Théorie ℓ-adique globale du corps de classes^{∗}

Jean-François Jaulent

Résumé. Nous établissons les résultats fondamentaux de la théorie ℓ-adique globale du corps de classes pour les corps de nombres. Abstract. We establish the fundamental results of the ℓ-adic class field theory for number fields.

Table des matières

0 Introduction et notations  1
0.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.2 Index des principales notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1 Construction des ℤ_{ℓ}-modules fondamentaux  4
1.1 Le ℓ-adifié du groupe des idèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Définition du ℓ-groupe des classes d’idèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Valeurs absolues ℓ-adiques principales et formule du produit . . . . . . . . . . . . . 8
2 Résultats fondamentaux du corps de classes ℓ-adique  9
2.1 Isomorphisme du corps de classes ℓ-adique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Schéma général de la ramification abélienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Les conjectures de Leopoldt et de Gross . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Eléments de dualité ℓ-adique  19
3.1 Pseudo-radicaux attachés aux groupes d’idèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Isomorphismes de dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 Corps coprincipaux et corps logarithmiquement principaux . . . . . . . . . . . . . 25

0 Introduction et notations

0.1 Position du problème

La théorie globale du corps de classes, telle qu’elle fut développée notamment par Takagi, Artin et Chevalley, a pour but principal la description arithmétique des extensions abéliennes d’un corps de nombres donné, à l’aide des seuls éléments de ce corps. Dans sa formulation la plus ancienne, celle de Takagi, elle interprète ainsi le groupe de Galois d’une extension abélienne finie L/K de corps de nombres comme groupe de congruences attaché à un diviseur 𝔣_{L/K} construit sur les places ramifiées dans cette extension. Cette description, aujourd’hui encore la plus efficace pour apprécier numériquement une situation donnée, souffre cependant d’être limitée au seul cas des extensions finies. L’introduction par Chevalley des groupes d’idèles, qui relie de façon lumineuse point de vue local et point de vue global, permet de pallier agréablement cette difficulté. Mais d’autres problèmes surgissent alors :

∗J. Théor. Nombres Bordeaux 10 (1998), 355–397.

- d’abord, l’application de réciprocité d’Artin ψ, définie sur le groupe des classes d’idèles C_{K} = J_{K}/K^{×} du corps K, à valeurs dans le groupe de Galois G_{K} = Gal(K^{ab}/K) de l’extension abélienne maximale K^{ab} de K, n’est jamais injective : si [K ℚ] = r + 2c est la décomposition canonique du degré de K en ses contributions réelle et imaginaire, le noyau C_{K}^{0} de ψ est, en effet, le produit d’une droite réelle ℝ, de c tores ℝ/ℤ et de r + c − 1 solénoïdes (ℝ ⊕ ℤ̂)/ℤ, où ℤ̂ désigne comme d’ordinaire le complété profini de ℤ pour la topologie définie par ses sous-groupes d’indice fini. L’existence de “normes universelles" est ainsi une première source de complications dans la théorie.

- ensuite, la décomposition canonique du groupe de Galois G_{K} comme produit direct de ses p-composantes G_{K}^{(p)} = \underleftarrow{lim} G_{K}/G_{K}^{p^{n}}, pour tous les premiers p, ne se traduit pas immédiatement en termes de classes d’idèles, puisque ni le numérateur J_{K} ni le dénominateur K^{×} ne sont des ℤ̂-modules ; ce qui est une deuxième source de difficultés en particulier dans l’étude des pro-p-extensions.

- enfin, si S est un ensemble d’au moins deux places finies de K, le produit K_{S}^{×} = ∏_{𝔭∈S} K_{𝔭}^{×} des groupes multiplicatifs des complétés de K aux places contenues dans S s’injecte naturellement dans le groupe C_{K}, mais la topologie induite sur l’image par la topologie usuelle de C_{K} n’est pas le produit des topologie des K_{𝔭}^{×}; ce qui constitue une troisième source de problèmes.

L’approche ℓ-adique de la théorie globale du corps de classes vise précisément à remédier à l’ensemble de ces difficultés ensemblistes, algébriques ou topologiques par une modification convenable du groupe des classes d’idèles et de sa topologie conduisant in fine à un isomorphisme (algébrique et topologique) entre le groupe C_{K} modifié et le groupe de Galois G_{K} pleinement compatible avec les opérations de semi-localisation. Quoiqu’il soit naturellement possible de mener cette construction pour tous les premiers simultanément, nous avons choisi, pour des raisons de simplicité, de faire choix une fois pour toutes d’un nombre premier ℓ et de ne travailler que sur les ℓ-parties des groupes précédents : la théorie ℓ-adique ainsi développée fournit donc un isomorphisme (de groupes topologiques) entre le ℓ-adifié C_{K} du groupe d’idèles et le groupe de Galois G_{K} = G_{K}^{(ℓ)} de la pro-ℓ-extension abélienne maximale de K. Bien entendu, il est toujours possible, en prenant tous les ℓ ensemble, d’identifier le produit G_{K} des divers G_{K} avec celui Ĉ_{K} des C_{K}, ce qui revient dans les constructions précédentes à remplacer l’anneau ℤ_{ℓ} des entiers ℓ-adiques par le produit ℤ̂ de tous les ℤ_{ℓ}.

Mais cela a souvent pour conséquence de rendre moins visible les rôles très différents, dans les énoncés du corps de classes, de la ramification modérée et de celle sauvage ; de sorte que c’est la présentation ℓ-adique qui nous parait traduire au mieux la réalité arithmétique.

L’exposé fondateur de la théorie ℓ-adique globale du corps de classes est le chapitre I.1 d’un travail de thèse sur l’arithmétique des ℓ-extensions soutenu en 1986 (cf. [J0]) qui, contrairement à d’autres sections de la thèse, n’avait jamais fait jusqu’ici l’objet d’une publication spécifique. Compte tenu de l’intérêt propre de l’approche ℓ-adique de la théorie du corps de classes, il nous a donc semblé important d’endonner ici une présentation complète en liaison avec quelques développements plus récents.

Notre point de départ est la théorie de Chevalley telle qu’elle est exposée, par exemple, dans le livre d’Artin et Tate [AT]. Nous construisons d’abord les ℤ_{ℓ}-modules fondamentaux (section 1) et établissons ensuite les principaux résultats de la théorie ℓ-adique (section 2). Dans une dernière partie, nous abordons enfin des questions de dualité liées notamment aux classes logarithmiques (section 3). Les notations utilisées sont rassemblées dans un index. Un appendice récapitule les groupes de normes attachés à quelques unes des principales pro-ℓ-extensions abéliennes d’un corps de nombres donné.

0.2 Index des principales notations

De façon générale, les objets standard sont représentés par un caractère latin ; leurs ℓ-adifiés respectifs (par exemple leur tensorisé par ℤ_{ℓ}) par un caractère anglais ; leurs co-ℓ-adifiés le sont par un caractère gothique.

Notations latines : K^{×} le groupe multiplicatif d’un corps de nombres K; J_{K} le groupe des idèles (au sens habituel) de K, U_{K} le sous-groupe des idèles unités ; D_{K} = J_{K}/U_{K} le groupe des diviseurs ; P_{K} le sous-groupe des diviseurs principaux ; Cl_{K} = D_{K}/P_{K} le groupe des classes de diviseurs (i.e. des classes d’idéaux au sens restreint) ; E_{K} (resp. E_{K}^{ord}) le groupe des unités au sens restreint (resp. ordinaire) ; P l_{K} (resp. P l_{K}(∞), P l_{K}(ℓ)) l’ensemble des places de K (resp. à l’infini, divisant ℓ) ; r, c, l les nombres respectifs de places réelles, complexes ou ℓ-adiques de K; S un ensemble fini de places de K et s son cardinal ; E_{K}^{S} le groupe des S-unités (au sens restreint) de K; Cl_{K}^{S} le groupe des S-classes de diviseurs (ou d’idéaux au sens restreint) ; K_{𝔭} le complété de K en la place 𝔭; K_{𝔭}^{×} le groupe multiplicatif de K_{𝔭} et U_{𝔭} son sous-groupe unité ; v_{𝔭} (resp. ṽ_{𝔭}) la valuation (resp. la valuation logarithmique) sur K_{𝔭}^{×}.

Notations anglaises : R_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} K^{×} le ℓ-groupe des idèles principaux (le rayon) ; E_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} E_{K} le ℓ-groupe des unités (au sens restreint) ; D_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} D_{K} le ℓ-groupe des diviseurs ; P_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} P_{K} son sous-groupe principal ; Cℓ_{K} = D_{K}/P_{K} le ℓ-groupe des classes de diviseurs de K; R_{K_{𝔭}} = \underleftarrow{lim} K_{𝔭}^{×}/K_{𝔭}^{×ℓ^{n}} le compactifié ℓ-adique du groupe multiplicatif K_{𝔭}^{×}; U_{K_{𝔭}} = lim_{←} U_{𝔭}/U_{𝔭}^{ℓ^{n}} le sous-groupe unité de R_{K_{𝔭}} ; J_{K} = ∏^{res}R_{K_{𝔭}} le ℓ-groupe des idèles de K; C_{K} = J_{K}/R_{K} le ℓ-groupe des classes d’idèles ; U_{K} = ∏ U_{K_{𝔭}} le sous-groupe des idèles unités ; U_{K} = ∏ U_{𝔭} le sous-groupe des unités logarithmiques de J_{K} ; J_{K} le noyau dans J_{K} de la formule du produit pour les valeurs absolues ; D_{K} = J_{K}/U_{K} le ℓ-groupe des diviseurs logarithmiques (de degré nul) ; P_{K} = R_{K}U_{K}/U_{K} son sous-groupe principal ; Cℓ_{K} = D_{K}/P̃_{K} le ℓ-groupe des classes logarithmiques ; Ẽ_{K} = R_{K} ∩ U_{K} le ℓ-groupe des unités logarithmiques globales ; H_{K} = J_{K}/R_{K} μ̃_{K} le quotient de C_{K} par l’image de μ̃_{K} ; T_{K} = H_{K}^{tor} le sous-groupe de torsion de H_{K} ; J_{K}^{S} = U^{S}R_{S} = ∏_{𝔭∉S} U_{K_{𝔭}} ∏_{𝔭∈S} R_{K_{𝔭}} le ℓ-groupe des S-idèles ; E_{K}^{S} = R_{K} ∩ J_{K}^{S} le ℓ-groupe des S-unités globales ; Cℓ_{K}^{S} = J_{K}/R_{K}U_{K}^{S} le ℓ-groupe des S-classes de diviseurs.

Notations grecques : π_{𝔭} une uniformisante de K_{𝔭}; μ_{𝔭}^{0} (resp. μ_{𝔭}^{1}) le sous-groupe des racines de l’unité d’ordre étranger à 𝔭 (resp. d’ordre 𝔭-primaire) de K_{𝔭}; μ_{K} = R_{K}^{tor} le ℓ-groupe des racines de l’unité dans R_{K} ; μ̃_{K} = ∏ μ_{𝔭} le sous-groupe fermé engendré par les racines de l’unité ; μ_{K}^{loc}= R_{K} ∩ μ̃_{K} le sous-groupe de R_{K} formé des racines locales de l’unité ;

Notations gothiques : 𝔍_{K} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} J_{K} le ℓ-groupe des coïdèles de K; 𝔘_{K} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} U_{K} le sous-groupe des coïdèles unités ; 𝔘̃_{K} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} U_{K} le sous-groupe des coïdèles unités logarithmiques ; 𝔇_{K} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} D_{K} le ℓ-groupe des codiviseurs ; 𝔇̃_{K} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} D_{K} le ℓ-groupe des codiviseurs logarithmiques ; ℜ_{K} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} R_{K} le pseudo-radical global ; 𝔓_{K} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} P_{K} le ℓ-groupe des codiviseurs principaux ; 𝔓̃_{K} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} P̃_{K} son analogue logarithmique ; 𝔈_{K}^{ord}= (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} E_{K}^{ord} le ℓ-groupe des coünités (au sens ordinaire) ; 𝔈_{K} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} E_{K} le ℓ-groupe des coünités logarithmiques ; 𝔈_{K}^{loc}= (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} μ_{K}^{loc}; ℭ_{K} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} C_{K} le ℓ-groupe des classes de coïdèles ; ℭ𝔩_{K} = Ker(ℜ_{K} → 𝔍_{K}) le ℓ-groupe des coclasses d’idèles ; ℌ_{K} = Ker(ℜ_{K} → 𝔇̃_{K}) le pseudo-radical hilbertien ; 𝔗_{K} = ℌ_{K}/ℌ_{K}^{div} le quotient de ℌ_{K} par son sous-module divisible maximal.

1 Construction des ℤ_{ℓ}-modules fondamentaux

Le nombre premier ℓ étant fixé, nous désignons par ℤ_{ℓ} = \underleftarrow{lim} ℤ/ℓ^{k}ℤ l’anneau des entiers ℓadiques.

D’autre part, pour chaque place non complexe 𝔭 d’un corps de nombres K, nous notons v_{𝔭} la valuation associée, à valeurs dans ℤ pour 𝔭 ultramétrique, dans ℤ/2ℤ pour 𝔭 réelle.

1.1 Le ℓ-adifié du groupe des idèles

A chaque corps de nombres K (de degré fini sur ℚ), nous allons associer deux ℤ_{ℓ}-modules : le premier R_{K} global, défini à partir du groupe multiplicatif K^{×} des éléments non nuls de K; le second J_{K} semi-local, construit à partir des groupes multiplicatifs K_{𝔭}^{×} des complétés non complexes de K.

Définition 1.1. Etant donné un corps de nombres K, nous appelons ℓ-groupe des idèles principaux de K et nous notons R_{K} le tensorisé ℓ-adique du groupe multiplicatif de ses éléments non nuls :

R_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} K^{×}.

Le groupe R_{K} est la réunion des ℓ-groupes de S-unités E_{K}^{S} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} E_{K}^{S}, lorsque S parcourt les ensembles finis de places de K. Chacun des E_{K}^{S} est compact pour sa topologie naturelle de ℤ_{ℓ}-module nœthérien et R_{K} est lui-même un ℤ_{ℓ}-module topologique pour la limite inductive des topologies des E_{K}^{S}.

Par définition de la topologie limite inductive, les sous-modules ouverts de R_{K} sont exactement ceux qui intersectent chacun des E_{K}^{S} suivant un sous-module relatif ouvert, c’est à dire (puisque les E_{K}^{S} sont de type fini sur ℤ_{ℓ}) suivant un sous-module d’indice fini. La topologie ainsi obtenue sur R_{K} est donc strictement plus fine que celle définie par ses sous-modules d’indice fini. Remarques. (i) L’application canonique de K^{×} dans R_{K} n’est pas généralement injective. Plus précisément son noyau est le sous-groupe μ′_{K} de K^{×} formé des racines de l’unité dans K d’ordre étranger à ℓ. Le quotient K^{×}/μ′_{K}, qui s’injecte dans R_{K}, s’identifie à un sous-groupe partout dense de R_{K}.

(ii) Convenons d’ordonner les places de K en posant S_{n} = {𝔭 ∈ P l_{K}|N𝔭 ≤ n} (avec la convention N𝔭 = ±1 pour les places archimédiennes). Nous avons évidemment K^{×} = ⋃_{n∈ℕ}E_{K}^{S_{n}} et chacun des E_{K}^{S_{n}} = {x ∈ K^{×}|v_{𝔭}(x) = 0, ∀𝔭 ∉ S_{n}} est un ℤ-module de type fini. En particulier R_{K} = ⋃_{n∈ℕ} E_{K}^{S_{n}} est réunion dénombrable de ℤ_{ℓ}-modules compacts.

(iii) Le groupe R_{K} s’identifie à un sous-module strict de la limite projective K = \underleftarrow{lim} K^{×}/K^{×ℓ^{k}} ; cependant la topologie de R_{K} n’est pas la restriction à R_{K} de la topologie naturelle de K définie par les sous-modules K^{ℓ^{k}}.

Définition et proposition 1.2. Pour chaque place 𝔭 du corps de nombres K, nous notons

R_{K_{𝔭}} = \underleftarrow{lim} K_{𝔭}^{×}/K_{𝔭}^{×ℓ^{k}}

le ℓ-adifié du groupe multiplicatif K_{𝔭}^{×} du complété de K en 𝔭. Le groupe R_{K_{𝔭}} est un ℤ_{ℓ}-module nœthérien donc compact pour la topologie définie par ses sous-modules d’indice fini.

(i) Si 𝔭 est archimédienne, deux cas se présentent : si 𝔭 est réelle et ℓ égal à 2, il est isomorphe à ℤ/2ℤ; il est nul dans tous les autres cas.

(ii) Si 𝔭 est ultramétrique, le choix d’une informisante π_{𝔭} permet d’écrire formellement R_{K_{𝔭}} = U_{K_{𝔭}}π_{𝔭}^{ℤ_{ℓ}} en notant encore π_{𝔭} l’image de π_{𝔭} dans R_{K_{𝔭}} et en désignant par U_{K_{𝔭}} = \underleftarrow{lim} U_{𝔭}/U_{𝔭}^{ℓ^{k}} la limite projective des quotients d’exposant ℓ-primaire du sous-groupe des unités du corps local K_{𝔭} :

- lorsque 𝔭 divise ℓ, le groupe U_{K_{𝔭}} n’est autre que le groupe des unités principales de K_{𝔭};

- lorsque 𝔭 ne divise pas ℓ, il s’identifie au ℓ-sous-groupe de Sylow μ_{𝔭} du groupe des racines de l’unité dans K_{𝔭}. Dans les deux cas nous disons que U_{K_{𝔭}} est le sous-groupe des unités de R_{K_{𝔭}}.

Démonstration. (i) Si 𝔭 est une place archimédienne, le groupe multiplicatif K_{𝔭}^{×} est soit divisible, lorsque 𝔭 est complexe ; soit le produit de {±1} par un groupe divisible, lorsque 𝔭 est réelle. La limite projective R_{K_{𝔭}} est donc nulle dans le premier cas, isomorphe à ℤ_{ℓ}/2ℤ_{ℓ} dans le second.

(ii) Si 𝔭 est une place ultramétrique, la décomposition du groupe multiplicatif du complété

K_{𝔭}^{×} = μ_{𝔭}^{0} U_{𝔭}^{1} π_{𝔭}^{ℤ}

fait intervenir le groupe μ_{𝔭}^{0} des racines de l’unité d’ordre étranger à 𝔭, le groupe U_{𝔭}^{1} des unités principales, et une uniformisante π_{𝔭} de K_{𝔭}.

- Si 𝔭 est au-dessus de ℓ, le groupe μ_{𝔭}^{0} est ℓ-divisible et le groupe U_{𝔭}^{1} est un ℤ_{ℓ}-module nœthérien, isomorphe comme tel à la limite projective de ses quotients finis. Il vient donc dans ce cas :

U_{K_{𝔭}} = \underleftarrow{lim} U_{𝔭}/U_{𝔭}^{ℓ^{k}} = \underleftarrow{lim} U_{𝔭}^{1}/U_{𝔭}^{1ℓ^{k}} ≃ U_{𝔭}^{1}, comme annoncé.

- Si 𝔭 ne divise pas ℓ, le groupe μ_{𝔭}^{0} est le produit direct de son ℓ-sous-groupe de Sylow μ_{𝔭} et de son sous-groupe ℓ-divisible μ′_{𝔭}; tandis que le groupe U_{𝔭}^{1}, qui est un ℤ_{p}-module (avec p ≠ ℓ), est donc ℓ-divisible. Il suit alors :

U_{K_{𝔭}} = \underleftarrow{lim} U_{𝔭}/U_{𝔭}^{ℓ^{k}} ≃ μ_{𝔭}, comme annoncé.

Dans les deux cas, le groupe R_{K_{𝔭}} est le produit direct de U_{K_{𝔭}} et du ℤ_{ℓ}-module libre de dimension 1 engendré par l’image de l’uniformisante π_{𝔭}.

Remarques. (i) Contrairement à R_{K_{𝔭}}, le tensorisé ℓ-adique ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} K_{𝔭}^{×} n’est pas, lui, un ℤ_{ℓ}-module de type fini : la décomposition U_{𝔭}^{1} ≃ μ_{𝔭}^{1}ℤ_{p}^{d_{𝔭}} du sous-groupe principal faisant apparaître un ℤ_{p}- module libre de dimension d_{𝔭} = [K_{𝔭} : ℚ_{𝔭}], donc un ℤ-module sans torsion de rang infini, le produit tensoriel ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} K_{𝔭}^{×} est lui-même de rang infini sur ℤ_{ℓ}.

(ii) Il est commode de poser U_{K_{𝔭}} = 1 lorsque 𝔭 est archimédienne réelle et, pour ℓ = 2, de prendre π_{𝔭} = −1, ce qui permet d’écrire

R_{K_{𝔭}} ≃ U_{K_{𝔭}}π_{𝔭}^{ℤ_{ℓ}/2ℤ_{ℓ}}, par analogie avec le cas ultramétrique.

Définition 1.3. Par ℓ-groupe des idèles d’un corps de nombres K, nous entendons le produit

J_{K} = ∏_{𝔭∈P l_{K}}^{res} R_{K_{𝔭}}

des ℓ-adifiés des groupes multiplicatifs des complétés de K, restreint aux familles (x_{𝔭})_{𝔭∈P l_{K}} dont tous les éléments sont des unités à l’exception d’un nombre fini d’entre eux.

Le groupe J_{K} est la réunion des ℓ-groupes J_{K}^{S} = ∏_{𝔭∈S} R_{K_{𝔭}} ∏_{𝔭∉S} U_{K_{𝔭}}, lorsque S parcourt les ensembles finis de places de K. Chacun des J_{K}^{S} est compact pour sa topologie naturelle de ℤ_{ℓ}- module produit et J_{K} est lui-même un ℤ_{ℓ}-module topologique pour la limite inductive des topologies des J_{K}^{S}.

Par définition de la topologie limite inductive, les sous-modules ouverts de J_{K} sont ceux qui intersectent chacun des J_{K}^{S} suivant un sous-module relatif ouvert. De fait, il est possible d’exhiber une base de sous-modules ouverts de J_{K} en procédant comme suit : pour chaque place ultramétrique 𝔭 de K, faisons choix d’une uniformisante π_{𝔭} dans R_{K_{𝔭}} ; si 𝔭 est réelle prenons π_{p} = −1 ; et, si 𝔭 est complexe π_{𝔭} = 1. Cela posé, le groupe J_{K} s’écrit comme somme directe topologique du sous-module compact U_{K} = ∏_{𝔭∈P l_{K}} U_{K_{𝔭}}, formé des éléments unités, et du ℤ_{ℓ}- module multiplicatif ⊕_{𝔭∈P l_{K}}π_{𝔭}^{ℤ_{ℓ}} construit sur les π_{𝔭}, qui s’identifie au ℓ-groupe D_{K} = ( ⊕_{𝔭∤∞}𝔭^{ℤ_{ℓ}}) ⊕

( ⊕_{𝔭 réel}𝔭^{ℤ_{ℓ}/2ℤ_{ℓ}}) des diviseurs de K;

J_{K} ≃ U_{K} ⊕ D_{K}.

Les produits (∏_{𝔭∈P l_{K}} U′_{𝔭}) ⨁(⨁_{𝔭∈P l_{K}} π_{𝔭}^{ℓ^{n𝔭} ℤ_{ℓ}}) où, pour chaque place 𝔭 de K, le facteur U′_{𝔭} désigne un sous-module d’indice fini de U_{K_{𝔭}} égal à U_{K_{𝔭}} pour presque tout 𝔭, et n_{𝔭} un entier naturel arbitraire, forment une base de sous-modules ouverts de J_{K}. Remarques. (i) L’application canonique du groupe des idèles J_{K} dans le ℓ-adifié J_{K} n’est jamais injective : son noyau est le produit ∏_{𝔭|∞} K_{𝔭}^{×2} ∏_{𝔭|ℓ} μ_{𝔭}^{0} ∏_{𝔭∤ℓ∞} μ′_{𝔭}U_{𝔭}^{1} ; son image est un sous-groupe partout dense de J_{K}.

(ii) Convenons d’ordonner les places de K en posant S_{n} = {𝔭 ∈ P l_{K}|N𝔭 ≤ n} (avec la convention N𝔭 = ±1 pour les places archimédiennes). Nous avons évidemment J_{K} = ⋃_{n∈ℕ} J_{K}^{S_{n}}, ce qui montre que J_{K} est réunion dénombrable de ℤ_{ℓ}-modules compacts.

(iii) Le groupe J_{K} s’identifie naturellement à un sous-module strict du produit ∏_{𝔭∈P l_{K}} R_{K_{𝔭}} des compactifiés R_{K_{𝔭}}. Cependant, la topologie de J_{K} n’est pas la restriction à J_{K} du produit des topologies des R_{K_{𝔭}}.

1.2 Définition du ℓ-groupe des classes d’idèles

Théorème et définition 1.4. L’application naturelle du tensorisé ℓ-adique R_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} K^{×} du groupe multiplicatif du corps K dans le ℓ-adifié J_{K} du groupe des idèles de K, qui est induite par l’injection diagonale de K dans le produit de ses complétés ∏_{𝔭∈P l_{K}} K_{𝔭}, est un monomorphisme continu. Le groupe topologique quotient

C_{K} = J_{K}/R_{K}

est un ℤ_{ℓ}-module compact. Nous disons que c’est le ℓ-groupe des classes d’idèles du corps K.

Démonstration. Partons de l’injection diagonale K^{×} ↪ ∏_{𝔭∈P l_{K}} K_{𝔭}^{×} du groupe multiplicatif de K dans le produit de ceux de ses complétés. Par passage au quotient, nous en déduisons, pour chaque entier k, un morphisme naturel

K^{×}/K^{×ℓ^{k}} → ∏_{𝔭∈P l_{K}} K_{𝔭}^{×}/K_{𝔭}^{×ℓ^{k}},

qui est injectif lorsque ℓ est impair, et dont le noyau est d’ordre 1 ou 2 dans tous les cas (cf. [AT], Ch. X, §1, th.1). Par passage à la limite projective, nous obtenons par conséquent un morphisme injectif :

K^{×} = \underleftarrow{lim} K^{×}/K^{×ℓ^{k}} ↪ ∏_{𝔭∈P l_{K}} \underleftarrow{lim} K_{𝔭}^{×}/K_{𝔭}^{×ℓ^{k}} = ∏_{𝔭∈P l_{K}} R_{K_{𝔭}}.

Sa restriction au départ à R_{K}, à l’arrivée à J_{K}, est le ℤ_{ℓ}-morphisme cherché. Comme il est injectif d’après ce qui précède, nous identifierons désormais R_{K} avec son image canonique dans J_{K}. Cela étant, nous allons établir successivement :

(i) que l’application naturelle de R_{K} dans J_{K} est continue ;

(ii) que R_{K} est fermé dans J_{K} ;

(iii) que le quotient J_{K}/R_{K} est un ℤ_{ℓ}-module compact.

(i) Le premier point résulte de la définition de la topologie limite inductive : pour chaque ensemble fini S de places de K, le groupe E_{K}^{S} = R_{K} ∩ J_{K}^{S} est un ℤ_{ℓ}-module de type fini donc, d’une façon et d’une seule, un ℤ_{ℓ}-module topologique. En particulier la topologie de E_{K}^{S} est induite par celle de J_{K}^{S}. Si donc O_{K} est un sous-module ouvert de J_{K}, les sous-modules O_{K} ∩ J_{K}^{S} étant ouverts dans les J_{K}^{S}, il en est de même des sous-modules O_{K} ∩ E_{K}^{S} dans les E_{K}^{S} ; ce qui veut dire que O_{K} ∩ R_{K} est un sous-module ouvert de R_{K}. En particulier l’injection canonique de R_{K} dans J_{K} est bien continue.

(ii) Le second point s’établit comme suit : étant donné un idèle généralisé 𝔯 de J_{K} qui n’est pas dans R_{K}, fixons S assez grand contenant les places archimédiennes, pour avoir 𝔯 ∈ J_{K}^{S} ; puis, pour chaque place 𝔭 de K n’appartenant pas à S, choisissons n_{𝔭} assez grand, de telle sorte que le diviseur 𝔭^{ℓ^{𝔫𝔭}} soit principal (dans le ℓ-groupe D_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} D_{K} des diviseurs de K). Cela étant, comme E_{K}^{S} est fermé dans J_{K}^{S}, il existe un sous-module ouvert O_{K}^{S} de J_{K}^{S} dont le translaté 𝔯O_{K}^{S} ne rencontre pas E_{K}^{S}. Le ℤ_{ℓ}-module O_{K} engendré dans J_{K} par E_{K}^{S} et les éléments π_{𝔭}^{ℓ^{n𝔭}} pour 𝔭 ∈ S est alors un sous-module ouvert de J_{K} dont le translaté 𝔯O_{K} ne rencontre pas R_{K}.

(iii) Pour établir le troisième point, nous allons montrer que U_{K}R_{K}/R_{K} ≃ U_{K}/E_{K} , image dans C_{K} du sous-module compact U_{K} de J_{K} formé des idèles unités, en est un sous-module d’indice fini (de sorte que C_{K} sera compact comme réunion finie de compacts).

Or, cela résulte de la proposition :

Proposition 1.5. Le quotient J_{K}/U_{K}R_{K} du ℓ-groupe des classes d’idèles du corps K par le sousgroupe formé des classes des idèles unités s’identifie canoniquement au ℓ-groupe fini des classes de diviseurs de K :

J_{K}/U_{K}R_{K} ≃ Cℓ_{K}.

Démonstration. Le groupe des diviseurs d’un corps de nombres est le groupe abélien libre construit sur ses valuations : Comme la valuation v_{𝔭} associée à une place de K est triviale si 𝔭 est complexe, à valeurs dans ℤ/2ℤ si 𝔭 est réelle, et dans ℤ si 𝔭 est ultramétrique, le groupe D_{K} est le produit direct de r_{K} exemplaires de ℤ/2ℤ et du groupe Id_{K} des idéaux de K. Son quotient D_{K}/P_{K} par le sous-groupe des diviseurs principaux (i.e. par l’image canonique de K^{×} dans D_{K}) est fini d’après la géométrie des nombres : dans la terminologie des idéaux, c’est le groupe des classes au sens restreint. Son ℓ-sous-groupe de Sylow Cℓ_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} (D_{K}/P_{K}) est donc canoniquement le quotient D_{K}/P_{K} du tensorisé ℓ-adique D_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} D_{K} du groupe des diviseurs par celui P_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} P_{K} du sous-groupe principal P_{K}. Maintenant, D_{K} s’identifie canoniquement à J_{K}/U_{K}, et P_{K} est l’image canonique de R_{K} dans D_{K}.

La correspondance entre ℓ-groupes de classes d’idèles et de diviseurs peut ainsi se résumer par le diagramme commutatif exact (où toutes les flèches sont des ℤ_{ℓ}-morphismes) :

1  1  1
↓  ↓  ↓
1 ⟶ E_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} E_{K} ⟶ U_{K} = ∏_{𝔭∈P l_{K}} U_{K_{𝔭}} ⟶ U_{K}/E_{K} ⟶ 1
↓  ↓  ↓
1 ⟶ R_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} K^{×} ⟶ J_{K} = ∏_{𝔭∈P l_{K}}^{res} R_{K_{𝔭}} ⟶ C_{K} ⟶ 1
↓  ↓  ↓
1 ⟶ P_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} P_{K} ⟶ D_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} D_{K} ⟶ Cℓ_{K} ⟶ 1
↓  ↓  ↓
1  1  1

Diagramme 1

Scolie 1.6. Pour tout ensemble fini de S de places de K, le quotient Cℓ_{K}^{S} = J_{K}/R_{K}U_{K}^{S} du ℓgroupe des classes d’idèles C_{K} par le sous-groupe C_{K}(S) ≃ J_{K}^{S}/E_{K}^{S} (des classes des idèles unités en dehors de S) s’identifie canoniquement au quotient Cℓ_{K}/Cℓ_{K}(S) du ℓ-groupe des classes de diviseurs du corps K par le sous-groupe engendré par les classes des diviseurs construits sur les places de S. Nous disons que Cℓ_{K}^{S} est le ℓ-groupe des S-classes de diviseurs du corps K.

1.3 Valeurs absolues ℓ-adiques principales et formule du produit

On pourrait craindre que la ℓ-adification des groupes d’idèles fasse disparaître la classique formule du produit pour les valeurs absolues. Il n’en est rien, à condition naturellement de remplacer les valeurs absolues habituelles par des valeurs absolues ℓ-adiques convenables.

Désignons pour cela par ℤ_{ℓ}^{×} le groupe multiplicatif des éléments inversibles de l’anneau des nombres ℓ-adiques, par U_{ℓ}^{1} = 1 + ℓℤ_{ℓ} le sous-groupe des unités principales de ℤ_{ℓ}, et par u ↦< u > la surjection canonique de ℤ_{ℓ}^{×} sur U_{ℓ}^{1} (de sorte que, pour ℓ impair, le quotient u/ < u > est l’unique racine de l’unité dans ℤ_{ℓ} qui est congrue à u modulo ℓ; tandis que si ℓ vaut 2, < u > est toujours égal à u). Cela étant nous avons :

Définition 1.7. Etant donnée une place 𝔭 d’un corps de nombres K, nous appelons valeur absolue ℓ-adique principale d’un élément x_{𝔭} du groupe R_{K_{𝔭}} et nous notons |x_{𝔭}|_{𝔭}, l’élément du ℤ_{ℓ}-module multiplicatif U_{ℓ}^{1} = 1 + ℓℤ_{ℓ} défini par :

|x_{𝔭}|_{𝔭} = 1, si 𝔭 est complexe ;

|x_{𝔭}|_{𝔭} =< sg(x_{𝔭}) >, si 𝔭 est réelle ;

|x_{𝔭}|_{𝔭} =< N𝔭^{−v_{𝔭}(x_{𝔭})} >, si 𝔭 est ultramétrique et étrangère à ℓ;

|x_{𝔭}|_{𝔭} =< N_{K_{𝔭}/ℚ_{𝔭}}(x_{𝔭})N𝔭^{−v_{𝔭}(x_{𝔭})} >, si 𝔭 est au-dessus de ℓ. Enfin, nous appelons valeur absolue ℓ-adique principale d’un élément x de R_{K} relativement à la place 𝔭, et nous notons |x|_{𝔭} la valeur absolue ℓ-adique principale de l’élément s_{𝔭}(x), où s_{𝔭} est la surjection canonique de R_{K} dans R_{K_{𝔭}}, induite par l’injection naturelle de K^{×} dans K_{𝔭}^{×}.

Remarques. (i) La définition donnée ici diffère de celle de Tate (cf. [Ta], Ch. VI, §1, déf. 1.1), qui ne s’étend pas aux ℤ_{ℓ}-modules. Plus précisément, pour chaque place 𝔭 de K, la quantité |x|_{𝔭} est le crochet de la valeur absolue de Tate ; c’est pourquoi nous parlons de valeur absolue principale.

(ii) L’application x_{𝔭} ↦ |x_{𝔭}|_{𝔭} est trivialement un ℤ_{ℓ}-morphisme de R_{K_{𝔭}} dans U_{ℓ}. En particulier, elle est continue et fermée pour la topologie naturelle de ces deux modules. Si 𝔭 est ultramétrique, son image |R_{K_{𝔭}}|_{𝔭} est, en outre, un sous-module d’indice fini de U_{ℓ}.

Proposition 1.8 (Formule du produit pour les valeurs absolues). L’application

𝔵 = (𝔵_{𝔭})_{𝔭} ⟶ ||𝔵|| =_{déf} ∏_{𝔭∈P l_{K}} |𝔵_{𝔭}|_{𝔭}

est un ℤ_{ℓ}-morphisme continu du ℓ-groupe J_{K} des idèles du corps K sur le groupe U_{ℓ} des unités principales de l’anneau ℤ_{ℓ}. Son noyau J_{K} est un sous-module fermé de J_{K} qui contient le tensorisé ℓ-adique R_{K} du groupe multiplicatif K^{×}.

Démonstration. Remarquons d’abord que la quantité ∏ |𝔵_{𝔭}|_{𝔭} est bien définie puisque, pour chaque idèle 𝔵 de J_{K}, les composantes 𝔵_{𝔭} étant des unités pour presque tout 𝔭, le produit infini n’a en fait qu’un nombre fini de facteurs distincts de 1. Cela étant, pour montrer que l’application 𝔵 ↦ ||𝔵|| est continue sur J_{K}, il nous suffit, d’après la propriété universelle de la topologie limite inductive, de vérifier la continuité de sa restriction au sous-module J_{K}^{S}, pour chaque ensemble fini S assez grand de places de K. Pour cela, nous pouvons supposer que S contient les places au-dessus de ℓ, auquel cas nous avons ||𝔵|| = ∏_{𝔭∈S} |𝔵_{𝔭}|_{𝔭}, pour chaque 𝔵 de J_{K}^{S} ; et la continuité de || · || résulte de celle des applications || · ||_{𝔭} sur chacun des facteurs R_{K_{𝔭}}.

Enfin, pour établir la formule du produit, il suffit de noter qu’elle est trivialement vérifiée sur le corps des rationnels, puis d’écrire que l’on a, pour tout x de R_{K} :

||x||_{K} = ∏_{𝔭∈P l_{K}} |x|_{𝔭} = ∏_{p∈P l_{ℚ}} ∏_{𝔭|p} |x|_{𝔭} = ∏_{p∈P l_{ℚ}} ∏_{𝔭|p} |N_{K_{𝔭}/ℚ_{p}}(x)|_{p} = ∏_{p∈P l_{ℚ}} |N_{K/ℚ}(x)| = ||N_{K/ℚ}(x)||_{ℚ} = 1.

Corollaire 1.9. Le noyau J_{K} de la formule du produit pour les valeurs absolues ℓ-adiques sur K est l’image réciproque par la norme arithmétique N_{K/ℚ} du même noyau J_{ℚ} pour le corps des rationnels ℚ.

Démonstration. On a, en effet, ||𝔵||_{K} = ||N_{K/ℚ}(𝔵)||_{ℚ} pour tout 𝔵 de J_{K}, et par suite J_{K} = −1N_{K/ℚ}(J̃_{ℚ}).

Proposition 1.10. Soit 𝔭 une place de K et | · |_{𝔭} la valeur absolue ℓ-adique principale associée. (i) Si 𝔭 ne divise pas ℓ, le noyau U_{𝔭} de l’application |·|_{𝔭} est le sous-module des unités de R_{K_{𝔭}} :

|x_{𝔭}|_{𝔭} = 1 ⇔ x_{𝔭} ∈ U_{K_{𝔭}}.

(ii) Si 𝔭 divise ℓ, le noyau U_{𝔭} de l’application | · |_{𝔭} est caractérisé par la condition :

|x_{𝔭}|_{𝔭} = 1 ⇔ Log_{ℓ}N_{K_{𝔭}/ℚ_{ℓ}}(x_{𝔭}) = Tr_{K_{𝔭}/ℚ_{ℓ}}Log_{𝔭}(x_{𝔭}) = 0.

Le groupe U_{𝔭} est le produit direct du sous-groupe μ_{𝔭} des racines de l’unité dans R_{K_{𝔭}}, et d’un ℤ_{ℓ}-module libre de rang [K_{𝔭} : ℚ_{ℓ}]. Et, dans tous les cas, le groupe U_{𝔭} est l’image réciproque par la norme arithmétique locale N_{K_{𝔭}/ℚ_{p}} du noyau dans R_{p} de la valeur absolue ℓ-adique principale sur ℚ_{p}.

Démonstration. (i) Lorsque 𝔭 ne divise pas ℓ, la condition |x_{𝔭}|_{𝔭} = 1 s’écrit tout aussi bien v_{𝔭}(x_{𝔭}) = 0 ; elle caractérise donc les unités de R_{K_{𝔭}} (on notera que, du fait des conventions utilisées, −1 n’est pas une unité dans R_{K_{𝔭}}, si 𝔭 est réelle et ℓ égal à 2).

(ii) Lorsque 𝔭 divise ℓ, la condition |x_{𝔭}|_{𝔭} = 1 s’écrit encore < N_{K_{𝔭}/ℚ_{ℓ}}(x_{𝔭})/ N𝔭^{v_{𝔭}(x_{𝔭})} >= 1. Elle affirme donc que la norme de x_{𝔭} s’écrit comme produit d’une puissance de ℓ (qui est nécessairement N𝔭^{v_{𝔭}(x_{𝔭})}) et d’une racine de l’unité. Mais cette propriété caractérise le noyau du logarithme d’Iwasawa dans ℚ_{ℓ}, ce qui conduit à l’équivalence annoncée. Enfin, comme |R_{K_{𝔭}}|_{𝔭} est d’indice fini dans U_{ℓ}, il vient immédiatement (avec la convention dim_{ℤ_{ℓ}} X =_{déf} dim_{ℚ_{ℓ}} ℚ_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} X pour tout

ℤ_{ℓ}-module X) :

dim_{ℤ_{ℓ}} U_{𝔭} = dim_{ℤ_{ℓ}} R_{K_{𝔭}} − 1 = dim_{ℤ_{ℓ}} U_{K_{𝔭}} = [K_{𝔭} : ℚ_{ℓ}].

Corollaire 1.11. Le noyau dans J_{K} des valeurs absolues principales est le sous-module compact U_{K} = ∏_{𝔭∤ℓ∞} μ_{𝔭} ∏_{𝔩|ℓ} U_{𝔩} composé direct du sous-groupe ∏_{𝔭∤∞} μ_{𝔭} des idèles unités qui sont localement

des racines de l’unité, et d’un ℤ_{ℓ}-module libre de dimension ∑_{𝔩|ℓ}[K_{𝔩} : ℚ_{ℓ}] = [K : ℚ].

Définition 1.12. Le quotient D_{K} = J̃_{K}/U_{K} est, par définition, le ℓ-groupe des diviseurs logarithmiques du corps K. Nous disons que l’image P̃_{K} de R_{K} dans D̃_{K} est le sous-groupe principal de D_{K}. Le quotient

C̃ℓ_{K} =_{déf} D_{K}/P̃_{K} = J_{K}/U_{K}R_{K},

est le ℓ-groupe des classes logarithmiques du corps K.

Nota. Comme expliqué plus loin, la conjecture du Gross généralisée postule précisément la finitude du groupe C̃ℓ_{K}.

2 Résultats fondamentaux du corps de classes ℓ-adique

2.1 Isomorphisme du corps de classes ℓ-adique

Nous rappelons sans démonstration les résultats fondamentaux du corps classes local pour les ℓ-extensions, puisqu’ils sont essentiellement bien connus sous cette forme (cf. par exemple, [AT], Ch. VI, §4). Nous donnons en revanche la preuve des résultats globaux.

Théorème 2.1 (Corps de classes local). Étant donné un corps local K_{𝔭}, l’application de réciprocité induit un isomorphisme de ℤ_{ℓ}-modules topologiques entre le compactifié profini R_{K_{𝔭}} = \underleftarrow{lim} K_{𝔭}^{×}/K_{𝔭}^{×ℓ^{k}} et le groupe de Galois D_{𝔭} = Gal(K_{𝔭}^{ab}/K_{𝔭}) de la ℓ-extension abélienne maximale du corps K_{𝔭}. Dans cet isomorphisme le groupe d’inertie I_{𝔭} = In(K_{𝔭}^{ab}/K_{𝔭}) est l’image du sous-groupe U_{K_{𝔭}} des unités de R_{K_{𝔭}}.

- Si 𝔭 ne divise pas ℓ, la ramification est modérée et le groupe I_{𝔭} est fini, isomorphe au ℓ-Sylow μ_{𝔭} du groupe des racines de l’unité dans K_{𝔭}.

- Si 𝔭 divise ℓ, la ramification est sauvage et le groupe I_{𝔭} est infini. Dans ce cas, la suite des sous-groupes supérieurs de ramification est l’image dans D_{𝔭} de la filtration canonique (U_{𝔭}^{i})_{i≥1} = (1 + 𝔭^{i})_{i≥1} du groupe U_{K_{𝔭}}.

Remarques. (i) L’application de réciprocité locale établit une correspondance bijective entre les sous-modules fermés de R_{K_{𝔭}} et les ℓ-extensions abéliennes de K_{𝔭}. Plus précisément toute sousextension L_{𝔭} de K_{𝔭}^{ab} est le corps des points fixes d’un unique sous-module fermé de R_{K_{𝔭}}. En particulier, si H est un sous-groupe quelconque de R_{K_{𝔭}}, et L_{𝔭} son corps des invariants, la fermeture de H dans R_{K_{𝔭}} est le sous-module de R_{K_{𝔭}} associé à L_{𝔭}.

(ii) Dans la correspondance obtenue, les ℓ-extensions abéliennes finies de K_{𝔭} sont associées aux sous-modules fermés d’indice fini de R_{K_{𝔭}}, i.e. aux sous-modules ouverts de R_{K_{𝔭}}. Ces sous-modules sont donc caractérisés comme groupes de normes associés aux ℓ-extensions finies de K_{𝔭} :

Scolie 2.2. Si L_{𝔓} est une ℓ-extension finie quelconque de K_{𝔭}, le sous-module ouvert de R_{K_{𝔭}} associé par le corps de classes local à la sous-extension maximale L_{𝔓}^{ab} de L_{𝔓} qui est abélienne sur

K_{𝔓}, est l’image de R_{K_{𝔭}} = \underleftarrow{lim} L_{𝔓}^{×}/L_{𝔓}^{×ℓ^{k}} par la norme arithmétique. Il vient ainsi :

D_{𝔭}^{ab}(L_{𝔓}/K_{𝔭}) = Gal(L_{𝔓}^{ab}/K_{𝔭}) ≃ R_{K_{𝔭}}/N_{L_{𝔓}/K_{𝔭}}R_{L_{𝔓}}
I_{𝔭}^{ab}(L_{𝔓}/K_{𝔭}) = In(L_{𝔓}^{ab}/K_{𝔭}) = U_{K_{𝔭}}/N_{L_{𝔓}/K_{𝔭}}U_{K_{𝔭}}.

Ce résultat s’étend sans difficulté aux extensions infinies, si l’on convient de dire qu’un élément de R_{K_{𝔭}} est norme dans une telle extension lorsqu’il est norme dans chacune de ses sous-extensions finies. Dans ce cas, le théorème d’existence du corps de classes local affirme que tout sous module fermé de R_{K_{𝔭}} est le groupe des normes d’une unique ℓ-extension abélienne de K_{𝔭}.

Théorème 2.3 (Corps de classes global). Étant donné un corps de nombres K, l’application de réciprocité induit un isomorphisme continu du ℓ-groupe J_{K} des idèles de K sur le groupe de Galois G_{K}^{ab} = Gal(K^{ab}/K) de la ℓ-extension abélienne maximale de K ; le noyau de ce morphisme est le sous-groupe R_{K} formé des idèles principaux. Dans la correspondance obtenue, le sous-groupe de décomposition D_{𝔭} d’une place 𝔭 de K est l’image dans G_{K}^{ab} du sous-groupe R_{K_{𝔭}} de J_{K} ; et son sous-groupe d’inertie I_{𝔭} est celle du sous-groupe U_{𝔭} des unités de R_{K_{𝔭}}.

Démonstration. D’après Artin-Tate (cf. [AT], Ch. XIV, prop. 10), le morphisme surjectif du groupe des idèles de K sur le groupe de Galois G_{K} de la ℓ-extension abélienne maximale de K est nul sur le sous-groupe ℓ-divisible J_{K}^{div} de J_{K}. Comme le ℓ-groupe généralisé J_{K} contient canoniquement le quotient J_{K}/J_{K}^{div}, il s’agit donc d’établir que le morphisme quotient J_{K}/J_{K}^{div}→ G_{K}^{ab} se prolonge de façon unique en un ℤ_{ℓ}-morphisme ψ de J_{K} sur G_{K}^{ab}, que ce prolongement est continu, et que son noyau est le groupe R_{K} des idèles principaux.

(i) existence du prolongement : Pour chaque place ultramétrique 𝔭 de K faisons choix d’une uniformisante π_{𝔭}; prenons π_{𝔭} = 1, si 𝔭 est complexe ; π_{𝔭} = −1, si 𝔭 est réelle. Puisque le sous-groupe U_{K} des unités de J_{K} est contenu, par construction, dans celui U_{K} de J_{K}, l’application ψ cherchée est bien définie sur le sous-groupe dense U_{K} ⊕_{𝔭∈P l_{K}} π_{𝔭}^{ℤ}. Écrivant alors ψ(u·∏_{𝔭}π_{𝔭}^{a_{𝔭}}) = ψ(u)∏_{𝔭}ψ(π_{𝔭})^{a_{𝔭}},

pour chaque famille (a_{𝔭})_{𝔭} d’entiers ℓ-adiques presque tous nuls, nous obtenons le prolongement cherché.

(ii) continuité de l’application obtenue : Si H est un sous-groupe ouvert de G_{K}^{ab}, le corps des points fixes qui lui correspond par la théorie de Galois est une ℓ-extension abélienne finie de K; elle est ramifiée en un nombre fini de places. Par suite, si S est la réunion des places ramifiées et de celles au-dessus de ℓ, nous avons évidemment ψ(U_{K_{𝔭}}) ⊂ H pour chaque 𝔭 ∈ S. De plus, le quotient G_{K}^{ab}/H étant un ℓ-groupe fini, il existe un sous-module ouvert U′_{ℓ} de U_{ℓ} = ∏_{𝔩|ℓ} U_{𝔩}, et, pour

chaque place 𝔭, un sous-module ouvert π_{𝔭}^{ℓ^{n𝔭} ℤ_{ℓ}} de π_{𝔭}^{ℤ_{ℓ}} dont l’image par ψ est contenue dans H. Le produit ∏_{𝔭∈S}U_{K_{𝔭}} · U′_{ℓ} · ∏_{𝔭∈P l_{K}}π_{𝔭}^{ℓ^{n𝔭} ℤ_{ℓ}} est alors un sous-module ouvert de J_{K} contenu dans ^{−1}ψ(H) ;

ce qui prouve que ψ est continue.

(iii) noyau : nous savons déjà que le noyau de ψ est un sous-module fermé de J_{K}, lequel contient l’image de K^{×} donc la fermeture de cette image, qui est R_{K}. Pour voir qu’il n’a pas d’autres éléments, il suffit de remarquer que la construction des idèles généralisés a tué le sousgroupe des normes universelles, dont la structure est bien connue (cf. [AT], Ch. IX, §1), et qui est précisément le noyau dans J_{K}/K^{×} de l’application de réciprocité.

Enfin, le lien entre le corps de classes global et le corps de classes local ne pose aucune difficulté particulière puisque, pour chaque place 𝔭 de K, le ℤ_{ℓ}-module compact R_{K_{𝔭}} s’identifie (algébriquement et topologiquement) avec son image canonique dans le quotient C_{K} = J_{K}/R_{K}.

Plus généralement, si S est un ensemble fini de places de K :

Lemme 2.4. La surjection naturelle ⊕_{𝔭∈S}R_{K_{𝔭}} → ( ⊕_{𝔭∈S}R_{K_{𝔭}}R_{K})/R_{K} ⊂ C_{K} est un isomorphisme

de ℤ_{ℓ}-modules compacts.

Remarque 1. Ce résultat n’est pas vrai dans la théorie classique du corps de classes, puisque l’application ⊕_{𝔭∈S}K_{𝔭}^{×} → ( ⊕_{𝔭∈S}K_{𝔭}^{×})K^{×}/K^{×} ⊂ J_{K}/K^{×} n’est pas un homéomorphisme pour les topologies

habituelles de ces deux groupes, dès que S contient plus d’une place.

Démonstration. Puisqu’un ℤ_{ℓ}-module de type fini est d’une façon et d’une seule un ℤ_{ℓ}-module topologique, il suffit de vérifier l’injectivité, c’est-à-dire le fait que R_{K} rencontre trivialement chaque somme finie ⊕_{𝔭∈S}R_{K_{𝔭}}. Or cela résulte directement du fait que l’unité est le seul élément de

hauteur infinie dans R. En effet, si 𝔯 = (𝔯_{𝔭})_{𝔭} est un idèle principal contenu dans une somme finie ⊕_{𝔭∈S}R_{K_{𝔭}}, les conditions 𝔯_{𝔭} = 1 pour 𝔭 ∉ S, montrent que 𝔯, qui est puissance ℓ^{k}-ième locale en

dehors de S, pour tout k, est puissance ℓ^{k}-ième globale pour tout k (cf. [AT], Ch. IX, §1, th.1), i.e. de hauteur infinie dans R_{K}.

Remarques. (i) L’application de réciprocité globale établit un isomorphisme de ℤ_{ℓ}-modules topologiques du ℓ-groupe C_{K} des idèles de K sur le groupe de Galois G_{K}^{ab} de la ℓ-extension abélienne maximale de K. Elle met ainsi en bijection les sous-modules fermés de J_{K} qui contiennent R_{K} avec les ℓ-extensions abéliennes de K, chaque sous-extension de K^{ab} étant le corps des points fixes d’un unique sous-module fermé de J_{K} contenant R_{K}.

(ii) Dans la correspondance obtenue, les ℓ-extensions abéliennes finies de K sont associées aux sous-modules fermés d’indice fini de J_{K} contenant R_{K}, c’est-à-dire aux sous-modules ouverts de J_{K} qui contiennent R_{K}. Ces sous-modules sont donc caractérisés comme groupes de normes attachés aux ℓ-extensions finies de K :

Scolie 2.5. Si L est une ℓ-extension finie quelconque de K, le sous-module ouvert de C_{K} associé par le corps de classes global à la sous-extension maximale L^{ab} de L qui est abélienne sur K est l’image de C_{L} par la norme arithmétique :

Gal(L^{ab}/K) ≃ C_{K}/N_{L/K}(C_{L}) = J_{K}/N_{L/K}(J_{L})R_{K}.

Dans cette description, les sous-groupes de décomposition et d’inertie d’une place 𝔭 dans l’extension abélienne L^{ab}/K sont donnés par les isomorphismes :

D_{𝔭}(L^{ab}/K) ≃ R_{K_{𝔭}}/R_{K_{𝔭}} ∩ N_{L/K}(J_{L})R_{K}  et  I_{𝔭}(L^{ab}/K) ≃ U_{K_{𝔭}}/U_{K_{𝔭}} ∩ N_{L/K}(J_{L})R_{K}.

Remarque 2. Lorsque L est une extension abélienne de K, les groupes de décomposition et d’inertie d’une place 𝔭 dans L/K s’identifient respectivement aux groupes de Galois et d’inertie de l’extension abélienne locale L_{𝔓}/K. La correspondance entre le corps de classes local et le corps de classes global se traduit alors par les identités :

N_{L_{𝔓}/K_{𝔭}}R_{𝔓} = R_{K_{𝔭}} ∩ N_{L/K}(J_{L})R_{K} et N_{L_{𝔓}/K_{𝔭}}U_{𝔓} = U_{K_{𝔭}} ∩ N_{L/K}(J_{L})R_{K}.

Dans le cas général, en revanche, il n’en est pas de même : si L est une ℓ-extension quelconque de K, l’extension galoisienne locale qui lui correspond est l’intersection L_{𝔭} = ∩_{𝔓|𝔭}L_{𝔓} des complétés

de L pour les places au-dessus de 𝔭 (pris dans une même clôture algébrique de K_{𝔭}). D’après le corps de classes local, le groupe de Galois D_{𝔭}^{ab}(L/K) = Gal(L_{𝔭}^{ab}/K_{𝔭}) de la sous-extension abélienne L_{𝔭}^{ab} de L_{𝔭} est donné par l’isomorphisme :

D_{𝔭}^{ab}(L/K) = Gal(L_{𝔭}^{ab}/K_{𝔭}) ≃ R_{K_{𝔭}}/N_{L_{𝔭}/K_{𝔭}}R_{𝔓} = R_{K_{𝔭}}/∏_{𝔓|𝔭}N_{L_{𝔓}/K_{𝔭}}(R_{𝔓}).

Mais il peut arriver que l’on ait D_{𝔭}^{ab}(L/K) ≠ D_{𝔭}(L^{ab}/K), puisque l’extension abélienne locale L_{𝔭}^{ab} peut contenir strictement la localisée de l’extension abélienne globale L^{ab}.

2.2 Schéma général de la ramification abélienne

Nous introduisons ici quelques unes des principales pro-ℓ-extensions abéliennes d’un corps de nombres K et nous déterminons les groupes de normes qui leur correspondent. Le corps K étant réputé fixé, nous omettons dans un but de simplification l’indice K dans les notations.

Les extensions étudiées sont définies le plus souvent sous une condition maximale de plongement, de décomposition ou de ramification. Précisons d’abord ce que nous entendons par là :

Définition 2.6. Etant donnés deux ensembles finis (disjoints) S et T de places d’un corps de nombres, nous disons qu’une ℓ-extension L de K est T -ramifiée et S-décomposée lorsqu’elle est non ramifiée aux places (finies) étrangères à T et complètement décomposée aux places de S; autrement dit, lorsque pour chaque place 𝔭 de K et chaque place 𝔓 de L au-dessus de 𝔭, l’extension locale L_{𝔓}/K_{𝔭} est non-ramifiée si 𝔭 n’appartient pas à T et triviale si 𝔭 appartient à S.

Convention : lorsque 𝔭 est une place réelle, le groupe multiplicatif R_{K_{𝔭}} est égal à ℤ_{ℓ}/2ℤ_{ℓ}, et son sous-groupe des unités U_{K_{𝔭}} est trivial d’après la définition 2. La place 𝔭 peut donc se décomposer dans une ℓ-extension (abélienne) de K, mais non se ramifier, sans contredire le théorème 2.1. Lorsqu’une place réelle n’est pas complètement décomposée dans une ℓ-extension de K, nous disons qu’elle se complexifie. Nous parlons donc de complexification là où d’autres parlent de ramification à l’infini, et nous réservons le concept de ramification aux seules places finies. En particulier, une extension est S-ramifiée dès qu’elle est non ramifiée aux places finies (i.e. ultramétriques) n’appartenant pas à S, quel que soit le comportement des places à l’infini (i.e. archimédiennes).

Exemple 2.7. Extensions maximales respectivement ℓ-ramifiée, modérément ramifiée, non ramifiée, séparément ramifiée.

(i) La ℓ-extension abélienne ℓ-ramifiée maximale K^{ℓr} de K est la plus grande ℓ-extension abélienne de K qui est non ramifiée en dehors des places ℓ-adiques ; son groupe de normes est ainsi le produit :

RU′_{ℓ} = R∏_{𝔭∤ℓ} U_{K_{𝔭}} = R ∏_{𝔭∤ℓ∞} μ_{𝔭}.

(ii) La ℓ-extension abélienne modérément ramifiée maximale K^{mr} de K est la plus grande ℓextension abélienne de K qui est non ramifiée aux places ℓ-adiques ; son groupe de normes est le produit :

RU_{ℓ} = R∏_{𝔭|ℓ} U_{K_{𝔭}}.

(iii) L’intersection K^{ℓr} ∩ K^{mr} est la ℓ-extension abélienne maximale non-ramifiée K^{nr} (aux places finies) de K; son groupe de normes est le produit de R par le sous groupe unité U de J :

RU′_{ℓ} U_{ℓ} = R∏_{𝔭∤ℓ} U_{K_{𝔭}} ∏_{𝔭|ℓ} U_{K_{𝔭}} = RU.

(iv) Le compositum K^{ℓr}K^{mr} est la plus grande ℓ-extension abélienne K^{sr} de K qui est séparément ramifiée, i.e. composée d’une extension ℓ-ramifiée et d’une extension modérément ramifiée ; son groupe de normes est ainsi l’intersection

RU′_{ℓ} ∩ RU_{ℓ} = Rs′_{ℓ}(E)s_{ℓ}(E),

où s′_{ℓ}(E) (resp. s_{ℓ}(E)) est le projecté canonique dans U′_{ℓ} = ∏_{𝔭∤ℓ} U_{K_{𝔭}} (resp. dans U_{ℓ} = ∏_{𝔭|ℓ} U_{K_{𝔭}})

du ℓ-adifié E du groupe des unités de K.

Examinons maintenant les groupes de Galois :

Nous avons immédiatement Gal(K^{ab}/K^{ℓr}) ≃ U′_{ℓ} R/R ≃ U′_{ℓ}/U′_{ℓ} ∩ R et le dénominateur est constitué des unités globales (i.e. des éléments de E) qui sont localement triviales aux places ℓadiques. Comme nous allons le voir plus loin, la conjecture de Leopoldt postulant précisément sa trivialité, nous obtenons ainsi

Gal(K^{ab}/K^{ℓr}) ≃ U′_{ℓ} = ∏_{𝔭∤ℓ} U_{K_{𝔭}}(sous la conjecture de Leopoldt)

De façon semblable, nous avons Gal(K^{ab}/K^{mr}) ≃ U_{ℓ}/U_{ℓ} ∩ R et le dénominateur est constitué ici des unités globales qui sont localement triviales aux places modérées donc presque partout. Le groupe U_{ℓ} ∩ R est donc toujours trivial et il vient donc dans ce cas en toute généralité :

Gal(K^{ab}/K^{mr}) ≃ U_{ℓ} = ∏_{𝔭|ℓ} U_{K_{𝔭}}

Considérons maintenant l’extension composée K^{sr} = K^{ℓr}K^{mr}. Il vient :

Gal(K^{ab}/K^{sr}) ≃ (U_{ℓ}R ∩ U′_{ℓ})/R = Rs_{ℓ}(E)s′_{ℓ}(E)/R ≃ s_{ℓ}(E)s′_{ℓ}(E)/E.

Comme nous avons s_{ℓ}(E) ≃ E (sous la conjecture de Leopoldt) et s′_{ℓ}(E) ≃ E (dans tous les cas), il suit :

Gal(K^{ab}/K^{sr}) ≃ E,

ce qui permet d’identifier le tensorisé ℓ-adique E du groupe des unités de K au groupe de Galois relatif d’une sous-extension abélienne de K^{ab}.

Enfin, le groupe de Galois Gal(K^{nr}/K) a déjà été calculé (cf. prop. 1.5) ; c’est tout simplement le ℓ-groupe des classes de diviseurs du corps K :

Gal(K^{nr}/K) ≃ J /U_{ℓ}U′_{ℓ}R = J /UR ≃ D/P = Cℓ.

En d’autres termes, le groupe des classes Cℓ et le ℓ-adifié E du groupe des unités peuvent ainsi s’interpréter comme les obstructions globales à ce que l’extension abélienne maximale K^{ab}/K soit le compositum direct des sous-extensions K^{ℓr}/K et K^{mr}/K.

L’ensemble de cette discussion peut ainsi se résumer (sous la conjecture de Leopoldt) par le diagramme (où sont représentés les corps et les groupes de Galois) :

[figure: K^{ab}; K^{sr}; K^{ℓr}; K^{mr}; K^{nr}; K; E; U′_{ℓ}; U_{ℓ}; U_{ℓ}/s_{ℓ}(E); U′_{ℓ}/s′_{ℓ}(E); Cℓ]

Diagramme 2

Nota. Le groupe de Galois Gal(K^{ℓr}/K^{nr}) ≃ U_{ℓ}/s_{ℓ}(E) est un ℤ_{ℓ}-module nœthé-rien (de dimension (r + 2c) − (r + c − 1) = c + 1, sous la conjecture de Leopoldt). Le groupe Gal(K^{mr}/K^{nr}) en revanche n’est pas de type fini puisqu’il admet des quotients de rang arbitrairement grand comme le montre l’exemple suivant.

Exemple 2.8. Extensions maximales S-ramifiée, resp. S-décomposée.

Soit S un ensemble fini de places de K contenant les places ℓ-adiques.

(i) La ℓ-extension abélienne S-ramifiée maximale K^{Sr} de K est la plus grande ℓ-extension

abélienne de K qui est non ramifiée en dehors de S; son groupe de normes est le produit :

RU^{S} = R ∏_{𝔭∉S}U_{K_{𝔭}}.

(ii) La ℓ-extension abélienne S-décomposée maximale de K^{Sd} de K est la plus grande ℓextension abélienne de K qui est complétement décomposée aux places de S; son groupe de normes est le produit :

RR_{S} = R ∏_{𝔭∈S}R_{K_{𝔭}} .

Les mêmes calculs que ceux conduits dans l’exemple précédent donnent ici Gal(K^{ab}/K^{Sd}) ≃ RR_{S}/R ≃ R_{S}/R ∩ R_{S} = R_{S} (dans tous les cas) ; Gal(K^{ab}/K^{Sr}) ≃ RU^{S}/R ≃ U^{S}/R ∩ U^{S} = U^{S} (sous Leopoldt) ;

\begin{aligned}et Gal(K^{ab}/K^{Sr}K^{Sd}) & ≃ (RU^{S} ∩ RR_{S})/R ≃ (E^{S}U^{S} ∩ E^{S}R_{S})/E^{S} \\ & ≃ s^{S}(E^{S})s_{S}(E^{S})/E^{S} ≃ E^{S}, \end{aligned}

où E^{S} est le ℓ-adifié du groupe des S-unités globales et s^{S}(E^{S}) (resp. s_{S}(E^{S})) sa projection dans U^{S} (resp. R_{S}), laquelle est isomorphe à E^{S} dans tous les cas (resp. sous la conjecture de Leopoldt) ; et enfin :

Gal(K^{Sr} ∩ K^{Sd}/K) ≃ J /R_{S}U^{S}R ≃ Cl^{S}.

En résumé, on obtient ainsi le diagramme :

[figure: K^{ab}; K^{Sd} · K^{Sr}; K^{Sd}; K^{Sr}; K^{Sd} ∩ K^{Sr}; K; E^{S}; U^{S}; R_{S}; R_{S}/s_{S}(E^{S}); U^{S}/s^{S}(E^{S}); Cℓ^{S}]

Diagramme 3

Exemple 2.9. Extensions maximales respectivement libre, localement libre.

Une pro-ℓ-extension abélienne de K est dite libre lorsque son groupe de Galois est un groupe abélien libre, c’est à dire le produit de copies de ℤ_{ℓ}. La ℓ-extension abélienne libre maximale de K est donc tout simplement le compositum K^{z} des ℤ_{ℓ}-extensions de K. Or, pour qu’une pro-ℓ-extension soit libre il est évidemment nécessaire qu’elle le soit localement. La plus grande ℓ-extension localement libre de K est souvent appelée extension de Bertrandias-Payan, ces deux auteurs l’ayant introduite (sous une autre terminologie) à l’occasion de l’étude d’une condition suffisante de la conjecture de Leopoldt (cf. [BP]) ; c’est pourquoi nous la notons K^{bp}. Et puisque le sous-groupe de torsion de R_{K_{𝔭}} est le sous-groupe des racines μ_{𝔭}, le groupe de normes associé à K^{bp} est le produit :

R ∏ μ_{𝔭}

Il en résulte immédiatement que le groupe de normes associé à K^{z} est la racine de celui-ci dans J :

\sqrt{R ∏ μ_{𝔭}}

Tous deux contiennent le produit R ∏_{𝔭∤ℓ∞} μ_{𝔭} rencontré plus haut, qui est associé à la ℓ-extension

ℓ-ramifiée maximale K^{ℓr} de K : on retrouve là le fait qu’une ℤ_{ℓ}-extension (et, plus généralement, une ℓ-extension localement ℤ_{ℓ}-plongeable) est non ramifiée en dehors des places ℓ-adiques. Comme Gal(K^{ℓr}/K) est de type fini (cf. exemple 2.7), le quotient Gal(K^{bp}/K) l’est aussi et le sous-groupe fini

T = \sqrt{R ∏ μ_{𝔭}}/R ∏ μ_{𝔭} ≃ Gal(K^{bp}/K^{z}) = Gal(K^{bp}/K)^{tor}

mesure ainsi l’obstruction globale au problème du plongement d’une ℓ-extension abélienne dans une pro-ℓ-extension libre. Le quotient Gal(K^{z}/K) est un ℤ_{ℓ}- module libre qui a même dimension que Gal(K^{bp}/K) donc que Gal(K^{ℓr}/K) ; comme expliqué, sous la conjecture de Leopoldt, cette dimension est égale au nombre c+1 de plongements complexes de K augmenté de 1. Il vient enfin :

Gal(K^{ab}/K^{bp}) ≃ R ∏ μ_{𝔭}/R ≃ ∏ μ_{𝔭}/R ∩ ∏ μ_{𝔭}.

et, comme exposé plus loin, la conjecture de Leopoldt postule précisément que le dénominateur se réduit au ℓ-groupe μ des racines globales de l’unité. L’ensemble de cette discussion peut donc se résumer (sous la conjecture de Leopoldt) au diagramme ci-dessous où la partie irréductiblement globale est mesurée par le groupe T :

K^{ab}

| )∏ μ_{𝔭}/μ

K^{bp}

| ) T

K^{z}

| ) ℤ_{ℓ}^{c+1}

K

Diagramme 4

Exemple 2.10. Extensions cyclotomique, resp. localement cyclotomique maximale.

(i) La ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique K^{c} de K est la composée avec K de la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique ℚ^{c} de ℚ. Le groupe de normes qui lui correspond est donc la préimage par la norme arithmétique N_{K/ℚ} du groupe de normes associé à ℚ^{c} dans J_{ℚ}. Mais, comme ℚ^{c} n’est autre que la pro-ℓ-extension abélienne ℓ-ramifiée ∞-décomposée maximale de ℚ, ce dernier coïncide avec le noyau J̃_{ℚ} = ∏_{𝔭∤ℓ}μ_{𝔭}R_{ℚ} de la formule du produit dans J_{ℚ}; et le groupe de

normes associé à K^{c} est donc tout simplement le noyau J̃_{K} = ^{−1}N_{K/ℚ}(J̃_{ℚ}) de la formule du produit dans J_{K} pour les valeurs absolues ℓ-adiques.

(ii) La pro-ℓ-extension localement cyclotomique maximale K^{lc} de K est la plus grande pro-ℓ-extension de K^{c} qui est abélienne sur K et complètement décomposée sur K^{c} en chacune de ses places. Si 𝔭 est réelle, toutes les extensions cyclotomiques de K_{𝔭} sont complètement décomposées et la composante locale du groupe de normes associé à K^{lc} est triviale : c’est Ũ_{𝔭} = 1. Si 𝔭 est ultramétrique, la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique locale K_{𝔭}^{c} est la composée avec K_{𝔭} de la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique ℚ_{𝔭}^{c} du complété p-adique de ℚ; le sous-groupe de R_{K_{𝔭}} qui lui correspond est donc la préimage par la norme locale N_{K_{𝔭}/ℚ_{p}} du sous-groupe de R_{p} associé à ℚ_{p}^{c}; c’est encore le noyau U_{𝔭} =^{−1} N_{K_{𝔭}/ℚ_{p}}(U_{p}) de la valeur absolue ℓ-adique. En particulier le sous-groupe global associé à K^{lc} est donc le produit :

RU = R ∏_{𝔭} U_{𝔭}.

Le quotient C̃ℓ = D/P = J̃/ŨR ≃ Gal(K^{lc}/K^{c}) mesure ainsi l’obstruction globale au problème de plongement d’une ℓ-extension abélienne dans la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique :

K^{ab}
| ) Ũ/Ẽ
K^{lc}
| ) C̃ℓ

K^{c}

| ) ℤ_{ℓ}

K

Diagramme 5

2.3 Les conjectures de Leopoldt et de Gross

Nous donnons ci-dessous la traduction en termes de corps de classes ℓ-adique des conjectures classiques de Leopoldt et de Gross ou, plus précisément, des généralisations naturelles de ces conjectures que nous continuons, suivant l’usage établi, à appeler conjectures et de Leopoldt et de Gross quoique ces auteurs ne les aient pas initialement formulées ainsi mais, pour le premier, dans le cadre des seuls corps de nombres totalement réels et, pour le second, dans celui des extensions quadratiques totalement imaginaires d’un tel corps. Bien entendu, si K = K_{+} est totalement réel, notre premier énoncé est équivalent à celui de Leopoldt, et si K = K_{+}[\sqrt{α}] est une extension totalement imaginaire d’un corps totalement réel qui satisfait la conjecture de Leopoldt, notre second énoncé est équivalent à celui de Gross.

Considérons pour commencer la conjecture de Leopoldt généralisée :

Définition 2.11. Nous disons qu’un corps de nombres K vérifie la conjecture de Leopoldt (pour le nombre premier ℓ) lorsque les seuls idèles principaux qui sont localement partout des racines de l’unité sont les racines globales de l’unité, ce qui s’écrit :

R ∩ ∏ μ_{𝔭} = μ.

Proposition 2.12. Soit K un corps de nombres ayant r places réelles et c places imaginaires. Les cinq assertions suivantes sont alors équivalentes à la conjecture de Leopoldt :

(i) K admet au plus (et donc exactement) (c + 1) ℤ_{ℓ}-extensions linéairement indépendantes ; (ii) Le groupe de Galois Gal(K^{ℓr}/K) attaché à la pro-ℓ-extension ℓ-ramifiée maximale de K

est un ℤ_{ℓ}-module de dimension c + 1 ;

(iii) L’image E_{ℓ} = s_{ℓ}(E) du ℓ-groupe des unités globales E = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} E dans le produit U_{ℓ} = ∏_{𝔩|ℓ} U_{𝔩} des ℓ-groupes d’unités locales pour les places ℓ-adiques est un ℤ_{ℓ}-module de dimension r + c − 1 ;

(iv) L’application de semi-localisation s_{ℓ} induit un ℤ_{ℓ}-morphisme injectif de E dans U_{ℓ};

(v) Le quotient ∏ μ_{𝔭}/μ s’injecte canoniquement dans le groupe des classes d’idèles C.

Remarque 3. (i) Lorsque K est totalement réel, la condition (i) affirme qu’il n’est d’autre ℤ_{ℓ}- extension de K que la cyclotomique K^{c};

(ii) Transportée par le logarithme ℓ-adique, l’assertion (iv) se lit sur le régulateur construit sur un système fondamental d’unités de K; on retrouve dans ce cas l’énoncé initial de Leopoldt pour les corps totalement réels.

Démonstration. Examinons successivement les équivalences :

(i)⇔(ii) : Immédiat, puisque le compositum K^{z} des ℤ_{ℓ}-extensions de K est contenu avec un degré relatif fini dans la pro-ℓ-extension K^{ℓr} comme expliqué dans l’exemple 2.9.

(ii)⇔(iii)⇔(iv) : D’après l’exemple 2.7, le groupe de Galois Gal (K^{ℓr}/K) contient comme sous groupe d’indice fini le groupe Gal(K^{ℓr}/K^{nr}) ≃ U_{ℓ}/s_{ℓ}(E) = U_{ℓ}/E_{ℓ}. Maintenant, U_{ℓ} a pour dimension le degré r + 2c du corps K et E le nombre de Dirichlet r + c − 1. Il vient donc :

dim_{ℤ_{ℓ}} Gal(K^{ℓr}/K) = c + 1 ⇔ dim_{ℤ_{ℓ}} E_{ℓ} = r + c − 1 ⇔ s_{ℓ}|_{E}est injective.

(iv)⇔(v)⇔(Leopoldt) : Dans l’identification de R = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} K^{×} avec son image canonique dans J, l’application de E dans U_{ℓ} induite par l’homomorphisme de semi-localisation n’est autre que la restriction à E de la projection canonique de U sur U_{ℓ} = ∏_{𝔩|ℓ} U_{𝔩}. Il vient donc :

s_{ℓ}|_{E} injectif ⇔ E ∩ ∏_{𝔭∤ℓ} U_{K_{𝔭}} = 1.

Et la condition de droite peut encore s’écrire E ∩ ∏_{𝔭}μ_{𝔭} = E ∩ μ, puisque le groupe ∏_{𝔭|ℓ∞}μ_{𝔭} est

fini. Bien entendu, si ℓ est impair, cette dernière identité s’écrit tout simplement : E ∩ ∏_{𝔭}μ_{𝔭} = μ.

Cependant, si ℓ vaut 2, la racine de l’unité (−1) n’est pas une unité dès que K possède des places réelles, de sorte que dans ce cas E ∩ ∏_{𝔭}μ_{𝔭} peut être strictement contenu dans μ. Pour pallier cette

difficulté, il est commode de réécrire la condition précédente sous la forme plus générale

R ∩ ∏_{𝔭}μ_{𝔭} = μ

qui exprime que l’application naturelle du quotient ∏_{𝔭}μ_{𝔭}/μ dans le ℓ-groupe C = J /R des classes

d’idèles de K est un monomorphisme.

Scolie 2.13. Le quotient du groupe μ^{loc}= R ∩ ∏ μ_{𝔭} des idèles principaux qui sont localement des racines de l’unité par le sous-groupe μ des racines globales est un ℤ_{ℓ}-module libre de dimension finie. Nous disons que μ^{loc}/μ est le groupe de défaut de la conjecture de Leopoldt pour le corps K (et le premier ℓ) et que sa dimension δ_{Leopoldt} = dim_{ℤ_{ℓ}}(μ^{loc}/μ) est le défaut dans K de cette conjecture.

Venons en maintenant à la conjecture de Gross généralisée.

Définition 2.14. Nous disons qu’un corps de nombres K vérifie la conjecture de Gross (pour le nombre premier ℓ) lorsque le ℓ-groupe C̃ℓ des classes logarithmiques de K est fini.

Proposition 2.15. Soit K un corps de nombres ayant r places réelles, c places complexes et l places ℓ-adiques. Les cinq assertions suivantes sont alors équivalentes à la conjecture de Gross :

(i) la pro-ℓ-extension localement cyclotomique maximale K^{lc} de K est de degré fini sur la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique K^{c};

(ii) le noyau E = R ∩ U des valeurs absolues dans R est un ℤ_{ℓ}-module de dimension r + c; (iii) l’image |E′|_{ℓ} du ℓ-adifié E′ = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} E′ du groupe des ℓ-unités de K dans le groupe V_{ℓ} =

⊕_{𝔩|ℓ}|R_{𝔩}|_{𝔩} construit sur les valeurs absolues attachées aux places ℓ-adiques est un ℤ_{ℓ}-module libre de

dimension l − 1 ;

(iv) la famille |.|_{ℓ} = (|.|_{l})_{𝔩|ℓ} des valeurs absolues attachées aux places ℓ-adiques envoie le ℓgroupe E′ des ℓ-unités sur un sous-module d’indice fini de la somme directe Ṽ_{ℓ} = ˜⨁|R_{𝔩}|_{𝔩} restreinte aux familles (𝔯_{𝔩})_{𝔩|ℓ} qui vérifient la formule du produit ∏_{𝔩|ℓ} |𝔯_{𝔩}|_{𝔩} = 1 ;

(v) la famille (|.|_{𝔭})_{𝔭} des valeurs absolues attachées aux places de K envoie le ℓ-groupe R des idèles principaux sur un sous-module d’indice fini de la somme directe Ṽ = ˜⨁_{𝔭}|R_{K_{𝔭}}|_{𝔭} restreinte aux familles (𝔯_{𝔭})_{𝔭} qui vérifient la formule du produit ∏_{𝔭} |𝔯_{𝔭}|_{𝔭} = 1.

Remarque 4. Si K est une extension quadratique totalement imaginaire d’un sous-corps K_{+} totalement réel, le groupe de Galois Δ = Gal(K/K_{+}) est un groupe d’ordre 2 engendré par la conjugaison complexe τ. Il est alors possible d’écrire tout ℤ_{ℓ}-module nœthérien X comme somme directe X^{+} ⊕ X^{−} de ses sous-modules propres pour l’action de τ, et ce, de façon exacte si ℓ est impair, à un fini près si ℓ vaut 2. La conjecture de Leopoldt pour K_{+} permet ainsi d’affirmer que l’application de E^{+} dans Ṽ^{+} induite par les valeurs absolues est presque surjective, et la condition (iv) postule alors que le même résultat vaut de E^{′−} dans Ṽ^{−}. Compte-tenu de l’égalité des dimensions, cela revient à dire que la restriction à E^{′−} de la famille des valeurs absolues ( | |_{𝔩})_{𝔩|ℓ} est injective, ce qui est précisément la conjecture initiale de Gross.

Preuve de la proposition. Remarquons d’abord que le groupe des classes logarithmiques C̃ℓ s’identifiant au groupe de Galois Gal(K^{lc}/K^{c}), comme expliqué en 2.1, l’assertion (i) de la proposition est bien équivalente à la conjecture de Gross généralisée. Examinons maintenant les équivalences :

(i)⇔(ii)⇔(iii) : D’après l’exemple 2.10, le groupe de Galois Gal(K^{lc}/K) s’identifie au quotient J /RU = J /R∏_{𝔭∤ℓ} U_{K_{𝔭}} ∏_{𝔩|ℓ} U_{L}, et nous obtenons un ℤ_{ℓ}-module de même dimension en remplaçant

J par le sous module d’indice fini R∏_{𝔭∤ℓ} U_{K_{𝔭}} ∏_{𝔩|ℓ} R_{𝔩}. Il vient alors :

R∏_{𝔭∤ℓ} U_{K_{𝔭}} ∏_{𝔩|ℓ}R_{𝔩}/R∏_{𝔭∤ℓ} U_{K_{𝔭}} ∏_{𝔩|ℓ}U_{𝔩} = ∏_{𝔩|ℓ}R_{𝔩}/∏_{𝔩|ℓ}U_{𝔩}(∏_{𝔩|ℓ}R_{𝔩} ∩ R∏_{𝔭∤ℓ} U_{K_{𝔭}}) ≃ R_{ℓ}/U_{ℓ}E′_{ℓ} ≃ V_{ℓ}/|E′_{ℓ}|_{ℓ},

où E′_{ℓ} désigne la projection de E′ dans R_{ℓ} = ∏_{𝔩|ℓ}R_{𝔩} et |.|_{ℓ} = (|.|_{𝔩})_{𝔩|ℓ} l’application de R_{ℓ} sur V_{ℓ} donnée

par les valeurs absolues attachées aux places ℓ-adiques.

Maintenant, V_{ℓ} = |R_{ℓ}|_{ℓ} est un ℤ_{ℓ}-module libre de dimension l; l’image |E′_{ℓ}|_{ℓ} de E′ est contenue dans le sous-module Ṽ_{ℓ} de dimension l − 1 formé des familles qui vérifient la formule du produit ; et E′ est lui-même un ℤ_{ℓ}-module de dimension r + c − 1 + l. En résumé, nous avons donc, comme annoncé :

dim_{ℤ_{ℓ}} Gal(K^{lc}/K) = 1 ⇔ dim_{ℤ_{ℓ}} E = r + c ⇔ dim_{ℤ_{ℓ}} |E′_{ℓ}|_{ℓ} = l − 1.

(iii)⇔(iv)⇔(v) : l’assertion (iii) affirme que la dimension du ℤ_{ℓ}-module |E′_{ℓ}|_{ℓ} coïncide avec celle , l − 1, du sous-module Ṽ_{ℓ} de V_{ℓ}; elle exprime donc que |E′_{ℓ}|_{ℓ} est d’indice fini dans Ṽ_{ℓ}, ce qui est l’assertion (iv). Enfin, l’assertion (v) affirme que le même résultat vaut pour |R| dans Ṽ, ce qui est encore équivalent, puisque le quotient

V/V_{ℓ}|R| ≃ J /R∏_{𝔭∤ℓ} U_{K_{𝔭}} ∏_{𝔩|ℓ} R_{𝔩},

qui s’identifie au groupe de Galois de la ℓ-extension abélienne non ramifiée ℓ-décomposée maximale de K, est un ℓ-groupe fini.

Scolie 2.16. Le quotient C̃ℓ/C̃ℓ^{tor} du ℓ-groupe des classes logarithmiques par son sous-groupe fini est un ℤ_{ℓ}-module libre de dimension finie. Nous disons que C̃ℓ/C̃ℓ^{tor} est le groupe de défaut de la conjecture de Gross pour le corps K (et le premier ℓ), et que sa dimension δ̃ = δ̃_{Gross} = dim_{ℤ_{ℓ}} C̃ℓ est le défaut de cette conjecture.

3 Eléments de dualité ℓ-adique

3.1 Pseudo-radicaux attachés aux groupes d’idèles

Nous introduisons dans cette section un certain nombre de ℤ_{ℓ}-modules discrets obtenus par produit tensoriel avec le ℤ_{ℓ}-module divisible ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ} de divers groupes considérés plus haut et que nous appelons pseudo-radicaux parce que leurs groupes respectifs de ℓ^{k}-torsion s’interprètent, en présence des racines ℓ^{k}-ièmes de l’unité, comme les radicaux kummériens associés à des ℓ-extensions abéliennes convenables de K^{c}.

Proposition et définition 3.1. Pour chaque place 𝔭 d’un corps de nombres K, nous appelons pseudo-radical local et nous notons

ℜ_{𝔭} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} R_{𝔭} ≃ (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ} K_{𝔭}^{×}

le ℤ_{ℓ}-module divisible et de torsion construit sur le compactifié R_{K_{𝔭}} du groupe multiplicatif K_{𝔭}^{×} du complété de K pour la place 𝔭. Le groupe ℜ_{𝔭} est donné par l’isomorphisme

ℜ_{𝔭} ≃ \begin{cases}π_{𝔭}^{ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}} & pour 𝔭 ∤ ℓ∞ \\ 1 & pour 𝔭|∞ \\ 𝔘_{𝔭}π_{𝔭}^{ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}} & pour 𝔭|ℓ \end{cases}

où, pour 𝔭|ℓ, le facteur 𝔘_{𝔭} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} U_{K_{𝔭}} ≃ (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ})^{d_{𝔭}} est le ℤ_{ℓ}-module divisible de corang d_{𝔭} = [K_{𝔭} : ℚ_{ℓ}] construit sur le groupe U_{K_{𝔭}} des unités principales de K_{𝔭}.

La somme directe des ℜ_{𝔭} lorsque 𝔭 parcourt toutes les places de K s’identifie au tensorisé par ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ} du ℤ_{ℓ}-module topologique J_{K} :

𝔍_{K} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} J_{K} = ⊕_{𝔭} ℜ_{𝔭}.

Nous disons que 𝔍_{K} est le ℓ-groupe des coïdèles de K, et que son sous-groupe 𝔘_{K} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} U_{K} ≃ ⊕_{𝔭}(ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ})⊗_{ℤ_{ℓ}} U_{K_{𝔭}} ≃ ⊕_{𝔩|ℓ} 𝔘_{𝔩} est le ℓ-groupe des coïdèles unités. Le groupe 𝔘_{K} est un ℤ_{ℓ}-module

divisible et de torsion de corang r + 2c = [K : ℚ].

Démonstration. Observons pour commencer, que le produit tensoriel d’un ℓ-groupe divisible par un ℓ-groupe de torsion est toujours trivial. Le groupe ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ} étant simultanément divisible et de torsion nous obtenons :

- lorsque 𝔭 est complexe, (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ} K_{𝔭}^{×} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ} ℂ^{×} = 1, puisque ℂ^{×} est divisible ;

- lorsque 𝔭 est réelle, (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ} K_{𝔭}^{×} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ} ({±1} × ℝ_{+}^{×}) = 1 = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} R_{K_{𝔭}}, puisque {±1} est de torsion et ℝ_{+}^{×} divisible.

La construction réalisée n’est donc intéressante que pour les places ultramétriques. Cela étant :

- lorsque 𝔭 est étrangère à ℓ, la factorisation K_{𝔭}^{×} ≃ μ_{𝔭}^{0}U_{𝔭}^{1}π_{𝔭}^{ℤ} fait apparaitre un groupe de torsion μ_{p}^{0}, un groupe ℓ-divisible U_{𝔭}^{1} et un groupe isomorphe à ℤ; il vient donc comme annoncé :

(ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ} K_{𝔭}^{×} ≃ π_{𝔭}^{ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}} ≃ (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} R_{K_{𝔭}},

puisque R_{K_{𝔭}} = μ_{p}π_{𝔭}^{ℤ_{ℓ}} est lui-même produit du ℓ-groupe fini μ_{𝔭} par un ℤ_{ℓ}-module libre de rang 1.

- Lorsque 𝔩 divise ℓ, en revanche, la factorisation K_{𝔩}^{×} = μ_{𝔩}^{0}U_{𝔩}^{1}π_{𝔩}^{ℤ_{ℓ}} fait intervenir le ℤ_{ℓ}-module nœthérien des unités principales U_{𝔩}^{1} = U_{𝔩} ≃ μ_{𝔩}ℤ_{ℓ}^{d_{𝔩}} et le produit tensoriel par ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ} donne ici (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ})⊗_{ℤ}K_{𝔭}^{×} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ})⊗_{ℤ}(U_{𝔩}π_{𝔩}^{ℤ}) ≃ 𝔘_{𝔩}π_{𝔩}^{ℤ_{ℓ}} avec 𝔘_{𝔩} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ})⊗_{ℤ}U_{𝔩} ≃ (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ})⊗_{ℤ_{ℓ}}U_{𝔩} ≃ (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ})^{d_{𝔩}} comme attendu.

En sommant sur toutes les places 𝔭, on obtient ainsi la description annoncée des groupes de coïdèles 𝔍_{K} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} J_{K} et du sous-groupe des coünités 𝔘_{K} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} U_{K}. On constate en particulier que 𝔘_{K} est un ℤ_{ℓ}-module divisible de torsion, somme directe de [K : ℚ] = r + 2c = ∑_{𝔩|ℓ} d_{𝔩} exemplaires de ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}.

Remarque 5. Lorsque le complété local K_{𝔭} contient les racines 2ℓ-ièmes de l’unité, sa ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique K_{𝔭}^{c} contient toutes les racines d’ordre ℓ-primaire de l’unité et la théorie de Kummer met alors en bijection les pro-ℓ-extensions abéliennes de K_{𝔭}^{c} avec les sous-groupes du produit tensoriel (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ} K_{𝔭}^{c×}. Cela étant, le produit tensoriel par le groupe divisible ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ} ayant tué le sous-groupe de torsion de K_{𝔭}^{×} (qui correspond au radical de K_{𝔭}^{c} sur K_{𝔭}), l’application naturelle de ℜ_{𝔭} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ} K_{𝔭}^{×} dans ℜ_{𝔭}^{c} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ} K_{𝔭}^{c×} est injective, et le groupe ℜ_{𝔭} décrit donc, par la théorie du Kummer, les ℓ-extensions abéliennes de K_{𝔭}^{c} dont le radical est représentable par des éléments de K_{𝔭}^{×}.

Définition et proposition 3.2. Nous appelons ℓ-groupe des codiviseurs de K le tensorisé par ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ} du ℓ-groupe des diviseurs de K :

𝔇_{K} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} D_{K} ≃ ⊕_{𝔭} 𝔇_{𝔭} avec 𝔇_{𝔭} ≃ π_{𝔭}^{ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}}pour 𝔭 ∤ ∞, 𝔇_{𝔭} = 1 sinon.

Le groupe 𝔇_{K} s’identifie canoniquement au quotient 𝔍_{K}/𝔘_{K} du ℓ-groupe des coïdèles par le sousgroupe des coïdèles unités. En particulier, on a (non canoniquement) :

𝔍_{K} ≃ 𝔇_{K} ⊕ 𝔘_{K}

Démonstration. Cela résulte immédiatement de l’isomorphisme non canonique J_{K} ≃ D_{K} ⊕ U_{K} obtenu en faisant choix pour chaque place non complexe 𝔭 de K d’une uniformisante locale π_{𝔭} dans R_{K_{𝔭}}.

Remarque 6. Contrairement au ℓ-groupe des diviseurs D_{K}, celui des codiviseurs 𝔇_{K} ne fait pas intervenir de composante aux places réelles.

Intéressons nous maintenant au pseudo-radical global ℜ_{K} :

Définition et proposition 3.3. Nous appelons pseudo-radical attaché à un corps de nombres K le ℤ_{ℓ}-module divisible et de torsion obtenu en tensorisant par ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ} le groupe multiplicatif K^{×} :

ℜ_{K} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ} K^{×} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} R_{K}.

Nous disons que le produit 𝔈_{K}^{ord}= (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ} E_{K}^{ord}= (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} E_{K}^{ord} construit sur les unités au sens ordinaire est le sous-groupe unité de ℜ_{K}. Le quotient ℜ_{K}/𝔈_{K}^{ord} s’identifie canoniquement au groupe des codiviseurs principaux 𝔓_{K} =_{déf} (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ} P_{K}^{ord}.

Démonstration. L’isomorphisme ℜ_{K}/𝔈_{K}^{ord}≃ 𝔓_{K} est immédiat, le quotient R_{K}/E_{K}^{ord}≃ P_{K}^{ord}étant sans ℤ_{ℓ}-torsion. Mais ce résultat eût été en défaut si l’on avait pris unités et diviseurs principaux au sens restreint.

Pour expliciter les relations entre le groupe local 𝔍_{K} = ⊕_{𝔭}ℜ_{𝔭} et le groupe global ℜ_{K}, nous allons regarder successivement les codiviseurs d’une part, les coünités d’autre part. Nous avons :

Proposition 3.4. La suite exacte courte 1 → P_{K}^{ord} → D_{K}^{ord} → Cℓ_{K}^{ord} → 1 qui définit le ℓ-groupe des classes d’idéaux du corps K conduit à la suite exacte courte canonique qui relie codiviseurs et codiviseurs principaux :

1 ⟶ Cℓ_{K}^{ord}⟶ 𝔓_{K} ⟶ 𝔇_{K} ⟶ 1.

Démonstration. Il s’agit simplement de voir que l’injection à conoyau fini de P_{K}^{ord}dans D_{K}^{ord}induit une surjection à noyau fini (isomorphe à Cℓ_{K}^{ord}) de 𝔓_{K} dans 𝔇_{K}. Or cela résulte immédiatement du lemme du serpent appliqué au diagramme commutatif :

1 ⟶  P_{K}^{ord} ⟶  D_{K}^{ord} ⟶ Cℓ_{K}^{ord} ⟶ 1
↓  ↓  ↓
1 ⟶ ℚ_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} P_{K}^{ord}  ℚ_{ℓ} ⊗_{ℤ_{ℓ}} D_{K}^{ord} ⟶ 1 ⟶ 1

L’application naturelle de 𝔓_{K} sur 𝔇_{K} est donnée par : ℓ^{−k} ⊗ (x) ⟼ ℓ^{−k} ⊗ div x. On notera en particulier que si 𝔞 est un idéal de K dont la puissance ℓ^{h}-ième est principale, disons 𝔞^{ℓ^{h}} = (a), l’élément ℓ^{−k} ⊗ 𝔞 de 𝔇_{K} est alors l’image de l’élément ℓ^{−k−h} ⊗ (a) de 𝔓.

Proposition 3.5. L’application de semi-localisation du ℓ-groupe E_{K}^{ord} des unités globales (au sens ordinaire) dans le ℓ-groupe U_{ℓ} = ∏_{𝔩|ℓ} U_{𝔩} des unités semi-locales aux places au-dessus de ℓ induit un morphisme naturel du ℓ-groupe des coünités globales 𝔈_{K}^{ord} dans le ℓ-groupe des coünités locales 𝔘_{K}.

Son noyau Ker (𝔈_{K}^{ord} → 𝔘_{K}) est la somme directe du ℤ_{ℓ}-module divisible et de torsion 𝔈_{K}^{loc} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ} μ_{K}^{loc} construit sur le groupe de défaut μ_{K}^{loc}/μ_{K} de la conjecture de Leopoldt, et du ℤ_{ℓ}- module fini \sqrt{E_{ℓ}^{ord}}/E_{ℓ}^{ord}μ_{ℓ}, où \sqrt{E_{ℓ}^{ord}}est la racine dans U_{ℓ} de l’image E_{ℓ}^{ord}de E_{K}^{ord}, et μ_{ℓ} le sous-groupe de torsion de U_{ℓ}.

Son conoyau Coker (𝔈_{K}^{ord} → 𝔘_{K}) est un ℤ_{ℓ}-module divisible et de torsion de codimension c + 1 + δ, où c est le nombre de places complexes de K et δ le défaut de la conjecture de Leopoldt.

Démonstration. Partons de l’application naturelle s_{ℓ} de E_{K}^{ord}dans U_{ℓ}. L’image réciproque ^{−1}s_{ℓ}(μ_{ℓ}) du sous-groupe de torsion μ_{ℓ} = ∏_{𝔩|ℓ} μ_{𝔩} est formée des idèles principaux qui sont localement partout des racines de l’unité ; d’après le scolie 2.13, c’est le noyau μ_{K}^{loc} de la conjecture de Leopoldt dans K. Nous pouvons donc écrire

E_{K}^{ord}/μ_{K} ≃ μ_{K}^{loc}/μ_{K} ⊕ E_{ℓ}μ_{ℓ}/μ_{ℓ},

comme somme directe du ℤ_{ℓ}-module libre μ_{K}^{loc}/μ_{K} ≃ ℤ_{ℓ}^{δ} d’image triviale dans U_{ℓ}/μ_{ℓ} et du sousmodule E_{ℓ}μ_{ℓ}/μ_{ℓ} ≃ ℤ_{ℓ}^{r+c−1−δ} de U_{ℓ}/μ_{ℓ}. Introduisons maintenant la racine \sqrt{E_{ℓ}} de E_{ℓ} dans U_{ℓ}. Nous avons semblablement

U_{ℓ}/μ_{ℓ} ≃ U_{ℓ}/\sqrt{E_{ℓ}} ⊕ \sqrt{E_{ℓ}}/μ_{ℓ},

où le dernier terme est libre de dimension r + c − 1 − δ et le premier de dimension (r + 2c) − (r + c − 1 − δ) = c + 1 + δ. Passant maintenant aux tensorisés par ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}, nous voyons que le noyau cherché s’identifie à la somme directe du ℤ_{ℓ}-module divisible

𝔈_{K}^{loc} =_{déf} (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ} μ_{K}^{loc}/μ_{K} ≃ (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ} μ_{K}^{loc}

construit sur les racines locales de l’unité, et du ℤ_{ℓ}-module fini \sqrt{E_{ℓ}}/E_{ℓ}μ_{ℓ}; tandis que le conoyau s’identifie, lui, au ℤ_{ℓ}-module divisible (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} (U_{ℓ}/\sqrt{E_{ℓ}}) de codimension c + 1 + δ.

Enonçons sans démonstration les analogues logarithmiques de ces résultats :

Proposition 3.6. La suite exacte courte 1 → P̃_{K} → D_{K} → C̃ℓ_{K} → 1 qui définit le ℓ-groupe des classes logarithmiques du corps K conduit à la suite exacte à quatre termes qui relie le ℓ-groupe des codiviseurs logarithmiques 𝔇̃_{K} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} D_{K} au ℓ-groupe 𝔓̃_{K} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} P̃_{K} des codiviseurs logarithmiques principaux :

1 → C̃ℓ_{K}^{tor} → 𝔓̃_{K} → 𝔇̃_{K} → (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ})δ̃ → 1

Dans celle-ci, le premier terme C̃ℓ_{K}^{tor} s’identifie au sous-groupe de ℤ_{ℓ}-torsion de C̃ℓ_{K}, et le dernier au quotient divisible C̃ℓ_{K}/C̃ℓ_{K}^{tor} de codimension δ̃.

Proposition 3.7. L’application de semi-localisation du ℓ-groupe E_{K} des unités logarithmiques globales dans le ℓ-groupe U_{ℓ} = ∏_{𝔩|ℓ} U_{𝔩} des unités logarithmiques semi-locales aux places au-dessus de ℓ induit un morphisme naturel du ℓ-groupe 𝔈̃_{K} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} E_{K} des coünités logarithmiques globales dans le ℓ-groupe 𝔘̃_{K} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} U_{K} ≃ (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} U_{ℓ} des coünités logarithmiques locales.

Son noyau Ker(𝔈̃_{K} → 𝔘̃_{K}) est la somme directe du ℤ_{ℓ}-module divisible et de torsion 𝔈_{K}^{loc} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} μ_{K}^{loc}, construit sur le groupe de défaut μ_{K}^{loc}/μ_{K} de la conjecture de Leopoldt, et du ℤ_{ℓ}-module fini \sqrt{E_{ℓ}}/E_{ℓ}μ_{ℓ}, où \sqrt{E_{ℓ}} est la racine dans U_{ℓ} de l’image E_{ℓ} de E_{K}.

Son conoyau Coker(𝔈̃_{K} → 𝔘̃_{K}) est un ℤ_{ℓ}-module divisible et de torsion de codimension c+δ−δ̃.

Remarques. les places réelles. Alors :

(i) L’injection canonique du sous-groupe principal P_{K}^{S} dans le ℓ-groupe de S-idéaux D_{K}^{S} induit une surjection naturelle du tensorisé 𝔓_{K}^{S} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} P_{K}^{S} sur le tensorisé 𝔇_{K}^{S} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ})⊗_{ℤ_{ℓ}} D_{K}^{S} de noyau isomorphe à Cℓ_{K}^{S}. En particulier on a 𝔓_{K}^{S} = 𝔇_{K}^{S} pour S assez grand

(ĩ) Si K vérifie la conjecture de Gross, un résultat analogue vaut au sens logarithmique c’est à

dire qu’il existe une surjection naturelle de 𝔓̃_{K}^{S} sur 𝔇̃_{K}^{S} de noyau C̃ℓ_{K}^{S} qui est une bijection pour S assez grand.

(ii) L’application de semi-localisation envoie de même le ℓ-groupe E_{K}^{S} des S-unités globales dans le ℓ-groupe U_{K}^{S} des S-unités locales et induit donc un morphisme du tensorisé global 𝔈_{K}^{S} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} E_{K}^{S} dans le tensorisé local 𝔘_{K}^{S} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} U_{K}^{S}. Sous la conjecture de Leopoldt son noyau est fini et son conoyau divisible de corang 1 + c.

(ĩi) Ici encore un résultat analogue vaut au sens logarithmique : sous les conjectures de Leopoldt et de Gross, le tensorisé 𝔈̃_{K}^{S} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} E_{K}^{S} du ℓ-groupe des unités logarithmiques globales s’envoie avec un noyau fini dans le tensorisé 𝔘̃_{K}^{S} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ})⊗_{ℤ_{ℓ}} U_{K}^{S} du ℓ-groupe local, et le conoyau de cette application est divisible de corang égal à c.

3.2 Isomorphismes de dualité

Nous réunissons dans cette section des isomorphismes canoniques entre groupes de classes de coïdèles et groupes de classes d’idèles, que nous appelons isomorphismes de dualité parce qu’ils identifient (en présence des racines de l’unité) les radicaux kummériens correspondant à certaines extensions aux groupes de Galois correspondant à d’autres.

Du point de vue arithmétique ces groupes de classes apparaissent naturellement lorsqu’on compare le pseudo-radical global ℜ_{K} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ})⊗_{ℤ_{ℓ}}R_{K} au ℓ-groupe des coïdèles 𝔍_{K} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ})⊗_{ℤ_{ℓ}} J_{K} ou à celui des codiviseurs logarithmiques 𝔇̃_{K} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} D_{K} :

Proposition 3.8. L’injection canonique du ℓ-groupe principal R_{K} dans le ℓ-groupe des idèles J_{K} induit un ℤ_{ℓ}-morphisme naturel du pseudo-radical global ℜ = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} R_{K} dans le ℓ-groupe des coïdèles 𝔍_{K} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} J_{K}, dont le noyau et le conoyau sont de cotype fini.

Le noyau ℭ𝔩_{K} = Ker (ℜ_{K} → 𝔍_{K}) a pour sous-groupe divisible maximal le tensorisé 𝔈_{K}^{loc} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} (μ_{K}^{loc}/μ_{K}) = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} μ_{K}^{loc} du groupe de défaut de la conjecture de Leopoldt. C’est donc le produit d’un ℓ-groupe fini et de δ exemplaires de ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}.

Le conoyau ℭ_{K} = Coker(ℜ_{K} → 𝔍_{K}) ≃ (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ})⊗_{ℤ_{ℓ}} C_{K} est un ℤ_{ℓ}-module divisible et de torsion de codimension c + 1 + δ (isomorphe comme tel au produit de c + 1 + δ exemplaires de ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}).

Démonstration. Ecrivons la suite exacte du serpent à partir du diagramme commutatif exact où interviennent à gauche les ℓ-groupe des coünités et à droite ceux des codiviseurs (conformément aux propositions 3.4 et 3.5).

1  1  1
↓  ↓  ↓
1 ⟶ 𝔈_{K}^{loc}⊕ \sqrt{E_{ℓ}}/E_{ℓ}μ_{ℓ} ⟶ ℭ𝔩_{K} ⟶ Cℓ_{K}^{ord} ⟶ ⋯
↓  ↓  ↓
1 ⟶  𝔈_{K}  ⟶ ℜ_{K} ⟶ 𝔓_{K} ⟶ 1
↓  ↓  ↓
1 ⟶  𝔘_{K}  ⟶ 𝔍_{K} ⟶ 𝔇_{K} ⟶ 1
↓  ↓  ↓
⋯ ⟶ (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ})^{c+1+δ} ⟶ ℭ_{K} ⟶ 1
↓  ↓
1  1

Diagramme 6

Nous obtenons :

1 → 𝔈_{K}^{loc}⊕ \sqrt{E_{ℓ}}/E_{ℓ}μ_{ℓ} → ℭ𝔩_{K} → Cℓ_{K}^{ord}→ (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ})^{c+1+δ} → ℭ_{K} → 1.

Et puisque les groupes \sqrt{E_{ℓ}}/E_{ℓ}μ_{ℓ} et Cℓ_{K}^{ord} sont finis, il vient comme annoncé :

ℭ𝔩_{K}^{div}≃ 𝔈_{K}^{loc}  et  ℭ_{K} ≃ (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ})^{c+1+δ}.

Corollaire 3.9. Sous la conjecture de Leopoldt (pour le corps K et le nombre ℓ) le noyau ℭ𝔩 est un ℓ-groupe fini et le conoyau ℭ_{K} un ℤ_{ℓ}-module divisible et de torsion de codimension c + 1.

Proposition et définition 3.10. Le morphisme naturel d̃iv du ℓ-groupe R_{K} des idèles principaux dans le ℓ-groupe 𝔇̃_{K} = J_{K}/Ũ_{K} des diviseurs logarithmiques (de degré nul) induit un ℤ_{ℓ}-morphisme du pseudo-radical global ℜ_{K} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ} R_{K} dans le ℓ-groupe 𝔇̃_{K} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ} D_{K} des codiviseurs logarithmiques, dont le noyau et le conoyau sont de cotype fini.

Le noyau ℌ_{K} = Ker(ℜ_{K} → 𝔇̃_{K}) a pour sous-module divisible maximal ℌ_{K}^{div} le tensorisé 𝔈̃_{K} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ})⊗_{ℤ_{ℓ}} E_{K} du ℓ-groupe des unités logarithmiques. Il est donc isomorphe au produit de r+c+δ̃ exemplaires de ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ} et du quotient fini 𝔗_{K} =_{déf} ℌ_{K}/ℌ_{K}^{div}.

Le conoyau Coker(ℜ_{K} → 𝔇̃_{K}) ≃ (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} C̃ℓ_{K} est le ℤ_{ℓ}-module divisible et de torsion construit sur le groupe de défaut C̃ℓ/C̃ℓ_{K}^{tor} de la conjecture de Gross ; c’est donc le produit de δ̃ exemplaires de ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}.

Démonstration. Partons de la suite exacte à quatre termes donnée par la proposition 3.6 :

1 → C̃ℓ_{K}^{tor} → 𝔓̃_{K} → 𝔇̃_{K} → (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} C̃ℓ_{K} → 1

Dans celle-ci le premier groupe C̃ℓ_{K}^{tor} est fini et le groupe 𝔓̃_{K} des codiviseurs logarithmiques principaux s’identifie au quotient de ℜ_{K} par le sous-groupe 𝔈̃_{K} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} E_{K} construit sur les unités logarithmiques. Nous pouvons donc réécrire la suite précédente sous la forme :

1 → C̃ℓ_{K}^{tor} → ℜ_{K}/𝔈̃_{K} → 𝔇̃_{K} → (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} C̃ℓ_{K} → 1

Et il ne reste plus qu’à observer que le groupe à gauche n’est autre que le quotient ℌ_{K}/𝔈̃_{K}.

Corollaire 3.11. Sous la conjoncture de Gross (pour le corps K et le nombre ℓ) le morphisme naturel de ℜ_{K} dans 𝔇̃_{K} est un épimorphisme et son noyau est le produit direct d’un ℓ-groupe fini et d’un ℤ_{ℓ}-module divisible et de torsion de codimension r + c.

Nous pouvons maintenant énoncer les deux isomorphismes de dualité :

Théorème 3.12. Soit K un corps de nombres ; K^{c} sa ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique et K^{lc} sa proℓ-extension localement cyclotomique maximale ; K^{bp} sa pro-ℓ-extension localement libre maximale et K^{z} le compositum des ℤ_{ℓ}-extensions de K. Alors :

(i) Si K vérifie la conjecture de Leopoldt, le noyau ℭ𝔩_{K} du morphisme naturel de ℜ_{K} dans 𝔍_{K} s’identifie au sous-groupe de torsion T_{K} = H_{K}^{tor} du groupe de Galois H_{K} = Gal(K^{bp}/K), i.e.

ℭ𝔩_{K} ≃ T_{K} = H_{K}^{tor}.

(ii) Si K vérifie la conjecture de Gross, le quotient 𝔗_{K} = ℌ_{K}/ℌ_{K}^{div} du noyau ℌ_{K} du morphisme naturel de ℜ_{K} dans 𝔍_{K} par son sous-module divisible maximal ℌ_{K}^{div} s’identifie au groupe de Galois C̃ℓ_{K} = Gal(K^{lc}/K^{c}), i.e.

C̃ℓ_{K} ≃ 𝔗_{K} = ℌ_{K}/ℌ_{K}^{div}.

Démonstration. (i) Partons de la caractérisation ℭ𝔩_{K} = {ℓ^{−k} ⊗x ∈ (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ})⊗_{ℤ_{ℓ}} R_{K}| x ∈ ∏ μ_{𝔭}J_{K}^{ℓ^{k}}} du noyau ℭ𝔩_{K}. Ecrivant x = ζ𝔵^{ℓ^{k}} pour un ζ de ∏ μ_{𝔭} et un 𝔵 de J_{K}, et associant à l’élément ℓ^{k} ⊗ x de ℭ𝔩_{K} la classe 𝔵 ∏ μ_{𝔭}R_{K} de l’élément 𝔵 dans le quotient \sqrt{∏ μ_{p}R_{K}}/ ∏ μ_{p}R_{K} ≃ T_{K}, nous définissons un morphisme surjectif de ℭ𝔩_{K} dans T_{K} qui a pour noyau le sous-groupe divisible 𝔈_{K}^{loc}= (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ})⊗_{ℤ_{ℓ}}μ_{K}^{loc}construit sur le ℓ-groupe des idèles principaux qui sont localement des racines de l’unité : pour 𝔵 = ξy ∈ ∏ μ_{𝔭}R_{K}, nous avons, en effet : x = (ζξ^{ℓ^{k}})y^{ℓ^{k}} donc ℓ^{−k} ⊗x = ℓ^{−k} ⊗(ζξ^{ℓ^{k}}) avec ζξ^{ℓ^{k}} ∈ ∏ μ_{𝔭} ∩ R_{K} = μ_{K}^{loc}. Nous obtenons donc la suite exacte courte (cf. [J0], th. 2.7) :

1 → ℭ𝔩_{K}^{div}= 𝔈_{K}^{loc}→ ℭ𝔩_{K} → T_{K} = H_{K}^{tor} → 1;

d’où l’isomorphisme annoncé ℭ𝔩_{K} ≃ T_{K}, sous la conjecture de Leopoldt.

(ii) Partons de la caractérisation ℌ_{K} = {ℓ^{−k} ⊗ x ∈ (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} R_{K}| x ∈ UJ_{K}^{ℓ^{k}}} du noyau ℌ_{K}. Écrivant x = ũ𝔵^{ℓ^{k}} avec ũ ∈ U et 𝔵 ∈ J_{K}, et associant à l’élément ℓ^{−k} ⊗ x de ℌ_{K} la classe de 𝔵 dans le quotient C̃ℓ_{K} = J_{K}/U_{K}R_{K}, nous obtenons, conformément à la proposition 3.9, un morphisme surjectif de ℌ_{K} dans C̃ℓ_{K}^{tor} qui a pour noyau le sous-groupe divisible 𝔈̃_{K} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ})⊗_{ℤ_{ℓ}} E_{K} construit sur les unités logarithmiques locales. En d’autres termes, nous obtenons la suite exacte courte (cf. [J0], th. 2.9) :

1 → ℌ_{K}^{div}= 𝔈̃_{K} → ℌ_{K} → C̃ℓ_{K}^{tor} → 1 ;

d’où l’isomorphisme annoncé 𝔗_{K} = ℌ_{K}/ℌ_{K}^{div}≃ C̃ℓ_{K}, sous la conjecture de Gross.

Scolie 3.13. Si K contient en outre les racines ℓ^{k}-ièmes de l’unité (avec k ≥ 2 pour ℓ = 2, et k ≥ 1 sinon), les sous-groupes de ℓ^{k}-torsion de ℭ𝔩_{K} et de 𝔗_{K} s’interprètent respectivement comme radicaux kummériens attachés respectivement aux pro-ℓ-extensions abéliennes maximales localement cyclotomique K^{lc} et localement libre K^{bp} relativement à la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique K^{c} et à la composé K^{z} des ℤ_{ℓ}-extensions de K :

ℓ^{k}ℭ𝔩_{K} =_{ℓ^{k}} Rad(K^{lc}/K^{c})  et  _{ℓ^{k}}𝔗_{K} =_{ℓ^{k}} Rad(K^{bp}/K^{z}).

En d’autres termes, ce sont les duaux de Kummer respectifs

ℓ^{k}ℭ𝔩_{K} = Hom(^{ℓ^{k}} C̃ℓ_{K}, μ_{ℓ^{k}}) _{ℓ^{k}}𝔗_{K} = Hom(^{ℓ^{k}}T_{K}, μ_{ℓ^{k}})

des quotients d’exposants ℓ^{k} du ℓ-groupe C̃ℓ_{K} = Gal(K^{lc}/K^{c}) des classes logarithmiques et du sous-groupe de torsion T_{K} = Gal(K^{bp}/K^{z}) du groupe de Galois H_{K} = Gal(K^{bp}/K).

Démonstration. On a, en effet, immédiatement :

ℭ𝔩_{K} = {ℓ^{−k} ⊗ x ∈ (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} R_{K}| x ∈ ∏ μ_{𝔭}J_{K}^{ℓ^{k}}}
= \{ℓ^{−k} ⊗ x ∈ (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ} K^{×}|K^{c}(^{ℓ^{k}} \sqrt{x}) ⊂ K^{lc}\} et

ℌ_{K} = {ℓ^{−k} ⊗ x ∈ (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} R_{K}| x ∈ U_{K}J_{K}^{ℓ^{k}}}
= \{ℓ^{−k} ⊗ x ∈ (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ} K^{×}| K^{c}(^{ℓ^{k}} \sqrt{x}) ⊂ K^{bp}\} ;

d’où

ℓ^{k}ℭ𝔩_{K} = Hom(^{ℓ^{k}} C̃ℓ_{K}, μ_{ℓ^{k}}) et
ℓ^{k}𝔗_{K} =_{ℓ^{k}} C̃ℓ_{K} = Hom(^{ℓ^{k}}ℭ𝔩_{K}, μ_{ℓ^{k}}) = Hom(^{ℓ^{k}}T_{K}, μ_{ℓ^{k}}),

comme annoncé.

On prendra garde toutefois que _{ℓ^{k}}ℌ_{K}^{div} =_{ℓ^{k}} 𝔈̃_{K} n’est pas, en général, le radical initial du compositum K^{z} des ℤ_{ℓ}-extensions de K en présence de capitulation cyclotomique (cf. [J2], §5).

3.3 Corps coprincipaux et corps logarithmiquement principaux

Les résultats de dualité précédents permettent d’éclairer sensiblement diverses conditions suffisantes de la conjecture de Leopoldt (CSL) ou de la conjecture de gross (CSG) étudiées par de nombreux auteurs dans des contextes variés, et notamment de les hiérarchiser clairement.

Commençons par énoncer la condition suffisante de la conjecture de Gross :

Proposition et définition 3.14. Nous disons qu’un corps de nombres K est logarithmiquement principal (pour le premier ℓ) lorsqu’il vérifie les quatre conditions équivalentes suivantes :

(CSG, i) Le ℓ-groupe des classes logarithmiques C̃ℓ_{K} est trivial ;

(CSG, ii) K vérifie la conjecture de Gross (pour le premier ℓ) et le ℓ-groupe 𝔗_{K} = ℌ_{K}/ℌ_{K}^{div} est trivial ;

(CSG, iii) toute (pro-)ℓ-extension localement cyclotomique de K est contenue dans la ℤ_{ℓ}- extension cyclotomique K^{c};

(CSG, iv) l’application naturelle du sous-groupe principal R_{K}/E_{K} dans le quotient J̃_{K}/Ũ_{K} est surjective.

Démonstration. Nous avons C̃ℓ_{K} = J̃_{K}/R_{K} Ũ_{K} ≃ Gal(K^{lc}/K^{c}) d’où immédiatement (i)⟺ (iii)⟺(iv) ; et, sous la conjecture de Gross, qui postule précisément la finitude de C̃ℓ_{K}, l’isomorphisme C̃ℓ_{K} ≃ 𝔗_{K} (cf. théorème 3.11.ii), d’où (i)⟺(ii).

Analoguement, nous avons pour la conjecture de Leopoldt :

Proposition et définition 3.15. Nous disons qu’un corps de nombres K est coprincipal pour le premier ℓ ou ℓ-coprincipal lorsqu’il vérifie les quatre conditions équivalentes suivantes :

(CSL, i) Le noyau ℭ𝔩_{K} est trivial (autrement dit le pseudo-radical ℜ s’injecte dans le groupe des coïdèles ℑ_{K}) ;

(CSL, ii) K vérifie la conjecture de Leopoldt (pour le premier ℓ) et le ℓ-groupe T_{K} = H_{K}^{tor} est trivial ;

(CSL, iii) toute (pro-)ℓ-extension localement libre de K est contenue dans une ℤ_{ℓ}^{c+1}-extension ; (CSL, iv) l’application naturelle de R_{K}/μ_{K} dans le quotient J_{K}/μ̃_{K} est une injection à co-

noyau libre.

Démonstration. Rappelons que la conjecture de Leopoldt (pour le corps K et le premier ℓ) postule indifféremment la finitude du noyau ℭ𝔩_{K} (cf. prop. 3.8), l’existence d’au plus (c + 1) ℤ_{ℓ}-extensions linéairement indépendantes sur K (cf. prop. 2.12. i), et l’injectivité de l’application naturelle de R_{K}/μ_{K} dans J_{K}/μ̃_{k} (cf. déf. 2.11). Chacune des quatre conditions énoncées la contient donc. De plus, lorsqu’elle est vérifiée nous avons l’isomorphisme ℭ𝔩_{K} ≃ T_{K} = Gal(K^{bp}/K^{z}) d’après le théorème 3.11 et l’exemple 2.9. D’où l’équivalence (i)⟺(ii) ⟺(iii). L’équivalence manquante (i)⟺(iv) s’obtient en remarquant que la trivialité de ℭ𝔩_{K}, i.e. l’injectivité de l’application naturelle de ℜ_{K} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} R_{K} dans ℑ_{K} = (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} J_{K} affirme précisément que le conoyau du morphisme canonique R_{K}/μ_{K} → J̃_{K}/μ̃_{K} est sans ℤ_{ℓ}-torsion.

Les isomorphismes de dualité précédents (cf. scol. 3.12) montrent directement qu’en présence des racines ℓ-ièmes de l’unité les conditions suffisantes (CSL) et (CSG) sont rigoureusement équivalentes. Plus précisément (cf. [J3], Appendice), si K contient les racines 2ℓ-ièmes de l’unité, elles se lisent encore sur le noyau H_{2}(K) des symboles de Hilbert dans le ℓ-groupe universel K_{2}(K) pour les ℓ-symboles sur K (i.e. les symboles à valeurs dans un ℓ-groupe) :

Proposition 3.16. Si K contient les racines 2ℓ-ièmes de l’unité, il y a équi-valence entre : (CSG) le corps K est coprincipal, i.e. ℭ𝔩_{K} = 1 ; et (CSL) le corps K est logarithmiquement principal, i.e. C̃ℓ_{K} = 1.

Et si K contient les racines 2ℓ-ièmes de l’unité, ces deux conditions reviennent à affirmer la trivialité du ℓ-noyau hilbertien H_{2}(K), en d’autres termes que le ℓ-groupe K_{2}(K) s’identifie à la somme directe ˜⊕μ_{𝔭} des groupes locaux de racines de l’unité restreinte aux familles (ζ_{𝔭})_{𝔭} qui vérifient la formule du produit ∏ ζ_{𝔭}^{|μ_{𝔭}|/|μ|} = 1.

Nota. Si ℓ est impair et K contient ζ_{ℓ}, on a donc ℭ𝔩_{K} = 1 ⟺ H_{2}(K) = 1. Mais cette dernière équivalence peut être effectivement en défaut pour ℓ = 2 si K ne contient pas les racines quatrièmes de l’unité (cf. [J0]). Lorsqu’on veut construire des familles de corps qui vérifient les conditions suffisantes des conjectures de Leopoldt et de Gross, on est naturellement amené à étudier la propagation de l’une quelconque des trois propriétés ℭ𝔩_{K} = 1 ou C̃ℓ_{K} = 1 ou H_{2}(K) = 1 dans une ℓ-extension L/K. Or celle-ci ne se laisse pas caractériser facilement (cf. [J4] où est discutée une formule de points fixes pour les classes logarithmiques, ou encore [T2] pour le noyau hilbertien de certains corps biquadratiques). Il peut être alors judicieux de remplacer la condition de trivialité choisie par une condition plus forte mais arithmétiquement plus simple et, si possible, héréditaire. C’est ainsi qu’en présence des racines ℓ-ièmes de l’unité, si l’on exige non seulement la trivialité du ℓ-noyau hilbertien H_{2}(K) mais celle du ℓ-noyau régulier R_{2}(K), on tombe sur la notion de corps ℓ-régulier étudiée dans [GJ] et [JN]. En l’absence éventuelle des racines ℓ-ièmes de l’unité, il faut évidemment choisir celles des deux propriétés (CSG) ou (CSL) que l’on souhaite conserver. L’analogue immédiat de la notion de corps ℓ-régulier est alors celle de corps ℓ-rationnel introduite dans [MN] :

Définition 3.17 ([MN], [JN]). Un corps de nombres K est dit ℓ-rationnel lorsque le groupe de Galois G_{K} = Gal(M/K) de sa pro-ℓ-extension ℓ-ramifiée ∞-décomposée maximale est un pro-ℓ-groupe libre (nécessairement sur c + 1 générateurs) ou, de façon équivalente lorsque sont réunies les deux conditions

V_{K} = K^{×ℓ}  et  ∑_{𝔩|ℓ} rg μ_{𝔩} = rg μ_{K},

où V_{K} = {x ∈ K^{×}|x ∈ K_{𝔩}^{×ℓ}, ∀𝔩|ℓ et v_{𝔭}(x) ≡ 0 (mod ℓ), ∀𝔭 ∤ ℓ∞} désigne le sous-groupe des éléments ℓ-hyperprimaires de K^{×}).

De fait, il est possible de relier très simplement ℓ-rationalité et ℓ-coprincipalité. Plus précisément :

Théorème 3.18. Pour tout corps de nombres K, les conditions suivantes sont équivalentes : (i) K est ℓ-rationnel ; (ii) K est ℓ-coprincipal et on a μ_{K} ≃ ⊕_{𝔩|ℓ}μ_{𝔩}.

Démonstration. Observons que les deux conditions entraînent rg μ_{K} = ∑_{𝔩|ℓ} rg μ_{𝔩} et distinguons deux cas suivant que cette quantité vaut 0 ou 1.

Si elle est nulle, le sous-groupe V_{K} des éléments ℓ-hyperprimaires s’écrit tout aussi bien : V_{K} = {x ∈ K^{×}| x ∈ μ_{𝔭}K_{𝔭}^{×ℓ} ∀𝔭 ∈ P l_{K}}; et le quotient V_{K}/K^{×ℓ} = V_{K}/μ_{K}K^{×ℓ} s’identifie donc au sous-groupe de ℓ-torsion _{ℓ}ℭ𝔩_{K} du noyau ℭ𝔩_{K} = {ℓ^{−k} ⊗ x ∈ (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} R_{K} | x ∈ μ̃_{K}J_{K}^{ℓ^{k}}}. Il suit dans ce cas :

V_{K} = K^{×ℓ} ⟺ V_{K}/μ_{K}K^{×ℓ} = 1 ⟺_{ℓ} ℭ𝔩_{K} = 1 ⟺ ℭ𝔩_{K} = 1.

Si elle est non nulle, K contient les racines ℓ-ièmes de l’unité, et la théorie de Kummer interprète la quotient V_{K}/K^{×ℓ} comme le radical initial associé à la ℓ-extension abélienne ℓ-décomposée non ramifiée (aux places finies) maximale, disons K′, de K. Il vient donc V_{K} = K^{×ℓ} ⟺ [K′ : K] = 1 ⟺ Cℓ′_{K} = 1, où Cℓ′_{K} ≃ Gal(K′/K) est le ℓ-groupe de ℓ-classes de diviseurs de K (i.e. le ℓ-groupe Cℓ_{K}^{S} pour S = P l_{K}(ℓ) comme expliqué dans l’exemple 2.8, avec ici S = {𝔩}, puisque K possède alors une unique place au-dessus de ℓ). En particulier, sous la condition V_{K} = K^{×ℓ}, la place 𝔩 ne se décompose dans aucune extension cyclotomique non triviale K[ζ_{ℓ^{m}}]/K, ce qui montre que l’on a μ_{K} = μ_{𝔩} = ⊕_{𝔩|ℓ}μ_{𝔩}. Reste donc simplement à vérifier l’équivalence Cℓ′_{K} = 1 ⟺ C̃ℓ_{K} = 1 (puisque C̃ℓ_{K} et ℭ𝔩_{K} sont simultanément triviaux dans ce cas). Or cela résulte de la théorie des genres dans la ℤ_{ℓ}-tour cyclotomique K_{∞} = ∪K_{n}. La formule des classes ambiges donne à chaque étage fini Cℓ′_{K_{n}} = 1 ⟺ Cℓ′_{K} = 1 donc finalement Cℓ′_{K} = 1 ⟺ lim_{←} Cℓ′_{K_{n}} = 1 ⟺ C̃ℓ_{K} = 1

puisque C̃ℓ_{K} n’est autre que le quotient des genres associé à lim_{←} Cℓ′_{K_{n}} dans l’extension procyclique K_{∞}/K.

Remarque 7. Si K est ℓ-coprincipal, le schéma d’extensions décrit à l’exemple 2.9 prend la forme

K^{ab}

|  )μ̃_{K}/μ_{K}

K^{bp} = K^{z}

|  ) ℤ_{ℓ}^{c}

K^{c}

|  ) ℤ_{ℓ}

K

Diagramme 7

La condition de ℓ-rationalité affirme alors que l’on a de plus μ̃_{K}/μ_{K} ≃ ∏_{𝔭∤ℓ} μ_{𝔭}; en d’autres termes que le groupe de Galois Gal(K^{ab}/K^{bp}) est le produit direct des sous groupes d’inertie I_{𝔭}(K^{ab}/K) ≃ In(K_{𝔭}^{ab}/K_{𝔭}) ≃ μ_{𝔭} attachés aux places ultramétriques modérés et des sous-groupes de décomposition D_{𝔭}(K^{ab}/K) ≃ Gal(K_{𝔭}^{ab}/K_{𝔭}) ≃ ℤ/2ℤ attachés aux places réelles.

Les considérations précédentes se généralisent sans difficulté aux corps S-rationnels introduits dans [JS] :

Définition 3.19 ([JS]). Soit S un ensemble non vide de places ℓ-adiques d’un corps de nombres K. On dit que K est S-rationnel lorsque le groupe de Galois G_{K} de la pro-ℓ-extension ℓ-ramifiée ∞-décomposée maximale M de K est isomorphe au pro-ℓ-produit libre des groupes de Galois locaux G_{𝔩} = Gal(\overline{K}_{𝔩}/K_{𝔩}) attachés aux places ℓ-adiques qui ne sont pas dans S et d’un pro-ℓ-groupe libre F, i.e.

G_{K} ≃ ( ∗_{𝔩∉S}G_{𝔩}) ∗ F

ou, de façon équivalente, lorsque sont réunies les deux conditions (avec ici V_{K}^{S} =_{déf} {x ∈ K^{×}|x ∈

K_{𝔩}^{×ℓ} ∀𝔩 ∈ S et v_{𝔭}(x) ≡ 0 (mod ℓ) ∀𝔭 ∤ ℓ∞})

(a) V_{K}^{S} = K^{×ℓ}

(b) μ_{K} ≃ ⊕_{𝔩∈S}μ_{𝔭}.

Nota. Lorsque S est le singleton {𝔩}, les corps S-rationnels sont dits 𝔩-rationnels. Si, au contraire, S est l’ensemble P l_{K}(ℓ) de toutes les places ℓ-adiques, ce sont tout simplement les corps ℓ-rationnels. Cela posé, nous avons analoguement à ce qui précède :

Théorème et définition 3.20. Convenons de dire qu’un corps de nombres K est \overline{S}-coprincipal (pour un sous-ensemble non vide de places ℓ-adiques S de complémentaire \overline{S} = P l_{K}(ℓ)\S) lorsque le pseudo-radical global R_{K} s’injecte dans la somme directe des pseudo-radicaux locaux ⊕_{𝔭∉\overline{S}}R_{K_{𝔭}}.

Cela étant, les deux assertions suivantes sont alors équivalentes :

(i) Le corps K est S-rationnel ;

(ii) K est \overline{S}-coprincipal, et on a μ_{K} = ⊕_{𝔩∈S}μ_{𝔩}.

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Jean-François Jaulent Institut de Mathématiques Université Bordeaux I 351, cours de la libération F-33405 Talence Cedex email : jaulent@math.u-bordeaux.fr

Récapitulatif des principaux groupes de normes

Nous récapitulons ci-après les groupes de normes associés aux principales ℓ-extensions abéliennes d’un corps de nombres K rencontrées dans l’article. Celles-ci apparaissent sur la première colonne, suivies de leur définition dans la seconde colonne. Nous omettons l’indice K dans la troisième^{1}.

pro−ℓ-extension  Définition de l’extension abélienne  Groupe de normes  Commentaire
abélienne considérée  associé

K  corps de base  J = ∏^{res}R_{K_{𝔭}}
K^{ab}  maximale  R = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} K^{×}  Gal (K^{ab}/K) = C

K^{ℓr}  ℓ-ramifiée maximale  RU′_{ℓ} = R ∏_{𝔭∤ℓ∞} μ_{𝔭}  ∗ Gal(K^{ab}/K^{ℓr}) ≃ U′_{ℓ}
K^{mr}  modérément ramifiée maximale  RU_{ℓ} = R ∏_{𝔩|ℓ} U_{𝔩}  Gal(K^{ab}/K^{mr}) ≃ U_{ℓ}
K^{nr} = K^{ℓr} ∩ K^{mr} non ramifiée maximale  RU = RU′_{ℓ}U_{ℓ}  Gal(K^{nr}/K) ≃ Cℓ
K^{sr} = K^{ℓr} · K^{mr}  séparément ramifiée maximale  RU′_{ℓ} ∩ RU_{ℓ}  ∗ Gal(K^{ab}/K^{sr}) ≃ E

K^{Sr}  S-ramifiée maximale  RU^{S} = R ∏_{𝔭∉S} U_{𝔭}  ∗ Gal(K^{ab}/K^{Sr}) ≃ U^{S}
K^{Sd}  S-décomposée maximale  RR_{S} = R ∏_{𝔭∈S} R_{𝔭}  Gal(K^{ab}/K^{Sd}) ≃ R_{S}
K^{Sr} ∩ K^{Sd}  non ramifiée S-décomposée maximale  RU^{S}R_{S}  Gal(K^{Sr} ∩ K^{Sd}/K) = Cℓ^{S}
K^{Sr} · K^{Sd}  compositum de K^{Sr} et de K^{Sd}  RU^{S} ∩ RR_{S}  ∗ Gal(K^{ab}/K^{Sr} · K^{Sd}) = E^{S}

K^{bp}  localement libre maximale  Rμ̃ = R ∏_{𝔭} μ_{𝔭}  Gal(K^{bp}/K) = H
K^{z}  compositum des ℤ_{ℓ}-extensions  \sqrt{Rμ̃}  Gal(K^{bp}/K^{z}) = H^{tor} = T
K^{c}  ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique  J  Gal(K^{c}/K) = J /J̃ ≃ ℤ_{ℓ}
K^{lc}  localement cyclotomique maximale  RŨ = R ∏_{𝔭} Ũ_{𝔭}  Gal(K^{lc}/K^{c}) = C̃ℓ

1. L’astérisque * indique que l’isomorphisme vaut sous la conjecture de Leopoldt.