Principalisation abélienne des groupes de classes logarithmiques

Jean-François Jaulent

Résumé. Nous transposons aux ℓ-groupes de classes logarithmiques attachées à un corps de nombres les résultats sur la principalisation abélienne des groupes de classes de rayons modérées. En particulier nous montrons que pour toute extension K/k de corps de nombres complètement décomposée en au moins une place à l’infini, il existe sous la conjecture de Gross-Kuz’min dans K une infinité de ℓ-extensions abéliennes F/k pour lesquelles le sous-groupe relatif Cℓ_{K/k} = Ker(Cℓ_{K} → Cℓ_{k}) du ℓ-groupe des classes logarithmiques de K capitule dans le compositum KF. Abstract. We extend to logarithmic class groups the results on abelian principalization of tame ray class groups of a number field obtained in a previous article. As a consequence, for any extension K/k of number fields which satisfies the Gross-Kuz’min conjecture for the prime ℓ and where at least one of the infinite places completely splits, we prove that there exists infinitely many abelian ℓ-extensions F/k such that the relative subgroup Cℓ_{K/k} = Ker(Cℓ_{K} → Cℓ_{k}) of the ℓ-group of logarithmic classes of K capitulates in the compositum F K.

Table des matières

Introduction 2 1 Complément sur les classes logarithmiques de rayons 3 2 Énoncé du résultat principal et stratégie de preuve 4 3 La formule des classes logarithmiques d’ambiges 5 4 Classes relatives d’ambiges et modules équivalents 6 5 Minoration de l’indice normique des unités 7 6 Construction de l’extension principalisante 8 7 Preuve conditionnelle du résultat principal 9 8 Retour sur la conjecture de Gross-Kuz’min 10 9 Conséquences arithmétiques 11 Appendice 12 Bibliographie 12

Introduction

Le ℓ-groupe des classes logarithmiques (de degré nul) Cℓ_{K} d’un corps de nombres K a été introduit dans [9] et se présente comme un analogue formel du ℓ-sous-groupe de Sylow du groupe Cl_{K} des classes d’idéaux de ce corps pour un premier ℓ donné. Son calcul effectif a été récemment implanté par Belabas dans le système pari (cf. [1]).

Par la Théorie ℓ-adique du corps de classes (cf. e.g. [10]), le groupe Cℓ_{K} s’interprète comme groupe de Galois Gal(K^{lc}/K^{c}) de la pro-ℓ-extension abélienne localement cyclotomique maximale K^{lc} de K relativement à la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique K^{c}. En d’autres termes, le groupe Cℓ_{K} mesure l’écart pour une ℓ-extension abélienne entre être localement ou globalement cyclotomique. Cela explique le rôle souvent implicite que jouent ces groupes logarithmiques dans l’étude des pro-ℓ-extensions cyclotomiques, notamment dans l’interprétation de la conjecture de Greenberg évoquée en appendice du présent travail.

Du point de vue local, le passage de la valuation classique à la valuation logarithmique revient à remplacer la ℤ_{ℓ}-extension non-ramifiée par la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique, ce qui permet de définir les notions de degré d’inertie et d’indice de ramification au sens logarithmique en analogie avec les mêmes objets traditionnels. Les extension logarithmiquement non-ramifiées sont ainsi les extensions localement cyclotomiques. De plus, les unités du corps local au sens logarithmique sont tout simplement les normes cyclotomiques locales. De ce fait, les unités logarithmiques globales sont exactement les normes cyclotomiques. Leur rang est donné par la conjecture de Gross-Kuz’min (initialement énoncée dans [20]), qui revient à postuler qu’il est égal à celui des unités ordinaires augmenté de 1 (cf. [9, 10, 12]) ou, de façon équivalente, que le pro-ℓ-groupe Cℓ_{K} est fini. C’est, en particulier le cas lorsque le corps K est abélien. Il en est de même pour certaines familles de corps non abéliens, dits ℓ-rationnels, pour lesquelles on peut montrer qu’il est trivial (cf. [8, 17, 21]).

En résumé, les ℓ-groupes de classes logarithmiques se comportent comme les ℓ-sous-groupes de Sylow des groupes de classes habituels (ce qui permet par exemple de construire des ℓ-tours localement cyclotomiques analogues aux ℓ-tours de corps de classes de Hilbert (cf. [15, 16, 18]), avec cependant des différences essentielles : en particulier le théorème 94 de Hilbert, qui joue un rôle clé dans les questions de capitulation, ne s’applique pas dans le cadre logarithmique (cf. [11]).

L’objet du présent article est ainsi de reprendre dans le cadre logarithmique les travaux de [14] qui généralisent aux classes de rayons les résultats antérieurs de Gras [5, 7], Kurihara [19] et Bosca [2, 3] sur la principalisation abélienne des groupes de classes d’idéaux. Nous avons fait le choix de suivre aussi fidèlement que possible la démarche de [14], pour faciliter la comparaison et mettre en relief similitudes et dissemblances d’avec le cas classique, la principale étant la nécessité de se restreindre aux classes relatives du fait de la formule du produit (ou du degré) qui n’intervient pas dans le cas des idéaux, mais vient ici compliquer la démonstration.

Cette restriction n’intervient pas, en revanche, pour les extensions absolues (i.e. pour k = ℚ), car le corps des rationnels est logarithmiquement principal. Dans ce contexte, les résultats que nous obtenons valent ainsi dès que le corps K considéré vérifie la conjecture de Gross-Kuz’min (pour le premier ℓ) et donc en particulier pour tous les corps abéliens.

Par exemple, dans le cas de l’extension abélienne réelle maximale de ℚ, le Corollaire 16 infra s’énonce ainsi :

Théorème. Le sous-corps réel maximal ℚ_{+}^{ab} = ⋃_{f>0} ℚ[cos(2π/f)] du corps cyclotomique engendré par toutes les racines de l’unité ℚ^{ab} = ⋃_{f>0} ℚ[ζ_{f}] est logarithmiquement principal.

Plus généralement les extensions algébriques totalement réelles N de ℚ_{+}^{ab} qui vérifient la conjecture de Gross-Kuz’min en ℓ sont logarithmiquement principales.

Et un résultat analogue vaut pour les classes logarithmiques de rayons dans le cas modéré.

Remerciements Je remercie le rapporteur pour ses précieux commentaires destinés à améliorer ce travail.

1 Complément sur les classes logarithmiques de rayons

Classiquement, le groupe des classes d’idéaux d’un corps de nombres K est défini comme conoyau Cl_{K}^{ord}du morphisme naturel partant du groupe multiplicatif K^{×} à valeurs dans le groupe des idéaux I_{K} donné par la famille des valuations ν = (ν_{𝔭})_{𝔭∈P l_{K}^{∘}} attachées aux places finies de K.

1 → E_{K} → K^{×} ⟶^{ν} I_{K} → Cl_{K}^{ord}→ 1.

Fixons maintenant un nombre premier ℓ. Par produit tensoriel avec ℤ_{ℓ}, le ℓ-sous-groupe de Sylow Cℓ_{K}^{ord}de Cl_{K}^{ord}apparaît alors comme conoyau du morphisme ν étendu au tensorisé R_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} K^{×} et à valeurs dans le ℤ_{ℓ}-module libre construit sur ces mêmes places : Dℓ_{K} = ⊕_{𝔭∈P l_{K}^{∘}} ℤ_{ℓ}𝔭.

Le ℓ-groupe des classes logarithmiques est le groupe analogue Cℓ_{K} obtenu en remplaçant les valuations classiques ν_{𝔭} par leurs homologues ℓ-adiques ν̃_{𝔭} définis à partir des logarithmes des valeurs absolues ℓ-adiques et en se restreignant aux diviseurs de degré nul (cf. [9, 10]) :

1 → E_{K} → R_{K} \underrightarrow{ν̃} Dℓ_{K} → Cℓ_{K} → 1.

Pour chaque place finie 𝔭 de K, notons comme plus haut R_{K_{𝔭}} = \underleftarrow{lim} K_{𝔭}^{×}/K_{𝔭}^{×ℓ^{n}} le compactifié ℓ-adique du groupe multiplicatif K_{𝔭}^{×} et J_{K} = ∏_{𝔭}^{res} R_{K_{𝔭}} le ℓ-adifié du groupe des idèles de K. Introduisons enfin la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique K^{c} de K.

Du point de vue global, la surjection canonique du ℓ-adifié J_{K} du groupe des idèles de K dans le groupe procyclique Gal(K^{c}/K) ≃ ℤ_{ℓ} fournit un épimorphisme degré :

deg : J_{K} → ℤ_{ℓ};

dont le noyau J̃_{K} est, par construction, le sous-groupe normique de J_{K} attaché à K^{c}. Son quotient

Dℓ_{K} = J_{K}/U_{K}

par le sous-groupe U_{K} = ∏_{𝔭} U_{𝔭} est le ℓ-groupe des diviseurs logarithmiques de degré nul. L’image

Pℓ_{K} ≃ R_{K}/E_{K}

de R_{K} dans Dℓ_{k} est le sous-groupe des diviseurs logarithmiques principaux. Et le quotient

Cℓ_{K} = Dℓ_{K}/Pℓ_{K} ≃ J_{K}/ ∏_{𝔭} U_{𝔭}R_{K}

est, par construction, le ℓ-groupe des classes logarithmiques du corps K. La conjecture de Gross-Kuz’min pour le corps K et le premier ℓ en postule la finitude (cf. [9, 10, 12]).

Du point de vue local, le noyau U_{𝔭} de ν_{𝔭} dans R_{𝔭} (autrement dit le sous-groupe des unités de R_{𝔭}) est le groupe de normes associé à la ℤ_{ℓ}-extension non ramifiée de K_{𝔭}; tandis que le noyau U_{𝔭} de ν̃_{𝔭} (i.e. le sous-groupe des unités logarithmiques) correspond, lui, à sa ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique. Par analogie avec le cas classique, il est commode de dire qu’une ℓ-extension localement cyclotomique est logarithmiquement non-ramifiée.

Par la Théorie ℓ-adique du corps de classes (cf. [6, 9, 10]), le ℓ-groupe des classes logarithmiques d’idéaux s’interprète comme groupe de Galois Gal(K^{lc}/K^{c}) de la pro-ℓ-extension abélienne localement cyclotomique maximale K^{lc} de K relativement à la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique K^{c}. En particulier K^{lc} est la plus grande pro-ℓ-extension abélienne de K qui est complètement décomposée au-dessus de K^{c}, i.e. logarithmiquement non-ramifiée sur K. Plus généralement :

Définition 1. Étant donné un ensemble fini T_{K} d’idéaux premiers de K étrangers à ℓ et 𝔪_{K} le produit ∏_{𝔮_{K}∈T_{K}} 𝔮_{K}, le ℓ-groupe des classes logarithmiques de rayons modulo 𝔪 est le quotient

Cℓ_{K}^{𝔪_{K}} = Dℓ_{K}^{𝔪_{K}}/Pℓ_{K}^{𝔪_{K}}

du ℤ_{ℓ}-module Dℓ_{K}^{𝔪_{K}} construit sur les diviseurs logarithmiques étrangers à T_{K} par l’image Pℓ_{K}^{𝔪_{K}} du sous-module T_{K}-infinitésimal R_{K}^{𝔪_{K}} = {x ∈ R_{K} | s_{𝔮_{K}}(x) = 1 ∀𝔮_{K} ∈ T_{K}} de R_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} K^{×}.

Scolie 2. Le ℓ-groupe Cℓ_{K}^{𝔪} s’interprète comme le groupe de Galois Gal(H̃_{K}^{T}/K^{c}) attaché à l’extension abélienne T -logarithmiquement ramifiée (i.e. non-ramifiée au sens logarithmique en dehors de T) maximale H̃_{K}^{T_{K}} attachée à K relativement à la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique K^{c}.

Preuve. Par un calcul immédiat, on a, en effet : Cℓ_{K}^{𝔪_{K}} = Dℓ_{K}^{𝔪_{K}}/Pℓ_{K}^{𝔪_{K}} ≃ J_{K}/ ∏_{𝔮_{K} ∉T_{K}} U_{𝔮_{K}}R_{K}.

2 Énoncé du résultat principal et stratégie de preuve

La situation considérée est la suivante : ℓ est un nombre premier fixé ; K/k désigne une extension galoisienne de corps de nombres ; et T = T_{k} est un ensemble fini de places finies de k ne divisant pas ℓ. Pour chaque extension finie N de k, nous notons T_{N} l’ensemble des premiers de N au-dessus de T et 𝔪_{N} = ∏_{𝔮_{N} ∈T_{N}} 𝔮_{N} leur produit.

Nous nous proposons de faire capituler le ℓ-groupe des classes logarithmiques de rayons attachées à K par composition avec une ℓ-extension abélienne F de k; plus précisément de prouver que Cℓ_{K}^{𝔪_{K}} a une image triviale dans Cℓ_{L}^{𝔪_{L}} pour L = KF et une infinité de telles extensions F.

Néanmoins, pour des raisons spécifiques aux classes logarithmiques, il est naturel pour cela de restreindre notre ambition aux classes relatives :

Définition 3. Par sous-groupe des classes relatives du ℓ-groupe des classes logarithmiques de rayons modulo 𝔪_{K} nous entendons le noyau Cℓ_{K/k}^{𝔪_{K}} de l’application norme N_{K/k} : Cℓ_{K}^{𝔪_{K}} → Cℓ_{k}^{𝔪_{k}}.

Rappelons enfin que la conjecture de Gross-Kuz’min pour le premier ℓ et le corps N revient à postuler la finitude du ℓ-groupe des classes logarithmiques Cℓ_{N} attaché à ce corps.

Cela étant, le résultat principal de cette note peut s’énoncer comme suit :

Théorème 4. Soient K un corps de nombres qui satisfait la conjecture de Gross-Kuz’min pour un premier ℓ et k un sous-corps tel que K/k soit complètement décomposé en au moins une place à l’infini. Pour tout ensemble fini T de places de k ne divisant pas ℓ, il existe une infinité de ℓ-extensions abéliennes F/k complètement décomposées en toutes les places à l’infini, telles que le sous-groupe relatif Cℓ_{K/k}^{𝔪_{K}} du ℓ-groupe Cℓ_{K}^{𝔪_{K}} des classes logarithmiques de rayons modulo 𝔪_{K} = ∏_{𝔮_{K}∈T_{K}} 𝔮_{K} capitule dans le compositum L = F K.

Corollaire 5. Sous les hypothèses du Théorème, dès lors que le ℓ-groupe Cℓ_{k}^{𝔪_{k}} des classes logarithmiques de rayons du corps de base k est trivial, le ℓ-groupe Cℓ_{K}^{𝔪_{K}} entier capitule dans F K.

Venons-en maintenant à la stratégie de la preuve. Elle est essentiellement analogue à celle utilisée par Bosca pour principaliser les classes d’idéaux (cf. [2, 3]) et récemment étendue aux classes de rayons classiques (cf. [14]) avec toutefois quelques complications, la première étant que le pro-ℓ-groupe des classes logarithmiques sans restriction de degré, disons Cℓ_{K}^{log}≃ Gal(K^{lc}/K), est infini : dans le cas des groupes classes d’idéaux ou de rayons, qui sont finis, il est toujours possible de représenter une classe donnée par un idéal premier (auquel on impose des conditions supplémentaires ad hoc). Mais c’est impossible dans le cas logarithmique, les diviseurs premiers n’étant jamais de degré nul. Il faut donc biaiser.

Étant donnée une classe (de degré nul) [ 𝔡̃_{K}] dans Cℓ_{K}^{𝔪_{K}}, un entier n (arbitrairement grand) ayant été choisi, nous pouvons cependant écrire

[ 𝔡̃_{K}] = [ 𝔭̃_{K}] + ℓ^{n}[ 𝔟̃_{K}],

avec 𝔭_{K} premier pour un diviseur logarithmique convenable 𝔟̃_{K}. Notant alors 𝔭 l’unique diviseur premier de k au-dessous de 𝔭_{K}, puis imposant à la ℓ-extension cyclique F_{𝔡}/k d’être logarithmiquement non-ramifiée en dehors de 𝔭 et d’avoir pour indice de ramification logarithmique ẽ_{𝔭}(F_{𝔡}/k) = ℓ^{n}, nous obtenons dans le pro-ℓ-groupe des diviseurs logarithmiques du compositum L_{𝔡} = F_{𝔡}K l’identité entre diviseurs : 𝔭̃_{K} = ℓ^{n} 𝔞̃_{L_{𝔡}}, pour un certain diviseur ambige 𝔞̃_{L_{𝔡}}, ainsi dénommé car invariant par Gal(F_{𝔡}/k). En fin de compte, il vient :

[ 𝔡̃_{K}] = ℓ^{n}[ 𝔞̃_{L_{𝔡}}] + ℓ^{n}[ 𝔟̃_{K}] = ℓ^{n}[ 𝔞̃_{L_{𝔡}} + 𝔟̃_{K}],

dans Cℓ_{L_{𝔡}}^{𝔪_{L_{𝔡}}}, pour un certain diviseur ambige 𝔞̃_{L_{𝔡}} + 𝔟̃_{K} ; de sorte que 𝔡̃_{K} se principalise dans L_{𝔡}, dès lors que ℓ^{n} annule le sous-groupe ambige qui en contient la classe.

Finalement, prenant le compositum F des F_{𝔡} pour un système de représentants de générateurs de Cℓ_{K}^{𝔪_{K}} et posant L = F K, on obtient bien un corps principalisant pour Cℓ_{K}^{𝔪_{K}}.

La première étape consiste donc à préciser le nombre de classes d’ambiges dans une ℓ-extension cyclique, pour pouvoir le majorer indépendamment de n sous certaines conditions.

3 La formule des classes logarithmiques d’ambiges

Nous reprenons ci-dessous, en les modifiant légèrement pour les adapter aux classes logarithmiques de rayons, les calculs de classes invariantes effectués dans [9].

Supposons donc fixés un nombre premier ℓ et une ℓ-extension cyclique de corps de nombres L/K; donnons-nous un ensemble fini T_{K} d’idéaux premiers de K ne divisant pas ℓ notons T_{L} l’ensemble des premiers de L au-dessus de T_{K}^{(ℓ)}; posons enfin 𝔪_{K} = ∏_{𝔮_{K}∈T_{K}} 𝔮_{K} et 𝔪_{L} = ∏_{𝔮_{L}∈T_{L}} 𝔮_{L}. Le résultat logarithmique s’énonce alors, en analogie avec le résultat classique (cf. [14], Prop. 3) :

Proposition 6. Dans une ℓ-extension cyclique L/K de corps de nombres, le nombre de classes logarithmiques de rayons dans Cℓ_{L}^{𝔪_{L}} qui sont représentées par des diviseurs logarithmiques ambiges (i.e. invariants par C = Gal(L/K)) est donné sous la conjecture de Gross-Kuz’min par la formule :

(Dℓ_{L}^{𝔪_{L}}^{C} : Pℓ_{L}^{𝔪_{L}}^{C}) = | Cℓ_{K}^{𝔪_{K}}| \frac{∏_{𝔭_{∞}}d_{𝔭_{∞}}(L/K) ∏_{𝔭_{∘}∤𝔪} ẽ_{𝔭_{∘}}(L/K)}{( deg_{L} Dℓ_{L}^{𝔪_{L}}^{C} : deg_{L} Dℓ_{K}^{𝔪_{K}}) (E_{K}^{𝔪_{K}}: N_{L/K}(E_{L}^{𝔪_{L}}))}

Dans celle-ci d_{𝔭_{∞}}désigne le degré local et ẽ_{𝔭_{∘}} l’indice de ramification logarithmique ; 𝔭_{∞} parcourt les places à l’infini de K et 𝔭_{∘} les places étrangères à 𝔪_{K} logarithmiquement ramifiées dans L/K.

Preuve. Écrivons : (Dℓ_{L}^{𝔪_{L}}^{C} : Pℓ_{L}^{𝔪_{L}}^{C}) = (Dℓ_{L}^{𝔪_{L}}^{C} : Dℓ_{K}^{𝔪_{K}}) (Dℓ_{K}^{𝔪_{K}}: Pℓ_{K}^{𝔪_{K}}) / (Pℓ_{L}^{𝔪_{L}}^{C} : Pℓ_{K}^{𝔪_{K}}).

— L’indice (Dℓ_{L}^{𝔪_{L}}^{C} : Dℓ_{K}^{𝔪_{K}}) se calcule comme suit : dans la suite exacte courte canonique

1 → Dℓ_{L}^{𝔪_{L}}^{C}/Dℓ_{K}^{𝔪_{K}} → Dℓ_{L}^{𝔪_{L}}^{C}/Dℓ_{K}^{𝔪_{K}} → Dℓ_{L}^{𝔪_{L}}^{C}/Dℓ_{L}^{𝔪_{L}}^{C}Dℓ_{K}^{𝔪_{K}} → 1,

le terme de droite s’identifie via l’application degré au quotient deg_{L} Dℓ_{L}^{𝔪_{L}}^{C}/ deg_{L} Dℓ_{K}^{𝔪_{K}} . Et le groupe Dℓ_{L}^{𝔪_{L}}^{C} des diviseurs logarithmiques ambiges étrangers à 𝔪_{L} est engendré par les sommes ∑_{𝔭_{L}|𝔭_{K}} 𝔭_{L} = ẽ_{𝔭_{K}}^{−1}(L/K) 𝔭_{K}, lorsque 𝔭_{K} décrit l’ensemble des premiers de K qui ne divisent pas 𝔪_{K}, d’où :

(Dℓ_{L}^{𝔪_{L}}^{C} : Dℓ_{K}^{𝔪_{K}}) = ∏_{𝔭_{∘}∤𝔪_{K}} ẽ_{𝔭}(L/K).

— Le quotient Dℓ_{K}^{𝔪_{K}}/Pℓ_{K}^{𝔪_{K}} est tout simplement le ℓ-groupe Cℓ_{K}^{𝔪_{K}} des classes logarithmiques de K, lequel est fini sous la conjecture de Gross-Kuz’min dans K.

— Enfin, tout comme dans le cas classique (cf. [14]), le lemme du serpent, appliqué ici à la

suite exacte de cohomologie associée à la suite courte qui définit le sous-groupe principal 1 ⟶ E_{L}^{𝔪_{L}} ⟶ R_{L}^{𝔪_{L}} ⟶ Pℓ_{L}^{𝔪_{L}} ⟶ 1,

montre que le quotient Pℓ_{L}^{𝔪_{L}}^{C}/Pℓ_{K}^{𝔪_{K}} s’identifie au premier groupe de cohomologie des unités logarithmiques T_{L}^{(ℓ)}-infinitésimales H^{1}(C, E_{L}^{𝔪_{L}}) :

Pℓ_{L}^{𝔪_{L}}^{C}/Pℓ_{K}^{𝔪_{K}} ≃ H^{1}(C, E_{L}^{𝔪_{L}}),

dont l’ordre est le produit de celui du groupe E_{K}^{𝔪_{K}}/N_{L/K}(E_{L}^{𝔪_{L}})) ≃ H^{2}(C, E_{L}^{𝔪_{L}}) par le quotient de Herbrand q(C, E_{L}^{𝔪_{L}}), lequel ne dépend que du caractère des unités logarithmiques. Sous la conjecture de Gross-Kuz’min, ce dernier est donné par la formule (cf. [9], Th. 3.6) :

χ_{E_{L}^{𝔪_{L}}} = χ_{E_{L}} = ∑_{𝔭_{∞}}Ind_{D_{𝔭∞}}^{C}1_{D_{𝔭}},

comme somme d’induits attachés aux sous-groupes de décomposition des places à l’infini de K. Il vient donc ici :

q(C, E_{L}^{𝔪_{L}}) = q(C, E_{L}) = ∏_{𝔭_{∞}}d_{𝔭_{∞}}(L/K).

D’où la formule annoncée.

Remarque. Dans l’expression obtenue, le facteur ( deg_{L} Dℓ_{L}^{𝔪_{L}}^{C} : deg_{L} Dℓ_{K}^{𝔪_{K}}) vient remplacer le facteur [L : K] au dénominateur de la formule analogue pour les classes de rayons ordinaires. Lorsque l’extension L/K est totalement ramifiée au sens logarithmique en un diviseur primitif 𝔭_{K} (i.e. tel que deg_{K} 𝔭_{K} engendre Gal(K^{c}/K)) qui ne divise pas 𝔪_{K}, il y a même égalité :

( deg_{L} Dℓ_{L}^{𝔪_{L}}^{C} : deg_{L} Dℓ_{K}^{𝔪_{K}}) = [L^{c} : K^{c}] = [L : K].

En général, cependant, on a simplement des relations de divisibilité.

4 Classes relatives d’ambiges et modules équivalents

Revenons au problème de la principalisation. En analogie avec le cas classique, nous cherchons L comme compositum F K pour une ℓ-extension cyclique F/k logarithmiquement ramifiée en une unique place 𝔭 de k, complètement décomposée dans K/k, ayant par ailleurs un indice de ramification logarithmique ẽ_{𝔭}(F/k) = ℓ^{n}, avec n assez grand qui sera précisé ultérieurement.

Malheureusement la condition de décomposition requise, en tuant le facteur degré au dénominateur, ruine toute possibilité de contrôler le quotient indépendamment de n en toute généralité.

Pour pallier cette difficulté, nous allons nous restreindre au sous-groupe des classes relatives, i.e. au noyau de la norme arithmétique N_{K/k} attachée à l’extension K/k (cf. Définition 3).

Notons d l’ordre de G = Gal(K/k) ; puis ν = ∑_{σ∈G} σ l’élément de G qui correspond à la norme N_{K/k}; et ν̄ = ∑_{σ∈G}(1 − σ) = d − ν. Le noyau de la norme arithmétique N_{K/k} est évidemment compris entre le noyau de la norme algébrique ν et l’image de l’opérateur complémentaire ν̄ :

Im ν̄ ⊂ Ker N_{K/k} ⊂ Ker ν.

— Lorsque l’ordre d de G est étranger à ℓ, il est inversible dans l’anneau ℤ_{ℓ}, de sorte que les éléments e_{ν} = \frac{ν}{d} et eν̄ = \frac{ν̄}{d} sont deux idempotents centraux complémentaires de l’algèbre ℤ_{ℓ}[G]. Et il vient donc : Im ν̄ = Im eν̄ = Ker e_{ν} = Ker ν. Dans ce cas, il n’est pas nécessaire de distinguer entre noyau arithmétique et noyau algébrique de la norme. Mieux encore, toute suite exacte de ℤ_{ℓ}[G]-modules donne aussitôt deux suites exactes, l’une restreinte aux noyaux de la norme ν, l’autre aux images, par action des deux idempotents précédents.

— Dans le cas contraire, il faut distinguer. Cependant, eu égard au problème qui nous préoccupe, il est possible de contourner cette difficulté supplémentaire de la façon suivante :

Convention. Convenons de dire que deux ℤ_{ℓ}[G] modules finis M et N dépendant du paramètre n sont équivalents lorsque la ℓ-valuation du quotient de leurs ordres est bornée indépendamment de n; ce que nous écrivons :

M ∼ N ⟺ |M| ≈ |N| ⟺ v_{ℓ}(\frac{|M|}{|N|}) borné (indépendamment de n).

Lemme 7. Pour tout ℤ_{ℓ}[G]-module fini M de ℤ_{ℓ}-rang borné (indépendamment de n), le noyau νM de ν et l’image M ν̄ de ν̄ sont équivalents ; de même le noyau ν̄M de ν̄ et l’image M^{ν} de ν.

Preuve. L’identité ν + ν̄ = d montre que les deux quotients _{ν}M/M ν̄ et ν̄M/M^{ν} sont tués par d.

En conséquence, quitte à travailler à un borné près, il est toujours possible, dès lors qu’on ne considère que des modules de rang borné (indépendamment de n), de raisonner comme si la condition de semi-simplicité ℓ ∤ d était toujours remplie. En particulier, pour toute suite exacte

1 → N → M → P → 1

de ℤ_{ℓ}[G]-modules finis de ℤ_{ℓ}-rang borné (indépendamment de n), on a les équivalences :

M ν̄ ∼ _{ν}M ∼ _{ν}N ⊕_{ν}P ∼ N ν̄ ⊕ P ν̄ & M^{ν} ∼ ν̄M ∼ ν̄N ⊕ ν̄P ∼ N^{ν} ⊕ P^{ν}. entre pseudo-composantes relatives (i.e. tuées par ν) à gauche et induites (tuées par ν̄) à droite.

Reprenons maintenant les calculs de classes d’ambiges effectués dans la section précédente. Dans la situation galoisienne considérée ici, les divers ℓ-groupes qui interviennent dans la preuve de la Proposition 6 sont des Gal(L/k)-modules fixés par C = Gal(L/K), i.e. des ℤ_{ℓ}[G]-modules finis. En nous restreignant aux pseudo-composantes relatives (i.e. tuées par ν = ∑_{σ∈G} σ) et en négligeant tout les modules d’ordre borné indépendamment de n, nous obtenons immédiatement :

Proposition 8. Sous les hypothèses énoncées en début de section, l’ordre de la pseudo-composante relative _{ν}(Dℓ_{L}^{𝔪_{L}}^{C}/Pℓ_{L}^{𝔪_{L}}^{C}) du sous-groupe des classes logarithmiques de rayons dans Cℓ_{L}^{𝔪_{L}} qui sont représentées par des diviseurs logarithmiques ambiges (i.e. invariants par C = Gal(L/K)) est donné sous la conjecture de Gross-Kuz’min (pour le premier ℓ et le corps L) par la formule :

|_{ν}(Dℓ_{L}^{𝔪_{L}}^{C}/Pℓ_{L}^{𝔪_{L}}^{C}) | ≈ ℓ^{n(d−1)}/(_{ν}E_{K}^{𝔪_{K}}/(_{ν}E_{K}^{𝔪_{K}}∩ N_{L/K}(E_{L}^{𝔪_{L}}))).

Preuve. De l’isomorphisme Dℓ_{L}^{𝔪_{L}}^{C}/Dℓ_{K}^{𝔪_{K}} ≃ (ℤ/ℓ^{n}ℤ)[G], on tire : |_{ν}(Dℓ_{L}^{𝔪_{L}}^{C}/Dℓ_{K}^{𝔪_{K}}) | = ℓ^{n(d−1)}.

5 Minoration de l’indice normique des unités

Sous la conjecture de Gross-Kuz’min (pour le premier ℓ et le corps L) le théorème de représentation des unités logarithmiques rappelé plus haut (cf. [9], Th. 3.6) appliqué à l’extension galoisienne L/K nous assure que E_{K} et donc son sous-module d’indice fini E_{K}^{𝔪_{K}} contiennent un sous-module monogène Ẽ_{K}^{ε} = ε^{ℤ_{ℓ}[G]} de caractère χ_{G}^{aug}.

Rappelons que E_{K} est contenu dans le ℓ-adifié E′_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} E′_{K} du groupe des ℓ-unités de K (mais qu’il n’est pas en général, comme l’est E_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} E_{K}, le ℓ-adifié d’un sous-groupe de E′_{K}). Soit n > 0 un entier non nul ; choisissons dans le groupe E′_{K} un système de représentants R_{K}^{ε} du quotient E_{K}^{ε}/(E_{K}^{ε} ∩ E′_{K}^{ℓ^{n}}); notons μ_{ℓ^{n}} le ℓ-groupe des racines ℓ^{n}-ièmes de l’unité ; et considérons l’extension K_{n}^{ε} = K[μ_{ℓ^{n}}, \sqrt[ℓ^{n}]{R_{K}^{ε}} ] engendrée sur K_{n} = K[μ_{ℓ^{n}}] par les racines ℓ^{n}-ièmes des éléments de R_{K}^{ε}. Notons enfin E_{K_{n}}^{∘} la racine de E_{K}^{ε} dans E_{K_{n}}, puis ℓδ̃_{𝔪} l’indice (E_{K_{n}}^{∘} : E_{K}^{ε}μ_{K_{n}}), qui est ultimement indépendant de n. Par construction, le degré de l’extension kummérienne K_{n}^{ε}/K_{n} est alors donné, disons pour tout n ≥ n_{K}, par la formule :

[K_{n}^{ε} : K_{n}] = | Rad(K_{n}^{ε}/K_{n})| = (E_{K}^{ε} : E_{K}^{ε}^{ℓ^{n}})/(E_{K_{n}}^{∘} : E_{K}^{ε}μ_{K_{n}}) = ℓ^{n(d−1)}/ℓδ̃_{𝔪}.

Tout comme dans [14] §4, introduisons la sous-extension élémentaire K_{n}^{e}/K_{n} de K_{n}^{ε}/K_{n}; notons (η_{1}K_{n}^{×ℓ}, ⋯, η_{t}K_{n}^{×ℓ}) une 𝔽_{ℓ}-base de Rad(K_{n}^{e}/K_{n}) ⊂ K_{n}^{×}/K_{n}^{×ℓ} représentée par des conjugués η_{i} = ε^{σ_{i}} de ε dont η_{1} = ε; et définissons τ̄_{n} ∈ Gal(K_{n}^{e}/K_{n}) par : \sqrt[ℓ]{η_{1}} ^{(τ̄_{n}−1)} = ζ_{ℓ} & \sqrt[ℓ]{η_{i}} ^{(τ̄_{n}−1)} = 1, pour i = 2, ⋯, t. Faisons choix enfin d’un relèvement τ_{n} de τ̄_{n} dans G_{n}. Il est clair que les conjugués de τ̄_{n} engendrent G_{n}/G_{n}^{ℓ} = Gal(K_{n}^{e}/K_{n}) donc que les conjugués de τ_{n} engendrent G_{n}.

Supposons choisi enfin un entier m = m_{K} indépendant de n et soit alors une place 𝔭_{K} ∤ 2ℓ𝔪_{K} de K au-dessus d’un premier p, complètement décomposé dans K_{n}/ℚ, telle que l’application de Frobenius associée à l’extension abélienne K_{n}^{ε}/K_{n} envoie l’une des places 𝔭_{K_{n}}de K_{n} au-dessus de 𝔭_{K} sur la puissance ℓ^{m}-ième de l’automorphisme τ_{n}. Notant s_{𝔪_{K}} l’épimorphisme de semi-localisation de R_{K} sur R_{K_{𝔪K}} = ∏_{𝔮_{K}|𝔪_{K}}R_{K_{𝔮K}}, nous concluons à l’identité :

\{η ∈ E_{K}^{ε} | s_{𝔪_{K}}(η) ∈ ∏_{σ∈G}U_{K_{𝔭\begin{matrix}σ \\ K \end{matrix}}}^{ℓ^{n}}\} = \{η ∈ E_{K}^{ε} | s_{𝔪_{K}}(η) ∈ ∏_{σ∈G}R_{K_{𝔭\begin{matrix}σ \\ K \end{matrix}}}^{ℓ^{n}}\} = E_{K}^{ε} ∩ R_{K_{n}}^{×ℓ^{n−m}}.

Si donc la ℓ-extension cyclique F/k est logarithmiquement non-ramifiée en dehors de la place 𝔭 = 𝔭_{k} au-dessous de 𝔭_{K} avec un indice de ramification logarithmique ẽ_{𝔭}(F/k) = ℓ^{n}, les unités logarithmiques de K qui sont normes dans l’extension cyclique L/K sont exactement celles qui sont des puissances ℓ^{n}-ièmes locales aux places au-dessus de 𝔭; et il vient :

(E_{K}^{ε} : E_{K}^{ε} ∩ N_{L/K}(R_{L})) = (E_{K}^{ε} : E_{K}^{ε} ∩^{−1}s_{𝔪_{K}}( ∏_{σ∈G}U_{K_{𝔭\begin{matrix}σ \\ K \end{matrix}}}^{ℓ^{n}})) = ( E_{K}^{ε} : E_{K}^{ε} ∩ R_{K_{n}}^{×ℓ^{n−m}}) = ℓ^{(n−m)(d−1)}/ℓδ̃_{𝔪}

d’où la minoration (au sens de la divisibilité) :

|_{ν}E_{K}^{𝔪}/(_{ν}E_{K}^{𝔪} ∩ N_{L/K}(E_{L}^{𝔪})) | ≻ (E_{K}^{ε} : E_{K}^{ε} ∩ N_{L/K}(R_{L})) ≻ ℓ^{(n−m)(d−1)−δ̃_{𝔪}}.

Il résulte alors de la Proposition 8 que l’ordre du ℓ-groupe _{ν}(Dℓ_{L}^{𝔪_{L}}^{C}/Pℓ_{L}^{𝔪_{L}}^{C}) est borné indépendamment de n. En résumé, sous la conjecture de Gross-Kuz’min dans L, il vient :

Proposition 9. Soient ℓ un nombre premier, K/k une extension galoisiennne de corps de nombres dans laquelle une au moins des places à l’infini est complètement décomposée, T = T_{k} un ensemble fini de premiers de k qui ne divisent pas ℓ et T_{K} l’ensemble des premiers de K au-dessus de T ; puis 𝔪_{k} = ∏_{𝔮_{k}∈T_{k}} 𝔮_{k} et 𝔪_{K} = ∏_{𝔮_{K}∈T_{K}} 𝔮_{K}. Soit enfin m = m_{K} un entier arbitraire.

Il existe alors un entier effectif n_{K} tel que pour tout n ≥ n_{K}, si 𝔭 = 𝔭_{k} ∤ 2ℓ𝔪_{k} est un idéal premier de k au-dessus d’un premier p de ℚ complètement décomposé dans l’extension K[ζ_{ℓ^{n}}]/ℚ et F/k une ℓ-extension cyclique 𝔭-logarithmiquement ramifiée avec pour indice de ramification logarithmique ẽ_{𝔭}(F/k) = ℓ^{n} et tel que l’application de Frobenius envoie l’une des places 𝔭_{K} audessus de 𝔭 sur une puissance donnée τ_{n}^{ℓ^{m}} de l’automorphisme τ_{n}, l’ordre du sous-groupe relatif de Cℓ_{L}^{𝔪_{L}} attaché au compositum L = kF qui est engendré par les classes logarithmiques des diviseurs invariants par C = Gal(L/K) soit majoré indépendamment de n :

(Dℓ_{L}^{𝔪_{L}}^{C} : Pℓ_{L}^{𝔪_{L}}^{C}) ≺ ℓ c̃_{K,𝔪}.

6 Construction de l’extension principalisante

Résumons : étant donnée une extension galoisienne K/k de corps de nombres complètement décomposée en au moins une place à l’infini, un nombre premier ℓ et un diviseur 𝔪_{K} de K sans facteur carré, étranger à ℓ et stable par G = Gal(K/k), ayant fait choix d’un sous-module E_{K}^{ε} de E_{K}^{𝔪_{K}} de caractère χ_{G}^{aug} et d’un entier m = m_{K} indépendant de n, nous avons défini une constante c̃_{K,𝔪_{K}}; puis, pour une classe [𝔡_{K}] d’ordre ℓ-primaire dans Cℓ_{K}^{𝔪_{K}} et n ≥ c̃_{K,𝔪_{K}}, nous cherchons :

— une place 𝔭 de k et une place 𝔭_{K} de K au-dessus qui satisfasse les trois conditions suivantes : (i) 𝔭_{K} est au-dessus d’un premier p ≠ ℓ de ℚ complètement décomposé dans K_{n} = K[ζ_{ℓ^{n}}] ;

(ii) 𝔭_{K} a même image que 𝔡_{K} dans le quotient d’exposant ℓ^{n} de Cℓ_{K}^{𝔪_{K}}, i.e. a même image dans le groupe de Galois Gal(H̃_{n}/K) de la sous-extension d’exposant ℓ^{n} de H̃_{K}^{𝔪_{K}}/K;

(iii) l’une des places au-dessus 𝔭_{n} dans K_{n} est d’image τ_{n}^{ℓ^{h}} dans Gal (K_{n}[ \sqrt[ℓ^{n}]{E_{K}^{ε}} ]/K_{n});

— et une ℓ-extension F/k cyclique ∞-décomposée, logarithmiquement non-ramifiée en dehors de 𝔭 et 𝔭-logarithmiquement ramifiée avec pour indice de ramification ẽ_{𝔭}(F/k) = ℓ^{n}.

Examinons d’abord cette dernière condition. Par la théorie ℓ-adique du corps de classes (cf. [10]), le groupe de Galois Gal(H̃_{k}^{𝔭}/H̃_{k}) de la ℓ-extension abélienne 𝔭-logarithmiquement ramifiée ∞-décomposée maximale H̃_{k}^{𝔭} du corps k relativement à sa sous-extension logarithmiquement nonramifiée ∞-décomposée maximale H̃_{k} est donné par l’isomorphisme :

Gal(H̃_{k}^{𝔭}/H̃_{k}) ≃ (R_{k} ∏_{𝔮∤_{∞}}U_{k_{𝔮}} ∏_{𝔮|_{∞}}R_{k_{𝔮}})/(R_{k} ∏_{𝔮≠𝔭} U_{k_{𝔮}} ∏_{𝔮|_{∞}}R_{k_{𝔮}}) ≃ μ_{k_{𝔭}}/s_{𝔭}(E_{k}),

où μ_{k_{𝔭}} = U_{k_{𝔭}} est le ℓ-groupe des racines de l’unité dans k_{𝔭} et s_{𝔭}(E_{k}) l’image locale du groupe des unités globales. Or, le quotient obtenu est cyclique d’ordre ℓ^{m} pour un m ≥ n si et seulement si le complété k_{𝔭} contient les racines ℓ^{n}-ièmes de l’unité et si les éléments de E_{k} sont des puissances ℓ^{n}- ièmes locales dans k_{𝔭}; ce qui a lieu dès que la place 𝔭 est complètement décomposée dans l’extension k[ζ_{ℓ^{n}}, E_{k}^{ℓ^{−n}}]/k. Lorsque c’est le cas, l’extension H̃_{k}^{𝔭}/k possède donc une sous-extension cyclique ∞-décomposée et 𝔭-logarithmiquement ramifiée avec pour indice de ramification ẽ_{𝔭}(F/k) = ℓ^{n}. En fin de compte, l’existence de F est donc assurée dès lors que l’on remplace la condition (i) par :

(i′) 𝔭_{K} est au-dessus d’un premier p ≠ ℓ complètement décomposé dans K_{n}[E_{k}^{ℓ^{−n}}]/ℚ. Et tout le problème est alors de s’assurer de la compatibilité des trois conditions (i′), (ii) et (iii).

D’un côté, E_{k} et E_{K}^{ε} étant en somme directe, les extensions K_{n}[E_{k}^{ℓ^{−n}}]/K_{n} et K_{n}[E_{K}^{ε}^{ℓ^{−n}}]/K_{n} sont bien linéairement disjointes. D’un autre côté, ce n’est pas nécessairement le cas des deux extensions H_{K}^{𝔪}/K_{n} et K_{n}[(E_{k}E_{K}^{ε})^{ℓ^{−n}}]/K_{n}. Ce défaut demeure cependant borné.

Pour voir cela, notons ℓ^{m_{K}} l’ordre de μ_{K} ; puis K_{∞} = K[ζ_{ℓ^{∞}}] l’extension cyclotomique engendrée par toutes les racines d’ordre ℓ-primaire de l’unité. Observant que H̃_{K}^{𝔪}/K est abélienne et que K_{n}[(E_{k}E_{K}^{ε})^{ℓ^{−n}}]/K est logarithmiquement non-ramifiée en dehors de ℓ, nous avons :

H̃_{K}^{𝔪} ∩ K_{n}[(E_{k}E_{K}^{ε})^{ℓ^{−n}}] = H̃_{K} ∩ K_{n}[(E_{k}E_{K}^{ε})^{ℓ^{−mK}} ] pour n ≥ m_{K}.

Et Gal ([H̃_{K} ∩ K_{n}[(E_{k}E_{K}^{ε})^{ℓ^{−mK}} ]/K_{n}) est un groupe abélien d’exposant divisant ℓ^{m_{K}}. Si donc nous définissons l’entier m introduit dans la section précédente en prenant m = m_{K}, la compatibilité de (i′) avec (iii) est automatique. Celle de (i′) avec (ii) est alors immédiate sous la condition supplémentaire :

(iv) [𝔡_{K}] est une puissance ℓ^{m_{K}}-ième dans Cℓ_{K}^{𝔪_{K}}.

Lorsque cette dernière est remplie, le théorème de densité de Čebotarev (cf. [4] ou e.g. [23]) appliqué dans la clôture galoisienne de l’extension H_{n}[ζ_{ℓ^{n}}, (E_{k}E_{K}^{ε})^{ℓ^{−mK}} ]/ℚ nous assure l’existence d’une infinité de premiers p possédant une place 𝔭_{K} au-dessus qui satisfait les conditions requises (i′), (ii) et (iii) ; et donc l’existence d’une infinité de ℓ-extensions F/k convenables. Ainsi :

Proposition 10. La construction de F est possible dès lors que la classe [𝔡_{K}] est une puissance ℓ^{m_{K}}-ième dans Cℓ_{K}^{𝔪_{K}}, où ℓ^{m_{K}}= | μ_{K}| est l’ordre du ℓ-groupe des racines de l’unité dans K.

7 Preuve conditionnelle du résultat principal

Nous supposons dans cette section que les corps qui interviennent satisfont tous la conjecture de Gross-Kuz’min (pour le premier ℓ). Nous verrons plus loin comment lever cette restriction.

Plaçons nous d’abord dans le cas galoisien. Sous la conjecture de Gross-Kuz’min, nous avons :

Théorème 11. Étant donnés une extension galoisienne K/k de corps de nombres complètement décomposée en au moins une place à l’infini, un nombre premier ℓ et un diviseur 𝔪_{K} de K sans facteur carré, étranger à ℓ et stable par G = Gal(K/k), pour chaque classe [𝔡̃_{K}] d’ordre ℓ-primaire dans Cℓ_{K}^{𝔪_{K}}, il existe une infinité de ℓ-extensions abéliennes ∞-décomposées F/k telles que la classe [𝔡̃_{K}] se principalise dans le groupe de classes de rayons Cℓ_{L}^{𝔪_{L}} du compositum L = F K.

La première étape consiste à se ramener au cas où [𝔡̃_{K}] est une puissance ℓ^{m_{K}}-ième dans Cℓ_{K}^{𝔪_{K}}:

Proposition 12. Sous la conjecture de Gross-Kuz’min, quitte à grossir K par composition avec une ℓ-extension abélienne ∞-décomposée de ℚ, on peut supposer [𝔡̃_{K}] ∈ (Cℓ_{K}^{𝔪_{K}})^{ℓ^{h}} avec h arbitaire.

Preuve. Notons K^{c} la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique de K; puis K_{∞} = K[ζ_{ℓ^{∞}}] = K^{c}[ζ_{2ℓ}] l’extension engendrée par les racines d’ordre ℓ-primaire de l’unité ; et considérons la pro-ℓ-extension H_{K}^{𝔪_{K}}[ζ_{2ℓ}].

— Si ℓ est impair et K vérifie la conjecture de Gross-Kuz’min pour ℓ, le groupe de Galois Gal( H_{K}^{𝔪_{K}}[ζ_{2ℓ}]/K s’identifie au produit direct du groupe cyclique Δ = Gal( H_{K}^{𝔪_{K}}[ζ_{2ℓ}]/ H_{K}^{𝔪_{K}}), du ℓ-groupe fini Cℓ_{K}^{𝔪_{K}} ≃ Gal( H_{K}^{𝔪_{K}}/K^{c}) et du groupe procyclique Γ = Gal(K^{c}/K) ≃ ℤ_{ℓ}.

— Si ℓ vaut 2, toujours sous la conjecture de Gross-Kuz’min, il faut distinguer : — Si H_{K}^{𝔪_{K}} ne contient pas i = ζ_{4}, la même décomposition vaut encore avec Δ ≃ ℤ/2ℤ .

— Si H_{K}^{𝔪_{K}} contient i, l’extension K[i]/K est localement cyclotomique ; et en remplaçant K par K[i] = Kℚ[i], qui vérifie les mêmes hypothèses, on est ramené au cas précédent.

Soit alors K_{h}/K la sous-extension d’exposant ℓ^{h} de H_{K}^{𝔪_{K}}[ζ_{2ℓ}]/K. Dans tous les cas, le théorème de Čebotarev appliqué dans la clôture galoisienne de K_{h} sur ℚ nous assure l’existence d’un premier 𝔮_{K} ∤ ℓ𝔪_{K} de K au-dessus d’un premier q de ℕ complètement décomposé dans K[ζ_{2ℓ^{h}}]/ℚ de même image que 𝔡_{K} dans Cℓ_{K}^{𝔪_{K}}/Cℓ_{K}^{𝔪_{K}}^{ℓ^{h}} (en notations multiplicatives).

Maintenant, le sous-corps réel du corps cyclotomique ℚ[ζ_{2ℓ^{h}}] contient un unique sous-corps F_{∘} cyclique de degré ℓ^{h} et totalement ramifié en q. De plus, comme q est pris complètement décomposé dans K/ℚ, la place 𝔮_{K} est totalement ramifiée dans l’extension composée KF_{∘}/K; de sorte que l’étendue [𝔡̃_{KF_{∘}}] de [𝔡̃_{K}] est bien une puissance ℓ^{h}-ième dans Cℓ_{KF_{∘}}^{𝔪_{KF∘}}.

Preuve du Théorème. Revenons aux notations additives. D’après la Proposition 12, nous pouvons supposer [𝔡̃_{K}] ∈ ℓ^{m_{K}}Cℓ_{K}^{𝔪_{K}} sans restreindre la généralité, en notant ℓ^{m_{K}} l’ordre du ℓ-groupe μ_{K}. La Proposition 10 nous assure alors pour n arbitrairement grand l’existence d’une infinité de ℓextensions cycliques ∞-décomposées F de k logarithmiquement ramifiées en un unique premier 𝔭 avec pour indice ẽ_{𝔭}(F/k) = ℓ^{n}, qui satisfont les conditions (i), (ii) et (iii) de la section précédente.

En particulier la classe [𝔡̃_{K}] de 𝔡_{K} dans Cℓ_{K}^{𝔪_{K}} est représentée modulo ℓ^{n} Cℓ_{K}^{𝔪_{K}} par l’un des [K : k] idéaux 𝔭_{K} au-dessus de 𝔭, lequel se ramifie logarithmiquement dans l’extension composée L/K = KF/K avec pour indice ℓ^{n}, de sorte qu’il vient : [ 𝔡̃_{K}] = [ 𝔭̃_{K}] + ℓ^{n}[ 𝔯̃_{K}] et 𝔭̃_{K} = ℓ^{n} 𝔮̃_{L} pour un diviseur logarithmique 𝔮̃_{L} invariant par C = Gal(L/K). D’après la Proposition 9 l’étendue [𝔡̃_{L}] = ℓ^{n} [𝔮̃_{L} + 𝔯̃_{K}] de [𝔡_{K}] à L est ainsi la classe principale dès qu’on a : n ≥ c̃_{K,𝔪}.

Scolie 13. La conclusion du Théorème vaut encore lorsque K/k n’est pas supposée galoisienne.

Preuve. Partons d’une classe d’ordre ℓ-primaire [𝔡̃_{K}] ; introduisons la clôture galoisienne K̄/k de K/k et notons ℓ^{h} la ℓ-partie du degré de K̄/K. D’après la Proposition 12, quitte à grossir K par composition avec une ℓ-extension abélienne de k (ce qui n’augmente pas h), nous pouvons supposer que [𝔡̃_{K}] est une puissance ℓ^{h}-ième dans Cℓ_{K}^{𝔪_{K}}, donc la norme dans K̄/K d’une classe [𝔡̃_{K̄}] de Cℓ 𝔪K̄ ; K̄. Donnons-nous maintenant un corps principalisant F pour [𝔡_{K̄}], i.e. une ℓ-extension abélienne ∞- décomposée F/k telle que l’étendue [𝔡̃_{F K̄}] de [𝔡̃_{K̄}] soit la classe triviale. Alors l’étendue à F K de sa norme N_{K̄/(K̄∩F K)}([𝔡̃_{K̄}]) est la classe triviale de Cℓ_{F K}^{𝔪_{FK}}. Or, on a :

[𝔡̃_{K}] = N_{K̄/K}([𝔡̃_{K̄}]) = N_{(K̄∩F K)/K}(N_{K̄/(K̄∩F K)}(([𝔡̃_{K̄}]));

de sorte que [𝔡̃_{K}] se principalise dans Cℓ_{F K}^{𝔪_{FK}}.

8 Retour sur la conjecture de Gross-Kuz’min

L’objet de cette section est de mieux cerner le rôle exact de la conjecture de Gross-Kuz’min dans les diverses étapes de la preuve du résultat principal sur la principalisation. À l’analyse, dans celles-ci, la conjecture intervient essentiellement pour trois points-clés :

(i) Pour assurer la finitude des ℓ-groupes de classes logarithmiques de degré nul

Bien entendu, la capitulation ne peut concerner que des classes d’ordre fini. Si donc l’on veut se dispenser de la conjecture de Gross-Kuz’min, il convient de remplacer le pro-ℓ-groupe des classes logarithmiques de rayons Cℓ_{K}^{𝔪_{K}} par son sous-groupe de torsion, disons T_{K}^{𝔪_{K}}, qui est toujours fini.

Dans ce cas, la sous-extension de H_{K}^{𝔪_{K}} fixée par T_{K}^{𝔪_{K}} n’est plus, a priori, la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique K^{c} de K, mais simplement le compositum des ℤ_{ℓ}-extensions localement cyclotomiques. Son groupe de Galois sur K^{c} est un ℤ_{ℓ}-module libre dont la dimension mesure précisément le défaut de la conjecture de Gross-Kuz’min dans le corps K (pour le premier ℓ fixé).

(ii) Pour construire le sous-module E_{K}^{ε}

L’existence d’un sous-module monogène E_{K}^{ε} isomorphe à l’idéal d’augmentation sous l’hypothèse de décomposition d’une place à l’infini repose sur l’expression du caractère des unités logarithmiques sous la conjecture de Gross-Kuz’min dans K. Mais, ici encore, il n’est nullement nécessaire de s’appuyer sur la conjecture : il est bien connu, en effet, que le groupe E_{K} contient un sous-groupe canonique, noté E_{K}^{ν} dans [12] §7, dit groupe des normes universelles de Kuz’min, qui possède le rang et donc le caractère attendus. De ce fait, le sous-groupe d’indice fini E_{K}^{ν} ∩ E_{K}^{𝔪_{K}} contient bien un sous-module de type E_{K}^{ε} indépendamment de la conjecture de Gross-Kuz’min.

(ii) Pour évaluer le quotient de Herbrand q(C, E_{K}^{𝔪_{K}})

Ce point est le plus sensible : les identités des classes logarithmiques d’ambiges dans l’extension cyclique L/K de groupe de Galois C font apparaître le quotient Pℓ_{L}^{𝔪_{L}}^{C}/Pℓ_{K}^{𝔪_{K}} ≃ H^{1}(C, E_{L}^{𝔪_{L}}) dont l’ordre coïncide, sous la conjecture de Gross-Kuz’min dans L, avec celui du groupe H^{2}(C, E_{L}^{𝔪_{L}}), le quotient de Herbrand q(C, E_{L}^{𝔪_{L}}) = q(C, E_{L}) du groupe d’unités logarithmiques E_{L}^{𝔪_{L}} valant alors 1.

Or, ce quotient ne dépend que du caractère du groupe E_{L}. Si le groupe C est cyclique d’ordre, disons, ℓ^{h}, la décomposition semi-simple de l’algèbre de groupe

ℚ_{ℓ}[C] ≃ ℚ_{ℓ}[X]/(X^{ℓ^{h}} − 1) ≃ ℚ_{ℓ} ⊕ ℚ_{ℓ}[ζ_{ℓ}] ⊕ ⋯ ⊕ ℚ_{ℓ}[ζ_{ℓ^{h}}]

conduit à la décomposition ℓ-adique irréductible du caractère régulier

χ_{C}^{rég} = χ_{0} + χ_{1} + ⋯ + χ_{h} = χ_{0} + χ_{C}^{aug},

où χ_{0} désigne le caractère unité et χ_{C}^{aug} le caractère d’augmentation. Maintenant, pour tout ℤ_{ℓ}[C]- module projectif M de caractère χ_{M} = ∑ n_{i}χ_{i}, un calcul élémentaire montre que l’ordre h^{2}(M) du groupe H^{2}(C, M) ne dépend que de n_{0}, tandis que l’ordre h^{1}(M) du groupe H^{1}(C, M) ne dépend que des n_{i} pour i > 0. Écrivons donc E′_{L} = E_{L}/E_{L}^{ν} le quotient du groupe des unités logarithmiques par le sous-groupe des normes universelles de Kuz’min introduit plus haut.

Sous la conjecture de Gross-Kuz’min dans K, le groupe E′_{K} = E_{K}/E_{K}^{ν} est fini, de sorte que la composante unité du caractère de E′_{L} est alors triviale. En particulier, son quotient de Herbrand q(C, E′_{L}) = h^{1}( E′_{L})/h^{2}( E′_{L}) est une puissance positive de ℓ. Et il vient donc :

h^{1}( E_{L}^{𝔪_{L}}) = h^{2}( E_{L}^{𝔪_{L}})q( E_{L}^{𝔪_{L}}) = h^{2}( E_{L}^{𝔪_{L}})q( E_{L}) = h^{2}( E_{L}^{𝔪_{L}})q( E′_{L}) ≥ h^{2}( E_{L}^{𝔪_{L}}),

en vertu de l’identité q(C, E_{L}^{ν}) = 1 valable inconditionnellement.

En fin de compte, dès lors que le seul corps K vérifie la conjecture de Gross-Kuz’min pour ℓ, les calculs de la Proposition 6 fournissent la majoration du nombre de classes d’ambiges :

(Dℓ_{L}^{𝔪_{L}}^{C} : Pℓ_{L}^{𝔪_{L}}^{C}) ≤ | Cℓ_{K}^{𝔪_{K}}| \frac{∏_{𝔭_{∞}}d_{𝔭_{∞}}(L/K) ∏_{𝔭_{∘}∤𝔪} ẽ_{𝔭_{∘}}(L/K)}{( deg_{L} Dℓ_{L}^{𝔪_{L}}^{C} : deg_{L} Dℓ_{K}^{𝔪_{K}}) (E_{K}^{𝔪_{K}}: N_{L/K}(E_{L}^{𝔪_{L}}))}

Et la conclusion de la Proposition 9 reste valable ; ce qui achève la démonstration du Théorème 4.

9 Conséquences arithmétiques

Dans toute cette section, nous supposons fixé le nombre premier ℓ.

Définition 14. Soient k un corps de nombres et T = T_{k} un ensemble fini de premiers de k ne divisant pas ℓ. Pour toute extension algébrique N de k (non nécessairement de degré fini sur k), convenons de noter T_{N} l’ensemble (éventuellement infini) des places de N au-dessus de T et, pour [K : k] fini, par 𝔪_{K} le diviseur 𝔪_{K} = ∏_{𝔮_{K}∈T_{K}} 𝔮_{K}. Nous disons que N est T_{N}^{(ℓ)}-logarithmiquement principal lorsque son groupe des classes T_{N}^{(ℓ)}-infinitésimales (défini comme limite inductive des ℓ-groupes logarithmiques de classes de rayons Cℓ_{K}^{𝔪_{K}} pour K ⊂ N de degré fini) est trivial :

Cℓ_{K}^{T_{N}^{(ℓ)}}= \underrightarrow{lim} Cℓ_{K}^{𝔪_{K}} = 1.

Lorsque T est vide, nous disons tout simplement que N est logarithmiquement principal.

Cela posé, appliquons d’abord le Théorème principal avec k = ℚ logarithmiquement principal.

Scolie 15. Pour tout corps de nombres totalement réel K vérifiant la conjecture de Gross-Kuz’min en ℓ (par exemple un corps abélien réel) et tout ensemble fini T = T_{ℚ} de nombres premiers p ≠ ℓ, il existe une infinité d’extensions abéliennes réelles F/ℚ telles que les ℓ-classes logarithmiques de rayons modulo 𝔪_{K} = ∏_{𝔮_{K}∈T_{K}} 𝔮_{K} de Cℓ_{K}^{𝔪_{K}} capitulent dans Cℓ_{FK}^{𝔪_{FK}}.

Autrement dit, le groupe Cℓ_{K}^{𝔪_{K}} capitule dans le sur-corps K[cos(2π/f)] pour une infinité de f.

Passant à la limite inductive dans le cas particulier T = ∅, nous obtenons :

Corollaire 16. Le sous-corps réel maximal ℚ_{+}^{ab} = ⋃_{f>0} ℚ[cos(2π/f)] du corps cyclotomique engendré par toutes les racines de l’unité ℚ^{ab} = ⋃_{f>0} ℚ[ζ_{f}] est logarithmiquement principal.

Plus généralement les extensions algébriques totalement réelles N de ℚ_{+}^{ab} qui vérifient la conjecture de Gross-Kuz’min en ℓ sont logarithmiquement principales.

Regardons maintenant le cas relatif en distinguant suivant la signature du corps de base k :

Scolie 17. Soit k un corps de nombres totalement réel et T_{k} un ensemble fini de places de k ne divisant pas ℓ. Alors, pour tout corps de nombres K qui contient k, satisfait la conjecture de Gross-Kuz’min en ℓ et possède au moins une place réelle, il existe une infinité d’extensions abéliennes totalement réelles F/k telles que les classes logarithmiques de rayons modulo 𝔪_{K} = ∏_{𝔮_{K}∈T_{K}} 𝔮_{K}

contenues dans le sous-groupe relatif Cℓ_{K/k}^{𝔪_{K}} capitulent dans Cℓ_{FK}^{𝔪_{FK}}.

Corollaire 18. Soit k un corps de nombres totalement réel, k_{+}^{ab} sa plus grande extension abélienne totalement réelle et T_{k} un ensemble fini de places de k qui ne divisent pas ℓ.

Si k est T_{k}^{(ℓ)}-logarithmiquement principal, toute extension algébrique K de k_{+}^{ab} qui satisfait la conjecture de Gross-Kuz’min et dont la clôture galoisienne possède au moins un plongement réel est encore T_{K}^{(ℓ)}-logarithmiquement principale.

Preuve. Pour tout α dans K, le groupe de classes logarithmiques Cℓ_{k[α]}^{𝔪_{k[α]}}du corps k[α] capitule dans le sous-corps k_{+}^{ab}[α] de K. Et K est donc bien T_{K}^{(ℓ)}-logarithmiquement principal, comme annoncé.

Scolie 19. Soit k un corps de nombres qui possède au moins une place complexe (par exemple un corps quadratique imaginaire) et T_{k} un ensemble fini de places de k ne divisant pas ℓ. Alors, pour tout corps de nombres K qui contient k, il existe une infinité d’extensions abéliennes F/k complètement décomposées en toutes les places à l’infini et telles que les classes logarithmiques de rayons modulo 𝔪_{K} = ∏_{𝔮_{K}∈T_{K}} 𝔮_{K} contenues dans Cℓ_{K/k}^{𝔪_{K}} capitulent dans Cℓ_{FK}^{𝔪_{FK}}.

Corollaire 20. Soient k un corps de nombres qui possède au moins une place complexe (par exemple un corps quadratique imaginaire), k_{+}^{ab} la plus grande extension abélienne de k complètement décomposées en toutes les places à l’infini, et T_{k} un ensemble fini de places de k.

Si k est T_{k}^{(ℓ)}-logarithmiquement principal, toute extension algébrique K de k_{+}^{ab} qui satisfait la conjecture de Gross-Kuz’min est encore T_{K}^{(ℓ)}-logarithmiquement principale.

Appendice : Parallèle avec la conjecture de Grenberg

Le théorème principal de [13] (voir aussi [22] pour une autre approche) s’écrit encore :

Théorème A. Soit K un corps de nombres totalement réel et ℓ un nombre premier donné. Sous la conjecture de Leopoldt dans K^{c} (par exemple pour K abélien), la conjecture de Greenberg pour K en ℓ revient à postuler que le ℓ-groupe Cℓ_{K} des classes logarithmiques du corps K capitule dans le corps totalement réel K[cos(2π/ℓ^{m})] pour tout m assez grand.

Cette formulation est alors à mettre en parallèle avec le Scolie 15 plus haut, qui implique :

Théorème B. Si K est un corps de nombres totalement réel qui vérifie la conjecture de Gross-Kuz’min pour un premier ℓ (par exemple si K vérifie la conjecture de Leopoldt en ℓ, notamment si K est abélien), le ℓ-groupe Cℓ_{K} capitule dans le corps totalement réel K[cos(2π/f] pour une infinité de f qui peuvent être pris étrangers à tout entier donné à l’avance.

Ainsi la conjecture de Greenberg affirme qu’on peut imposer à f d’être ℓ-primaire, ce que la construction ne donne pas, qui dit seulement que f peut être pris étranger à tout entier donné.

Références

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[13] J.-F. Jaulent, Note sur la conjecture de Greenberg, J. Ramanujan Math. Soc. 34 (2019) 59–80 .

[14] J.-F.  Jaulent,  Capitulation  abélienne  des  groupes  de  classes  de  rayons,

    https://arxiv.org/pdf/1801.07173.pdf.

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[16] J.-F. Jaulent, C. Maire, Radical hilbertien et tour localement cyclotomique, Japan J. Math. 70 (2002), 203-213.

[17] J.-F. Jaulent, T. Nguyen Quang Do, Corps p-réguliers, corps p-rationnels et ramification restreinte, J. Théor. Nombres Bordeaux 5 (1993), 343-363.

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[21] A. Movahhedi, Sur les p-extensions des corps p-rationnels, Math. Nachr. 149 (1990) 163–176.

[22] T. Nguyen Quang Do, Formule des genres et conjecture de Greenberg, Annales Math. Québec 42 (2018), 267–280.

[23] S. Lang, Algebraic Number Theory, GTM 110, Springer, 1994.

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