Compactification ℓ-adique de ℝ ^{∗}

Jean-François Jaulent

Résumé. Nous construisons un groupe topologique compact ℝ_{ℓ}, qui contient naturellement comme sous-groupes denses à la fois le groupe additif réel ℝ et le groupe ℓ-adique ℚ_{ℓ} pour un premier donné ℓ, et nous en étudions quelques unes des propriétés. En appendice, nous montons que cela donne une description arithmétique du solénoide ℓ-adique S_{ℓ} classiquement défini en termes de feuilletages.

Abstract. For a given prime number ℓ, we construct a compact topological group ℝ_{ℓ} which contains both the real additive group ℝ and the ℓ-adic one ℚ_{ℓ} as dense subgroups ; thus we study some of its properties. This construction gives an arithmetic description of the so-called ℓ-adic solenoid S_{ℓ} classically defined in terms of foliations.

Introduction

Soit ℓ un nombre premier et R_{ℓ} = {0, 1, …, ℓ − 1} l’ensemble des entiers naturels inférieurs à ℓ. Il est bien connu que toute série de la forme

∑_{n_{0}}^{+∞} a_{n} ℓ^{n},

où les a_{n} sont pris dans R_{ℓ} et n_{0} dans ℤ, converge dans le complété ℓ-adique ℚ_{ℓ} du corps des rationnels ; et qu’inversement tout nombre ℓ-adique q s’écrit de façon unique comme somme d’une telle série.

De façon semblable, toute série de la forme

∑_{−∞}^{n_{0}−1} a_{n} ℓ^{n},

converge dans le corps des réels ℝ; et inversement tout réel positif r s’écrit comme somme d’une telle série, laquelle est même unique dès lors que les a_{n} ne sont pas ultimement égaux à ℓ − 1.

On peut donc demander s’il est possible de construire un espace topologique convenable, contenant de façon naturelle ℚ_{ℓ} ainsi que ℝ, équipé de surcroît de lois prolongeant celles de ℚ_{ℓ} et de ℝ, dans lequel donner un sens univoque à l’expression

∑_{−∞}^{+∞} a_{n} ℓ^{n},

indépendamment de la césure utilisée pour la calculer en l’écrivant formellement :

∗Proyecciones 27 (2008), 219–235.

∑_{−∞}^{n_{0}−1} a_{n} ℓ^{n} + ∑_{n_{0}}^{+∞} a_{n} ℓ^{n}.

On s’aperçoit aisément qu’il n’est pas raisonnable d’espérer prolonger continûment la multiplication dans un tel espace, puisque les suites de terme général ℓ^{n} et ℓ^{−n} convergeant vers 0 dans ℚ_{ℓ} et dans ℝ respectivement, leur produit, qui est constant et égal à 1, devrait alors converger également vers 0, ce qui est évidemment absurde. Il faut donc renoncer à obtenir un anneau topologique.

L’objet du présent travail est ainsi de construire très simplement un groupe topologique abélien et compact que nous notons ℝ_{ℓ}, qui contient naturellement à la fois ℝ et ℚ_{ℓ} comme sous-groupes denses, et qui permet de donner un sens précis à chaque somme q +r d’un nombre ℓ-adique q et d’un nombre réel r, donc finalement à toute somme infinie du type précédent.

Nous verrons en appendice que le groupe obtenu ℝ_{ℓ} s’identifie canoniquement au solénoide ℓ-adique S_{ℓ} défini classiquement en termes de feuilletages et qui intervient naturellement dans des questions liées à l’étude de certains systèmes dynamiques ou de probabilités.

1. Rappels sur ℝ et sur ℚ_{ℓ}; construction du groupe ℝ_{ℓ}

Rappelons d’abord brièvement comment sont construits usuellement les complétés du corps ℚ des rationnels relativement à ses diverses valeurs absolues.

On sait, par le théorème d’Ostrowski (cf. e.g. [3] ou [7]), que les topologies de ℚ qui sont définies par des valeurs absolues non triviales sont :

(i) la topologie réelle, qui correspond à la valeur absolue usuelle définie par : | x |_{∞} = max{x, −x};

(ii) les topologies ℓ-adiques, données par les valeurs absolues définies par :

| x |_{ℓ} = ℓ^{−ν_{ℓ}(x)},

où ν_{ℓ}(x) désigne l’exposant du premier ℓ dans la factorisation du rationnel x ≠ 0.

Dans tous les cas, le procédé de complétion, valable d’ailleurs pour tout espace métrique E (cf. e.g. [9]), permet de regarder ℚ comme un sous-espace topologique dense d’un espace complet, qui est évidemment ℚ_{∞} = ℝ dans le premier cas et ℚ_{ℓ} dans le second. Dans le contexte qui nous intéresse, la méthode algébrique standard consiste à prendre l’anneau des suites de Cauchy de rationnels (pour la métrique considérée) et à le quotienter par l’idéal maximal formé des suites qui convergent vers 0. On obtient ainsi un corps commutatif sur lequel la valeur absolue se prolonge de façon naturelle, ce qui en fait un espace métrique complet (et même localement compact) qui contient ℚ comme sous-espace dense.

Faisons choix maintenant d’un nombre premier arbitaire ℓ. Nous avons alors :

Théorème 0. Soit ℓ ∈ ℕ un nombre premier et R_{ℓ} = {0, 1, …, ℓ − 1}. Alors :

(i) Tout réel r s’écrit : r = ± ∑_{−∞}^{n_{0}−1} a_{n} ℓ^{n}, avec les a_{n} dans R_{ℓ} et n_{0} dans ℤ; cette écriture est unique si les a_{n} ne sont pas ultimement égaux à ℓ−1.

(ii) Tout nombre ℓ-adique q s’écrit de façon unique : q = ∑_{m_{0}}^{+∞} a_{n} ℓ^{n}, avec les a_{n} dans R_{ℓ}; et on a : | q |_{ℓ} = ℓ^{−m_{0}}, si a_{m_{0}} est son premier chiffre non nul.

(iii) Dans chaque cas, les sommes finies z = ± ∑_{m_{0}}^{n_{0}} a_{n} ℓ^{n} décrivent le sousgroupe ℤ[1/ℓ], lequel est dense dans le groupe ℚ_{ℓ} comme dans ℝ.

Nous allons plonger ℝ et ℚ_{ℓ} dans groupe topologique abélien en les recollant suivant le sous-groupe dense ℤ[1/ℓ]. Comme indiqué dans l’introduction, le point essentiel de notre construction est que toute somme finie ∑_{n_{0}+1}^{m_{0}} a_{n}ℓ^{n} doit avoir même image qu’elle soit regardée dans ℚ_{ℓ} ou dans ℝ. Cette observation nous amène donc à poser :

Définition 1. Nous appelons ℓ-adifié du groupe additif ℝ le groupe abélien ℝ_{ℓ} quotient de la somme directe du groupe ℓ-adique ℚ_{ℓ} et du groupe additif réel ℝ par l’image diagonale du sous-groupe ℤ[1/ℓ] des rationnels ℓ-entiers :

ℝ_{ℓ} = (ℚ_{ℓ} ⊕ ℝ)/ℤ[1/ℓ].

Le groupe ℝ_{ℓ} est un groupe divisible qui contient canoniquement ℚ_{ℓ} et ℝ.

L’application naturelle de ℝ (respectivement de ℚ_{ℓ}) dans ℝ_{ℓ} étant évidemment injective, nous identifierons un réel r et un nombre ℓ-adique q avec leurs images respectives dans ℝ_{ℓ}, de sorte que nous avons ainsi par construction :

ℚ_{ℓ} ∩ ℝ = ℤ[1/ℓ].

De façon semblable nous noterons q + r la somme dans le groupe abélien ℝ_{ℓ} du nombre ℓ-adique q et du réel r, somme qui n’est autre que la classe dans ℝ_{ℓ} du couple (q, r) de ℚ_{ℓ} ⊕ ℝ. Un tel nombre sera dit un réel-ℓ-adique.

Remarque. Les groupes additifs ℚ_{ℓ} et ℝ étant tous deux divisibles, le quotient ℝ_{ℓ} l’est aussi. On prendra garde cependant au fait que ℝ_{ℓ} n’est pas uniquement divisible ; ainsi on a bien, par exemple :

q + r = n (q/n + r/n),

pour tout entier naturel n > 1 ; mais (avec les mêmes conventions d’écriture) :

1/n + 0 ≠ 0 + 1/n,

dès que n est étranger avec ℓ, puisque 1/n n’est pas alors dans l’anneau ℤ[1/ℓ]. Plus généralement, pour k = 0, ⋯, n − 1, les n éléments x_{k} donnés par :

x_{k} = (q + k)/n + (r − k)/n

sont alors distincts dans ℝ_{ℓ} mais vérifient tous l’identité : nx_{k} = q + r.

Il suit de là que le groupe ℝ_{ℓ} contient des éléments de torsion. Nous verrons plus loin que ceux-ci constituent même un sous-groupe dense de ℝ_{ℓ}.

L’écriture x = r + q n’étant pas unique du fait de notre construction, il est intéressant de disposer néanmoins d’une écriture standard d’un réel-ℓ-adique x :

Théorème 2 (Lemme de représentation). Tout réel-ℓ-adique x s’écrit de façon unique :

x = [x] + {x}, avec [x] ∈ ℤ_{ℓ} et {x} ∈ [0, 1[.

Nous disons que l’entier ℓ-adique [x] est la partie entière et que le réel {x} est la partie fractionnaire de x. En d’autres termes, nous avons :

ℝ_{ℓ} = ℤ_{ℓ} ⊕ [0, 1[.

Preuve. Partons d’un réel-ℓ-adique x = q + r; écrivons q = ∑_{n_{0}}^{+∞} a_{n}ℓ^{n} la représentation canonique de sa partie ℓ-adique q; puis notons q′ = ∑_{n_{0}}^{−1} a_{n}ℓ^{n} ∈ ℕ[1/ℓ] la partie non entière de q et z = ∑_{0}^{+∞} a_{n}ℓ^{n} sa partie entière. Nous avons ainsi : x = z + r′ avec r′ = r + q′ ∈ ℝ et z ∈ ℤ_{ℓ}. Ecrivant alors x′ = [x′] + {x′} la décomposition du réel x′ comme somme de sa partie entière [x] ∈ ℤ et de sa partie fractionnaire {x′} ∈ [0, 1[, nous obtenons comme attendu :

x = (z + [x′]) + {x′} ∈ ℤ_{ℓ} + [0, 1[,

ce qui établit l’existence de la décomposition annoncée.

L’unicité résulte immédiatement de l’identité :

ℤ_{ℓ} ∩ [0, 1[= ℤ_{ℓ} ∩ ℤ[1/ℓ] ∩ [0, 1[ = ℤ ∩ [0, 1[ = {0}.

Remarque. Dans la décomposition directe précédente, le sous-groupe réel ℝ et le sous-groupe ℓ-adique ℚ_{ℓ} s’écrivent respectivement :

ℝ = ℤ ⊕ [0, 1[ et ℚ_{ℓ} = ℤ_{ℓ} ⊕ [0, 1[_{ℓ},

où [0, 1[_{ℓ} désigne l’ensemble des rationnels ℓ-entiers de l’intervalle [0, 1[.

Corollaire 3. Tout réel-ℓ-adique x s’écrit de façon unique comme somme

∑_{0}^{+∞} a_{n} ℓ^{n} + ∑_{−∞}^{−1} a_{n} ℓ^{n},

d’un entier ℓ-adique q = ∑_{0}^{+∞} a_{n} ℓ^{n} ∈ ℤ_{ℓ} et d’un réel r = ∑_{−∞}^{−1} a_{n} ℓ^{n} ∈ [0, 1[, où les a_{n} sont pris dans R_{ℓ} et non ultimement égaux à ℓ − 1 pour n ≪ 0.

Corollaire 4. Soit a ∈ ℤ un entier relatif fixé. Tout réel-ℓ-adique x s’écrit alors de façon unique :

x = [x]_{a} + {x}_{a}, avec [x]_{a} ∈ ℓ^{a}ℤ_{ℓ} et {x}_{a} ∈ [0, ℓ^{a}[.

En d’autres termes, nous avons la décomposition directe :

ℝ_{ℓ} = ℓ^{a}ℤ_{ℓ} ⊕ [0, ℓ^{a}[.

2. Propriétés topologiques du groupe ℝ_{ℓ}

Nous allons maintenant définir une distance sur ℝ_{ℓ} en faisant choix d’une valeur absolue | | à valeurs dans ℝ_{+}. Pour éviter toute confusion, nous notons :

(i) |r|_{∞} = max{r, −r}, la valeur absolue usuelle sur ℝ, et

(ii) |q|_{ℓ} = ℓ^{−ν_{ℓ}(q)}, la valeur absolue normalisée sur ℚ_{ℓ}. Cela étant, la valeur absolue sur ℝ_{ℓ} peut être définie de la façon suivante :

Définition 5. Nous appelons valeur absolue d’un réel-ℓ-adique x = q + r la quantité :

|q + r| = inf_{z∈ℤ[1/ℓ]} max{ |q + z|_{ℓ} , |r − z|_{∞}},

laquelle est encore donnée par la formule :

|x| = min{max{ |[x]|_{ℓ} , |{x}|_{∞}} , max{ |[x] + 1|_{ℓ} , |1 − {x}|_{∞}}}.

Preuve. Il s’agit de vérifier que les deux formules sont équivalentes, autrement dit que la borne inférieure dans la première formule est atteinte pour la valeur de z qui correspond à la décomposition standard x = [x] + {x} donnée par la proposition 2, ou pour la même valeur augmentée de 1, ce qui correspond à la décomposition x = ([x] + 1) + ({x} − 1).

Or l’existence même de la décomposition standard x = [x] + {x} entraîne :

|x| ≤ max{ |[x]|_{ℓ} , |{x}|_{∞}} ≤ 1 ;

de sorte que la borne inférieure doit être recherchée parmi les décompositions x = (q + z) + (r − z) qui vérifient simultanément |q + z|_{ℓ} ≤ 1 et |r − z|_{∞} ≤ 1, i.e. q + z ∈ ℤ_{ℓ} et r − z ∈ [−1, +1] ; ce qui ne laisse guère que les deux possibilités annoncées. Remarque. La valeur absolue | | ainsi définie coïncide donc avec la valeur absolue normalisée | |_{ℓ} sur ℤ_{ℓ} et avec la valeur absolue usuelle | |_{∞} sur ]− 1/2, +1/2 [.

Théorème 6. L’application (x, y) ↦ |x − y| est une distance sur ℝ_{ℓ} qui est invariante par translation ; elle fait de ℝ_{ℓ} un groupe topologique contenant à la fois ℚ_{ℓ} et ℝ comme sous-groupes denses.

Preuve. Vérifions d’abord que nous avons bien là une distance : L’équivalence

|x| = 0 ⇔ x = 0

étant immédiate, compte tenu de l’expression de la valeur absolue, ainsi que l’identité |x| = |−x|, seule pose problème l’inégalité triangulaire. Or, si x = q+r est une décomposition d’un réel-ℓ-adique x donnant sa valeur absolue (en ce sens qu’on a : |x| = max{ |q|_{ℓ} , |r|_{∞}}) et x′ = q′ + r′ une décomposition analogue pour x′, il vient :

|x + x′| ≤ max{ |q + q′|_{ℓ}, |r + r′|_{∞}} ≤ max{ |q|_{ℓ}, |r|_{∞}} + max{ |q′|_{ℓ}, |r′|_{∞}}; ce qui donne, comme attendu :

|x + x′| ≤ |x| + |x′| .

En résumé, il suit de là que ℝ_{ℓ} est bien un groupe topologique.

Ce point acquis, l’invariance par translation provient directement de la définition même de la distance. Enfin, le sous-groupe ℤ étant dense dans ℤ_{ℓ} et l’ensemble [−1/2, 1/2[_{ℓ}:= ℤ[1/ℓ]∩[−1/2, 1/2[ l’étant dans [−1/2, 1/2[, il résulte de la remarque précédant le théorème que le sous-groupe

ℤ[1/ℓ] = ℤ ⊕ [−1/2, 1/2[_{ℓ}

est lui-même dense dans :

ℝ_{ℓ} = ℤ_{ℓ} ⊕ [−1/2, 1/2[.

En particulier, il suit comme annoncé que ℚ_{ℓ} et ℝ sont denses dans ℝ_{ℓ}.

Nous pouvons maintenant établir la compacité du groupe ℝ_{ℓ}, qui justifie le titre de cette note :

Théorème 7. Le groupe topologique ℝ_{ℓ} est compact et connexe. Nous disons que c’est le compactifié ℓ-adique du groupe additif réel ℝ.

Preuve. Pour voir que ℝ_{ℓ} est compact, considérons la suite exacte courte :

\xymatrix{0 \ar[r] & ℤ_{ℓ} \ar[r]^{ι} & ℝ_{ℓ} \ar[r]^{π} & 𝕋 = ℝ/ℤ \ar[r] & 0}

induite par l’injection canonique ι de ℤ_{ℓ} dans ℝ_{ℓ}. D’un coté, l’expression de la valeur absolue donnée plus haut montre que ι est isométrique ; de l’autre, la décomposition canonique ℝ_{ℓ} = ℤ_{ℓ} ⊕ [0, 1[ montre que son conoyau s’identifie (comme groupe topologique) au tore 𝕋 = ℝ/ℤ. La compacité de ℝ_{ℓ} résulte donc de celle des deux groupes ℤ_{ℓ} et 𝕋.

Ce point acquis, la connexité est immédiate : en effet, le sous-groupe dense ℝ étant bien enchaîné (pour sa métrique naturelle donc, a fortiori, pour la métrique de ℝ_{ℓ}), l’espace ℝ_{ℓ}, qui est simultanément compact et bien enchaîné, est connexe.

Comme tout groupe compact (et, plus généralement, tout groupe localement compact), le groupe ℝ_{ℓ} admet donc une mesure de Haar :

Corollaire 8. Le groupe ℝ_{ℓ} admet une unique mesure positive μ de masse 1 qui est invariante par translation ; celle-ci est caractérisée sur les compacts élémentaires ℓ^{n}ℤ_{ℓ} ⊕ [α, β] (avec 0 ≤ α ≤ β < 1) par la formule :

μ(ℓ^{n}ℤ_{ℓ} ⊕ [α, β] ) = ℓ^{−n} × (β − α).

En particulier les sous-groupes ℚ_{ℓ} et ℝ sont μ-négligeables dans ℝ_{ℓ}.

Proposition 9. Pour tout x_{0} de ℝ_{ℓ}, la composante connexe par arcs de x_{0} dans ℝ_{ℓ} (i.e. l’ensemble des extrémités des chemins dans ℝ_{ℓ} d’origine x_{0}) est la droite affine x_{0} +ℝ passant par x_{0}. En particulier, l’espace ℝ_{ℓ} n’est pas connexe par arcs.

Preuve. Translatons par 1/2 la décomposition donnée par le théorème 2 ; puis écrivons :

ℝ_{ℓ} = ℤ_{ℓ} ⊕ [−1/2, 1/2 [,

et notons ici x = z + r la décomposition correspondante d’un réel-ℓ-adique x. Par définition de la distance sur ℝ_{ℓ}, pour tout x de ℝ_{ℓ}, la boule ouverte de centre x et de rayon 1/ℓ est caractérisée par :

B(x, 1/ℓ) = x + ℓℤ_{ℓ} + ]− 1/ℓ, 1/ℓ [.

Soit alors X | t ↦ x(t) un chemin dans ℝ_{ℓ}, d’origine x_{0} = x(0) et d’extrémité x_{1} = x(1). La continuité uniforme de X sur le segment I = [0, 1] nous fournit un η > 0 tel que pour toute η-chaîne 0 = t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{m} = 1 de [0, 1], les points x_{k} = x(t_{k}) vérifient les inégalités : |x_{k} − x_{k−1}| < 1/ℓ, pour k = 1, …, m.

En particulier, sur chaque intervalle I_{k} = I ∩ ]x_{k} − η, x_{k} + η[ la fonction x(t) prend ses valeurs dans la boule B(x_{k}, 1/ℓ), ce qui permet d’écrire localement :

x(t) = x_{k} + z_{k}(t) + r_{k}(t), avec z_{k}(t) ∈ ℓℤ_{ℓ} et r_{k}(t) ∈]− 1/ℓ, 1/ℓ [. celà étant, l’application t ↦ z_{k}(t), qui est continue de I_{k} dans ℤ_{ℓ}, est évidemment constante, puisque I_{k} est connexe tandis que ℤ_{ℓ} est totalement discontinu. Il suit de là que x(t) − x_{k} est réel pour t ∈ I_{k}; et finalement que x(t) − x_{0} est à valeurs dans ℝ pour tout t ∈ I.

Réciproquement, pour tout x_{1} = x_{0}+r ∈ x_{0}+ℝ, l’application X | t ↦ x(t) = x_{0} + t r est clairement un chemin d’origine x_{0} et d’extrémité x_{1}.

Remarque. Convenons de dire qu’une partie C de ℝ_{ℓ} est convexe lorsque pour tout couple (a, b) d’éléments de C on a simultanément :

b − a ∈ ℝ, ainsi que l’inclusion [a, b] = {a + t(b − a) | t ∈ [0, 1]} ⊂ C. Avec ces conventions, la composante connexe par arcs d’un élément x de ℝ_{ℓ} est tout simplement le plus grand convexe contenant x.

3. Sous-groupe de torsion ℝ_{ℓ}^{tor} et sous-groupes fermés de ℝ_{ℓ}

Précisons d’abord la structure du sous-groupe de torsion de ℝ_{ℓ} :

Proposition 10. L’ensemble ℝ_{ℓ}^{tor} des éléments de torsion de ℝ_{ℓ} est un sousgroupe dénombrable dense de ℝ_{ℓ} et s’identifie au quotient ℚ/ℤ[1/ℓ] via le morphisme τ qui à un rationnel s ∈ ℚ associe la classe τ(s) dans ℝ_{ℓ} du couple (s, −s) ∈ ℚ_{ℓ} ⊕ ℝ.

En particulier, il vient :

Corollaire 11. Pour tout entier naturel m > 0 étranger à ℓ, le groupe ℝ_{ℓ} possède un unique sous-groupe de cardinal m : il est cyclique et c’est le noyau mℝ_{ℓ} de la multiplication par m; et c’est aussi l’image par τ du sous-groupe (1/m)ℤ[1/ℓ] de ℚ.

Preuve. Soit x = q + r un élément de m-torsion dans ℝ_{ℓ}, i.e. vérifiant mx = 0, pour un m > 0 de ℕ. De l’égalité mx = mq + mr = 0 dans ℝ_{ℓ}, nous concluons :

mq = −mr ∈ ℤ[1/ℓ],

disons :

mq = −mr = n/ℓ^{a} avec n ∈ ℤ et a ∈ ℕ;

ce qui montre que q = −r est un nombre rationnel. En d’autres termes, l’application :

τ | ℚ ∋ s ↦ s − s ∈ ℝ_{ℓ},

qui à un rationnel s associe la classe du couple (s, −s) dans ℝ_{ℓ}, est un épimorphisme du groupe additif ℚ sur le sous-groupe de torsion ℝ_{ℓ}^{tor}. Comme son noyau est clairement ℤ[1/ℓ], nous obtenons par passage au quotient l’isomorphisme annoncé :

ℝ_{ℓ}^{tor} ≃ ℚ/ℤ[1/ℓ].

En particulier, pour tout m étranger à ℓ, le sous-groupe de m-torsion de ℝ_{ℓ} est le groupe cyclique :

mℝ_{ℓ} = τ((1/m)ℤ[1/ℓ]) ≃ (1/m)ℤ[1/ℓ]/ℤ[1/ℓ] ≃ ℤ/mℤ.

Enfin, la densité de ℝ_{ℓ}^{tor} dans ℝ_{ℓ} résulte de celle de ℚ dans le produit ℚ_{ℓ} ×ℝ.

Corollaire 12. Le sous-groupe de torsion ℝ_{ℓ}^{tor} ne possédant pas d’élément d’ordre ℓ, il suit en particulier que ℝ_{ℓ} lui-même est uniquement ℓ-divisible, i.e. que l’on a :

∀x ∈ ℝ_{ℓ} ∃! y ∈ ℝ_{ℓ} x = ℓy.

On retrouve là le fait que ℝ_{ℓ} est naturellement un module sur l’anneau ℤ[1/ℓ].

Intéressons nous maintenant aux sous-groupes compacts de ℝ_{ℓ}.

Il est bien connu que les sous-groupes fermés G de ℝ autres que ℝ lui-même, sont discrets et de la forme aℤ pour un a de G. Il en résulte que les sous-groupes fermés du tore 𝕋 = ℝ/ℤ, autres que 𝕋 lui-même, sont les sous-groupes cycliques discrets 𝕋_{m} = (1/m)ℤ/ℤ ≃ ℤ/mℤ, pour m ≥ 1.

D’un autre côté, on sait que les sous-groupes fermés de ℚ_{ℓ}, autres que ℚ_{ℓ} luimême, sont le sous-groupe nul, qu’il est commode d’écrire ℓ^{∞}ℤ_{ℓ}, et les groupes compacts ℓ^{a}ℤ_{ℓ}, pour a ∈ ℤ, lesquels sont isomorphes à ℤ_{ℓ}. Ces sous-groupes ne sont plus algébriquement monogènes, comme dans le cas réel (ils ne sont pas isomorphes à ℤ), mais le restent topologiquement (car fermetures respectives de sous-groupes isomorphes à ℤ).

Théorème 13. Les sous-groupes compacts du groupe topologique ℝ_{ℓ} sont : (i) Les sous-groupe triviaux : le sous-groupe nul 0 et le groupe ℝ_{ℓ} lui-même. (ii) Les sous-groupes finis _{m}ℝ_{ℓ} de ℝ_{ℓ}^{tor}, cycliques d’ordre m étranger à ℓ. (iii) Les sous-groupes compacts ℓ^{a}ℤ_{ℓ} de ℚ_{ℓ}, procycliques et isomorphes à ℤ_{ℓ}. (iv) Les produits _{m}ℝ_{ℓ} × ℓ^{a}ℤ_{ℓ}, avec ℓ ∤ m et a ∈ ℤ, lesquels sont procycliques

donc topologiquement monogènes.

Preuve. Soit donc G un sous-groupe fermé non trivial de ℝ_{ℓ} et G_{ℓ} = G ∩ ℚ_{ℓ} son intersection avec ℚ_{ℓ}.

Le sous-groupe G_{ℓ} n’est pas dense de ℚ_{ℓ}, puisqu’il serait alors dense dans ℝ_{ℓ}, ce qui entraînerait G = ℝ_{ℓ}, contrairement à l’hypothèse. C’est donc que nous avons G_{ℓ} ⊂ ℓ^{b}ℤ_{ℓ} pour un b de ℤ. Et comme la topologie sur le groupe compact ℓ^{b}ℤ_{ℓ} est induite aussi bien par celle de ℚ_{ℓ} que par celle de ℝ_{ℓ}, il suit de là que G_{ℓ} est un sous-groupe compact de ℓ^{b}ℤ_{ℓ}. En fin de compte, nous avons donc soit G_{ℓ} = {0}, soit G_{ℓ} = ℓ^{a}ℤ_{ℓ} pour un a de ℤ. Examinons successivement ces deux éventualités :

(i) Si G_{ℓ} est nul, le groupe G rencontre trivialement ℤ_{ℓ} de sorte que la restriction à G de la projection canonique π de ℝ_{ℓ} sur 𝕋 = ℝ_{ℓ}/ℤ_{ℓ} est un isomorphisme de G sur π(G). Le groupe G s’identifie alors à un sous-groupe fermé de 𝕋, c’est à dire soit à 𝕋 lui-même, soit à l’un de ses sous-groupes finis 𝕋_{m}. Mais, si π(G) était égal à 𝕋, la représentation standard des éléments de G ferait intervenir toutes les parties fractionnaires possibles ; de sorte que G contiendrait en particulier un élément de la forme z + 1/ℓ avec z ∈ ℤ_{ℓ} et 1/ℓ ∈ [0, 1[, que nous pouvons aussi bien écrire (z + 1/ℓ) + 0 avec z + 1/ℓ ∈ ℚ_{ℓ} \ {0}, puisque 1/ℓ est dans ℤ[1/ℓ], ce qui est exclu, G étant supposé renconter trivialement ℚ_{ℓ}. Il suit donc : π(G) = 𝕋_{m} pour un m ≥ 1, comme annoncé. Ainsi G est alors fini, et c’est le sous-groupe de m-torsion _{m}ℝ_{ℓ}.

(ii) Si G_{ℓ} n’est pas nul, nous avons G_{ℓ} = ℓ^{a}ℤ_{ℓ} pour un a de ℤ; écrivons :

ℝ_{ℓ} = ℓ^{a}ℤ_{ℓ} ⊕ [0, ℓ^{a}[,

et π_{a} la projection canonique de ℝ_{ℓ} sur le quotient ℝ_{ℓ}/ℓ^{a}ℤ_{ℓ} ≃ ℝ/ℓ^{a}ℤ ≃ 𝕋. Ici encore, l’image π_{a}(G) est un sous-groupe compact de 𝕋, et ce n’est pas 𝕋 car le groupe G contiendrait alors en particulier un élément de la forme z + ℓ^{−(a+1)}, pour un z de ℓ^{a}ℤ_{ℓ}, c’est à dire (z + ℓ^{−(a+1)}) + 0, avec z + ℓ^{−(a+1)} ∈ G_{ℓ} \ ℓ^{a}ℤ_{ℓ}, ce qui est absurde. Ainsi donc, l’image π_{a}(G) est cyclique d’ordre, disons, m; de sorte que dans la décomposition ci-dessus de ℝ_{ℓ}, le sous-groupe G est donné par :

G = ℓ^{a}ℤ_{ℓ} ⊕ {0, ℓ^{a}/m, …, (m − 1)ℓ^{a}/m}.

En fin de compte, G est alors le produit direct du sous-groupe compact ℓ^{a}ℤ_{ℓ} de ℚ_{ℓ} et du sous-groupe fini ℓ^{a}(_{m}ℝ_{ℓ}) = _{m}ℝ_{ℓ}. Il suit de là que m n’est pas un multiple de ℓ et que G n’est autre que la préimage de ℓ^{a}ℤ_{ℓ} par la multiplication par m :

G = \frac{1}{m} ℓ^{a}ℤ_{ℓ} := \{x ∈ ℝ_{ℓ} | mx ∈ ℓ^{a}ℤ_{ℓ}\}.

En particulier :

Corollaire 14. Les sous-groupes fermés infinis de ℝ_{ℓ} sont ℝ_{ℓ} et les préimages de ℤ_{ℓ} dans les multiplications par les éléments de ℤ[1/ℓ].

Corollaire 15. Les sous-groupes discrets de ℝ_{ℓ} sont les sous-groupes finis _{m}ℝ_{ℓ}.

Preuve. Un tel sous-groupe est fermé donc compact et, par conséquent, fini.

Corollaire 16. Soit G = ℤ x un sous-groupe monogène non nul de ℝ_{ℓ}. Alors : (i) Si x est d’ordre m dans ℝ_{ℓ}^{tor}, G est le groupe cyclique discret _{m}ℝ_{ℓ}. (ii) Si x s’écrit ζ + q avec ζ d’ordre m dans ℝ_{ℓ}^{tor} et q ≠ 0 dans ℚ_{ℓ}, de

ℓ-valuation a ∈ ℤ, le goupe G est dense dans le produit direct du groupe cyclique discret _{m}ℝ_{ℓ} et du groupe compact infini ℓ^{a}ℤ_{ℓ}.

(iii) Enfin, si x n’est pas dans ℝ_{ℓ}^{tor} + ℚ_{ℓ}, le sous-groupe G est dense dans ℝ_{ℓ}.

Preuve. Cela résulte de la classification des sous-groupes fermés de ℝ_{ℓ} donnée par le Théorème : si G n’est pas dense dans ℝ_{ℓ}, sa fermeture \overline{G} est alors un sous-groupe propre compact de ℝ_{ℓ}, ce qui montre que x s’écrit alors ζ + q, avec ζ dans ℝ_{ℓ}^{tor} et q dans ℚ_{ℓ}. Soit alors m l’ordre de ζ et a ∈ \overline{ℤ} la ℓ-valuation de q.

(i) Si q est nul, G est évidemment le groupe cyclique discret _{m}ℝ_{ℓ}.

(ii) Sinon, G contient ℤ mq, qui est dense dans ℓ^{a}ℤ_{ℓ}, d’où le résultat annoncé.

4. Endomorphismes de ℝ_{ℓ}^{tor} et dualité de Pontrjagin.

Considérons maintenant le dual de Pontrjagin du groupe ℝ_{ℓ}, i.e. le groupe

ℝ̂_{ℓ} = Hom_{cont}(ℝ_{ℓ}, 𝕋)

des morphismes continus de ℝ_{ℓ} dans le tore 𝕋 = ℝ/ℤ ≃ ℝ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}.

Si χ ∈ ℝ̂_{ℓ} est un caractère continu sur ℝ_{ℓ}, son image Im χ est alors un sous-groupe compact du tore 𝕋 et son noyau Ker χ un sous-groupe compact de ℝ_{ℓ}.

Si χ n’était pas surjectif, son image Im χ serait un sous-groupe fini 𝕋_{m} du tore 𝕋, et il suivrait :

(ℝ_{ℓ} : Ker χ) =| Im χ |= m,

contrairement à la classification des sous-groupes fermés de ℝ_{ℓ} donnée plus haut.

Ainsi χ est surjectif, son image Im χ = 𝕋 est connexe par arcs ; et comme ℝ_{ℓ} ne l’est pas, son noyau Ker χ est non donc trivial. Or s’il était fini, nous aurions :

𝕋 = Im χ ≃ ℝ_{ℓ}/_{m}ℝ_{ℓ} ≃ ℝ_{ℓ},

ce qui est encore exclu, pour des raisons de connexité par arcs. Il vient donc :

Ker χ = \frac{1}{m} ℓ^{a}ℤ_{ℓ}, pour un a de ℤ et un m ≥ 1,

d’où, par factorisation, le diagramme commutatif où toutes les flêches sont des isomorphismes :

\xymatrix{ℝ_{ℓ}/\frac{1}{m} ℓ^{a}ℤ_{ℓ} \ar[r]^{χ̄} \ar[d]_{ϕ} & ℝ_{ℓ}/ℤ_{ℓ} ≃ 𝕋 \\ ℝ_{ℓ}/ℤ_{ℓ} ≃ 𝕋 \ar[ur]}

Dans celui-ci l’isomorphisme ϕ est induit par la multiplication par l’élément m/ℓ^{a} de ℤ[1/ℓ] ; et comme le groupe des automorphismes du tore 𝕋 se réduit à {±1}, il suit de là que le caractère χ est induit par la multiplication par ±m/ℓ^{a}.

En d’autres termes, nous avons donc :

Théorème 17. Le groupe ℝ̂_{ℓ} = Hom_{cont}(ℝ_{ℓ}, 𝕋) des caractères continus de ℝ_{ℓ} s’identifie au groupe additif discret ℤ[1/ℓ].

Remarque. La suite exacte courte canonique de modules discrets :

\xymatrix{0 \ar[r] & ℤ \ar[r]^{π̂} & ℤ[1/ℓ] \ar[r]^{ι̂} & 𝕋_{ℓ^{∞}} = ℤ[1/ℓ]/ℤ \ar[r] & 0}

peut ainsi être regardée comme duale de la suite exacte courte de modules compacts :

\xymatrix{0 \ar[r] & ℤ_{ℓ} \ar[r]^{ι} & ℝ_{ℓ} \ar[r]^{π} & 𝕋 = ℝ/ℤ \ar[r] & 0}.

Corollaire 18. Les endomorphismes continus non triviaux du groupe topologique ℝ_{ℓ} sont les applications ϕ :

x ↦ ±m/ℓ^{ν} x avec ±m/ℓ^{ν} ∈ ℤ[1/ℓ].

En d’autres termes, ce sont les homothéties pour sa structure de ℤ[1/ℓ]-module. En particulier, l’image de ϕ est ℝ_{ℓ} et son noyau le sous-groupe fini _{m}ℝ_{ℓ}.

Preuve. Soit ϕ un endomorphisme continu non nul du groupe topologique ℝ_{ℓ}. Puisque ℝ_{ℓ} est uniquement ℓ-divisible, ϕ est en particulier un ℤ[1/ℓ]-morphisme.

Or, d’un côté, l’image ϕ(ℝ) du sous-groupe connexe par arcs ℝ est alors un sous-groupe connexe par arcs (donc contenu dans ℝ) et il est non nul (sans quoi ϕ serait nul sur un sous-groupe dense) ; de sorte qu’il vient : ϕ(ℝ) = ℝ. Posant ρ = ϕ(1) ∈ ℝ, nous concluons que ϕ(z) coïncide avec ρz pour tout z ∈ ℤ[1/ℓ].

Et d’un autre côté, le compositum χ = π∘ϕ de ϕ avec la surjection canonique π de ℝ_{ℓ} sur 𝕋 est alors un caractère continu de ℝ_{ℓ}, donc de la forme : x ↦ ρ_{0}x modulo ℤ_{ℓ}, pour un ρ_{0} ∈ ℤ[1/ℓ], en vertu du théorème ci-dessus.

Rassemblant ces deux résultats, nous obtenons (ρ − ρ_{0})z ∈ ℤ_{ℓ} pour tout z ∈ ℤ[1/ℓ] ; d’où, comme attendu : ρ = ρ_{0} ∈ ℤ[1/ℓ]. Et ϕ, qui coïncide avec la multiplication par ρ sur la partie dense ℤ[1/ℓ], est l’homothétie de rapport ρ.

Scolie 19. Avec les conventions d’écriture données dans la section 1, la préimage d’un réel-ℓ-adique x = q + r de ℝ_{ℓ} (avec q ∈ ℚ_{ℓ} et r ∈ ℝ) par l’endomorphisme ϕ : z ↦ ±m/ℓ^{a} z est formée des m éléments :

x_{k} = ±((qℓ^{ν} + k)/m + (rℓ^{ν} − k)/m), pour k = 1, ⋯, m − 1.

Remarque. La construction du compactifié de ℝ peut bien évidemment être menée en prenant simultanément plusieurs nombres premiers ℓ_{1}, ⋯, ℓ_{n}. L’exemple le plus éclairant eu égard à la numération usuelle, est ainsi celui du compactifié décimal ℝ_{10}, i.e. du produit amalgamé de ℝ et de ℚ_{10} = ℚ_{2} × ℚ_{5} au-dessus de l’anneau des décimaux 𝔻 = ℤ[1/10]. Dans ce cas, les endomorphismes continus du groupe ℝ_{10} sont les homothéties pour sa structure de 𝔻-module.

Bien entendu, il est aussi possible de faire intervenir simultanément toutes les places de ℚ. Dans ce cas, le groupe obtenu ℝ̂, qui est le produit amalgamé de ℝ et de ℚ̂ ≃ ∏_{ℓ} ℚ_{ℓ} au-dessus de ℚ, s’identifie au dual de Pontrjagin de ℚ.

5. Appendice : lien avec le solénoïde ℓ-adique

Pour étudier la dynamique d’une application continue f sur un espace topologique X, il est classique d’introduire la limite du système projectif :

Y = \underleftarrow{lim} (X ⟵^{f} X ⟵^{f} X ⟵^{f} ⋯)

défini par les itérées de f (cf. e.g. [4], Ch. 11). Dans le cas particulier où X est le cercle unité 𝕌 = {z ∈ ℂ | |z| = 1} du plan complexe, et f l’application z ↦ z^{ℓ}, l’espace obtenu est le solénoïde ℓ-adique :

S_{ℓ} = {(y_{n})_{n∈ℕ} ∈ 𝕌^{ℕ} | y_{n} = y_{n+1}^{ℓ} ∀n ∈ ℕ}.

Maintenant, en identifiant le tore 𝕋 = ℝ/ℤ au cercle unité 𝕌 via l’application exponentielle t ↦ exp(2iπt), on obtient l’isomorphisme de groupes topologiques :

S_{ℓ} ≃ {(x_{n})_{n∈ℕ} ∈ 𝕋^{ℕ} | x_{n} = ℓx_{n+1} ∀n ∈ ℕ}.

Et, sous cette dernière forme, il est aisé de reconnaitre le compactifié ℝ_{ℓ} de ℝ défini plus haut :

Proposition 20. L’application qui à un réel-ℓ-adique x = ∑_{n=−∞}^{+∞} a_{n}ℓ^{n} ∈ ℝ_{ℓ} associe la famille des troncatures (x_{n})_{n∈ℕ}, avec x_{n} = ∑_{k=−∞}^{n−1} a_{k}ℓ^{n−k} + ℤ ∈ 𝕋, composée avec l’exponentielle complexe t ↦ exp(2iπt), réalise un isomorphisme de groupes topologiques φ du compactifié ℝ_{ℓ} de ℝ sur le solénoïde ℓ-adique S_{ℓ}.

φ : ℝ_{ℓ} ∋ x = ∑_{n=−∞}^{+∞} a_{n}ℓ^{n} ↦ ( exp (2iπ ∑_{k=−∞}^{n−1} a_{k}ℓ^{k−n}))_{n∈ℕ} ∈ S_{ℓ}

Preuve. Observons que φ prend bien ses valeurs dans la limite projective S_{ℓ} ⊂ 𝕌^{ℕ} et que c’est un morphisme de groupes. La condition de projectivité x_{n} = ℓx_{n+1} montre que les chiffres a_{k} (pour k ∈ ℤ) associés à une famille cohérente (x_{n})_{n∈ℕ} de 𝕋^{ℕ} sont bien définis et qu’ils sont uniques ; en d’autres termes que φ est bijective. Enfin, il est clair que φ est continue pour les topologies naturelles de ℝ_{ℓ} et de S_{ℓ} , donc bicontinue puisque les espaces de départ et d’arrivée sont compacts, ℝ_{ℓ} d’après le théorème 7 et S_{ℓ} par le théorème de Tychonov.

On retrouve ainsi le fait que le compactifié ℓ-adique ℝ_{ℓ} est connexe mais non connexe par arcs, plus précisément qu’il est localement isomorphe comme tout solénoïde au produit d’un espace euclidien (en l’occurrence 𝕋) et d’un espace totalement discontinu (en l’occurrence ℤ_{ℓ}) ; ce qu’affirme explicitement le Lemme de représentation donné dans la section 1 (Th. 2).

Coda. Donnons pour conclure quelques illustrations simples de cette interprétation arithmétique du solénoïde ℓ-adique :

(i) Transporté par φ le plongement canonique x ↦ 0 + x de ℝ dans ℝ_{ℓ},

introduit dans la section 1, devient le morphisme continu et injectif x ↦ (exp((2iπx/ℓ^{n}))_{n∈ℕ},

de ℝ dans S_{ℓ} usuellement considéré en analyse harmonique (cf. e.g. [5]) ou en théorie des probabilités (cf. e.g. [6]).

(ii) L’étude algébrique des endomorphismes continus de ℝ_{ℓ} effectuée dans la section 4 montre directement que le noyau Ker ϕ d’un tel endomorphisme est toujours d’ordre étranger à ℓ; ceci généralise notamment le résultat d’imparité donné dans [1] dans le cas ℓ = 2.

(iii) La représentation explicite des racines n-ièmes d’un élément φ(x) du solénoïde p-adique proposée dans [2] peut s’obtenir en transportant par φ les points de n-division de x dans ℝ_{ℓ} :

– si le réel-ℓ-adique x s’écrit x = q + r avec q ∈ ℤ_{ℓ} et r ∈ ℝ, et si n est étranger à ℓ, ce sont les images par φ des n points de n-division de x définis par x_{k} = (q + k)/n + (r − k)/n, pour k = 1, ⋯, n − 1, avec les conventions d’écriture expliquées dans la section 1 ;

– si n s’écrit n = mℓ^{ν} avec ℓ ∤ m, ce sont les images des m points distincts x_{k} = (qℓ^{−ν} + k)/m + (rℓ^{−ν} − k)/m, pour k = 1, ⋯, m − 1, puisque le groupe additif ℝ_{ℓ} est uniquement ℓ-divisible.

Remerciements. L’auteur remercie tout particulièrement C. Deninger (Muenster) et H.W. Lenstra (Leiden) pour leurs commentaires éclairants sur la version préliminaire de ce travail.

Références

[1] J.M. Aarts & R.J. Fokkink, Mappings on the dyadic solenoid, Comment. Math. Univ. Carolinae 44 (2003), 697–699.

[2] P. Becker-Kern, Explicit representation of roots on p-adic solenoids and nonuniqueness of embeddability into rational one-parameter subgroups, Proc. Indian Acad. Sci. (à paraître).

[3] N. Bourbaki, Éléments de mathématique - Algèbre commutative, Hermann (1964).

[4] A. Candel & L. Conlon, Foliations I, Graduate Studies in Math. 23 (2000).

[5] E. Hewitt & K.A. Ross, Abstract Harmonic Analysis I , Springer (1963).

[6] H. Heyer, Probability Measures on Locally Compact Groups, Springer (1977).

[7] S. Lang, Algebra, Springer-Verlag (2002).

[8] K. Mahler, Introduction to p-adic Numbers and their functions, Cambridge University Press (1981).

[9] L. Schwartz, Topologie et Analyse fonctionnelle, Hermann (2000).

Jean-François Jaulent Institut de Mathématiques de Bordeaux Université de Bordeaux 351, cours de la libération F-33405 Talence Cedex email : jaulent@math.u-bordeaux1.fr