Sur le radical kummérien des ℤ_{ℓ}-extensions^{∗}

Jean-François Jaulent

Résumé. Sur la base d’un travail antérieur, nous donnons une description nouvelle du radical initial attaché au compositum des ℤ_{ℓ}-extensions d’un corps de nombres en termes de limites projectives pour la norme dans la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique de ce corps. Le résultat précis que nous obtenons contient, comme conséquence immédiate, les encadrements de ce radical proposés par Soogil Seo dans une série d’articles. Nous montrons enfin qu’une description analogue vaut pour le noyau des symboles universels de Tate. Abstract. On the basis of a previous work, we elaborate a new description of the Kummer radical associated to the first layers of ℤ_{ℓ}-extensions of a number fields K, by using inverse limits for the norm maps in the cyclotomic ℤ_{ℓ}-extension K_{∞}/K. Our main result contains, as an obvious consequence, the inclusions provided by Soogil Seo in a set of papers. By the same way we also give in the last section a similar description of the Tate kernel for universal symbols in K_{2}(K).

Introduction

La détermination du radical de Kummer attaché au compositum des ℤ_{ℓ}-extensions d’un corps de nombres pose des problèmes difficiles, tant théoriques que pratiques : au plan théorique, car ils mettent en jeu de façon non triviale la conjecture de Leopoldt ; au plan pratique parce qu’ils nécessitent le plus souvent de conduire des calculs dans les divers étages de la tour cyclotomique, ce qui augmente rapidement le degré des corps sur lesquels on est amené à travailler.

De multiples travaux ont ainsi été publiés ces dernières années, qui traitent de ces questions dans le cadre de la théorie d’Iwasawa ou de la théorie du corps de classes (ainsi [2], [4], [6], [7], [8] et [10]), éventuellement en lien avec la K-théorie des corps de nombres (comme [12] et [13]) ou en proposent des approches plus effectives (ainsi [3], [5] et [18]) illustrées par de nombreux exemples.

Plus récemment Seo, dans une série d’articles [14, 15, 16] qui méconnaissent malheureusement la totalité de ceux cités plus haut, a mis en avant divers encadrements de ce même radical.

L’objet de la présente note est de montrer directement comment un lemme technique très simple, déjà utilisé par Bertrandias et Payan dans leur article fondateur [1], permet de déduire de la description kummérienne exposée dans [6] et [7] une identité qui interprète le radical initial des ℤ_{ℓ}-extensions en termes de limites projectives pour les applications normes (Théorème 6 et Scolie) et entraîne de façon immédiate les approximations successives avancées par Seo.

En complément, nous montrons comment la même technique permet d’atteindre le noyau des symboles universels de Tate.

Conventions

Dans tout ce qui suit ℓ désigne un nombre premier arbitraire, K un corps de nombres qui contient les racines 2ℓ-ièmes de l’unité et K_{∞} = ∪_{n∈ℕ}K_{n} sa ℤ_{ℓ}-extension extension cyclotomique.

On note ℓ^{m} = |μ_{K}| le cardinal du ℓ-groupe des racines de l’unité contenues dans K (avec donc m > 1 pour ℓ = 2 et m > 0 sinon), de sorte que le n-ième étage de la tour, de degré [K_{n} : K] = ℓ^{n}, est le corps K_{n} = K[lμ .. _{ℓ^{n+m}}] engendré sur K par les racines ℓ^{m+n}-ièmes de l’unité.

On désigne enfin par γ le générateur topologique du groupe procyclique Γ = Gal(K_{∞}/K) défini par la formule ζ^{γ} = ζ^{1+l^{m}}, pour tout ζ ∈ lμ .. _{ℓ^{∞}} ; et par Γ^{∗} = γ^{∗ ℤ_{ℓ}} le groupe multiplicatif topologiquement engendré par l’élément γ^{∗} = γ/(1 + ℓ^{m}) de l’algèbre d’Iwasawa Λ = ℤ_{ℓ}[[γ − 1]].

∗Acta Arithmetica 175 (2016), 245–253.

1. Rappels sur la théorie de Kummer cyclotomique

Commençons par rappeler la définition du ℓ-radical universel (cf. [6], I.2, ou [7], Déf. 1.1) :

Définition 1. Par ℓ-radical universel d’un corps de nombres K, nous entendons le tensorisé par ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ} de son groupe multiplicatif, que nous notons :

ℜ_{K} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ} K^{×}.

Le groupe ℜ_{K} est, par construction, un ℤ_{ℓ}-module divisible de torsion, dont chaque élément admet une représentation de la forme ℓ^{−k} ⊗ x avec k ∈ ℕ et x ∈ K^{×}. La condition ℓ^{−k} ⊗ x = 1 signifie alors que l’élément x est le produit x = ζ y^{ℓ^{k}} d’une racine de l’unité et d’une puissance ℓ^{k}-ième dans K^{×}. On prendra garde, en effet, que le produit tensoriel par le groupe divisible ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ} a pour effet de tuer le sous-groupe de torsion de K^{×}.

Dans le cas qui nous intéresse, la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique K_{∞} étant la réunion des sous-corps K_{n}, le radical universel ℜ_{K_{∞}} qui lui correspond s’obtient naturellement comme limite inductive des radicaux ℜ_{K_{n}} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ} K_{n}^{×}. Plus précisément (cf. [6], I.2, ou [7], Prop. 1.2), il vient :

Proposition 2. L’application naturelle de ℜ_{K_{n}} dans ℜ_{K_{∞}} est un morphisme injectif. Et, pour chaque entier naturel n, le radical universel ℜ_{K_{n}} associé au corps K_{n} s’identifie canoniquement au sous-module des points fixes dans ℜ_{K_{∞}} du groupe de Galois Γ_{n} = Gal(K_{∞}/K_{n}) ; ce qui s’écrit tout simplement :

ℜ_{K_{n}} = ℜ_{K_{∞}}^{Γ_{n}}, ∀n ∈ ℕ.

Le corps K_{∞} contenant par construction le groupe lμ .. _{ℓ^{∞}} de toutes les racines de l’unité d’ordre ℓ-primaire, le groupe ℜ_{K_{∞}} permet de décrire par radicaux l’ensemble des pro-ℓ-extensions abéliennnes de K_{∞}, le radical de Kummer attaché à une telle extension L_{∞}/K_{∞} étant donné par :

Rad(L_{∞}/K_{∞}) = \{ℓ^{−k} ⊗ x_{∞} ∈ ℜ_{K_{∞}} | K_{∞}[ \sqrt[ℓ^{k}]{x_{∞}}] ⊂ L_{∞}\};

et son groupe de Galois par :

Gal(L_{∞}/K_{∞}) = Hom(Rad(L_{∞}/K_{∞}), lμ .. _{ℓ^{∞}}).

En particulier, les pro-ℓ-extensions L_{∞}/K_{∞} qui proviennent par composition avec K_{∞} d’une pro-ℓ-extension abélienne L/K sont celles dont le groupe de Galois est invariant par Γ = γ^{ℤ_{ℓ}}, c’est-à-dire celles dont le radical de Kummer est invariant par Γ^{∗} = γ^{∗ ℤ_{ℓ}}. Plus généralement :

Théorème 3. Les pro-ℓ-extensions L_{n}K_{∞} de K_{∞} qui proviennent d’une pro-ℓ-extensions abélienne L_{n} de K_{n} sont celles dont le radical de Kummer est invariant par Γ_{n}^{∗} = γ^{∗ ℓ^{n}ℤ_{ℓ}}. Si donc K_{n}^{ab} désigne la pro-ℓ-extension abélienne maximale de K_{n}, il suit :

Rad(K_{n}^{ab}K_{∞}/K_{∞}) = ℜ_{K_{∞}}^{Γ_{n}^{∗}}.

Et le radical de Kummer associé au compositum Z_{n} des ℤ_{ℓ}-extensions de K_{n} est ainsi son sousgroupe ℓ-divisible maximal :

Rad(Z_{n}K_{∞}/K_{∞}) = (ℜ_{K_{∞}}^{Γ_{n}^{∗}})_{div}.

Scolie 4. Le radical kummérien de la sous-extension maximale de K_{n}^{ab} qui peut être décrite radiciellement par des éléments de K_{n} est le sous-groupe de ℓ^{m+n}-torsion du radical universel ℜ_{K_{n}} :

ℜ_{K_{∞}}^{Γ_{n}} ∩ ℜ_{K_{∞}}^{Γ_{n}^{∗}} = _{ℓ^{m+n}}ℜ_{K_{n}}.

Preuve. Le radical cherché est formé, en effet, des éléments de ℜ_{K_{∞}} qui sont simultanément dans ℜ_{K_{∞}}^{Γ_{n}} = ℜ_{K_{n}} et dans ℜ_{K_{∞}}^{Γ_{n}^{∗}}, c’est-à-dire ceux fixés à la fois par γ^{ℓ^{n}} et par γ^{∗ℓ^{n}} = γ^{ℓ^{n}}/(1 + ℓ^{m})^{ℓ^{n}}, donc par (1 + ℓ^{m})^{ℓ^{n}} et finalement par (1 + ℓ)^{m+n}, puisque le quotient (1 + ℓ^{m})^{ℓ^{n}}/(1 + ℓ^{m+n}) est inversible dans ℤ_{ℓ}. C’est essentiellement le corollaire 1.3 de [10].

On retrouve le fait banal que les ℓ-extensions abéliennes d’un corps de nombres K qui peuvent être décrite radiciellement à partir des seuls éléments de K sont exactement celles dont le groupe de Galois est d’exposant ℓ^{m}, dès lors que le corps K contient les racines ℓ^{m}-ièmes de l’unité mais non les racines ℓ^{m+1}-ièmes 2. Description radicielle du compositum des ℤ_{ℓ}-extensions

Pour établir le résultat principal de cette note, partons d’un lemme purement algébrique, dont le premier item est également le point de départ de Bertrandias et Payan (cf. [1], Lemme 1) :

Lemme 5. Soient γ une indéterminée, ℤ_{ℓ}[γ] l’algèbre des polynômes à coefficients dans ℤ_{ℓ} et γ^{∗} = γ/(1 + ℓ^{m}) avec m > 1 pour ℓ = 2 et m > 0 sinon. Pour tout n ∈ ℕ, on a les congruences :

(i) ν_{n} = 1 + γ + γ^{2} + ⋯ + γ^{ℓ^{n}−1} ≡ u_{n}ℓ^{n} [ mod (γ^{∗} − 1) ], avec u_{n} ∈ 1 + ℓℤ; (ii) ω_{n} = γ^{ℓ^{n}} − 1 ≡ v_{n}ℓ^{m+n} [ mod (γ^{∗} − 1) ], avec v_{n} ∈ 1 + ℓℤ; (iii) ω_{n+1}/ω_{n} = 1 + γ^{ℓ^{n}} + ⋯ + γ^{ℓ^{n}(ℓ−1)} ≡ ℓv′_{n} [ mod (γ^{∗} − 1) ], avec v′_{n} ∈ 1 + ℓℤ.

Preuve. Raisonnons modulo (γ^{∗} − 1). De la congruence γ ≡ 1 + ℓ^{m}, nous tirons successivement :

(i) ν_{n} ≡ 1 + (1 + ℓ^{m}) + (1 + ℓ^{m})^{2} + ⋯ + (1 + ℓ^{m})^{ℓ^{n}−1} ≡ \frac{(1+ℓ^{m})^{ℓ^{n}} −1}{(1+ℓ^{m})−1} ≡ u_{n}ℓ^{n}, où u_{n} est dans 1 + ℓℤ (donc, en particulier, inversible dans ℤ_{ℓ}) ;

(ii) ω_{n} = γ^{ℓ^{n}} − 1 ≡ (1 + ℓ^{m})^{ℓ^{n}} − 1 ≡ v_{n}ℓ^{m+n}, pour un v_{n} dans 1 + ℓℤ;

(iii) ω_{n+1}/ω_{n} = 1 + γ^{ℓ^{n}} + ⋯ + γ^{ℓ^{n}(ℓ−1)} ≡ 1 + (1 + v_{n}ℓ^{m+n}) + ⋯ + (1 + v_{n}ℓ^{m+n})^{ℓ−1}, d’où : ω_{n+1}/ω_{n} ≡ \frac{(1+v_{n}ℓ^{m+n})^{ℓ}−1}{(1+v_{n}ℓ^{m+n})−1} ≡ v′_{n}ℓ, pour un v′_{n} dans 1 + ℓℤ, comme annoncé.

Intéressons-nous maintenant au radical initial du compositum Z des ℤ_{ℓ}-extensions du corps K, c’est-à-dire, puisque μ_{K} est d’ordre ℓ^{m}, aux éléments de ℓ^{m}-torsion du radical (ℜ_{K_{∞}}^{Γ^{∗}})_{div} associé par le Théorème 3 à la pro-ℓ-extension abélienne ZK_{∞}/K_{∞}.

Soit donc 𝔵 ∈ _{ℓ^{m}}ℜ_{K}^{Γ^{∗}} ∩ (ℜ_{K_{∞}}^{Γ^{∗}})_{div} un tel élément ; c’est la puissance ℓ-ième 𝔵 = 𝔵_{1}^{ℓ} d’un élément 𝔵_{1} de _{ℓ^{m+1}}ℜ_{K_{1}}^{Γ^{∗}}, qui est lui-même la puissance ℓ-ième 𝔵_{1} = 𝔵_{2}^{ℓ} d’un élément 𝔵_{2} de _{ℓ^{m+2}}ℜ_{K_{2}}^{Γ^{∗}} et ainsi de suite. En d’autres termes, le radical cherché est l’ensemble des termes initiaux des suites cohérentes (𝔵_{n})_{n∈ℕ} ainsi construites, i.e. des éléments de la limite projective \underleftarrow{lim} ℜ_{K_{n}}^{Γ^{∗}} pour l’exponentiation.

Cela étant, tous les 𝔵_{n} sont dans ℜ_{K_{∞}}^{Γ^{∗}}, qui est un ℤ_{ℓ}[γ]-module annulé par γ^{∗} −1. Et d’après le dernier item du Lemme, comme opérateur sur un tel module, l’exponentiation par ℓ, à un inversible près, agit comme la norme ω_{n+1}/ω_{n}. Nous pouvons donc modifier de proche en proche les 𝔵_{n} pour remplacer les identités de divisibilité 𝔵_{n} = 𝔵_{n+1}^{ℓ} par les identités normiques 𝔵_{n} = 𝔵_{n+1}^{ω_{n+1}/ω_{n}}. Ainsi :

Théorème 6. Le radical initial attaché au compositum Z des ℤ_{ℓ}-extensions de K, i.e. le sousgroupe du radical universel ℜ_{K_{∞}} attaché au compositum des ℓ-extensions de K_{∞} qui proviennent par composition avec K_{∞} d’une extension cyclique d’exposant ℓ^{m} de K qui est ℤ_{ℓ}-plongeable

ℓ^{m}ℨ_{K} = \{ℓ^{−m} ⊗ x ∈ ℜ_{K} | K_{∞}[ \sqrt[ℓ^{m}]{x}] ⊂ Z\}

est formé des termes initiaux 𝔵_{0} de la limite projective pour les applications normes \underleftarrow{lim} ℜ_{K_{n}}^{Γ^{∗}}.

Pour interpréter les radicaux ℜ_{K_{n}}^{Γ^{∗}} en termes de quotients, introduisons les ℓ-adifiés

R_{K_{n}} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} K_{n}^{×}

des groupes multiplicatifs des corps K_{n}, autrement dit les groupes d’idèles principaux attachés aux K_{n} par la théorie ℓ-adique du corps de classes (cf. e.g. [6] ou [10]). Et notons V_{K_{n}} = ℚ_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} R_{K_{n}} = ℚ_{ℓ} ⊗_{ℤ} K_{n}^{×} les ℚ_{ℓ}-espaces associés. Formons enfin pour n fixé la suite exacte courte :

1 → R_{K_{n}}/μ_{K_{n}} → V_{K_{n}} → ℜ_{K_{n}} → 1 ;

et considérons le diagramme du serpent associé à l’opérateur γ^{∗} − 1. Observons que les V_{K_{n}} sont les réunions des V_{K_{n}}^{S} = ℚ_{ℓ} ⊗_{ℤ} E_{K_{n}}^{S} obtenus à partir des S-unités lorsque S parcourt les ensembles finis de places de K et que les V_{K_{n}}^{S} sont des ℚ_{ℓ}-espaces vectoriels de dimension finie, stables par γ et fixés par γ^{ℓ^{n}}. Ainsi γ^{∗} − 1 opère bijectivement sur les V_{K_{n}}^{S} donc sur V_{K_{n}} ; et il suit :

ℜ_{K_{n}}^{Γ^{∗}} ≃ R_{K_{n}}/R_{K_{n}}^{γ^{∗}−1}μ_{K_{n}}.

Scolie 7. Le radical initial attaché au compositum des ℤ_{ℓ}-extensions de K s’identifie au terme initial de la limite projective pour les applications normes des quotients des groupes d’idèles principaux invariants par γ^{∗} − 1 attachés aux étages finis de la tour cyclotomique K_{∞}/K :

ℓ^{m}ℨ_{K} = π_{0} (\underleftarrow{lim} (R_{K_{n}}/R_{K_{n}}^{γ^{∗}−1}μ_{K_{n}})).

3. Discussion du résultat obtenu

Une première conséquence de l’expression exacte donnée par le Théorème 6 et son Scolie est de donner immédiatement une généralisation (pour l’exposant ℓ^{m}) de l’encadrement proposé par Seo (cf. [14, 15]) pour le sous-groupe d’exposant ℓ du radical initial des ℤ_{ℓ}-extensions puis étendu dans [16] au groupe d’exposant ℓ^{m}. Il vient, en effet :

Proposition 8. On a la double inclusion (où π_{0} : (𝔵_{n})_{n∈ℕ} ↦ 𝔵_{0} désigne la projection canonique sur le premier terme de la limite projective dans chacun des produits qui suivent) :

π_{0} (\underleftarrow{lim} (R_{K_{n}}/R_{K_{n}}^{ℓ^{n}(γ−1)}R_{K}^{ℓ^{m}})) ⊂ π_{0} (\underleftarrow{lim} (R_{K_{n}}/R_{K_{n}}^{γ^{∗}−1})) = π_{0} (\underleftarrow{lim} (R_{K_{n}}/R_{K_{n}}^{γ^{∗}−1}R_{K}^{ℓ^{m}})).

Preuve. L’égalité de droite est immédiate, puisqu’on a trivialement : R_{K}^{ℓ^{m}} = R_{K}^{γ^{∗}−1} ⊂ R_{K_{n}}^{γ^{∗}−1}.

Pour établir l’inclusion de gauche, observons d’abord que nous avons de même :

R_{K_{n}}^{ℓ^{m+n}} = R_{K_{n}}^{γ^{∗ℓ^{n}} −1}.

Partant alors de l’identité évidente (γ − 1) − (γ^{∗} − 1) = γ ℓ^{m}/(1 + ℓ^{m}) ∼ ℓ^{m}, nous obtenons :

R_{K_{n}}^{(γ−1)ℓ^{n}} ⊂ R_{K_{n}}^{(γ^{∗}−1)ℓ^{n}}R_{K_{n}}^{ℓ^{m+n}} ⊂ R_{K_{n}}^{(γ^{∗}−1)ℓ^{n}}R_{K_{n}}^{γ^{∗ℓ^{n}} −1} ⊂ R_{K_{n}}^{γ^{∗}−1} ;

ce qui, joint à l’inclusion R_{K}^{ℓ^{m}} = R_{K}^{γ^{∗}−1} ⊂ R_{K_{n}}^{γ^{∗}−1} déjà utilisée, nous montre que les dénominateurs dans la limite projective à gauche sont respectivement contenus dans leurs homologues dans la limite projective au centre. La condition de cohérence requise étant de ce fait plus forte, nous concluons à l’inclusion annoncée.

Nota. En fait, Seo (cf. [14, 15]) raisonne sur les quotients K_{n}^{×}/K_{n}^{×ℓ^{n}(γ−1)}K^{×ℓ^{m}} pour la limite projective de gauche et K_{n}^{×}/K_{n}^{×(γ^{∗}−1)}K^{×ℓ^{m−1}} pour celle de droite. Comme ce sont des ℓ-groupes, on peut les ℓ-adifier en tensorisant par ℤ_{ℓ}, ce qui donne respectivement R_{K_{n}}/R_{K_{n}}^{ℓ^{n}(γ−1)}R_{K}^{ℓ^{m}} pour le premier, R_{K_{n}}/R_{K_{n}}^{γ^{∗}−1}R_{K}^{ℓ^{m−1}} pour le second. Le choix malheureux de R_{K}^{ℓ^{m−1}} dans ce dernier (pour n > 0) au lieu de R_{K}^{ℓ^{m}} a pour conséquence de grossir le dénominateur donc d’affaiblir la condition de cohérence et conduit à une inclusion (potentiellement stricte) au lieu de l’égalité à droite donnée par la Proposition.

Passant au quotient par les racines de l’unité (qui forment un système projectif pour les applications normes), nous obtenons directement une généralisation des encadrements de Seo :

Corollaire 9. Le radical initial des ℤ_{ℓ}-extensions satisfait à l’encadrement :

π_{0} (\underleftarrow{lim} R_{K_{n}}/R_{K_{n}}^{ℓ^{n}(γ−1)}R_{K}^{ℓ^{m}}μ_{K_{n}}) ⊂ π_{0} (\underleftarrow{lim} R_{K_{n}}/R_{K_{n}}^{γ^{∗}−1}μ_{K_{n}}) = π_{0} (\underleftarrow{lim} R_{K_{n}}/R_{K_{n}}^{γ^{∗}−1}R_{K}^{ℓ^{m}}μ_{K_{n}}).

Oublions maintenant les dénominateurs et considérons la limite projective (toujours pour les applications normes) : \underleftarrow{lim} R_{K_{n}}. Les suites cohérentes (x_{n})_{n∈ℕ} qui la constituent sont formées d’idèles principaux x_{n} ∈ R_{K_{n}} qui sont en particulier normes dans tous les étages finis K_{n+k}/K_{n} de la tour K_{∞}/K_{n}; et ce sont donc, comme expliqué dans [9] , des unités logarithmiques. Il suit :

\underleftarrow{lim} R_{K_{n}} = \underleftarrow{lim} E_{K_{n}},

où E_{K_{n}} désigne le ℓ-groupe des unités logarithmiques du corps K_{n} (cf. [9], [10] ou [11]). Les éléments de π_{0} (\underleftarrow{lim} R_{K_{n}}) sont donc exactement les normes d’unités logarithmiques dans la tour

K_{∞}/K, c’est-à-dire les éléments du sous-groupe N_{K_{∞}/K}(E_{K_{∞}}) =_{déf} ∩_{n∈ℕ} N_{K_{n}/K}(E_{K_{n}}) étudié par

Greither (cf. [4]). En particulier, il vient ainsi :

Corollaire 10. Le radical initial des ℤ_{ℓ}-extensions π_{0} (\underleftarrow{lim} (R_{K_{n}}/R_{K_{n}}^{γ^{∗}−1}μ_{K_{n}})) contient canoni-

quement l’image π_{0} (\underleftarrow{lim} R_{K_{n}}) R_{K}^{ℓ^{m}}/R_{K}^{ℓ^{m}}μ_{K} = N_{K_{∞}/K}(E_{K_{∞}})R_{K}^{ℓ^{m}}/R_{K}^{ℓ^{m}}μ_{K} du groupe N_{K_{∞}/K}(E_{K_{∞}}) des normes cyclotomiques d’unités logarithmiques.

Pour l’étude des cas de coïncidence entre E_{K} et son sous-groupe N_{K_{∞}/K}(E_{K_{∞}}), on pourra se reporter à [4] ou à [11]. Pour le lien avec le module de Kuz’min-Tate, voir par exemple [11].

4. Lien avec le noyau de Tate

Les résultats de Tate obtenus par voie cohomologique (cf. [17]) montrent que la ℓ-partie, disons K_{2}(K) (le premier ℓ étant sous-entendu), du groupe universel pour les symboles sur un corps de nombres K s’obtient simplement par montée et descente dans la ℓ-tour cyclotomique K_{∞}/K.

Plus précisément, dans le cas qui nous intéresse ici où le corps de base contient les racines 2ℓièmes de l’unité, pour chaque étage fini de la tour K_{∞}/K, le groupe K_{2}(K_{n}) s’écrit canoniquement :

K_{2}(K_{n}) ≃ (lμ .. _{ℓ^{∞}} ⊗_{ℤ} K_{∞}^{×})^{Γ_{n}}/(lμ .. _{ℓ^{∞}} ⊗_{ℤ} K_{∞}^{×})Γ_{n}_{div}

comme quotient du sous-groupe des points fixes par Γ_{n} = Gal(K_{∞}/K_{n}) du tensorisé lμ .. _{ℓ^{∞}} ⊗_{ℤ} K_{∞}^{×} par son sous-module divisible maximal. Notant alors 𝕋_{ℓ} = \underleftarrow{lim} lμ .. _{ℓ^{n}} le module de Tate construit sur les racines de l’unité d’ordre ℓ-primaire, on peut écrire l’identité précédente sous la forme :

K_{2}(K_{n}) ≃ (𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}})^{Γ_{n}}/(𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℜ_{K_{∞}})Γ_{n}_{div}

(cf. [6], I.2, ou [7], Th. 1.4) ; soit encore, en posant γ̄^{∗} = γ^{−1}/(1 + ℓ^{m}) et Γ̄_{n}^{∗} = γ̄^{∗ ℓ^{n}ℤ_{ℓ}} :

K_{2}(K_{n}) ≃ 𝕋_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} (ℜ_{K_{∞}}^{Γ̄_{n}}/(ℜ_{K_{∞}}^{Γ̄_{n}})_{div})

. Le sous-groupe divisible (ℜ_{K_{∞}}^{Γ̄_{n}})_{div} est ainsi le noyau universel de Tate. Par substitution de γ̄ = γ^{−1} à γ, il se présente formellement tout comme le radical des ℤ_{ℓ}-extensions, de sorte que nous pouvons lui appliquer directement mutatis mutandis les mêmes arguments pour obtenir :

Théorème 11. Le sous-module d’exposant ℓ^{m}du noyau universel de Tate attaché au corps K, i.e. le sous-groupe du radical universel ℜ_{K} défini par

ℓ^{m}𝔑_{K} = {ℓ^{−m} ⊗ x ∈ ℜ_{K} | {ζ_{ℓ^{n}}, x} = 1 dans K_{2}(K)},

est formé des termes initiaux 𝔵_{0} de la limite projective pour les applications normes \underleftarrow{lim} ℜ Γ̄^{∗} ; K_{n}.

Il s’identifie donc au terme initial de la limite projective des quotients des groupes d’idèles principaux invariants par γ̄^{∗} − 1 attachés aux étages finis de la tour cyclotomique K_{∞}/K :

ℓ^{m}𝔑_{K} = π_{0} (\underleftarrow{lim} (R_{K_{n}}/R_{K_{n}}^{γ̄^{∗}−1}μ_{K_{n}})).

Corollaire 12. Le noyau universel de Tate _{ℓ^{m}}𝔑_{K} vérifie en particulier l’encadrement :

π_{0} (\underleftarrow{lim} R_{K_{n}}/R_{K_{n}}^{ℓ^{n}(γ−1)}R_{K}^{ℓ^{m}}μ_{K_{n}}) ⊂ π_{0} (\underleftarrow{lim} R_{K_{n}}/R_{K_{n}}^{γ̄^{∗}−1}μ_{K_{n}}) = π_{0} (\underleftarrow{lim} R_{K_{n}}/R_{K_{n}}^{γ̄^{∗}−1}R_{K}^{ℓ^{m}}μ_{K_{n}}).

On notera que le groupe à gauche est identique à celui obtenu précédemment. En particulier :

Corollaire 13. Le noyau _{ℓ^{m}}𝔑_{K} contient canoniquement l’image π_{0} (\underleftarrow{lim} R_{K_{n}}) R_{K}^{ℓ^{m}}/R_{K}^{ℓ^{m}}μ_{K} =

N_{K_{∞}/K}(E_{K_{∞}})R_{K}^{ℓ^{m}}/R_{K}^{ℓ^{m}}μ_{K} du groupe N_{K_{∞}/K}(E_{K_{∞}}) des normes d’unités logarithmiques.

Pour conclure, précisons quelques points :

(i) En définissant pour tout i ∈ ℤ le i-ième tordu à la Tate du générateur topologique γ par γ^{(i)} = γ/(1 + ℓ^{m})^{i} et en introduisant le groupe Γ^{(i)} = γ^{(i) ℤ_{ℓ}}, on obtient facilement des résultats en tous points analogues à ceux présentés plus haut pour le radical initial des ℤ_{ℓ}-extensions (qui correspond au choix i = 1) et pour le noyau des symboles universels (qui correspond, lui, au choix i = −1). Les résultats et conjectures standard de Schneider liées à ces divers noyaux sont présentées dans [12] en lien avec l’arithmétique des classes logarithmiques.

(ii) Il est toujours possible, du moins pour ℓ impair, de s’affranchir de l’hypothèse lμ .. _{ℓ} ⊂ K : il suffit, en effet, d’introduire le corps K′ = K[ζ_{ℓ}], de raisonner sur K′, puis de redescendre les résultats sur K en utilisant les idempotents de l’algèbre semi-locale ℤ_{ℓ}[Δ] associés aux caractères ℓ-adiques du groupe Δ = Gal(K′/K). Il convient de prendre garde, en revanche, au fait que la torsion par les racines de l’unité introduit un décalage des caractères et que la descente ne se fait donc pas toujours via le caractère unité (cf. e.g. [9] ou [12] pour plus de détails).

(iii) Il peut y avoir égalité ou pas entre le noyau de Tate _{ℓ^{m}}𝔑_{K} et le radical initial _{ℓ^{m}}ℨ_{K}, comme le montrent, par exemple, les tables de Thomas (cf. [18]). L’égalité a lieu en particulier (mais sans que cette condition soit nécessaire) lorsque le ℓ-groupe des classes logarithmiques est trivial, auquel cas les deux groupes coïncident avec le radical hilbertien étudié dans [7] et [8].

Références

[1] F. Bertrandias et J.-J. Payan, Γ-extensions et invariants cyclotomiques, Ann. Sci. Éc. Norm. Sup. 4 (1972), 517–548.

[2] G. Gras, Class Field Theory : from theory to practice, SMM, Springer-Verlag 2005.

[3] G. Gras, Plongements kummeriens dans les ℤ_{p}-extensions, Compositio Math. 55 (1985), 383–396.

[4] C. Greither, Sur les normes universelles dans les ℤ_{p}-extensions, J. Théor. Nombres Bordeaux 6 (1994), 205–220.

[5] D. Hémard, Modules Galoisiens de torsion et plongements dans les ℤ_{p}-extensions, J. Number Th. 30 (1988), 357–374.

[6] J.-F. Jaulent, L’arithmétique des ℓ-extensions (Thèse d’Etat, Université de Franche-Comté, Besançon), Publ. Math. Fac. Sci. Besançon, Années 1984/86. http://pmb.univ-fcomte.fr/1986.html

[7] J.-F. Jaulent, La Théorie de Kummer et le K_{2} des corps de nombres, J. Théor. Nombres Bordeaux 2 (1990), 377–411.

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Jean-François Jaulent Institut de Mathématiques de Bordeaux Université de Bordeaux & CNRS 351, cours de la libération F-33405 Talence Cedex courriel : Jean-Francois.Jaulent@math.u-bordeaux1.fr