiduelle 𝔽_{ℓ}[Δ] est ainsi une algèbre semi-simple, produit direct d’extensions F_{φ} de 𝔽_{ℓ}; l’algèbre ℓ-adique ℤ_{ℓ}[Δ] une algèbre semi-locale, produit direct d’extensions non ramifiées Z_{φ} de ℤ_{ℓ}; et les idempotents primitifs ē_{φ} (respectivement e_{φ}) correspondant à leurs décompositions respectives :

𝔽_{ℓ}[Δ] = ⊕_{φ} 𝔽_{ℓ}[Δ]ē_{φ} = ⊕_{φ} F_{φ} & ℤ_{ℓ}[Δ] = ⊕_{φ} ℤ_{ℓ}[Δ]e_{φ} = ⊕_{φ} Z_{φ}

sont donnés à partir des caractères ℓ-adiques irréductibles φ de Δ par les formules classiques :

e_{φ} = \frac{1}{d} ∑_{τ∈Δ} φ(τ^{−1})τ, et leurs réductions respectives modulo ℓ.

Parmi les caractères de Δ figurent en particulier le caractére unité 1, dont l’idempotent associé est donné à partir de la norme algébrique ν_{Δ} = ∑_{τ∈Δ} τ par e_{1} = \frac{1}{d} ν_{Δ}, et le caractère cyclotomique ω, caractérisé^{4} par l’identité :

ζ^{τ} = ζ^{ω(τ)} ∀ τ ∈ Δ.

1. Hypothèse qui est naturellement vérifiée pour tous les premiers ℓ impairs, mais non pour ℓ = 2.

2. Le Corollaire 5 en est un exemple parfait.

3. Cette condition n’est évidemment restrictive que pour ℓ = 2.

4. En particulier, on a l’égalité ω = 1 si et seulement si le corps K contient ζ.

L’inverse^{5} ω̄ = ω^{−1} de ω, c’est à dire le caractère défini par ω̄(τ) = ω(τ^{−1}), est dit souvent anticyclotomique, et l’involution

ψ ↦ ψ^{∗} = ωψ^{−1},

de l’algèbre R_{ℤ_{ℓ}}(Δ) des caractères ℓ-adiques virtuels de Δ est connue traditionnellement sous le nom d’involution du miroir ; on dit encore que ψ^{∗} est le reflet de ψ. Les anneaux locaux ℤ_{φ^{∗}}, ℤ_{φω^{i}} et ℤ_{φ^{∗}ω^{i}}, pour i ∈ ℕ, sont évidemment isomorphes à ℤ_{φ}; ils sont généralement notés ℤ_{ϕ} dans ce qui suit.

Tous les ℤ_{ℓ}[Δ]-modules que nous sommes amenés à considérer plus loin proviennent de ℤ_{ℓ}- modules galoisiens fonctoriellement attachés à un corps de nombres. Il existe donc des applications naturelles de transition, ainsi dans L/F la norme arithmétique N_{L/F} (ou restriction) et le morphisme d’extension j_{L/F} (ou corestriction), qui vérifient les identités :

N_{L/F} ∘ j_{L/F} = [L : F] & j_{L/F} ∘ N_{L/F} = ν_{Δ} = ∑_{τ∈Δ} τ,

où ν_{Δ} est la norme algébrique attachée au groupe Δ. En particulier, l’ordre |Δ| = [L : F] de Δ étant par hypothèse inversible dans ℤ_{ℓ}, il en résulte que le module X_{F} associé au sous-corps F de L s’identifie canoniquement à l’image X_{L}^{e_{Δ}} de celui attaché à L par le projecteur associé à l’idempotent e_{Δ} = \frac{1}{|Δ|} ν_{Δ} = ∑_{φ∈R_{ℤ_{ℓ}}^{irr}(Δ)} e_{φ}; propriété que nous utilisons systématiquement dans ce qui suit.

Exemple. Pour illustrer immédiatement tout cela, regardons plus attentivement ce qui se passe dans la situation non triviale la plus simple : celle du miroir de Scholz (cf. [Gr]). Prenons donc ℓ = 3 , F = ℚ et considérons un corps biquadratique L = ℚ[\sqrt{−3}, \sqrt{d}] (avec d ∈ ℕ − \{0; 1\} sans facteur carré). Le diagramme des sous-corps se présente alors comme suit :

[figure: L = ℚ[\sqrt{−3}, \sqrt{d}]; Ker φ=<τ>; Ker ω=<σ>; <στ>=Ker φ^{∗}; k = ℚ[\sqrt{d}]; ℚ[\sqrt{−3}]; k^{∗} = ℚ[\sqrt{−3d}]; ℚ]

Le groupe de Galois Δ = Gal(L/ℚ) est le Vierergrüppe de Klein V_{4} = C_{2} × C_{2}. Il possède exactement quatre caractères 3-adiques irréductibles : le caractère unité 1, le caractère cyclotomique ω (dont le noyau Ker ω fixe précisément le sous-corps cyclotomique ℚ[j] = ℚ[\sqrt{−3}]) et deux autres caractères de degré 1, l’un réel φ dont le noyau Ker φ fixe le sous-corps réel ℚ[\sqrt{d}], l’autre imaginaire φ^{∗}, = ωφ = ω̄φ dont le noyau Ker φ^{∗} fixe le sous-corps quadratique imaginaire k^{∗} = ℚ[\sqrt{−3d}]. Si donc τ désigne la conjugaison complexe et σ l’unique élément non trivial de Δ qui fixe le corps cyclotomique ℚ[j], les quatre idempotents primitifs de l’algèbre ℤ_{3}[Δ] sont respectivement :

e_{1} = \frac{1}{4}(1 + τ)(1 + σ),  e_{ω} = \frac{1}{4}(1 − τ)(1 + σ),
e_{φ} = \frac{1}{4}(1 + τ)(1 − σ),  e_{φ^{∗}} = \frac{1}{4}(1 − τ)(1 − σ) ;

et les idempotents normiques associés aux trois sous-corps quadratiques ℚ[j], k = ℚ[\sqrt{d}] et k^{∗} = ℚ[\sqrt{−3d}] sont ainsi :

\frac{1}{2}(1 + σ) = e_{1} + e_{ω},  \frac{1}{2}(1 + τ) = e_{1} + e_{φ},  \frac{1}{2}(1 + στ) = e_{1} + e_{φ^{∗}}.

Les extensions biquadratiques ci-dessus sont un cas particulier d’extensions à conjugaison complexe. Nous entendons par là les corps de nombres totalement imaginaires L qui sont extensions quadratiques d’un sur-corps totalement réel du corps de base F. Dans le contexte galoisien que nous considérons, la conjugaison complexe τ engendre alors un sous-groupe Δ_{∞} d’indice 2 dans Δ (ce qui suppose donc que ℓ soit impair) et les idempotents associés e_{+} = \frac{1}{2}(1+τ) et e_{−} = \frac{1}{2}(1−τ) permettent d’écrire tout ℤ_{ℓ}[Δ]-module M comme somme directe de sa composante réelle M^{+} = M^{e_{+}} et de sa composante imaginaire M^{−} = M^{e_{−}}.

5. De façon générale, il est commode de noter ψ^{−1} le caractère τ ↦ ψ(τ^{−1})

1.2 Rappels sur le groupe des classes logarithmiques

Nous rappelons brièvement les principaux résultats sur les groupes de classes logarithmiques que nous utilisons dans la suite (cf. [Ja_{6}] pour les preuves).

Pour chaque corps de nombres F, notons J_{F} le ℓ-adifié du groupe des idèles de F, i.e. le produit restreint

J_{F} = ∏_{𝔭}^{res} R_{F_{𝔭}}

des compactifiés ℓ-adiques R_{F_{𝔭}} = \underleftarrow{lim} F_{𝔭}^{×}/F_{𝔭}^{×ℓ^{n}} des groupes multiplicatifs des complétés de F aux places non complexes.

Pour chaque place finie 𝔭 le sous-groupe Ũ_{F_{𝔭}} de R_{F_{𝔭}} formé des normes cyclotomiques (i.e. des éléments de R_{F_{𝔭}} qui sont normes à chaque étage fini de la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique locale F_{𝔭}^{c}/F_{𝔭}) est le groupe des unités logarithmiques locales de F_{𝔭} et le produit

Ũ_{F} = ∏_{𝔭} Ũ_{F_{𝔭}}

est le groupe des unités logarithmiques idéliques ; c’est aussi le noyau des valuations logarithmiques

ṽ_{𝔭} | x ↦ −\frac{Log |x|_{𝔭}}{deg_{F} 𝔭} = −\frac{Log_{Iw} N_{F_{𝔭}/ℚ_{p}}(x)}{deg_{F} 𝔭}

respectivement définies sur les R_{F_{𝔭}} et à valeurs dans ℤ_{ℓ} obtenues en prenant le logarithme d’ Iwasawa de la norme x dans l’extension locale F_{𝔭}/ℚ_{p} corrigé par un facteur deg_{F} 𝔭 choisi de sorte à assurer la surjectivité de ṽ_{𝔭}.

Le quotient

Dℓ_{F} = J_{F} /Ũ_{F}

est, par définition, le ℓ-groupe des diviseurs logarithmiques de F ; il s’identifie, via les valuations logarithmiques ṽ_{𝔭}, au ℤ_{ℓ}-module libre

Dℓ_{F} = ⊕_{𝔭} ℤ_{ℓ} 𝔭

construit sur les places finies de F et on note d̃iv_{F} la surjection naturelle de J_{F} sur Dℓ_{F}. On définit alors le degré d’un diviseur logarithmique 𝔡 = ∑_{𝔭} n_{𝔭} 𝔭 par la formule deg_{F} 𝔡 = ∑_{𝔭} n_{𝔭} deg_{F} 𝔭 et l’on écrit D̃ℓ_{F} = {𝔡 ∈ Dℓ_{F} | deg_{F} 𝔡 = 0 } le sous-groupe des diviseurs logarithmiques de degré nul, qui contient en particulier l’image P̃ℓ_{F} dans Dℓ_{F} du sous-groupe de J_{F} formé des idèles principaux

R_{F} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} F^{×}.

On dit que P̃ℓ_{F} est le sous-groupe des diviseurs logarithmiques principaux ; et le quotient (conjecturalement fini )

C̃ℓ_{F} = D̃ℓ_{F} /P̃ℓ_{F}

est, par définition, le ℓ-groupe des classes logarithmiques du corps F. Enfin le noyau Ẽ_{F} = R_{F} ∩ Ũ_{F} du morphisme d̃iv_{F} de R_{F} dans D̃ℓ_{F} est le groupe des unités logarithmiques globales du corps F qui apparait dans la suite exacte :

\xymatrix{1 \ar[r] & Ẽ_{F} \ar[r] & R_{F} \ar[r]^{^{d̃iv^{F}}} & D̃ℓ_{F} \ar[r] & C̃ℓ_{F} \ar[r] & 1}

Regardons maintenant les morphismes de transition qui conduisent à la notion, essentielle pour ce qui suit, de ramification logarithmique :

Soit donc N/F une extension arbitaire de corps de nombres. Pour chaque nombre premier p, notons ℚ̂_{p}^{c} la ℤ̂-extension cyclotomique de ℚ_{p}, i.e. le compositum des ℤ_{q}-extensions cyclotomiques de ℚ_{p} pour tous les premiers q. Soit alors 𝔭 un premier de F au-dessus de p puis 𝔓 un premier de N au-dessus de 𝔭. Les indices de ramification logarithmique ẽ_{N_{𝔓}/F_{𝔭}} et d’inertie logarithmique f̃_{N_{𝔓}/F_{𝔭}} sont par définition les degrés relatifs

ẽ_{N_{𝔓}/F_{𝔭}} = [N_{𝔓} : N_{𝔓} ∩ ℚ̂_{p}^{c}F_{𝔭}] & f̃_{N_{𝔓}/F_{𝔭}} = [N_{𝔓} ∩ ℚ̂_{p}^{c}F_{𝔭} : F_{𝔭}].

Il suit de là que l’extension, N/F est logarithmiquement non ramifiée en la place 𝔓, c’est à dire que l’on a ẽ(N_{𝔓}/F_{𝔭}) = 1, si et seulement si le corps local N_{𝔓} est contenu dans la ℤ̂-extension cyclotomique de F_{𝔭} (i.e. si l’extension N/F est localement cyclotomique en 𝔓). D’autre part, pour chaque q ≠ p les indices précédents pris au sens classique ou au sens logarithmique ont la même q-partie. Ils coïncident donc pour presque tout p (de fait pour p ∤ [F_{𝔭} : ℚ_{p}]).

Les analogues logarithmiques des morphismes de transition sont alors caractérisés comme suit : le morphisme d’extension ι̃_{N/F} est donné par la formule :

ι̃_{N/F} (𝔭) = ∑_{𝔓|𝔭} ẽ_{N_{𝔓}/F_{𝔭}}𝔓 ,

tandis que la norme logarithmique Ñ_{N/F} est définie par l’identité :

Ñ_{N/F} (𝔓) = f̃_{N_{𝔓}/F_{𝔭}} 𝔭 .

Ces applications sont compatibles avec leurs analogues usuels entre R_{N} and R_{F} et prennent place de ce fait dans les diagrammes commutatifs :

R_{N} ⟶^{d̃iv_{N}} D̃ℓ_{N} ⟶^{deg_{N}} ℤ_{ℓ}  R_{N} ⟶^{d̃iv_{N}} D̃ℓ_{N} ⟶^{deg_{N}} ℤ_{ℓ}
↓^{N_{N/F}}  ↓Ñ_{N/F}  ∥  &  ↑ι̃_{N/F}  ↑ι̃_{N/F}  ↑^{[N:F]}
R_{F} ⟶^{d̃iv_{F}} D̃ℓ_{F} ⟶^{deg_{F}} ℤ_{ℓ}  R_{F} ⟶^{d̃iv_{F}} D̃ℓ_{F} ⟶^{deg_{F}} ℤ_{ℓ}.

Par passage au quotient, on obtient ainsi une description des morphismes de transition entre groupes de classes logarithmiques, ce qui permet en particulier, lorsque l’extension N/F considérée est galoisienne, d’estimer le nombre de points fixes (i.e. de classes ambiges) ou de copoints fixes (i.e. de classes centrales), soit :

|^{G}C̃ℓ_{N}| = |C̃ℓ_{F} | \frac{∏_{𝔭∈P l_{F}^{∞}} d_{𝔭}^{ab}(N/F) ∏_{𝔭∈P l_{F}^{0}} e_{𝔭}^{ab}(N/F)}{[N^{c} : F^{c}](Ẽ_{F} : Ẽ_{F} ∩ N_{N/F} R_{N})} κ_{N/F} (Dℓ_{N}^{I_{G}} Pℓ_{N} : D̃ℓ_{N}^{I_{G}}Pℓ_{N}),

où G est le groupe de Galois de l’extension ; d_{𝔭}^{ab}(N/F) et e_{𝔭}^{ab}(N/F) sont respectivement le degré et l’indice de ramification logarithmique de l’extension abélienne locale N_{𝔭}^{ab}/F_{𝔭} attachée à la place 𝔭; et κ_{L/K} = (N_{L/K}^{loc} : N_{L/K}R_{L}) désigne le nombre de noeuds de L/K (cf. [Ja_{6}]), Th. 5.4). Enfin, dans le contexte galoisien défini plus haut, cette formule admet évidemment un raffinement composante par composante, qui nous sera utile plus loin (cf. [JS_{2}], Th. 10).

1.3 Introduction des noyaux étales sauvages

Classiquement les ℓ-noyaux étales sauvages^{6} sont définis pour i ≥ 1 comme les noyaux des morphismes de localisation :

WK_{2i}(F) = Ker(H_{ét}^{2}(O_{F}^{S} , ℤ_{ℓ}(i + 1)) → ⊕_{𝔭∈S}H_{ét}^{2}(F_{𝔭}, ℤ_{ℓ}(i + 1))) ;

ce qui, en termes de cohomologie galoisienne, s’écrit encore :

WK_{2i}(F) = Ker(H^{2}(G_{F}^{S} , ℤ_{ℓ}(i + 1)) → ⊕_{𝔭∈S}H^{2}(F_{𝔭}, ℤ_{ℓ}(i + 1))),

si S désigne l’ensemble des places réelles ou ℓ-adiques de F et ℤ_{ℓ}(i + 1) le (i + 1)-ième tordu à la Tate du groupe ℤ_{ℓ}. Par dualité de Poitou-Tate et montée dans la ℓ-tour cyclotomique, P. Schneider (cf. [Sc]) en tire une description des WK_{2i}(F) comme groupe des copoints fixes d’un certain module d’Iwasawa tordu. En fait, cette description s’étend sans peine aux indices négatifs, ce qui permet de redéfinir comme suit les ℓ-noyaux étales sauvages :

6. Cette appellation est due à T. Nguyen Quang Do [Ng_{1}].

Définition 1. Soit L un corps de nombres contenant les racines 2ℓ-ièmes de l’unité, L^{c} = ∪_{n∈ℕ} L[μ_{ℓ^{n}}] sa ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique et Γ le groupe procyclique Gal(L^{c}/L). Notons 𝕋_{ℓ} = \underleftarrow{lim} μ_{ℓ^{n}} le module de Tate construit sur les racines ℓ-primaires de l’unité, \overline{𝕋}_{ℓ} = \underleftarrow{lim} μ_{ℓ^{n}}^{∗} le module contagrédient, i.e. le dual de Pontrjagin de la réunion μ_{ℓ^{∞}} des groupes μ_{ℓ^{n}}. On définit alors le i-ième ℓ-noyau sauvage^{7}de L comme le quotient des copoints fixes :

WK_{2i}(L) ≃ ^{Γ}(𝕋_{ℓ}^{⊗i} ⊗_{ℤ_{ℓ}} C_{L^{c}}),

où 𝕋_{ℓ}^{⊗i} est la |i|-ième puissance tensorielle de 𝕋_{ℓ} pour i ≥ 0 et de \overline{𝕋}_{ℓ} pour i ≤ 0, et C_{L^{c}} désigne le groupe de Galois Gal(H_{L^{c}}^{cd}/L^{c}) attaché à la pro-ℓ-extension abélienne localement triviale maximale H_{L^{c}}^{cd} de L^{c}.

Enfin, dans le contexte galoisien exposé au début de l’article, on définit le i-ième noyau sauvage WK_{2i}(F) d’un corps de nombres arbitraire F comme la 1-composante WK_{2i}^{e_{1}}(L)du noyau correspondant attaché au corps L.

Remarque. La montée dans la tour cyclotomique L^{c}/L ayant épuisé toute possibilité d’inertie aux places étrangères à ℓ, le corps H_{L^{c}}^{cd} n’est autre que la pro-ℓ-extension abélienne maximale de L^{c} qui est non ramifiée partout et complètement décomposée aux places au-dessus de ℓ.

En particulier, le groupe C_{L^{c}} s’identifie à la limite projective

C_{L^{c}} ≃ \underleftarrow{lim} Cℓ′_{L_{n}}

des ℓ-groupes de ℓ-classes Cℓ′_{L_{n}} attachés aux étages finis L_{n} de la tour cyclotomique L^{c}/L, i.e. aux quotients des ℓ-groupes de classes (au sens ordinaire) Cℓ_{L_{n}} par leurs sous-groupes respectifs engendrés par les classes de idéaux au-dessus de ℓ.

Cela étant, les groupes WK_{2i}(F) admettent l’interprétation suivante :

Proposition 2. Soient F un corps de nombres et ℓ un premier arbitraires.

(i) Pour i > 0, WK_{2i}(F) est fini comme i-ème noyau sauvage de la K-théorie. (ii) Pour i = 0, WK_{0}(F) est le ℓ-groupe C̃ℓ_{F} des classes logarithmiques de F. (iii) Pour i = −1, WK_{−2}(F) est le dual de Pontrjagin du sous-groupe du radical kummérien

Rad(L^{cd}/L^{c}) attaché à la pro-ℓ-extension abélienne localement triviale maximale L^{cd} de L^{c} qui est engendré par des éléments de F.

Preuve. Ces divers résultats sont essentiellement bien connus :

(i) Pour i > 0, l’interprétation des groupes WK_{2i}(F) en termes de K-théorie supérieure fait intervenir les caractères de Chern étales définis par C. Soulé [So] et W. Dwyer & E. Friedlander [DF], puis considérés par G. Banaszak [Ba_{1}] et T. Nguyen Quang Do [Ng_{2}]. La finitude de WK_{2i}(F) est ainsi un résultat profond qui prend appui sur les travaux de D. Quillen [Qu] et les calculs d’A. Borel [Bo]. Le cas particulier i = 1 a été résolu par J. Tate [Ta] et repose sur le théorème de finitude de Garland.

(ii) Pour i = 0, le groupe WK_{0}(F) n’est autre que le quotient des genres ^{Γ}C_{F^{c}} du groupe C_{F^{c}} relatif à l’extension procyclique F^{c}/F, i.e. le groupe de Galois Gal(F^{lc}/F^{c}) attaché à la sous-extension maximale F^{lc} de H_{F^{c}}^{cd} complètement décomposée sur F^{c} et abélienne sur F. Autrement dit, c’est exactement le ℓ-groupe des classes logarithmiques défini dans [Ja_{6}]).

(iii) Considérons enfin le dual de Pontrjagin du groupe WK_{−2}(L). Nous avons : Hom(WK_{−2}(L), ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) = Hom_{Γ}(\overline{𝕋}_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} C_{L^{c}}, ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) = Hom_{Γ}(C_{L^{c}}, μ_{ℓ^{∞}}). Or, puisque C_{L^{c}} est le goupe de Galois Gal(L^{cd}/L^{c}) attaché à la pro-ℓ-extension abélienne complètement décomposée partout (i.e. localement triviale) maximale de L^{c}, son dual de Kummer Hom(C_{L^{c}}, μ_{ℓ^{∞}}) n’est autre que le radical associé ; et il vient, comme annoncé (cf. [Ja_{3}]) : WK_{−2}(L)^{∗} = Rad(L^{cd}/L^{c})^{Γ} = \{ℓ^{−k} ⊗ x ∈ (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗ L^{×}| L^{c}[ \sqrt[ℓ^{k}]{x} ] ⊂ L^{cd}\}; puis, en prenant les points fixes par Δ = Gal(L/F) : WK_{−2}(F)^{∗} = Rad(L^{cd}/L^{c})^{Γ×Δ} = \{ℓ^{−k} ⊗ x ∈ (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗ F^{×}| L^{c}[ \sqrt[ℓ^{k}]{x} ] ⊂ L^{cd}\}; d’où le résultat annoncé.

7. T. Nguyen Quang Do [Ng_{3}] propose la notation H_{2i}L.

2 Énoncé de l’isomorphisme logarithmique et applications

Notre point de départ est l’isomorphisme naturel de modules galoisiens qui relie les noyaux étales sauvages au groupe des classes logarithmiques. Commençons donc par l’énoncer avec précision dans le cadre galoisien qui nous intéresse ici :

Théorème 3. Soit ℓ un nombre premier et F un corps de nombres dont la ℓ-tour cyclotomique F [ζ_{ℓ^{∞}}]/F est procyclique. Si L est une extension abélienne de F de groupe de Galois Δ d’ordre d étranger à ℓ, contenant le groupe μ_{ℓ^{r}} des racines ℓ^{r}-ièmes de l’unité pour un r ≥ 1, il existe pour tout i ∈ ℤ un isomorphisme canonique de ℤ_{ℓ}[Δ]-modules

(⋆) ^{ℓ^{r}}WK_{2i}(L) = ≃ μ_{ℓ^{r}}^{⊗i} ⊗_{ℤ_{ℓ}} C̃ℓ_{L}

entre le quotient d’exposant ℓ^{r} du noyau étale sauvage WK_{2i}(L) et le tensorisé i fois par μ_{ℓ^{r}} du ℓ-groupe des classes logarithmiques du corps L.

Remarque. Comme expliqué plus haut, l’isomorphisme annoncé ne fait intervenir aucun argument conjectural. En particulier, il ne présuppose vraie ni la conjecture de Gross généralisée (qui postule la finitude du groupe WK_{0}(L) = C̃ℓ_{L}), ni celle de Schneider (qui postule celle des groupes WK_{2i}(F) pour i < −1), ni a fortiori celle de Leopoldt (qui n’intervient que pour i = −1)^{8}.

En revanche, l’hypothèse faite F [ζ_{2^{∞}}] = F^{c} est restrictive pour ℓ = 2. Preuve du Théorème. C’est un simple exercice de théorie d’Iwasawa. Introduisons la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique L^{c} de L; notons Γ = γ^{ℤ_{ℓ}} le groupe de Galois Gal(L^{c}/L) ; désignons enfin par ∇_{r} l’idéal de l’algèbre d’Iwasawa Λ = ℤ_{ℓ}[[γ − 1]] engendré par γ − 1 et ℓ^{r}. Cela étant :

D’un côté, les résultats de Schneider (cf. [Sc]) nous donnent l’isomorphisme :

WK_{2i}(L) ≃ ^{Γ}(𝕋_{ℓ}^{⊗i} ⊗_{ℤ_{ℓ}} C_{L^{c}}),

où 𝕋_{ℓ}^{⊗i} désigne la i-ème puissance tensorielle du module de Tate 𝕋_{ℓ} = \underleftarrow{lim} μ_{ℓ^{n}} construit sur les racines d’ordre ℓ-primaire de l’unité.

D’un autre côté, la théorie du corps de classes nous donne directement :

C̃ℓ_{L} ≃ ^{Γ}C_{L^{c}},

puisque C̃ℓ_{L} n’est autre que le quotient des genres associé à C_{L^{c}} relativement à l’extension procycique L^{c}/L (cf. [Ja_{6}]). Il vient donc :

ℓ^{r}WK_{2i}(L) ≃ (𝕋_{ℓ}^{⊗i} ⊗_{ℤ_{ℓ}} C_{L^{c}})/∇_{r}(𝕋_{ℓ}^{⊗i} ⊗_{ℤ_{ℓ}} C_{L^{c}})
≃ 𝕋_{ℓ}^{⊗i} ⊗_{ℤ_{ℓ}} (C_{L^{c}}/∇_{r}C_{L^{c}}) ≃ 𝕋_{ℓ}^{⊗i} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ^{ℓ^{r}}Cℓ_{L} ≃ μ_{ℓ^{r}}^{⊗i} ⊗_{ℤ_{ℓ}} C̃ℓ_{L},

comme annoncé, puisque par hypothèse le groupe Γ opère trivialement sur μ_{ℓ^{r}}.

2.1 Formules de rang et surjectivité de la descente

Commençons par énoncer le Théorème 3 pour chaque composante isotypique.

Théorème 4. Soit F arbitaire^{9} et L comme plus haut. Pour chaque idempotent e_{φ} de l’algèbre ℤ_{ℓ}[Δ] et i ∈ ℤ, il existe un isomorphisme de ℤ_{ϕ}-modules :

ℓ^{r}WK_{2i}^{e_{φω̄^{i}}}(L) ≃ ^{ℓ^{r}} C̃ℓ_{L}^{e_{φ}},

entre la φω̄^{i}-composante du quotient d’exposant ℓ^{r} du noyau sauvage WK_{2i}(L) et la φ-composante du quotient d’exposant ℓ^{r} du groupe des classes logarithmiques.

En particulier, on a : ^{ℓ^{r}}WK_{2i}(F) ≃ ^{ℓ^{r}} C̃ℓ_{L}^{e_{φω^{i}}}.

Preuve. C’est la traduction directe du Théorème 3 composante par composante^{10}.

Dans le cas particulier des corps biquadratiques L = ℚ[\sqrt{−3}, \sqrt{d}] étudié par Scholz, le Théorème ci-dessus prend une forme particulièrement simple :

8. Les liens entre ces diverses conjectures sont détaillés en appendice.

9. Sous la seule condition de procyclicité de sa 2-extension cyclotomique dans le cas ℓ = 2.

10. On retrouve ainsi en particulier les résultats de périodicité obtenus par M. Kolster [Ko_{3}].

Corollaire 5. Soit k = ℚ[\sqrt{d}] un corps quadratique (réel ou imaginaire, mais distinct de ℚ[\sqrt{−3}]) et k^{∗} = ℚ[\sqrt{−3d}] son reflet dans l’involution du miroir. Alors pour chaque i > 0, les quotients d’exposant 3 des noyaux sauvages étales de k sont donnés à partir des 3-goupes de classes logarithmiques de k et k^{∗} par :

3WK_{2i}(k) ≃ \{ \begin{matrix}μ_{3}^{⊗i} ⊗_{ℤ_{3}} C̃ℓ_{k} & pour i pair, \\ μ_{3}^{⊗i} ⊗_{ℤ_{3}} C̃ℓ_{k^{∗}} & pour i impair. \end{matrix}

Remarque. Dans le cas du corps quadratique k = ℚ[\sqrt{−3}], il vient directement :

3WK_{2i}(k) ≃ μ_{3}^{⊗i} ⊗_{ℤ_{3}} C̃ℓ_{k} = 1,

puisque le corps cyclotomique ℚ[j] est 3-régulier donc 3-logarithmiquement principal (cf. [GJ]). Tous les WK_{2i}(k) ont donc dans ce cas une 3-partie triviale.

A l’instar de ce qui est fait dans [JS_{2}], l’isomorphisme (⋆) permet de transporter aux noyaux étales sauvages les inégalités du miroir sur les ℓ-rangs des classes logarithmiques, qui ne sont en fin de compte que la transcription dans le cadre logarithmique du très classique Spiegelungssatz de Leopoldt :

Proposition 6. Supposons F totalement réel et L à conjugaison complexe i.e. extension quadratique totalement imaginaire d’un sur-corps totalement réel de F. Alors, pour chaque caractère ℓ-adique irréductible imaginaire φ du groupe Δ, on a les inégalités entre F_{ϕ}-dimensions des composantes isotypiques :

0 ≤ dim_{F_{ϕ}} ^{ℓ}WK_{2i}^{e_{φω̄^{i}}}(L) − dim_{F_{ϕ}} ^{ℓ}WK_{2i}^{e_{φ^{∗}ω̄^{i}}}(L) ≤ [F : ℚ].

Preuve. D’après l’isomorphisme (⋆), la différence considérée s’écrit encore :

dim_{F_{ϕ}} ^{ℓ}C̃ℓ_{L}^{e_{φ}} − dim_{F_{ϕ}} ^{ℓ}C̃ℓ_{L}^{e_{φ^{∗}}}.

Le résultat annoncé résulte donc directement du Théorème 4 de [JS_{2}].

Corollaire 7. Prenons F = ℚ et L = ℚ[ζ_{ℓ}]. Le groupe de Galois Δ est alors cyclique d’ordre ℓ − 1 et ses caractères ℓ-adiques irréductibles φ sont de dimension 1. Pour chaque φ réel, on a donc l’inégalité entre ℓ-rangs des noyaux sauvages :

0 ≤ rg_{ℓ} ^{ℓ}WK_{2i}^{e_{φ^{∗}ω̄^{i}}}(L) − rg_{ℓ} ^{ℓ}WK_{2i}^{e_{φω̄^{i}}}(L) ≤ 1.

Corollaire 8. Prenons F = ℚ et L = ℚ[\sqrt{d}, \sqrt{−3}]. Notons k = ℚ [\sqrt{d}] le sous-corps quadratique réel de L et k^{∗} = ℚ[\sqrt{−3d}] son reflet. Il vient alors :

0 ≤ rg_{3} ^{3}WK_{4i}(k) − rg_{3} ^{3}WK_{4i}(k^{∗}) = rg_{3} ^{3}WK_{4i+2}(k^{∗}) − rg_{3} ^{3}WK_{4i+2}(k) ≤ 1.

Notons d’autre part qu’il est possible, sous certaines conditions de déduire de l’isomorphisme (⋆) des résultats plus forts sur les groupes tout entiers :

Proposition 9. Conservons les notations du Théorème 4 et supposons que pour un caractère ℓ-adique irréductible φ du groupe Δ, la φ-composante du ℓ-groupe des classes logarithmiques C̃ℓ_{L} soit finie, disons d’ordre ℓ^{s_{φ}}. Alors :

(i) Si l’on a s_{φ} < r, la φω̄^{i}-composante de WK_{2i}(L) est encore finie et on a :

WK_{2i}^{e_{φω̄^{i}}}(L) ≃ C̃ℓ_{L}^{e_{φ}}.

(ii) Si l’on a s_{φ} ≤ r, la même conclusion vaut encore sous réserve d’injectivité^{11} du morphisme d’extension : WK_{2i}^{e_{φω̄^{i}}}(L) → WK_{2i}^{e_{φω̄^{i}}}(L[ζ_{ℓ^{r+1}}]).

Preuve. Identique mutatis mutandis à celle du Théorème 7 de [JS_{2}].

Expliquons enfin comment l’isomorphisme (⋆) permet de résoudre très simplement la question de la surjectivité du morphisme de descente (ou corestriction) dans une extension arbitraire de corps de nombres (cf. [Ka]) :

11. Cette injectivité sera discutée plus loin en liaison avec l’étude des noyaux de capitulation.

Proposition 10. Soit F un corps de nombres arbitraire et N une extension de F ayant pour degré une puissance de ℓ (mais non nécessairement galoisienne). Soit L abélienne sur F, de groupe Δ, de degré relatif d étranger avec ℓ, contenant les racines 2ℓ-ièmes de l’unité, et LN le compositum de L et de N. Alors, pour tout i ∈ ℤ l’application canonique de corestriction T r_{N/F}

WK_{2i}(N) → WK_{2i}(F)

est surjective si et seulement si LN/L ne contient pas de sous-extension cyclique de degré ℓ et isotypique^{12} de caractère ω^{i} qui soit logarithmiquement non ramifiée et disjointe de L^{c}/L. En particulier, lorsque l’extension N/F considérée est galoisienne, on a toujours T r_{N/F} (WK_{2i}(N)) = WK_{2i}(F) dès qu’on a ω^{i} ≠ 1.

Preuve. Prenant, en effet, les 1-composantes, nous obtenons immédiatement :

WK_{2i}(F)/T r_{N/F} (WK_{2i}(N))WK_{2i}(F)^{ℓ} ≃ C̃ℓ_{L}^{e_{ω^{i}}} /Ñ_{LN/L}(C̃ℓ_{LN}^{e_{ω^{i}}})C̃ℓ_{L}^{e_{ω^{i}} ℓ}.

Et la théorie du corps de classes (cf. [Ja_{7}]) nous donne bien le résultat annoncé, en vertu de l’interprétation de C̃ℓ_{L} comme groupe de Galois Gal(L^{lc}/L^{c}) attaché à la ℓ-extension abélienne logarithmiquement non ramifiée maximale de L.

2.2 Trivialité des noyaux étales supérieurs

Une autre application essentielle de l’isomorphisme (⋆) est de caractériser en termes de classes logarithmiques la trivialité des diverses composantes isotypiques des ℓ-noyaux étales sauvages, puisque, dans le contexte galoisien précisé plus haut, on a évidemment l’équivalence :

WK_{2i}^{e_{φω̄^{i}}}(L) = 1 ⇔ ^{ℓ}WK_{2i}^{e_{φω̄^{i}}}(L) = 1 ⇔ ^{ℓ}C̃ℓ_{L}^{e_{φ}} = 1 ⇔ C̃ℓ_{L}^{e_{φ}} = 1.

En particulier, on dispose là d’un moyen d’étudier la trivialité de WK_{2i}(F) pour n’importe^{13} quel corps de nombres F, et notamment la propagation de cette trivialité dans une ℓ-extension de tels corps, en transportant par l’isomorphisme (⋆) la formule des classes logarithmiques centrales (cf. [JS_{2}]). Il vient ainsi :

Théorème 11. Soit N/F une ℓ-extension de corps de nombres de groupe de Galois G et LN/F l’extension obtenue par composition avec une extension abélienne L/F, de groupe Δ, de degré d relatif étranger avec ℓ, contenant les racines 2ℓ-ièmes de l’unité. Alors, pour tout caractère ℓ-adique irréductible φ ≠ 1 du groupe Δ, on a l’équivalence :

WK_{2i}^{e_{φω̄^{i}}}(LN) = 1 ⇔ \begin{cases}WK_{2i}^{e_{φω̄^{i}}}(L) = 1 & \\ (Ẽ_{LN}^{e_{φ}} : Ẽ_{LN}^{e_{φ}} ∩ N_{LN/L}^{loc}) = ∏_{𝔭} e_{𝔭}^{ab}(N/F)^{<φ,χ_{𝔭}>}, \end{cases}

où e_{𝔭}^{ab}(LN/L) désigne l’indice de ramification logarithmique abélianisé de laplace 𝔭 de F dans l’extension N/F et χ_{𝔭} l’induit à Δ du caractère unité de son sous-groupe de décomposition Δ_{𝔭} dans L/F, tandis que Ẽ_{LN} est le groupe des unités logarithmiques du corps LN et N_{LN/L}^{loc} le groupe des normes locales dans NL/L.

Preuve. Il suffit de transporter par l’isomorphisme (⋆) le Théorème 10 de [JS_{2}].

Remarque. Outre des simplifications techniques permettant de tuer la contribution éventuelle du groupes des noeuds relatif à l’extension LN/L, l’hypothèse φ ≠ 1 assure essentiellement la validité de la descente :

WK_{2i}^{e_{φω̄^{i}}}(LN) = 1 ⇒ WK_{2i}^{e_{φω̄^{i}}}(L) = 1.

Sans surprise, la montée tout au contraire met en jeu de façon non triviale l’arithmétique (logarithmique) de l’extension considérée.

On observera que pour φ = 1, en revanche, la descente peut être en défaut : c’est en particulier le cas lorsque le corps de base F n’est pas logarithmiquement principal mais possède une ℓ-tour localement cyclotomique finie, i.e. une ℓ-extension (finie) qui est logarithmiquement principale (cf. [JS_{1}]).

12. C’est à dire dont le groupe de Galois est un ℤ_{ℓ}[Δ]-module isotypique.

13. Toujours sous la seule condition de procyclicité de la 2-extension cyclotomique pour ℓ = 2.

Scolie 12. Les conclusions du Théorème valent encore pour φ = 1, dès lors qu’une au moins des places de F se ramifie totalement (au sens logarithmique) dans l’extension N/F.

Preuve. Cette hypothèse anéantit, en effet, tous les facteurs parasites (cf. [Ja_{6}].

Corollaire 13. Supposons que l’extension L/F soit à conjugaison complexe. Alors, pour tout caractère imaginaire irréductible φ ≠ ω, on a l’équivalence :

WK_{2i}^{e_{φω̄^{i}}}(LN) = 1 ⇔ WK_{2i}^{e_{φω̄^{i}}}(L) = 1 & < φ, χ_{𝔭} >= 0 ∀ 𝔭 ∈ R̃_{N/F},

où R̃_{N/F} est l’ensemble des places de F logarithmiquement ramifiées dans N/F.

Et la même équivalence vaut pour φ = ω, à ceci près que l’on peut avoir dans ce cas < φ, χ_{𝔭} >≠ 0 en une place 𝔭_{∘} de R̃_{N/K} au plus, qui vérifie en outre :

(μ_{L} : μ_{L} ∩ N_{LN/L}^{loc}) = e_{𝔭_{∘}}^{ab}(N/F)^{<ω,χ_{𝔭}>}.

Preuve. Il suffit d’observer que les seules unités logarithmiques imaginaires sont les racines de l’unité, qui forment un ℤ_{ℓ}[Δ]-module isotypique de caractère ω.

Corollaire 14. Supposons ℓ impair, F totalement réel et prenons L = F [ζ_{ℓ}]. Soit N une ℓextension (galoisienne) arbitaire de F. Alors :

(i) Pour i ≢ 1 [mod d] impair, on a WK_{2i}(N) = 1 si et seulement si les deux conditions suivantes sont réunies :

(i,a) WK_{2i}(F) = 1 et

(i,b) les places 𝔭 de F logarithmiquement ramifiées dans N/F ne sont pas complètement décomposées dans la sous-extension L^{Ker ω^{i}}/F .

(ii) Pour i ≡ 1 [mod d], ces deux conditions doivent être remplacées par :

(ii,a) WK_{2i}(F) = 1 et

(ii,b) Une place au plus 𝔭_{∘} de F est à la fois logarithmiquement ramifiée dans N/F et complètement décomposée dans L/F ; de plus on a alors :

e_{𝔭_{∘}}^{ab}(N/F) = (μ_{L} : μ_{L} ∩ N_{LN/L}^{loc}).

Preuve. C’est immédiat d’après le corollaire 13 appliqué avec φ = ω^{i}, la condition d’orthogonalité < ω^{i}, χ_{𝔭}, > = 0 exprimant simplement la non trivialité de ω^{i} sur le sous-groupe de décomposition Δ_{𝔭} de la place 𝔭 dans l’extension L/F.

A l’opposé, la Théorie des Genres fournit également une minoration du rang :

Proposition 15. Soit F un corps de nombres arbitraire et ℓ un nombre premier. Alors F possède une infinité de ℓ-extensions cycliques N de degré ℓ dont tous les noyaux sauvages WK_{2i}(N) ont un ℓ-rang arbitrairement grand.

Preuve. Il suffit de transporter par (⋆) les minorations du rang logarithmique données par la Théorie des Genres, dont le principe est le suivant : La suite exacte des classes logarithmiques centrales (cf. [Ja_{6}]) appliquée dans une ℓ-extension cyclique N/F de corps de nombres fait apparaître plusieurs termes dont tous ont une contribution explicitement bornée, à l’exclusion du terme de ramification d’ordre ∏_{𝔭} ẽ_{N_{𝔭}/F_{𝔭}} qui est arbitrairement grand avec le nombre de ramifiés. Concrètement, un calcul sans surprise mené composante par composante dans l’extension composée NL/L avec L = F [ζ_{ℓ}] donne^{14} :

rg_{ℓ}WK_{2i}(N) = rg_{ℓ}C̃ℓ_{NL}^{e_{ω^{i}}} ≥ rg_{ℓ}^{G}C̃ℓ_{NL}^{e_{ω^{i}}} ≥ < ω^{i}, ∑_{𝔭∈R̃_{N/F}} χ_{𝔭} − ∑_{𝔭|∞} χ_{𝔭} − 1 >,

d’où le résultat, le caractère ∑_{𝔭∈R̃_{N/F}} χ_{𝔭} pouvant être pris arbitrairement grand avec le nombre de places ramifiées (au sens ordinaire ou logarithmique).

14. L’inégalité vaut pour ℓ impair ; et à 1 près pour ℓ = 2, ce qui est donc sans conséquence.

2.3 Le problème de la capitulation

Venons en maintenant au noyau du morphisme d’extension déjà étudié par J. Coates, R. Greenberg, B. Kahn, T. Nguyen quang Do ou l’auteur [Ja_{4}] dans divers contextes. Du point de vue de la Théorie d’Iwasawa, la question de la capitulation pour les noyaux étales sauvages dans une ℤ_{ℓ}-extension se présente comme suit :

On dispose d’un module noethérien X sur l’algèbre d’Iwasawa Λ = ℤ_{ℓ}[[γ − 1]] attachée à un groupe procyclique Γ = γ^{ℤ_{ℓ}} ; on note ω_{n} = γ^{ℓ^{n}} − 1 ; et on s’intéresse aux noyaux des morphismes de transition Cap_{n} = Ker(X_{n} ↦ X_{m}) pour m ≫ n ≫ 0 induits par la multiplication par ω_{m}/ω_{n} entre les quotients X_{n} = X/ω_{n}X et X_{m} = X/ω_{m}X pour n et m − n assez grands ; ce qui revient à considérer le noyau Cap_{n} = Ker(X_{n} ↦ X_{∞}) du morphisme d’extension à valeurs dans la limite inductive X_{∞} des X_{n}. Notant T le plus grand Λ-sous-module fini^{15} de X, on a, par un calcul élémentaire :

Cap_{n} = {x + ω_{n}X | (ω_{m}/ω_{n}) x = 0} =_{m≫n} (T + ω_{n}X)/ω_{n}X ≃_{n≫0} T,

où l’on voit que non seulement les groupes Cap_{n} sont bornés (comme l’a montré Iwasawa pour les groupes de classes) mais qu’ils sont ultimement isomorphes et que leur limite projective a une interprétation très simple. Lorsque, de plus, le groupe X est un ℤ_{ℓ}-module noethérien^{16}, ce qui est la situation standard pour la limite projective des ℓ-groupes de classes d’idéaux dans la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique d’un corps absolument abélien, d’après un résultat de Ferrero et Washington conjecturé pour tout corps de nombres (cf. [Wa]), on peut même dire mieux : d’après [JG], en effet, il existe alors une famille (α_{j})_{j=1,...,λ} d’entiers relatifs tels qu’on ait, pour tout n assez grand :

X_{n} ≃ ( ⊕_{j=1}^{λ} ℤ/ℓ^{n+α_{j}}ℤ) ⊕ Cap_{n};

de sorte que Cap_{n} ≃ T est alors un facteur direct du ℤ_{ℓ}-module X_{n}.

Enfin, dans le contexte galoisien qui nous intéresse, les groupes X que nous considérons sont naturellement des Λ[Δ]-modules, ce qui permet de généraliser les résultats ci-dessus aux diverses composantes isotypiques regardées comme ℤ_{ϕ}[[γ − 1]]-modules, ainsi qu’il est fait dans [Ja_{2}]. Il vient ainsi :

Théorème 16. Soit F un corps de nombres arbitraire et L une extension abélienne de F, contenant les racines 2ℓ-ièmes de l’unité, de groupe de Galois Δ, de degré relatif d étranger avec ℓ, puis F_{∞} = ∪_{n∈ℕ}F_{n} la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique de F et L_{∞} = ∪_{n∈ℕ}L_{n} celle de L. Notons Λ[Δ] = ℤ_{ℓ}[[γ − 1]][Δ] l’algèbre d’Iwasawa construite sur un générateur topologique γ du groupe procyclique Γ = Gal(L_{∞}/L) ≃ Gal(F_{∞}/F) et T_{L_{∞}} le Λ[Δ]-sous-module fini du groupe de Galois C_{L_{∞}} = \underleftarrow{lim} C̃ℓ_{L_{n}} de la ℓ-extension abélienne complètement décomposée maximale de L_{∞}. Avec ces notations :

(i) Le ℤ_{ℓ}[Δ]-module T_{L_{∞}} est la limite projective \underleftarrow{lim} C̃ap_{L_{n}} des groupes de capitulation logarithmique C̃ap_{L_{n}} = Ker (C̃ℓ_{L_{n}} ↦ C̃ℓ_{L_{∞}}).

(ii) Les noyaux de capitulation CWK_{2i}(L_{n}) = Ker (WK_{2i}(L_{n}) ↦ WK_{2i}(L_{∞})) sont donnés

pour tout n ≫ 0 et tout i ∈ ℤ par l’isomorphisme galoisien : CWK_{2i}(L_{n}) ≃ 𝕋_{ℓ}^{⊗i} ⊗ T_{L_{∞}} ≃ 𝕋_{ℓ}^{⊗i} ⊗ C̃ap_{L_{n}}.

Scolie 17. Si en outre le groupe C_{L_{∞}} est de type fini sur ℤ_{ℓ} (i.e. si l’invariant mu d’Iwasawa attaché aux ℓ-groupes de classes au sens ordinaire dans la tour L_{∞}/L est nul), le sous-module CWK_{2i}(L_{n}) est un facteur direct du ℤ_{ℓ}[Δ]-module WK_{2i}(L_{n}) pour tout n assez grand ; et on a pour tous r ≥ 1 et n ≫ 0 :

ℓ^{r}WK_{2i}^{e_{φ}}(L_{n}) ≃ (ℤ_{ϕ}/ℓ^{r}ℤ_{ϕ})^{λ_{φω̄^{i}}} ⊕ ^{ℓ^{r}}T_{L_{n}}^{e_{φω̄^{i}}},

où λ_{φω̄^{i}} est l’invariant lambda d’Iwasawa^{17}attaché au ℤ_{ϕ}[[γ − 1]]-module C_{L_{∞}}^{φω̄^{i}}.

15. Autrement dit, le noyau des morphismes de localisation X ↦ X_{℘}, où ℘ décrit l’ensemble des idéaux premiers de hauteur 1 de l’anneau Λ.

16. C’est à dire un Λ-module de torsion dont l’invariant mu d’Iwasawa est trivial.

17. C’est à dire la dimension sur le corps des fractions ℚ_{ϕ} de ℤ_{ϕ} du ℚ_{ϕ}-espace ℚ_{ϕ} ⊗_{ℤ_{ϕ}} C_{L_{∞}}^{φω̄^{i}}

Preuve. L’assertion (i) s’obtient en appliquant ce qui précède au Λ[Δ]-module C_{L_{∞}} ; l’assertion (ii) en l’appliquant au module tordu 𝕋_{ℓ}^{⊗i} ⊗ C_{L_{∞}} dont le plus grand sous-module fini est évidemment 𝕋_{ℓ}^{⊗i}⊗T_{L_{∞}}. Enfin le Scolie s’ensuit par spécialisation aux φω̄^{i}-composantes, sous réserve de trivialité de la φω̄^{i}-partie μ_{φω̄^{i}} de l’invariant mu d’Iwasawa. Remarque. Comme établi dans [Ja_{2}] (et généralisé dans [JMa]), le groupe C_{L_{∞}} (et plus généralement tous les ℓ-groupes C_{T}^{S}(L_{∞}) = \underleftarrow{lim} Cℓ_{T}^{S} (L_{n}) de S-classes T -infinitésimales) ont même invariant^{18} mu d’Iwasawa que le groupe \underleftarrow{lim} Cℓ_{L_{n}}.

Corollaire 18. Avec les notations du Théorème, la φ-partie du noyau de capitulation sauvage est donné pour n ≫ 0, à partir de la cohomologie des unités logarithmiques, par l’isomorphisme de ℤ_{ϕ}-modules :

CWK_{2i}^{e_{φ}}(L_{n}) ≃ H^{1}(Γ_{n}, Ẽ_{L_{∞}}^{e_{φω^{i}}}).

En particulier, lorsque l’extension L/F est à conjugaison complexe, les groupes réels CWK_{4i+2}(F) et les groupes imaginaires CWK_{4i}^{−}(L) sont triviaux.

Remarque. On retrouve là le résultat de trivialité de Kolster et Movahhedi [KM]. Preuve. Les unités logarithmiques imaginaires se réduisent, en effet, aux racines de l’unité, lesquelles sont cohomologiquement triviales dans la tour L_{∞}/L.

Corollaire 19. Lorsque l’extension L/F est à conjugaison complexe, et sous les conjectures d’Iwasawa et de Greenberg dans la tour L_{∞}/L, aucun des groupes CWK_{4i}(F_{n}) ou CWK_{4i+2}^{−}(L_{n}) ne peut être ultimement trivial sans que tous les groupes WK_{4i}(F_{n}) et WK_{4i+2}^{−}(L_{n}) ne le soient également.

Preuve. Rappelons (cf. appendice) que sous les conjectures d’Iwasawa et de Greenberg, l’invariant mu et la partie plus de l’invariant lambda associés au groupe C_{L_{∞}} sont nuls ; les groupes C̃ℓ_{L_{n}}^{e_{φ}} attachés aux caractères réels sont alors d’ordre borné ; et d’après le Scolie il en va de même des groupes WK_{2i}^{e_{φω^{i}}}(L_{n}) qui coïncident donc avec leurs sous-groupes de capitulation respectifs CWK_{2i}^{e_{φω^{i}}}(L_{n}).

Appendice

Les conjectures standard de la Théorie d’Iwasawa

La principale conjecture sur les noyaux étales sauvages s’énonce comme suit :

Conjecture 20. Les groupes W_{2i}(F) sont finis pour tout corps de nombres F.

Remarques. De fait la conjecture ci-dessus réunit plusieurs résultats classiques :

(i) Pour i > 1, la finitude des noyaux sauvages WK_{2i}(F), est un résultat profond de K-théorie supérieure, comme expliqué plus haut dans la section 1.c (cf. [Ko_{4}]).

(ii) Pour i = 1, la finitude du noyau sauvage WK_{2}(F), naguère conjecture principale, est une conséquence d’un théorème de Garland (cf. [Ta], [Sc]).

(iii) Pour i = 0, la finitude de WK_{0}(F) = C̃ℓ_{F} n’est rien d’autre que la conjecture de Gross généralisée (cf. [Ja_{6}]).

(iv) Pour i = −1, la finitude de WK_{−1}(F) est une forme équivalente mais peu connue de la conjecture de Leopoldt pour le corps F.

(v) Pour i < −1 enfin, la finitude des noyaux WK_{2i}(F) constitue à proprement parler la conjecture de Schneider (cf. [Sc]).

Preuve de (iv). D’après [Ja_{7}], une façon d’énoncer la conjecture de Leopoldt dans le corps F consiste à écrire la trivialité du groupe des unités infinitésimales :

E_{F}^{∞} = {ε ∈ ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} E_{F} | ε_{𝔩} = 1 ∀𝔩 | ℓ}, qui en constitue précisément le groupe de défaut. Cela étant, puisque le groupe WK_{−1}(F) est de type fini, son dual de Pontrjagin WK_{−1}(F)^{∗} est de cotype fini et affirmer la finitude de WK_{−1}(F) revient à postuler que le sous-module divisible maximal de WK_{−1}(F)^{∗} est trivial. L’équivalence résulte donc du lemme :

18. Il s’agit donc de l’invariant mu d’Iwasawa habituel.

Lemme 21. On a : (WK_{−1}(F)^{∗})^{div} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} E_{F}^{∞}.

Preuve. Prenons L = F [ζ_{2ℓ}] comme plus haut et observons que si ℓ^{−k} ⊗ x est divisible dans WK_{−1}(F)^{∗}, l’extension procyclique L^{c}[ \sqrt[ℓ^{∞}]{x} ]/L^{c} n’est localement triviale partout que si x est une unité en dehors de ℓ et une racine de l’unité aux places divisant ℓ, c’est à dire finalement que pour ℓ^{−k} ⊗ x ∈ (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} E_{F}^{∞}.

De la description de Schneider WK_{2i}(L) ≃ ^{Γ}(𝕋_{ℓ}^{⊗i} ⊗_{ℤ_{ℓ}} C_{L^{c}}), il suit :

Scolie 22. Le corps F étant donné, soit L = F [ζ_{2ℓ}] comme plus haut. Fixons un générateur topologique γ du groupe Γ = Gal(L^{c}/L) ≃ Gal(F^{c}/F) ; notons Λ[Δ] = ⊕Λ_{φ} l’algèbre d’Iwasawa ℤ_{ℓ}[Δ][[γ − 1]] et κ le caractère de l’action de Γ sur les racines de l’unité. Avec ces notations, la finitude du groupe WK_{2i}^{e_{φ}}(L) traduit directement le fait que κ^{−i}(γ) n’est pas racine du polynôme caractéristique P_{φω̄^{i}}(γ) ∈ ℤ_{ϕ}[γ] attaché au Λ_{ϕ}-module C_{L}^{e_{φω̄^{i}}}.

La conjecture de Greenberg sur les classes des corps totalement réels est, de fait, beaucoup plus radicale pour ce qui est des composantes réelles :

Conjecture 23. Soit F totalement réel et L = F [ζ_{2ℓ}] comme plus haut. On a alors : deg P_{φω̄^{i}}(γ) = 0, i.e. P_{φω̄^{i}}(γ) ∈ ℤ_{ϕ}, dès que le caractère φω̄^{i} est réel.

Preuve. Rappelons que la conjecture de Greenberg postule la nullité de l’invariant lambda d’Iwasawa attaché à la limite projective \underleftarrow{lim} Cℓ_{F_{n}} des ℓ-groupes de classes au sens ordinaire dans la ℤ_{ℓ}-extension F_{∞}/F d’un corps de nombres totalement réel ou, ce qui revient au même, de la partie plus de l’invariant lambda du groupe \underleftarrow{lim} Cℓ_{L_{n}} pour un corps L à conjugaison complexe. A fortiori donc en est-il de même lorsqu’on remplace la limite projective précédente par son quotient C_{L_{∞}}. D’où la conséquence énoncée, l’invariant lambda d’un Λ-module n’étant autre que le degré de son polynôme caractéristique.

Enfin la conjecture d’Iwasawa^{19} sur les invariants mu (cf. [Iw]) s’écrit :

Conjecture 24. Le groupe C_{F_{∞}} est de type fini sur ℤ_{ℓ} pour tout F ; en d’autres termes, son invariant mu est nul. En particulier, dans le contexte galoisien ci-dessus, les noyaux étales sauvages WK_{2i}(L_{n}) attachés aux divers étages de la tour L_{∞}/L ont un ℓ-rang borné indépendamment de n et de i.

Preuve. D’après [Ja_{1}], les deux groupes \underleftarrow{lim} Cℓ_{L_{n}} et C_{F_{∞}} ont même invariant μ.

Réunissant les conjectures d’Iwasawa et de Greenberg, nous obtenons ainsi :

Conjecture 25. Soient F un corps de nombres totalement réel puis L comme plus haut abélien sur F et contenant les racines 2ℓ-ièmes de l’unité. Alors :

(i) Les ℓ-noyaux étales sauvages WK_{4i}(F_{n}) sont d’ordre borné indépendamment de n et de i dans la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique F_{∞} = ∪_{n∈ℕ} F_{n}.

(ii) Le même résultat vaut pour les composantes imaginaires WK_{4i+2}^{−}(L_{n}) des ℓ-noyaux étales WK_{4i+2}(L_{n}) dans la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique L_{∞} = ∪_{n∈ℕ} L_{n}.

Scolie 26. Les mêmes groupes WK_{4i}(F_{n}) (resp. WK_{4i+2}^{−}(L_{n})) sont ainsi ultimement isomorphes et coïncident avec leurs sous-groupes respectifs de capitulation.

19. Pour F abélien sur ℚ, c’est le théorème de Ferrero & Washington (cf. [Wa]).

Remarque. Ce dernier résultat a d’important conséquences heuristiques sur les formules de translation du genre à la Riemann-Hurwitz dans les ℓ-extensions de corps surcirculaires (i.e. de ℤ_{ℓ}- extensions cyclotomiques de corps de nombres) :

Dans un article de synthèse sur ces diverses formules [JMi], nous avons montré, en effet, que leur démonstration se ramène au cas cyclique de degré premier, pour lequel l’information est codée par le quotient de Herbrand des unités^{20}, dont l’expérience montre que le calcul est impraticable dès qu’il est non-trivial. C’est pourquoi, depuis Kida et Iwasawa, on se restreint aux seules composantes imaginaires, pour qui le groupe des unités se réduit au sous-groupe des racines.

Dans [Ng_{2}], T. Nguyen Quang Do propose de contourner cette difficulté en raisonnant sur les noyaux sauvages. Mais une clef du calcul est l’injectivité des morphismes d’extension WK_{2i}(F_{n}) ↦ WK_{2i}(N_{∞}), qui suppose bien évidemment la trivialité des noyaux de capitulation CWK_{2i}(F_{n}). Pour les groupes WK_{4i}(F_{n}), l’hypothèse est bien vérifiée d’après le Corollaire 17, mais dans ce cas le résultat n’apporte rien de plus que la formule de Kida ; pour les groupes WK_{4i+2}(F_{n}), en revanche, elle ne peut l’être sous les conjectures précédentes que si ces groupes sont ultimement triviaux, auquel cas le calcul est sans intérêt. En fin de compte, la perspective proposée apparait de ce fait quelque peu illusoire eu égard aux conjectures standard.

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Jean-François Jaulent  Alexis Michel
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