Capitulation abélienne des groupes de classes de rayons

Jean-François Jaulent

Résumé. Nous montrons que la méthode utilisée par Bosca pour faire capituler les classes d’idéaux d’un corps de nombres s’étend aux classes de rayons dans le cas modéré. Plus précisément, nous prouvons que pour toute extension K/k de corps de nombres dans laquelle une au moins des places à l’infini se décompose complètement et tout diviseur 𝔪 sans facteur carré, il existe une infinité d’extensions abéliennes F/k telles que les classes de rayons modulo 𝔪 de K capitulent dans KF. Il suit de là que les résultats de Kurihara sur la trivialité des groupes de classes des pro-extensions abéliennes maximales des corps de nombres totalement réels valent encore pour les groupes de classes de rayons dans le cas modéré. Abstract. Building on Bosca’s method, we extend to tame ray class groups the results on capitulation of ideals of a number field by composition with abelian extensions of a subfield first studied by Gras. More precisely, for every extension of number fields K/k,where at least one infinite place splits completely, and every squarefree divisor 𝔪 of K, we prove that there exist infinitely many abelian extensions F/k such that the ray class group mod 𝔪 of K capitulates in KF. As a consequence we generalize to tame ray class groups the results of Kurihara on triviality of class groups for maximal abelian pro-extensions of totally real number fields.

Table des matières

Introduction 2

1 Énoncé des résultats et stratégie de preuve 3

2 Interprétation infinitésimale des ℓ-groupes de classes de rayons 4

3 Identité des classes infinitésimales d’ambiges 5

4 Minoration de l’indice normique des unités 6

5 Construction de l’extension principalisante 7

6 Preuve du résultat principal 8

7 Conséquences arithmétiques 9

Appendice 10

Bibliographie 10

Introduction

Il est reconnu que la capitulation des idéaux (i.e. le fait de devenir principal) par extension abélienne est un problème difficile. La raison en est, nous semble-t-il, que la théorie du corps de classes qui décrit précisément ces extensions abéliennes est centrée sur les questions normiques tandis que la capitulation met en jeu, elle, les propriétés du morphisme d’extension.

Du point de vue cohomologique, le noyau de capitulation dans une extension galoisienne est gouverné par le premier groupe de cohomologie des unités. Il est donc naturel que les propriétés des unités – et donc le comportement des places à l’infini – joue un rôle essentiel dans ces questions.

C’est ainsi que Gras a montré dans [4] que, pour une extension abélienne de corps de nombres K/k vérifiant des conditions de signatures convenables, il existe une infinité d’extensions abéliennes F/k telles que les idéaux de K capitulent dans le compositum F K. Ce résultat a été ensuite généralisé par Bosca dans [1] pour K/k arbitraire sous la seule condition que l’une au moins des places à l’infini se décompose complètement dans K/k. Par passage à la limite inductive dans les tours abéliennes pour k = ℚ, il retrouve ainsi le théorème de Kurihara [14] sur la trivialité du groupe de classes du compositum de K avec l’extension abélienne maximale ℚ^{ab} du corps des rationnels pour K totalement réel et démontre en outre la conjecture de Gras (cf. [4], p. 405).

La preuve de Bosca repose sur la conjonction de trois types d’arguments : la description des groupes de normes donnée par le corps de classes ; le théorème de densité de Chebotarev ; et des dénombrements de classes ambiges dans le cas cyclique, à la manière de Chevalley.

Le but de la présente note est d’étendre aux groupes de classes de rayons Cl_{K}^{𝔪_{K}} les résultats de Bosca en reprenant essentiellement la même stratégie – au prix de quelques complications techniques – dans le cas où le diviseur 𝔪_{K} qui définit le module de congruences est sans facteur carré, ce qui, du point de vue du corps de classes, revient à accepter de la ramification modérée.

Le résultat que nous obtenons, en parfaite analogie avec le cas des classes d’idéaux, généralise ainsi ceux de Bosca et, partant, de Kurihara dans ce nouveau cadre, et les redonne comme cas particuliers lorsque 𝔪_{K} est pris trivial.

Par exemple, pour l’extension abélienne réelle maximale de ℚ, le Scolie 9 infra s’énonce ainsi :

Convention. Étant donnés un ensemble fini T = T_{ℚ} de places de ℚ et une extension L ⊂ \overline{ℚ}, convenons de noter par T_{L} l’ensemble des places de L au-dessus de T et écrivons

Cl_{L}^{𝔪} = \underrightarrow{lim} Cl_{K}^{𝔪}

la limite inductive des groupes de classes de rayons modulo 𝔪_{K} = ∏_{𝔭_{K}∈T_{K}} 𝔭_{K}, pour K ⊂ L de degré fini sur ℚ.

Cela étant, pour tout ensemble fini T de places de ℚ, autrement dit pour tout diviseur sans facteur carré 𝔪_{ℚ} = ∏_{p∈T} du corps des rationnels, il vient :

Théorème. Le sous-corps réel maximal L = ℚ_{+}^{ab} = ⋃_{f>0} ℚ[cos(2π/f)] du corps cyclotomique engendré par toutes les racines de l’unité ℚ^{ab} = ⋃_{f>0} ℚ[ζ_{f}] est 𝔪-principal :

Cl_{L}^{𝔪} = 1.

Plus généralement les extensions algébriques totalement réelles N de ℚ_{+}^{ab} sont 𝔪-principales.

En d’autres termes, toute classe de rayons d’un corps totalement réel modulo un diviseur sans facteur carré se trivialise par extension abélienne réelle. La démonstration de ce résultat montre même que les extensions principalisantes F peuvent être prises non-ramifiées en un ensemble fini arbitraire de places ; ce qui implique l’existence d’une infinité de telles extensions non emboîtées.

Comme expliqué en appendice, le cas sauvage, en revanche, met en jeu ultimement d’autres phénomènes qui s’opposent à la capitulation des groupes de classes infinitésimales. Par exemple, pour tout premier ℓ donné et sous la conjecture de Leopoldt pour ℓ, le ℓ-groupe des ℓ-classes infinitésimales d’ordre fini d’un corps totalement réel ne peut capituler dans aucune de ses extensions dès lors qu’il n’est pas nul, le morphisme d’extension étant alors toujours injectif.

1 Énoncé des résultats et stratégie de preuve

Rappelons qu’un corps de nombres est, par convention, une extension finie du corps ℚ et qu’une place à l’infini d’un tel corps est dite se décomposer complètement dans une extension finie K/k lorsqu’elle possède exactement [K : k] prolongements à K (ce qui a lieu si et seulement si ce n’est pas une place réelle dont l’un au moins des prolongements ne l’est pas).

Le résultat principal de Bosca [1] prouvant la conjecture de Gras peut s’énoncer comme suit :

Théorème A (Bosca). Pour toute extension K/k de corps de nombres où une place à l’infini au moins se décompose complètement, il existe une extension abélienne finie F/k complètement décomposée en toutes les places à l’infini, telle que les classes de Cl_{K} capitulent dans L = KF.

Sa généralisation en termes de classes de rayons s’énonce naturellement comme suit : étant donné un ensemble fini T = T_{k} de places d’un corps de nombres k et une extension K de k, convenons de noter T_{K} l’ensemble des places de K au-dessus de T_{k}. Cela étant :

Théorème B. Pour toute extension K/k de corps de nombres dans laquelle une place à l’infini au moins se décompose complètement et tout ensemble fini T de places non complexes de k, il existe une extension abélienne finie F/k complètement décomposée en toutes les places à l’infini, telles que les classes de rayons de Cl_{K}^{𝔪} modulo 𝔪_{K} = ∏_{𝔮_{K}∈T_{K}} 𝔮_{K} capitulent dans L = KF.

Ce second résultat contient naturellement le premier qui correspond au cas particulier T = ∅.

La stratégie pour prouver le Théorème B reprend dans un contexte plus technique celle mise en œuvre par Bosca [1] pour établir le Théorème A : comme tout groupe abélien fini est un produit direct de ℓ-groupes cycliques, il suffit de montrer que pour tout nombre premier ℓ chaque classe [𝔡_{K}] d’ordre ℓ-primaire de Cl_{K}^{𝔪_{K}} se trivialise dans KF_{𝔡} pour une certaine ℓ-extension abélienne ∞-décomposée F_{𝔡} du corps de base k; le compositum F des F_{𝔡} lorsque 𝔡 parcourt un système de représentants d’une famille génératrice de classes fournissant alors un corps principalisant, toutes les classes de Cl_{K}^{𝔪_{K}} capitulent par construction dans L = KF.

L’idée est de représenter la classe considérée par un idéal premier convenable 𝔭_{K} ; à prendre pour F une ℓ-extension de k cyclique de degré assez grand, non-ramifiée en dehors de 𝔭_{k} et nondécomposée en 𝔭_{k}, dans laquelle l’idéal premier 𝔭_{k} au-dessous de 𝔭_{K} est très ramifié ; puis à former le compositum L = F K. Par construction, l’idéal 𝔭_{K} est alors une grande puissance d’un idéal 𝔭_{L} de L, ambige dans l’extension cyclique L/K; ce qui permet de montrer que sa classe est principale, dès que l’on contrôle effectivement le nombre de classes d’ambiges dans l’extension cyclique L/K, ce qui se fait en imposant à 𝔭_{K} un certain nombre de conditions arithmétiques fortes.

Pour cela, il est plus commode d’établir d’abord le résultat attendu dans le cas galoisien, le cas général pouvant s’en déduire ultérieurement par passage à la clôture galoisienne (Scolie 7).

La situation considérée est donc la suivante :

— K/k désigne une extension galoisienne de corps de nombres, de groupe de Galois Δ, dans laquelle une au moins des places à l’infini est complètement décomposée ;

— ℓ est un nombre premier fixé et T un ensemble fini, stable par Δ, d’idéaux premiers de K. On note 𝔪_{K} = ∏_{𝔮_{K}∈T} 𝔮_{K} leur produit et E_{K}^{𝔪} = {ε ∈ E_{K} | ε ≡ 1 mod 𝔪_{K}} le groupe des

unités de K congrues à 1 modulo 𝔪_{K}. En termes de représentations, l’hypothèse faite, qui revient à postuler la trivialité du sous-groupe de décomposition Δ_{𝔭_{∞}} de l’une des places à l’infini, assure, d’après le théorème de Herbrand (cf. [8, 9] ou e.g. [16]), que le caractère du groupe des unités

χ_{E_{K}} = ( ∑_{𝔭_{∞}}Ind_{Δ_{𝔭∞}}^{Δ}1_{Δ_{𝔭∞}}) − 1_{Δ}

contient le caractère d’augmentation χ_{Δ}^{aug} = χ_{Δ}^{rég} − 1_{Δ}. En particulier E_{K}^{𝔪}, qui est d’indice fini dans E_{K}, contient donc un sous-ℤ[Δ]-module monogène E_{K}^{ε} = ε^{ℤ[Δ]} de caractère χ_{Δ}^{aug}.

Partant d’une classe [𝔡_{K}] d’ordre ℓ-primaire de Cl_{K}^{𝔪}, on cherche un idéal premier 𝔭_{K} dans [𝔡_{K}] et une ℓ-extension cyclique 𝔭_{K}-ramifiée F de k convenables tels que [𝔡_{K}] capitule dans Cl_{KF}^{𝔪}.

Le point-clé de la démonstration consiste à minorer un indice normique en imposant un comportement ad hoc de 𝔭_{K} dans l’extension K_{n}^{ε} = K[ζ_{ℓ^{n}}, \sqrt[ℓ^{n}]{E_{K}^{ε}} ] pour n assez grand (Prop. 3).

2 Interprétation infinitésimale des ℓ-groupes de classes de rayons

Soit donc K un corps de nombres et 𝔪 un diviseur de K sans facteur carré. Écrivons

K_{𝔪}^{×} = ∏_{𝔮|𝔪} K_{𝔮}^{×}

le produit des groupes multiplicatifs des complétés de K aux places (finies ou réelles) intervenant dans 𝔪. Notons 𝔮_{𝔮} l’idéal maximal de l’anneau local des entiers de K_{𝔮} et U_{𝔮}^{1} = 1+𝔮_{𝔮} le sous-groupe de K_{𝔮}^{×} formé des unités principales, si 𝔮 est finie ; U_{𝔮}^{1} = K_{𝔮}^{×2} ≃ ℝ_{+}^{×}, si 𝔮 est réelle.

Par définition (cf. e.g. [15] §5.1), le groupe des classes de rayons modulo 𝔪 de K est le quotient :

Cl_{K}^{𝔪} = D_{K}^{𝔪}/P_{K}^{𝔪},

où D_{K}^{𝔪} est le groupe des idéaux de K étrangers à 𝔪 et P_{K}^{𝔪} le sous-groupe formé des idéaux principaux engendrés par les x de K^{×} qui satisfont la congruence multiplicative : x ≡ 1 mod^{×} 𝔪, i.e. dont l’image canonique dans K_{𝔪}^{×} tombe dans le sous-groupe U_{𝔪}^{1} = ∏_{𝔮|𝔪} U_{𝔮}^{1}.

Fixons maintenant un nombre premier ℓ; écrivons 𝔪 = 𝔪′𝔪̄ en mettant dans 𝔪′ les places qui divisent ℓ et dans 𝔪̄ les autres ; puis considérons le ℓ-sous-groupe Cℓ_{K}^{𝔪} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} Cl_{K}^{𝔪} du groupe Cl_{K}^{𝔪}. Nous allons interpréter ce ℓ-groupe en termes idéliques en nous appuyant sur le formalisme et les notations de la théorie ℓ-adique du corps de classes tels qu’introduits dans [12].

Écrivons pour cela Cℓ_{K}^{𝔪} comme quotient du tensorisé ℓ-adique D_{K}^{𝔪} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} D_{K}^{𝔪} par son sousmodule principal P_{K}^{𝔪} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} P_{K}^{𝔪}. Précisons ce dernier : pour chaque place non-complexe 𝔮 de K, notons R_{K_{𝔮}} = \underleftarrow{lim} K_{𝔮}^{×}/K_{𝔮}^{×ℓ^{m}} le compactifié ℓ-adique du groupe multiplicatif K_{𝔮}^{×}. Et notons U_{K_{𝔮}} son sous-groupe des unités, qui s’identifie au groupe U_{𝔮}^{1} des unités principales de K_{𝔮}, pour 𝔮|ℓ; au ℓ-sous-groupe de Sylow μ_{K_{𝔮}} du groupe des racines de l’unité contenues dans K_{𝔮}, pour 𝔮 ∤ ℓ (et donc à {±1} pour 𝔮 réelle et ℓ = 2, au groupe trivial {1} pour 𝔮 réelle et ℓ ≠ 2).

Rappelons que le tensorisé R_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} K^{×} du groupe multiplicatif de K s’injecte canoniquement dans le pro-ℓ-groupe des idèles, défini comme le produit restreint des compactifiés R_{K_{𝔮}} :

R_{K} ↪ J_{K} = ∏_{𝔮}^{res} R_{K_{𝔮}}.

Ainsi P_{K}^{𝔪} est l’image dans D_{K}^{𝔪} ≃ ∏_{𝔮∤𝔪}^{res} R_{K_{𝔮}}/ ∏_{𝔮∤𝔪} U_{K_{𝔮}} ≃ ∏_{𝔮∤𝔪}^{res} R_{K_{𝔮}} ∏_{𝔮|𝔪′} U_{K_{𝔮}}/ ∏_{𝔮∤𝔪̄} U_{K_{𝔮}} de

R_{K}^{𝔪} = {x = (x_{𝔮})_{𝔮} ∈ R_{K} | x_{𝔮} ∈ U_{𝔮} pour 𝔮|𝔪′ et x_{𝔮} = 1 pour 𝔮|𝔪̄} = R_{K} ∩ ∏_{𝔮∤𝔪}^{res} R_{K_{𝔮}} ∏_{𝔮|𝔪′} U_{K_{𝔮}}, sous-module de R_{K} formé des éléments qui sont des unités aux places divisant 𝔪′ et triviaux aux places divisant 𝔪̄ (on dit que que ce sont des unités en 𝔪′ qui sont 𝔪̄-infinitésimales^{1}). Il suit :

Cℓ_{K}^{𝔪} = D_{K}^{𝔪}/P_{K}^{𝔪} ≃ ∏_{𝔮∤𝔪}^{res} R_{K_{𝔮}} ∏_{𝔮|𝔪′} U_{K_{𝔮}}/ ∏_{𝔮∤𝔪} U_{K_{𝔮}} (R_{K} ∩ ∏_{𝔮∤𝔪}^{res} R_{K_{𝔮}} ∏_{𝔮|𝔪′} U_{K_{𝔮}}). Puis :

Cℓ_{K}^{𝔪} ≃ ∏_{𝔮∤𝔪}^{res} R_{K_{𝔮}} ∏_{𝔮|𝔪′} U_{K_{𝔮}} R_{K}/ ∏_{𝔮∤𝔪} U_{K_{𝔮}} R_{K}.

Le théorème d’approximation faible permet de remplacer au numérateur ∏_{𝔮|𝔪′} U_{K_{𝔮}} par ∏_{𝔮|𝔪′} R_{K_{𝔮}}. Il vient donc finalement :

Cℓ_{K}^{𝔪} ≃ ∏_{𝔮∤𝔪̄}^{res} R_{K_{𝔮}} R_{K}/ ∏_{𝔮∤𝔪} U_{K_{𝔮}} R_{K} ≃ ∏_{𝔮∤𝔪̄}^{res} R_{K_{𝔮}}/(R_{K} ∩ ∏_{𝔮∤𝔪}^{res} R_{K_{𝔮}}) ≃ Cℓ 𝔪̄ ; K.

Proposition 1. Soient 𝔪 un diviseur sans facteur carré d’un corps de nombres K, puis ℓ un nombre premier arbitraire et 𝔪̄ le diviseur construit sur les places de K qui ne divisent pas ℓ.

Le ℓ-groupe Cℓ_{K}^{𝔪} des classes de rayons modulo 𝔪 est indépendant de 𝔪′ = 𝔪/𝔪̄ et s’identifie au quotient du ℤ_{ℓ}module multiplicatif D 𝔪̄ ; K construit sur les idéaux premiers qui ne divisent par 𝔪̄ par le sous-module P_{K}^{𝔪} des idéaux principaux engendré par les éléments 𝔪̄-infinitésimaux x ∈ R 𝔪̄ ; K :

Cℓ_{K}^{𝔪} ≃ Cℓ 𝔪̄ ; K = D 𝔪̄ ; K/P 𝔪̄ ; K.

Par la théorie du corps de classes, Cℓ_{K}^{𝔪} s’identifie ainsi au groupe de Galois de la ℓ-extension abélienne 𝔪̄-ramifiée (i.e. non-ramifiée en dehors de 𝔪̄) maximale H𝔪̄ ; K de K.

Preuve. Le corps de classes H_{K}^{𝔪} associé à Cℓ_{K}^{𝔪} est la ℓ-extension abélienne maximale 𝔪-modérément ramifiée (i.e. non-ramifiée en dehors de 𝔪 et possiblement mais modérément aux places de 𝔪̄). Or, dans une ℓ-extension les places divisant ℓ qui se ramifient le font sauvagement, les autres modérément. H_{K}^{𝔪} = H𝔪̄ ; K est donc la ℓ-extension abélienne 𝔪̄-ramifiée maximale de K.

1. La notion ℓ-adique d’élément infinitésimal, introduite dans [11], est exposée dans dans [12] et [5], III.2.b.

3 Identité des classes infinitésimales d’ambiges

La qualification d’ambiges pour désigner les classes ou les idéaux invariants par le groupe de Galois dans une extension galoisienne de corps de nombres est traditionnelle depuis Hilbert ([10], §5.7). L’ambiguïté de cette notion tient au fait que les classes ambiges (i.e. invariantes) d’idéaux ne sont pas nécessairement représentées par des idéaux ambiges (i.e. invariants). On parle de classes ambiges dans le premier cas, de classes d’ambiges dans le second.

Le but de la présente section est d’étendre aux ℓ-groupes de classes infinitésimales Cℓ 𝔪̄ ; L, dans une ℓ-extension cyclique de corps de nombres L/K, les calculs de Chevalley sur les classes ambiges d’idéaux dans les extensions cycliques ([3], pp. 402–406). Un point-clé de la démonstration est le fait que, pour Γ cyclique, le quotient de Herbrand d’un ℤ[Γ]-module noethérien M

q(Γ, M) = \frac{|H^{2}(Γ,M)|}{|H^{1}(Γ,M)|}

ne dépend que du caractère du ℚ[Γ]-module ℚ ⊗_{ℤ} M. Pour le module des unités, il est donné par le théorème de représentation de Herbrand (cf. [8, 9] ou e.g. [16]), ce qui conduit à la formule de Chevalley (où d_{𝔮\begin{matrix}∞ \\ K \end{matrix}}(L/K) désigne le degré de l’extension locale attaché à la place à l’infini 𝔮\begin{matrix}∞ \\ K \end{matrix}) :

q(Γ, E_{L}) = _{\frac{[L:K]}{∏_{𝔮\begin{matrix}∞ \\ K \end{matrix}}d_{𝔮\begin{matrix}∞ \\ K \end{matrix}}(L/K)}}

Proposition 2 (Classes infinitésimales d’ambiges). Soient ℓ un nombre premier, L/K une ℓextension cyclique de groupe Γ et 𝔪̄ un diviseur Γ-invariant, étranger à ℓ et sans facteur carré.

Le nombre de ℓ-classes de Cℓ 𝔪̄ ; L qui sont représentées par un idéal ambige est donné par :

(D𝔪̄ ; L^{Γ} : P𝔪̄ ; L^{Γ}) = | Cℓ𝔪̄ ; K| \frac{∏_{𝔮\begin{matrix}∞ \\ K \end{matrix}}d_{𝔮\begin{matrix}∞ \\ K \end{matrix}}(L/K) ∏_{𝔮\begin{matrix}∘ \\ K \end{matrix}∤𝔪_{K}}e_{𝔮\begin{matrix}∘ \\ K \end{matrix}}(L/K)}{[L : K] (E𝔪̄ ; K : N_{L/K}(E𝔪̄ ; L))}

où 𝔮\begin{matrix}∞ \\ K \end{matrix} parcourt les places à l’infini, 𝔮\begin{matrix}∘ \\ K \end{matrix} les places finies étrangères à 𝔪̄ ramifiées dans L/K ; et d_{𝔮_{K}}(L/K) et e_{𝔮_{K}}(L/K) désignent le degré local et l’indice de ramification en 𝔮_{K}.

Preuve. Reprenons les calculs effectués dans [11], §2 pour les classes ℓ-infinitésimales, en nous appuyant cette fois sur la description infinitésimale des ℓ-classes de rayons donnée dans la section précédente. Partons de l’identité : (D𝔪̄ ; L^{Γ} : P𝔪̄ ; L^{Γ}) = (D𝔪̄ ; L^{Γ} : D𝔪̄ ; K) (D𝔪̄ ; K : P𝔪̄ ; K) / (P𝔪̄ ; L^{Γ} : P𝔪̄ ; K).

— D𝔪̄ ; L^{Γ} est engendré par les produits ∏_{𝔮\begin{matrix}∘ \\ L \end{matrix}|𝔮\begin{matrix}∘ \\ K \end{matrix}}𝔮\begin{matrix}∘ \\ L \end{matrix}, où 𝔮\begin{matrix}∘ \\ K \end{matrix} décrit l’ensemble des idéaux premiers de K étrangers à 𝔪̄, de sorte qu’il vient : (D𝔪̄ ; L^{Γ} : D𝔪̄ ; K) = ∏_{𝔮\begin{matrix}∘ \\ K \end{matrix}∤𝔪̄_{K}}e_{𝔮\begin{matrix}∘ \\ K \end{matrix}}(L/K).

— D𝔪̄ ; K/P𝔪̄ ; K est tout simplement le ℓ-groupe Cℓ𝔪̄ ; K.

— Reste à étudier le quotient P𝔪̄ ; L^{Γ}/P𝔪̄ ; K. La Proposition 1 nous fournit la suite exacte courte 1 → E𝔪̄ ; L → R𝔪̄ ; L → P𝔪̄ ; L → 1, où E𝔪̄ ; L = E_{L} ∩ R𝔪̄ ; L est formé des unités de L qui sont 𝔪̄-infinitésimales. Prenant la cohomologie, nous obtenons la suite exacte longue

1 → E𝔪̄ ; L^{Γ} = E𝔪̄ ; K → R𝔪̄ ; L^{Γ} = R𝔪̄ ; K → P𝔪̄ ; L^{Γ} → H^{1}(Γ, E𝔪̄ ; L) → H^{1}(Γ, R𝔪̄ ; L) → ⋯

et finalement la suite exacte : 1 → P𝔪̄ ; K → P𝔪̄ ; L^{Γ} → H^{1}(Γ, E𝔪̄ ; L) → H^{1}(Γ, R𝔪̄ ; L).

Dans celle-ci, le groupe R𝔪̄ ; L des éléments de R_{L} qui sont 𝔪̄-infinitésimaux est le noyau de l’épimorphisme de R_{L} sur R_{L𝔪̄} = ∏_{𝔮_{|}𝔪̄} R_{L_{𝔮}} donné par : x = (x_{𝔮})_{𝔮} ↦ (x_{𝔮})_{𝔮|𝔪̄}. Partant alors de la suite 1 → R𝔪̄ ; L → R_{L} → R_{L𝔪̄} → 1 et prenant la cohomologie, nous obtenons :

1 → R𝔪̄ ; L^{Γ} = R𝔪̄ ; K → R_{L}^{Γ} = R_{K} → R_{L𝔪̄}^{Γ} = R_{K𝔪̄} → H^{1}(Γ, R𝔪̄ ; L) → H^{1}(Γ, R_{L}) → · · ·.

de sorte que H^{1}(Γ, R𝔪̄ ; L) s’injecte dans H^{1}(Γ, R_{L}). Or, celui-ci est trivial, en vertu du théorème 90 de Hilbert. Il suit : H^{1}(Γ, R𝔪̄ ; L) = 1 ; puis : P𝔪̄ ; L^{Γ}/P𝔪̄ ; K ≃ H^{1}(Γ, E𝔪̄ ; L) ; et finalement :

(P𝔪̄ ; L^{Γ} : P𝔪̄ ; K) = |H^{1}(Γ, E𝔪̄ ; L)| = |H^{2}(Γ, E𝔪̄ ; L)|/q(Γ, E𝔪̄ ; L).

Enfin, le quotient de Herbrand q(Γ, E𝔪̄ ; L) coïncide avec q(Γ, E_{L}) = q(Γ, E_{L}) puisque E𝔪̄ ; L est d’indice fini dans E_{L}. Il vient donc :

(P𝔪̄ ; L^{Γ} : P𝔪̄ ; K) = (E𝔪̄ ; K : N_{L/K}(E𝔪̄ ; L)) _{\frac{[L:K]}{∏_{𝔭\begin{matrix}∞ \\ K \end{matrix}}d_{𝔭\begin{matrix}∞ \\ K \end{matrix}}(L/K)}}.

Récapitulant le tout, on obtient le résultat annoncé.

4 Minoration de l’indice normique des unités

Contexte. Pour minorer l’indice normique dans la Proposition 2, fixons quelques conditions :

— K/k désigne désormais une extension galoisienne de corps de nombres, de groupe de Galois Δ, dans laquelle une au moins des places à l’infini est complètement décomposée ;

— ℓ est un nombre premier fixé et 𝔪̄ un diviseur Δ-stable, sans facteur carré et étranger à ℓ;

— L/K = KF/K provient d’une ℓ-extension cyclique F/k de groupe Γ, disjointe de K/k. La condition de décomposition assure, d’après le théorème de Herbrand déjà cité, que le groupe

E𝔪̄ ; K = {ε ∈ E_{K} | ε ≡ 1 mod 𝔪̄_{K}} contient un sous-module monogène E_{K}^{ε} = ε^{ℤ[Δ]} de caractère χ_{Δ}^{aug}.

Soit n ≥ 1 un entier arbitraire (n > 1, pour ℓ = 2) ; ζ_{ℓ^{n}} une racine ℓ^{n}-ème primitive de l’unité ; E_{K_{n}}^{∘} = \{η ∈ K_{n}^{×} | η^{ℓ^{n}} ∈ E_{K}^{ε}\}; et K_{n}^{ε} = K[ζ_{ℓ^{n}}, \sqrt[ℓ^{n}]{E_{K}^{ε}} ] l’extension kumérienne engendrée sur K_{n} = K[ζ_{ℓ^{n}}] par les racines ℓ^{n}-èmes des éléments de E_{K}^{ε}.

Il est bien connu que l’on a : K^{×}∩K_{n}^{×ℓ^{n}} = K^{×ℓ^{n}} pour ℓ impair et (K^{×}∩K_{n}^{×2^{n}} : K^{×2^{n}}) ≤ 2 pour ℓ = 2 (cf. e.g. [18], Lem. 5.7) ; de sorte que ℓ^{ρ_{n}} = (E_{K_{n}}^{∘ ℓ^{n}} : E_{K}^{ε ℓ^{n}}) est indépendant de n pour ℓ impair, et ultimement pour ℓ = 2. Notons le ℓ^{ρ}. Pour n ≥ ρ, l’ordre du radical Rad(K_{n}^{ε}/K_{n}) = E_{K}^{ε}/E_{K_{n}}^{∘ ℓ^{n}} de l’extension kummérienne K_{n}^{ε}/K_{n} est ainsi :

[K_{n}^{ε} : K_{n}] = | Rad(K_{n}^{ε}/K_{n})| = (E_{K}^{ε} : E_{K}^{ε}^{ℓ^{n}})/(E_{K_{n}}^{∘ ℓ^{n}} : E_{K}^{ε ℓ^{n}}) = ℓ^{([K:k]−1)n}/ℓ^{ρ}.

Notons ℓ^{m}, avec m ≥ n − ρ, l’ordre de ε dans E_{K}^{ε}/E_{K_{n}}^{∘ ℓ^{n}}. Et soit τ_{n} ∈ Gal(K_{n}^{ε}/K_{n}) qui vérifie :

\sqrt[ℓ^{n}]{ε}^{τ_{n}−1} = ζ_{ℓ^{m}} pour une certaine racine ℓ^{m}-ème primitive de l’unité ζ_{ℓ^{m}}.

Alors τ_{n} fixe \sqrt[ℓ^{n}]{ε} et, conjointement avec ses conjugués par Δ_{n} = Gal(K_{n}/k), le corps K_{n}^{ε}.

Proposition 3. Supposons que F/k est ramifiée, avec pour indice e_{𝔭_{k}} = ℓ^{n}, en une unique place 𝔭_{k} ∤ 2ℓ𝔪̄_{k} au-dessus d’un premier p ∤ 2ℓ qui se décompose complètement dans k; que 𝔭_{k} se décompose complètement dans K_{n} = K[ζ_{ℓ^{n}}] ; et qu’il existe une place 𝔭_{K_{n}}de K_{n} au-dessus de 𝔭_{k} dont l’image par l’opérateur de Frobenius vérifie :

Frob(𝔭_{K_{n}}, K_{n}^{ε}/K) = τ_{n}^{ℓ^{n0}} pour un n_{0} ≥ 0 donné.

Alors le nombre de classes d’ambiges (D𝔪̄ ; L^{Γ} : P𝔪̄ ; L^{Γ}) dans Cℓ 𝔪̄ ; L est majoré par ℓ^{n_{1}} où

n_{1} = h𝔪̄ ; K+ ([K : k] − 1)n_{0}+ ρ pour ℓ ≠ 2 & n_{1} = h𝔪̄ ; K+ ([K : k] − 1)n_{0}+ ρ + c_{L/K}, sinon ; ℓ^{h𝔪̄ ; K} = |Cℓ 𝔪̄ ; K| et c_{L/K} est le nombre de places réelles de K qui deviennent complexes dans L.

Preuve. Par hypothèse les éléments de Frobenius Frob(𝔭\begin{matrix}σ \\ K_{n} \end{matrix}, K_{n}^{ε}/K_{n}) attachés aux conjuguées de la place 𝔭_{K_{n}}engendrent Gal(K_{n}^{ε}/K_{n})^{ℓ^{n0}}. Notons 𝔭_{K} la place de K au-dessous de 𝔭_{K_{n}}, et regardons K comme plongé diagonalement dans le produit de ses complétés ∏_{σ∈Δ} K_{𝔭\begin{matrix}σ \\ K \end{matrix}} au-dessus de 𝔭_{k}. Du fait de l’hypothèse de décomposition, K_{𝔭\begin{matrix}σ \\ K \end{matrix}} est encore le complété de K_{n} en la place 𝔭\begin{matrix}σ \\ K_{n} \end{matrix}. Par suite, les éléments de K^{×} qui sont localement des puissances ℓ^{n}-èmes aux places 𝔭\begin{matrix}σ \\ K \end{matrix} sont globalement des puissances ℓ^{n−n_{0}}-èmes dans K_{n}^{×}. En particulier, il vient donc : E_{K}^{ε} ∩ ∏_{σ∈Δ}K_{𝔭\begin{matrix}σ \\ K \end{matrix}}^{×ℓ^{n}} = E_{K}^{ε} ∩ K_{n}^{×ℓ^{n−n0}} ;

et finalement : (E_{K}^{ε} : E_{K}^{ε} ∩ ∏_{σ∈Δ}U_{𝔭\begin{matrix}σ \\ K \end{matrix}}^{ℓ^{n}}) = [K_{n}[ \sqrt[ℓ^{n−n0}]{E_{K}^{ε}}] : K_{n}] = ℓ^{([K:k]−1)(n−n_{0})}/ℓ^{ρ}.

Maintenant, dans la formule obtenue, les groupes d’unités locales U_{𝔭\begin{matrix}σ \\ K \end{matrix}}sont procycliques, puisque p ≠ 2 étant complètement décomposé dans K/ℚ, les complétés K_{𝔭\begin{matrix}σ \\ K \end{matrix}} sont tous isomorphes à ℚ_{p}. Or, par construction, ℓ^{n} est précisément l’indice de ramification de chacune des places 𝔭\begin{matrix}σ \\ K \end{matrix} dans L/K. D’après la théorie locale du corps de classes, U_{𝔭\begin{matrix}σ \\ K \end{matrix}}^{ℓ^{n}} est donc le sous-groupe normique N_{L_{𝔭\begin{matrix}σ \\ L \end{matrix}}/K_{𝔭\begin{matrix}σ \\ K \end{matrix}}}(U_{𝔭\begin{matrix}σ \\ L \end{matrix}}) attaché à l’extension locale L_{𝔭\begin{matrix}σ \\ L \end{matrix}}/K_{𝔭\begin{matrix}σ \\ K \end{matrix}}. Il en résulte qu’on a :

(E_{K}^{ε} : E_{K}^{ε} ∩ ∏_{σ∈Δ}U_{𝔭\begin{matrix}σ \\ K \end{matrix}}^{ℓ^{n}}) = (E_{K}^{ε} : E_{K}^{ε} ∩ ∏_{σ∈Δ}N_{L_{𝔭\begin{matrix}σ \\ L \end{matrix}}/K_{𝔭\begin{matrix}σ \\ K \end{matrix}}}(L_{𝔭\begin{matrix}σ \\ L \end{matrix}}^{×})) = (E_{K}^{ϵ} : E_{K}^{ϵ} ∩ N_{L/K}(L^{×})),

en vertu du principe de Hasse (cf. [15], Th. 3.1), puisque dans l’extension cyclique L/K les éléments globaux qui sont normes locales sont exactement les normes globales et que, par ailleurs, les unités sont banalement normes locales aux places non-ramifiées. Il suit donc :

(E𝔪̄ ; K : N_{L/K}(E𝔪̄ ; L)) ≤ (E𝔪̄ ; K : E𝔪̄ ; K ∩ N_{L/K}(L^{×})) ≤ (E_{K}^{ϵ} : E_{K}^{ϵ} ∩ N_{L/K}(L^{×})) = ℓ^{([K:k]−1)(n−n_{0})}/ℓ^{ρ}.

Et finalement :

(D𝔪̄ ; L^{Γ} : P𝔪̄ ; L^{Γ}) ≤ | Cℓ𝔪̄ ; K| ∏_{𝔮\begin{matrix}∞ \\ K \end{matrix}}d_{𝔮\begin{matrix}∞ \\ K \end{matrix}}(L/K) \frac{ℓ^{n}}{[L:K]} ℓ^{([K:k]−1)n_{0}+ρ} ≤ | Cℓ𝔪̄ ; K| 2^{c_{L/K}}ℓ^{([K:k]−1)n_{0}+ρ}.

5 Construction de l’extension principalisante

Récapitulons : étant donnée une extension galoisienne K/k de corps de nombres complètement décomposée en au moins une place à l’infini, un nombre premier ℓ et un diviseur 𝔪_{K} de K sans facteur carré, stable par Δ = Gal(K/k), nous avons défini 𝔪̄_{K} en écartant les places divisant ℓ et fait choix d’un sous-ℤ[Δ]-module E_{K}^{ε} de E_{K}^{𝔪} de caractère χ_{Δ}^{aug}, ce qui détermine une constante ℓ^{ρ}.

Posons maintenant ℓ^{n_{0}} = [H_{K} ∩ K_{∞}: K] |μ_{K}|, où H_{K} désigne le ℓ-corps de classes de Hilbert de K (i.e. sa ℓ-extension abélienne non-ramifiée maximale), K_{∞} la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique de K, et μ_{K} le ℓ-sous-groupe de Sylow du groupe des racines de l’unité contenues dans K.

Étant donnés une classe [𝔡_{K}] d’ordre ℓ-primaire dans Cl_{K}^{𝔪} et un entier n ≥ n_{1}, nous cherchons une place 𝔭_{k} ∤ 𝔪̄_{k} de k au-dessus d’un premier p ∤ 2ℓ de ℚ complètement décomposé dans k et une place 𝔭_{K} de K au-dessus de 𝔭_{k} qui satisfassent les quatre conditions suivantes :

(i) 𝔭_{k} est complètement décomposée dans K_{n} = K[ζ_{ℓ^{n}}] ;

(ii) l’une des places au-dessus 𝔭_{K_{n}} dans K_{n} est d’image τ_{n}^{ℓ^{n0}} dans Gal (K_{n}[ \sqrt[ℓ^{n}]{E_{K}^{ε}} ]/K_{n}); (iii) 𝔭_{K} représente la classe [𝔡_{K}] de Cl_{K}^{𝔪} (autrement dit a même image dans Gal(H𝔪̄ ; K/K)) ; (iv) il existe une ℓ-extension cyclique F/k, ramifiée uniquement en 𝔭_{k} avec pour indice ℓ^{n}.

Examinons cette dernière condition. Par la théorie ℓ-adique du corps de classes (cf. [12], §2.2), le groupe de Galois de la ℓ-extension abélienne 𝔭-ramifiée ∞-décomposée maximale H_{k}^{𝔭} du corps k relativement à sa sous-extension non-ramifiée maximale H_{k} est donné par l’isomorphisme :

Gal(H_{k}^{𝔭}/H_{k}) ≃ (R_{k} ∏_{𝔮} U_{k_{𝔮}} ∏_{𝔮|_{∞}} R_{k_{𝔮}})/(R_{k} ∏_{𝔮≠𝔭} U_{k_{𝔮}} ∏_{𝔮|_{∞}} R_{k_{𝔮}}) ≃ μ_{k_{𝔭}}/s_{𝔭}(E_{k}),

où U_{k_{𝔭}} = μ_{k_{𝔭}} est le ℓ-groupe des racines de l’unité dans k_{𝔭} et s_{𝔭}(E_{k}) l’image locale du groupe des unités globales. Or, le quotient obtenu est cyclique d’ordre ℓ^{d} pour un d ≥ n si et seulement si le complété k_{𝔭} contient les racines ℓ^{n}-ièmes de l’unité et si les éléments de E_{k} sont des puissances ℓ^{n}-ièmes locales dans k_{𝔭}; ce qui a lieu dès que la place 𝔭_{k} est complètement décomposée dans l’extension k[ζ_{ℓ^{n}}, \sqrt[ℓ^{n}]{E_{k}} ]/k. Le sous-groupe d’inertie I = I(𝔭_{k}, H_{k}^{𝔭}/k) est alors d’ordre ℓ^{d} pour un d ≥ n; et il suffit de prendre pour F le corps des points fixes de n’importe quel sous-groupe B de A = Gal(H_{k}^{𝔭}/k) qui rencontre trivialement I et définit un quotient cyclique A/B pour avoir I(𝔭_{k}, F/k) = BI/B ≃ I. En fin de compte, l’existence de F est assurée si l’on remplace (i) par :

(i′) 𝔭_{k} se décompose complètement dans K_{n}[ \sqrt[ℓ^{n}]{E_{k}} ] = K[ζ_{ℓ^{n}}, \sqrt[ℓ^{n}]{E_{k}} ]. Et tout le problème est alors de s’assurer de la compatibilité des trois conditions (i′), (ii) et (iii).

D’un côté, les extensions kummériennes K_{n}[ \sqrt[ℓ^{n}]{E_{k}} ]/K_{n} et K_{n}[ \sqrt[ℓ^{n}]{E_{K}^{ε}} ]/K_{n} étant linéairement disjointes, puisque E_{k} et E_{K}^{ε} sont en somme directe par construction, τ_{n} ∈ Gal (K_{n}[ \sqrt[ℓ^{n}]{E_{K}^{ε}} ]/K_{n}) se relève dans Gal(K_{n}[ \sqrt[ℓ^{n}]{E_{k}E_{K}^{ε}} ]/K_{n}[ \sqrt[ℓ^{n}]{E_{k}} ]) en un élément τ̄_{n}.

D’un autre côté, l’intersection H_{K}^{E} de H𝔪̄ ; K avec K_{n}[ \sqrt[ℓ^{n}]{E_{k}E_{K}^{ε}} ] = K[ζ_{ℓ^{n}}, \sqrt[ℓ^{n}]{E_{k}E_{K}^{ε}} ] est simultanément 𝔪̄-ramifiée (comme H𝔪̄ ; K) et ℓ-ramifiée (car engendrée par des racines ℓ^{n}-èmes d’unités) donc non-ramifiée (puisque 𝔪̄ et ℓ sont étrangers), i.e. contenue dans H_{K}. Par abélianité, il suit :

H_{K}^{E} = H𝔪̄ ; K ∩ K_{n}[ \sqrt[ℓ^{n}]{E_{k}E_{K}^{ε}} ] ⊂ H_{K} ∩ K_{n}[ \sqrt[ℓ^{mK}]{E_{k}E_{K}^{ε}} ], où ℓ^{m_{K}} mesure l’ordre du ℓ-groupe μ_{K}.

En particulier, l’exposant du ℓ-groupe Gal(H_{K}^{E}/K) est majoré par [H_{K} ∩ K_{∞}: K] |μ_{K}| = ℓ^{n_{0}}.

Il suit de là que l’élément τ̄_{n}^{ℓ^{n0}} regardé dans Gal(K_{n}[ \sqrt[ℓ^{n}]{E_{k}E_{K}^{ε}} ]/K) fixe H_{K}^{E}. De même, si la classe [𝔡] est une puissance ℓ^{n_{0}}-ème dans Cℓ 𝔪̄ ; K, son image δ dans Gal(H𝔪̄ ; K/K) fixe également H_{K}^{E}. Ainsi τ̄_{n}^{ℓ^{n0}} comme δ, qui coïncident alors sur H_{K}^{E} = H𝔪̄ ; K ∩ K_{n}[ \sqrt[ℓ^{n}]{E_{k}E_{K}^{ε}} ], proviennent d’un même élément α de Gal (H𝔪̄ ; K[ζ_{ℓ^{n}}, \sqrt[ℓ^{n}]{E_{k}E_{K}^{ε}} ]/K). Et le théorème de densité de Chebotarev (cf. [2] ou e.g. [15], Th. 7.4) appliqué dans la clôture galoisienne de l’extension H_{K}^{𝔪}[ζ_{ℓ^{n}}, \sqrt[ℓ^{n}]{E_{k}E_{K}^{ε}} ]/ℚ nous assure l’existence d’une infinité de premiers p possédant une place 𝔭_{K} au-dessus qui satisfait les conditions requises (i′), (ii) et (iii). Ainsi :

Proposition 4. La construction de F est possible dès lors que la classe [𝔡_{K}] est une puissance ℓ^{n_{0}}-ième dans Cl_{K}^{𝔪}, où ℓ^{n_{0}} désigne le produit du degré [H_{K} ∩ K_{∞} : K] par l’ordre ℓ^{m_{K}} de μ_{K}.

6 Preuve du résultat principal

Théorème 5. Soit K/k une extension galoisienne de corps de nombres dans laquelle l’une au moins une place à l’infini se décompose complètement ; ℓ un nombre premier ; et 𝔪̄_{K} un diviseur de K sans facteur carré, étranger à ℓ et stable par Δ = Gal(K/k). Pour chaque classe [𝔡_{K}] ∈ Cl_{K}^{𝔪} d’ordre ℓ-primaire du groupe de classes de rayons modulo 𝔪, il existe une ℓ-extension abélienne ∞-décomposée^{2} F/k telles que la classe [𝔡_{K}] se trivialise dans le groupe de classes de rayons Cl𝔪̄ ; L du compositum L = F K ataché au diviseur sans facteur carré 𝔪̄_{L} = ∏_{𝔮_{L}|𝔪̄_{K}} 𝔮_{L}.

L’extension F/k peut être prise non-ramifiée en tout ensemble fini donné de places 𝔭_{k} ∤ ℓ.

La première étape consiste à se ramener au cas où [𝔡_{K}] est une puissance ℓ^{n_{0}}-ième dans Cl_{K}^{𝔪}. Définissons pour cela n_{K} en notant ℓ^{n_{K}} = |μ_{H_{K}∩K_{∞}}| (et ℓ^{n_{K}} = |μ_{H_{K}∩K_{∞}[i]}| dans le cas spécial ℓ = 2 et K[i]/K non-ramifiée ∞-décomposée). Cela étant, nous avons :

Lemme 6. Pour tout entier n ≥ n_{K}, il existe une ℓ-extension abélienne F′ de ℚ telle que le compositum K′ = KF′ vérifie les trois conditions :

H_{K′} ∩ K′_{∞} = K′,  |μ_{K′}| = ℓ^{n_{K}} ≤ ℓ^{n},  [𝔡_{K′}] ∈ (Cl𝔪̄ ; K′)^{ℓ^{n}}, où [𝔡_{K′}] est l’étendue de [𝔡_{K}].

Preuve. Remplacer K par la sous-extension non-ramifiée maximale H_{K} ∩ K_{∞} de sa ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique, revient à composer K avec un étage fini de la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique ℚ_{∞} de ℚ.

Cela fait, le corps obtenu vérifie par construction la condition H_{K} ∩ K_{∞} = K. Par suite, le théorème de Chebotarev appliqué dans la clôture galoisienne de l’extension H_{K}^{𝔪}[ζ_{2ℓ^{n}}] nous assure l’existence d’un premier 𝔭′_{K} ∤ ℓ𝔪̄_{K} de K dans [𝔡_{K}] (i.e. d’image donnée dans Gal(H𝔪̄ ; K/K)) au-dessus d’un p′ complètement décomposé dans K[ζ_{2ℓ^{n}}]/ℚ (donc vérifiant la congruence p′ = 1 mod 𝔩^{n}) :

— pour ℓ impair, cela résulte immédiatement de la disjonction H𝔪̄ ; K ∩ K[ζ_{2ℓ^{n}}] = K;

— pour ℓ = 2, si l’extension K[i]/K est non-ramifiée et ∞-décomposée, le résultat vaut encore

à condition de remplacer K/k par l’extension K[i]/k qui vérifie alors les mêmes propriétés. De ce fait, le sous-corps totalement réel du corps cyclotomique ℚ[ζ_{p′}] contient un unique souscorps F′ qui est cyclique de degré ℓ^{n} et totalement ramifié en p′. Comme p′ est pris complètement décomposé dans K/ℚ, la place 𝔭′_{K} au-dessus est totalement ramifiée dans l’extension composée KF′/K′; de sorte que l’étendue [𝔡_{KF′}] de [𝔡_{K}] est bien une puissance ℓ^{n}-ème dans Cl𝔪̄ ; KF′.

Enfin, K′/K étant totalement ramifiée en p′, on a μ_{K′} = μ_{K}, sauf si K[i] vient remplacer K.

Preuve du Théorème. D’après le Lemme 6, nous pouvons supposer, sans restreindre la généralité, H_{K} ∩ K_{∞} = K et [𝔡_{K}] ∈ (Cl𝔪̄ ; K)^{ℓ^{mK}}, où ℓ^{m_{K}} désigne l’ordre du ℓ-groupe μ_{K}. Posons n_{0} = m_{K} et définissons n_{1} comme plus haut. La Proposition 4 nous assure alors pour tout n ≥ n_{0} l’existence d’une ℓ-extensions cyclique ∞-décomposée F de k ramifiée en un unique premier 𝔭_{k} avec pour indice e_{𝔭_{k}}(F/k) = ℓ^{n}, qui satisfait les conditions (i), (ii) et (iii) de la section précédente.

En particulier la classe [𝔡_{K}] est représentée par l’un des [K : k] idéaux 𝔭_{K} au-dessus de 𝔭_{k}, lequel se ramifie dans l’extension composée L/K = KF/K avec pour indice ℓ^{n}, de sorte qu’on a : 𝔭_{K} = 𝔞_{L}^{ℓ^{n}} pour un idéal 𝔞_{L} invariant par Γ = Gal(L/K). L’étendue [𝔡_{L}] = [𝔞_{L}]^{ℓ^{n}} de [𝔡_{K}] à L est ainsi la puissance ℓ^{n}-ème de la classe d’un idéal ambige. D’après la Proposition 3, c’est donc la classe principale dès qu’on a n ≥ n_{1} ; et [𝔡_{K}] se trivialise alors dans Cl𝔪̄ ; L.

Scolie 7. La conclusion du Théorème vaut encore lorsque K/k n’est pas supposée galoisienne.

Preuve. Partons d’une classe d’ordre ℓ-primaire δ_{K} ∈ Cl𝔪̄ ; K ; introduisons la clôture galoisienne K̄/k de K/k et notons ℓ^{s} la ℓ-partie de [K̄ : K]. D’après le Lemme 6, quitte à remplacer K par KF′ pour une ℓ-extension abélienne F′ de ℚ (ce qui remplace K̄ par K̄F′ avec [K̄F′ : KF′] ≤ [K̄ : K] = ℓ^{s}), nous pouvons supposer que δ_{K} est une puissance ℓ^{s}-ème dans Cl𝔪̄ ; K, donc la norme N_{K̄/K}(δK̄) d’une classe de Cl𝔪̄ ; K̄. Donnons-nous maintenant un corps principalisant F pour δK̄ ; et écrivons que l’étendue j_{FK̄/K̄}(δK̄) est la classe triviale 1_{FK̄}. Notant H = F K ∩ K̄ et δ_{H} = N_{K̄/H}(δK̄), nous avons :

j_{FK/H}(δ_{H}) = j_{FK/H}(N_{K̄/H}(δK̄)) = N_{FK̄/FK}(j_{FK̄/K̄}(δK̄)) = N_{FK̄/FK}(1_{FK̄}) = 1_{FK};

et j_{H/K}(δ_{K}) = j_{H/K}(N_{H/K}(δ_{H})) = ∏_{σ∈Gal(H/K)} δ_{H}^{σ} capitule donc dans F K.

2. Quand une place réelle devient complexe par extension, certains auteurs parlent de ramification à l’infini ; d’autres, d’inertie. Pour éviter toute ambiguïté, nous précisons que les places de k ne se complexifient pas dans F.

7 Conséquences arithmétiques

Définition 8. Soient k un corps de nombres et T = T_{k} un ensemble fini de places de k. Pour chaque extension algébrique K de k (non nécessairement de degré fini sur k), convenons de noter T_{K} l’ensemble des places de K au-dessus de T. Nous disons que K est T_{K}^{∘}-principal lorsque son groupe des classes T_{K}^{∘}-infinitésimales (défini comme limite inductive des groupes de classes de rayons Cl_{H}^{𝔪} modulo 𝔪_{H} = ∏_{𝔮_{H}∈T_{H}} 𝔮_{H} associés aux sous-extensions H de degré fini) est trivial :

Cl_{K}^{T_{K}^{∘}} = \underrightarrow{lim} Cl_{H}^{𝔪} = 1

Cela posé, appliquons d’abord le Théorème principal (Th. B) avec k = ℚ.

Scolie 9. Pour tout corps de nombres totalement réel K et tout ensemble fini T = T_{ℚ} de places de ℚ, il existe une infinité d’extensions abéliennes réelles F/ℚ telles que les classes de rayons modulo 𝔪_{K} = ∏_{𝔮_{K}∈T_{K}} 𝔮_{K} de Cl_{K}^{𝔪_{K}} capitulent dans Cl_{FK}^{𝔪_{FK}}(avec 𝔪_{FK} = ∏_{𝔮_{FK}∈T_{FK}} 𝔮_{FK}).

En d’autres termes, le groupe Cl_{K}^{T_{K}^{∘}} des classes T_{K}^{∘}-infinitésimales de K capitule dans le surcorps K[cos(2π/n)] pour une infinité de n.

Passant à la limite inductive, nous obtenons la généralisation suivante, en termes de classes infinitésimales modérées, du Théorème principal de Kurihara (cf. [14], Th. 1.1 & [1], Cor. 1) :

Corollaire 10. Soit ℚ_{+}^{ab} = ⋃_{n>0} ℚ[cos(2π/n)] la plus grande extension abélienne réelle de ℚ (i.e. le sous-corps réel maximal du corps cyclotomique ℚ^{ab} = ⋃_{n>0} ℚ[ζ_{n}]). Alors, pour tout ensemble fini T_{ℚ} de places de ℚ, les extensions algébriques totalement réelles K de ℚ_{+}^{ab} sont T_{K}^{∘}-principales.

Regardons maintenant le cas relatif en distinguant suivant la signature du corps de base k :

Scolie 11. Soit k un corps de nombres totalement réel et T_{k} un ensemble fini de places de k. Alors, pour tout corps de nombres K ⊃ k où l’une au moins des places réelles se décompose complètement, il existe une infinité d’extensions abéliennes F/k complètement décomposées en toutes les places à l’infini et telles que les classes de rayons de Cl_{K}^{𝔪_{K}} capitulent dans Cl_{FK}^{𝔪_{FK}}.

Passant à la limite, nous obtenons la généralisation en termes de classes infinitésimales modérées d’un résultat conjecturé par Gras et démontré par Bosca (cf. [4], Conj. 0.5 & [1], Cor. 4) :

Corollaire 12. Soit k un corps de nombres totalement réel, k_{+}^{ab} sa plus grande extension abélienne totalement réelle et T_{k} un ensemble fini de places de k. Alors toute extension algébrique K de k_{+}^{ab} dont la clôture galoisienne possède au moins un plongement réel est T_{K}^{∘}-principale.

Preuve. D’après le scolie, pour tout α dans K, le groupe des classes T_{k[α]}^{∘}-infinitésimales du corps k[α] capitule dans le sous-corps k_{+}^{ab}[α] de K. Et K est donc bien T_{K}^{∘}-principal, comme annoncé.

Scolie 13. Soit k un corps de nombres qui possède au moins une place complexe et T_{k} un ensemble fini de places de k. Alors, pour tout corps de nombres K qui contient k, il existe une infinité d’extensions abéliennes F/k complètement décomposées en toutes les places à l’infini et telles que les classes de rayons modulo 𝔪_{K} = ∏_{𝔮_{K}∈T_{K}} 𝔮_{K} de Cl_{K}^{𝔪} capitulent dans Cl_{FK}^{𝔪_{FK}}.

Passant à la limite inductive, nous obtenons, toujours en termes de classes infinitésimales modérées, une généralisation d’un second résultat de Kurihara (cf. [14], Th. A.1 & [1], Cor. 3) :

Corollaire 14. Soient k un corps de nombres qui possède au moins une place complexe, k_{+}^{ab} sa plus grande extension abélienne de k complètement décomposées en toutes les places à l’infini, et T_{k} un ensemble fini de places de k.

Alors toute extension algébrique K de k_{+}^{ab} est T_{K}^{∘}-principale : Cl_{K}^{T_{K}^{∘}} = 1.

Preuve. D’après le scolie, pour tout α dans K, le groupe des classes T_{k[α]}^{∘}-infinitésimales du corps k[α] capitule dans le sous-corps k_{+}^{ab}[α] de K. Et K est donc bien T_{K}^{∘}-principal, comme annoncé.

Appendice

Nous nous sommes limités dans cet article au cas de la ramification modérée. On peut naturellement se demander ce qu’il en est lorsqu’on autorise de la ramification sauvage, notamment en considérant les groupes de classes T -infinitésimales plutôt que T^{∘}-infinitésimales.

Fixons pour cela un nombre premier ℓ. Une première difficulté est que le ℓ-groupe des classes T - infinitésimales Cℓ_{K}^{T} n’est plus nécessairement fini dès lors que l’ensemble T contient une ou plusieurs des places au-dessus de ℓ : par exemple, si T les contient toutes, la conjecture de Leopoldt postule précisément que Cℓ_{K}^{T} est fini dans le cas où le corps K est totalement réel ; il est toujours infini sinon (cf. e.g. [5], III §3, ou [11, 12]). Plus généralement, si la ℓ-partie T′ de T contient certaines des places au dessus de ℓ (sans nécessairement les contenir toutes), la dimension du groupe Cℓ_{K}^{T} modulo sa ℤ_{ℓ}-torsion dépend de propriétés fines d’indépendance ℓ-adique des ℓ-unités.

On peut bien sûr tenter de contourner cette obstruction en se concentrant sur le sous-groupe de torsion T_{K}^{T} de Cℓ_{K}^{T}, qui est seul susceptible de capituler par ℓ-extension. Mais, même dans ce cadre restreint, le résultat de capitulation peut être en défaut : par exemple, lorsque T est exactement l’ensemble des places au-dessus de ℓ, le morphisme d’extension T_{K}^{T} → T_{L}^{T} est toujours injectif sous la conjecture de Leopoldt (cf. e.g. [5], IV Th.2.1, ou [11, 12]), quelle que soit l’extension L/K. La raison profonde est que le groupe d’unités qui contrôle la capitulation est trivial dans ce dernier cas. Un phénomène analogue (mais plus compliqué) se produit pour le sous-groupe de torsion du module de Bertrandias-Payan T_{K}^{bp} (cf. [6, 13, 17]), pour lequel le groupe en question se réduit aux racines de l’unité.

Références

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[2] N. Chebotarev, Die Bestimmung der Dichtigkeit einer Menge von Primzahlen, welche zu einer gegebenen Substitutionsklasse gehören, Math. Ann. 95 (1926), 191–228.

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[10] D. Hilbert Théorie des corps de nombres algébriques, Ann. Fac. Sci. Toulouse 2 (1910), 225–456.

[11] J.-F. Jaulent, � -classes infinitésimales d’un corps de nombres algébriques, Ann. Sci. Inst. Fourier 34 (1984), 1–27.

[12] J.-F. Jaulent, Théorie ℓ-adique globale du corps de classes, J. Théor. Nombres Bordeaux 10 (1998), 355–397.

[13] J.-F. Jaulent, Sur la capitulation pour le module de Bertrandias-Payan, Pub. Math. Besançon 2016, 45–58.

[14] M. Kurihara, On the ideal class group of the maximal real subfields of number fields with all roots of unity, J. European Math. Soc.1 (1999), 35–49.

[15] J.S. Milne, Class field theory, v 4.02 (2013). https://www.jmilne.org/math/CourseNotes/CFT.pdf

[16] J. Martinet, Le théorème de Herbrand sur les unités, Sém. Th. Nombres Bordeaux (1968-1968), exp. n^{o} 10,

1–11. http://www.numdam.org/article/STNB_1968-1969____A10_0.pdf

[17] T. Nguyen Quang Do, Descente galoisienne et capitulation entre modules de Bertrandias–Payan, Pub. Math. Besançon 2016, 59–79.

[18] K.Rubin, Global units and ideal class groups, Invent. Math. 89 (1987), 511–526.

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