Sur les tours localement cyclotomiques^{∗}

Jean-François Jaulent et Florence Soriano

Résumé. Nous construisons sur chaque corps de nombres K une tour de ℓ-extensions relativement abéliennes K_{n} localemement cyclotomiques sur K, analogues aux ℓ-tours de Hilbert non ramifiées, et pour lesquelles nous donnons des critères de finitude et des critères d’infinitude ; les corps ayant qui ont une tour finie ont caractérisés en termes de théorie d’Iwasawa.

Abstract. For a given number field K and any prime ℓ we construct an increasing sequence of ℓ-extensions K_{n} of K which are locally cyclotomic over K. We give various criterious of finiteness or non-finiteness of this ℓ-tower and we characterise the number fields which have such a finite tower in terms of Iwasawa theory.

1. Introduction

On sait que le ℓ-groupe des classes logarithmiques C̃ℓ_{K} d’un corps de nombres K s’identifie, via la théorie ℓ-adique du corps de classes, au groupe de Galois Gal(K^{lc}/K^{c}) de la pro-ℓ-extension abélienne localement cyclotomique maximale K^{lc} de K relativement à la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique K^{c} = ℚ^{c} · K (cf.[5]). En d’autres termes, le groupe C̃ℓ_{K}, dont la finitude constitue ce qu’il est convenu d’appeler la conjecture de Gross généralisée, mesure l’obstruction globale au problème de plongement dans la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique pour un corps de nombres donné K.

Notre propos dans cet article est de discuter l’existence (ou la non existence) pour un tel K donné, d’une extension finie N de K pour laquelle cette obstruction soit triviale, autrement dit d’un corps trivialisant pour les classes logarithmiques. Nous construisons canoniquement pour ce faire une tour d’extensions (K_{n})_{n∈ℕ} formée de ℓ-extensions (galoisiennes) localement cyclotomiques sur K, dont nous montrons que la réunion K_{∞} = ⋃_{n∈ℕ} K_{n}, si elle est de degré fini sur K, est en un certain sens la plus petite extension N de K qui possède la propriété attendue, i.e. dont le ℓ-groupe des classes logarithmiques C̃ℓ_{N} est trivial ; lorsque [K_{∞} : K] est infini, nous montrons qu’en revanche K ne possède aucune extension finie qui soit logarithmiquement principale. La tour localement cyclotomique K_{∞}/K peut être regardée comme l’analogue dans le cadre logarithmique de la ℓ-tour de Hilbert pour les ℓ-classes de diviseurs au sens habituel. En particulier, l’arithmétique des ℓ-groupes logarithmiques C̃ℓ étant susceptible des mêmes techniques que celle des ℓ-groupes de classes Cℓ, il est possible, tout comme pour les ℓ-tours de Hilbert, de donner d’une part des critères de finitude (via notamment la théorie des genres) et d’autre part des critères d’infinitude (par une adaptation ad hoc du classique théorème de Golod et Šafarevič.

∗Archiv der Math. 73 (1999), 132–140

Enfin, du point de vue de la théorie d’Iwasawa, le ℓ-groupe des classes logarithmiques C̃ℓ_{K} s’interprète comme quotient des ℓ-genres dans l’extension procyclique K^{c}/K. Sa trivialité exprime donc que le corps surcirculaire K^{c} n’admet aucune ℓ-extension partout ℓ-décomposée non triviale ; ce qui nous amène à introduire la notion de ℓ-principalité stricte pour un tel corps.

2. Notations

Le nombre premier étant supposé fixé une fois pour toutes, nous utilisons dans ce qui suit (en omettant systématiquement l’indice ℓ) les notations de la théorie ℓ-adique du corps de classes exposée dans [6]. En particulier, étant donné un corps de nombres K, nous notons :

I_{K} = ∏_{𝔭}^{res} R_{𝔭} le ℓ-adifié du groupe des idèles de K, i.e. le produit restreint des compactifiés ℓ-adiques R_{𝔭} = \underleftarrow{lim} K_{𝔭}^{×}/K_{𝔭}^{×ℓ^{n}} des groupes multiplicatifs des complétés de K,

Ĩ_{K} le noyau dans de la formule du produit pour les valeurs absolues ;

Ũ_{K} = ∏_{𝔭} Ũ_{𝔭} le sous-groupe des unités logarithmiques logarithmiques locales, i.e. le produit des noyaux respectifs Ũ_{𝔭} = Ker ṽ_{𝔭} dans R_{𝔭} des valuations logarithmiques ṽ_{𝔭}(.) = −\frac{Log|.|_{𝔭}}{deg 𝔭} construites sur les logarithmes des valeurs absolues ℓ-adiques ;

R_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} K^{×} le sous-groupe principal de I_{K} ;

Ẽ_{K} = R_{K} ∩ Ũ_{K} le sous-groupe des unités logarithmiques globales ;

D̃ℓ_{K} = Ĩ_{K}/Ũ_{K} le ℓ-groupe des diviseurs logarithmiques (de degré nul) ;

P̃ℓ_{K} = R_{K} Ũ_{K}/Ũ_{K} le groupe des diviseurs logarithmiques principaux ;

C̃ℓ_{K} = D̃ℓ_{K}/P̃ℓ_{K} le ℓ-groupe des classes logarithmiques de K ;

Cℓ′_{K} le ℓ-groupe des ℓ-classes du corps K, i.e. le ℓ-sous-groupe de Sylow du quotient du groupe des classes (au sens habituel) de K par le sous-groupe engendré par les classes des places au-dessus de ℓ.

Rappelons que les classes logarithmiques ressemblent aux classes au sens habituel puisque les valuations logarithmiques ṽ_{𝔭} sont équivalentes à celles habituelles v_{𝔭} pour 𝔭 ∤ ℓ ; mais qu’elles s’en distinguent substantiellement pour 𝔭|ℓ.

Nous renvoyons à [4] pour une étude détaillée des principales propriétés des groupes logarithmiques répertoriés ci-dessus.

3. Construction "canonique" de la tour localement cyclotomique

Pour chaque corps de nombres K, notons K^{c} sa ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique (i.e. le compositum avec K de la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique ℚ^{c} de ℚ) et K^{lc} sa pro-ℓ-extension abélienne localement cyclotomique maximale (i.e. la plus grande pro-ℓ-extension abélienne de K qui est complètement décomposée sur K^{c} en chacune de ses places). La théorie ℓ-adique du corps de classes identifie le groupe de Galois relatif Gal(K^{lc}/K^{c}) au quotient Ĩ_{K}/Ũ_{K}R_{K} i.e. au ℓ-groupe C̃ℓ_{K} = D̃ℓ_{K}/P̃ℓ_{K} des classes logarithmiques du corps K quotient du ℓ-groupe des diviseurs logarithmiques de degré nul par le sous-groupe des diviseurs logarithmiques principaux ; et le choix d’un relèvement γ dans Gal(K^{lc}/K^{c}) d’un générateur topologique du quotient procyclique Γ = Gal(K^{c}/K) ≃ I_{K}/Ĩ_{K} permet d’écrire (non canoniquement) le groupe Gal(K^{lc}/K) comme produit direct :

Gal(K^{lc}/K^{c}) ≃ I_{K}/Ũ_{K}R_{K} ≃ C̃ℓ_{K} × γ^{ℤ_{ℓ}}.

Le sous-corps K_{γ} de K^{lc} fixé par γ^{ℤ_{ℓ}} est alors un "complément" de K^{c} dans K^{lc}, c’est à dire que l’on a K_{γ}K^{c} = K^{lc} et K_{γ} ∩ K^{lc} = K^{c} ; d’où Gal(K_{γ}/K) ≃ C̃ℓ_{K}. En particulier K_{γ} coïncide avec K si et seulement si l’on a C̃ℓ_{K} = 1, i.e. si K est logarithmiquement principal.

Pour des raisons de canonicité, nous allons remplacer K_{γ} par le compositum des K_{γ} pour tous les relèvements γ :

Proposition 1. Etant donné un corps de nombres K, notons K̃ le compositum des extensions K′ de K^{lc} qui vérifient les deux propriétés : K′K^{c} = K^{lc} & K′ ∩ K^{lc} = K^{c} (en d’autres termes, K̃ est le compositum des extensions K_{γ} qui proviennent d’un relèvement γ dans Gal(K^{lc}/K)).

(i) Si la conjecture de Gross est en défaut dans K (pour le nombre premier ℓ), le corps K̃ coïncide avec la pro-ℓ-extension abélienne localement cyclotomique maximale K^{lc} ; il est alors de degré infini sur K.

(ii) Sinon, K̃ est le sous-corps de K^{lc} fixé par γ^{exp C̃ℓ^{K}}, où γ désigne n’importe quel relèvement dans Gal(K^{lc}/K^{c}) d’un générateur topologique du quotient procyclique Γ = Gal(K^{c}/K), et exp C̃ℓ_{K} est l’exposant du ℓ-groupe (supposé alors fini) des classes logarithmiques C̃ℓ_{K}.

En particulier, K̃ coïncide avec K si et seulement si K est logarithmiquement principal.

Preuve. Distinguons les deux cas :

(i) Si K ne satisfait pas la conjecture de Gross, autrement dit si le groupe C̃ℓ_{K} est infini, chacun des corps K_{γ} est de degré infini sur K et il en est a fortiori de même de leur compositum K̃. Plus précisément, il est clair que si γ et γc sont deux relèvements d’un même générateur topologique de Γ tels que c soit d’ordre infini dans C̃ℓ_{K}, on a γ^{ℤ_{ℓ}} ∩(γc)^{ℤ_{ℓ}} = 1, i.e. K_{γ} ·K_{γc} = K^{lc}, et finalement K̃ = K^{lc}.

(ii) Si K satisfait la conjecture de Gross, notons e l’exposant du ℓ-groupe fini C̃ℓ_{K}. Cela étant, si γ et γc sont deux relèvements d’un même générateur topologique de Γ, on a γ^{ℤ_{ℓ}} ∩ (γc)^{ℤ_{ℓ}} ⊃ γ^{eℤ_{ℓ}} ; et l’égalité a lieu si et seulement si c est d’ordre e dans C̃ℓ_{K}. Il suit comme annoncé ⋂_{c∈C̃ℓ} (γc)^{ℤ_{ℓ}} = γ^{eℤ_{ℓ}} ; et K̃ est le

sous-corps de K^{lc} fixé par γ^{eℤ_{ℓ}}, ce qui se traduit par le schéma d’extensions :

K^{c} K^{lc}

·  K̃

K K′

avec Γ = Gal(K^{c}/K) et [K̃ : K′] = exp C̃ℓ_{K} = e. De plus, on a bien l’équivalence K̃ = K ⇔ K̃ = K′ et K′ = K ⇔ C̃ℓ_{K} = 1.

Par itération du procédé, nous sommes dès lors en mesure de construire la tour localement cyclotomique :

Définition 2. Nous appelons tour localement cyclotomique attachée à un corps de nombres K (et à un nombre premier ℓ) la suite croissante de ℓ-extensions (galoisiennes) de K définie par :

K_{0} = K et la formule de récurrence K_{n+1} = K̃_{n}.

(i) Si, par ce procédé, il apparaît un corps K_{n} qui n’est pas de degré fini (ce qui a lieu si et seulement si le corps K_{n−1} contredit la conjecture de Gross), la suite n’est pas définie au-delà du rang n ; et nous disons qu’elle est indéfinie.

(ii) Sinon deux cas se présentent :

- ou bien la suite (K_{n})_{n∈ℕ} est strictement croissante : le corps K_{∞} = ⋃_{n∈ℕ} K_{n} est de degré infini sur K et nous disons que la tour localement cyclotomique est infinie ;

- ou bien la suite (K_{n})_{n∈ℕ} est stationnaire : K_{∞} = ⋃_{n∈ℕ} K_{n} est alors une ℓ-extension finie de K, et nous disons que la tour localement cyclotomique est finie.

Preuve. Le seul point à vérifier est que les K_{n} sont bien des ℓ-extensions (galoisiennes) de K. Or cela résulte d’une récurrence immédiate puisque, si K_{i} est une ℓ-extension (galoisienne) de K, le corps K_{i+1}, s’il est défini, n’est autre que la (pro)-ℓ-extension abélienne localement cyclotomique d’exposant e_{i} = exp C̃ℓ_{K_{i}} maximale de K_{i}, et que cette propriété est invariante par K-conjugaison.

Proposition 3. Soit K un corps de nombres possèdant une tour localement cyclotomique définie (K_{n})_{n∈ℕ}. On a alors à chaque étage fini de la tour : K_{n}^{lc} = K_{n+1}^{c}. En particulier,

- si la tour est infinie, la réunion K_{∞} = ⋃_{n∈ℕ} K_{n} vérifie K_{∞} = K_{∞}^{c} = K_{∞}^{lc} ;

- si la tour est finie, K_{∞} est une ℓ-extension finie de K qui est logarithmiquement principale.

Preuve. L’identité K_{n}^{lc} = K_{n+1}^{c} est immédiate, par construction. Par passage à la limite nous obtenons K_{∞}^{lc} = ⋃_{n∈ℕ} K_{n}^{lc} = ⋃_{n∈ℕ} K_{n+1}^{c} = K_{∞}^{c} comme annoncé ; et deux cas se présentent :

- si la tour est infinie, l’égalité [K_{n+1} ∩ K_{n}^{c} : K_{n}] = exp C̃ℓ_{K_{n}} ⩾ ℓ, valable pour tout n, montre que K_{∞} contient la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique K^{c} de K, i.e. que l’on a K_{∞} = K_{∞}^{c} = K_{∞}^{lc} ;

- si la tour est finie, K_{∞} est alors un corps de nombres et l’identité K_{∞}^{c} = K_{∞}^{lc} affirme qu’il est logarithmiquement principal.

4. Finitude de la ℓ-tour localement cyclotomique

Du point de vue théorique, la finitude de la tour localement cyclotomique est caractérisée par le théorème suivant :

Théorème 4. Un corps de nombres K a une tour localement cyclotomique finie si et seulement s’il possède une extension finie L qui est logarithmiquement principale (i.e. qui vérifie L^{lc} = L^{c}).

Exemple. Pour ℓ = 2 et ℓ = 3, les corps quadratiques réels K = ℚ(\sqrt{d}) de discriminant d ⩽ 130 ont une ℓ-tour localement cyclotomique finie puisque l’extension ℚ(i, \sqrt{d})(resp.ℚ(\sqrt{−}3, \sqrt{d})) est 2-logarithmiquement (resp. 3-logarithmiquement) principale d’après l’algorithme présenté dans [2].

La proposition 3 nous dit que si K possède une tour localement cyclotomique finie (K_{n})_{n∈ℕ}, le corps K_{∞} = ⋃_{n∈ℕ} K_{n} est alors une ℓ-extension finie de K qui est logarithmiquement principale, ce qui démontre le caractère nécessaire de la condition caractéristique proposée par le théorème. Pour établir qu’elle est également suffisante nous aurons besoin d’introduire la notion de corps surciculaire strictement ℓ-principal : rappelons qu’un corps surciculaire C est, par définition, la ℤ_{ℓ}-extension K^{c} cyclotomique d’un corps de nombres K ; en d’autres termes, c’est une extension finie de la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique ℚ^{c} de ℚ.

Théorème 5. pour tout corps surcirculaire C les trois assertions suivantes sont équivalentes : (i) le corps C ne possède aucune (pro-)ℓ-extension (galoisienne) non triviale complètement décomposée partout ;

(ii) le corps C ne possède aucune (pro-)ℓ-extension abélienne non triviale complètement décomposée partout ;

(iii) le corps K est logarithmiquement principal.

Définition 6. Un corps surcirculaire qui vérifie les trois conditions equivalentes précédentes est dit est dit strictement ℓ-principal. Et nous disons que deux corps de nombres H et K sont surciculairement équivalents lorsqu’ils définissent le même corps surciculaire H^{c} = K^{c}. Le théorème 5 affirme alors en particulier que deux tels corps sont simultanément logarithmiquement principaux ou pas.

Exemple. Les corps ℚ(\sqrt{3}) et ℚ(\sqrt{6}) sont 2-circulairement équivalents puisque le premier étage de leur ℤ_{2}-extension cyclotomique est ℚ(\sqrt{3}, \sqrt{6}) = ℚ(\sqrt{3}, \sqrt{2}) = ℚ(\sqrt{6}, \sqrt{2}).

Preuve du théorème 5. Ecrivons C = K^{c} et notons Γ le groupe procyclique Gal(C/K) ; désignons enfin par G = Gal(C_{cd}/C) le groupe de Galois de la proℓ-extension complètement décomposée partout maximale de C, notons G^{ab} son abélianisé et G_{Γ}^{ab} ≃ C̃ℓ_{K} le plus grand quotient de G^{ab} sur lequel Γ agit trivialement. Par une propriété classique des pro-ℓ-groupes, nous obtenons alors :

G = 1 ⇔ G^{ab} = 1 ⇔ G_{Γ}^{ab} = 1, i.e. (i) ⇔ (ii) ⇔ (iii).

Preuve du théorème 4. Soit maintenant K un corps de nombres admettant une extension finie logarithmiquement principale L. De l’inclusion K ⊂ L, nous concluons alors K^{lc} ⊂ L^{lc} = L^{c} donc [K^{lc} : K^{c}] ≤ [L^{c} : K^{c}] ≤ [L : K] ; ce qui montre que K satisfait bien la conjecture de Gross, et que le premier étage K_{1} = K̃ de sa tour localement cyclotomique vérifie encore K_{1}^{c} = K^{lc} ⊂ L^{c}. Procèdons donc par récurrence en supposant construits les k premiers étages K_{1} ⊂ K_{2} ⊂ ⋯ ⊂ K_{k} avec K_{k}^{c} ⊂ L^{c}. Le compositum L_{k} de K_{k} et de L est alors surciculairement équivalent à L et le théorème 5 nous dit qu’il est alors logarithmiquement principal. De l’inclusion K_{k} ⊂ L_{k} nous concluons donc comme plus haut que K_{k} satisfait la conjecture de Gross et qu’on a pour K_{k+1} = K̃_{k} l’inclusion attendue K_{k+1}^{c} = K_{k}^{lc} ⊂ L_{k}^{lc} = L_{k}^{c} = L^{c}, ce qui permet de poursuivre la construction. Bien entendu, nous avons alors K_{∞}^{c} = ⋃_{n∈ℕ} K_{n}^{c} ⊂ L^{c}, d’où

∏_{n=0}^{∞}[K_{n+1}^{c} : K_{n}^{c}] = [K_{∞}^{c} : K^{c}] ≤ [L^{c} : K^{c}] ≤ [L : K],

et la tour est finie.

Corollaire 7. Si K est un corps de nombres qui possède une ℓ-tour localement cyclotomique finie, le corps surciculaire K_{∞}^{c} est le plus petit corps surciculaire strictement ℓ-principal contenant K.

Preuve. Cela résulte clairement de la démonstration du théorème 4.

Théorème 8 (Caractérisation de la finitude). Soient K un corps de nombres, C = K^{c} sa ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique et G_{K} = Gal(C_{cd}/C) le groupe de Galois relatif de la pro-ℓ-extension complètement décomposée (partout) maximale C_{cd} de C. Cela posé, le corps K possède une tour localement cyclotomique finie si et seulement si G_{K} est fini, auquel cas on a : K_{∞}^{c} = C_{cd}.

Définition 9. Nous résumons cette situation en disant que K est quasi-logari-thmiquement principal.

Preuve. Si K admet une tour localement cyclotomique finie (K_{n})_{n∈ℕ}, la réunion K_{∞}^{c} = ⋃_{n∈ℕ} K_{n}^{c} est alors un corps surciculaire qui est ℓ-principal et c’est aussi par construction une ℓ-extension complètement décomposée de C = K^{c}. Ainsi C_{cd} est alors un corps surciculaire contenant K et strictement ℓ-principal, de sorte que [C_{cd} : C] = [K_{∞}^{c} : K^{c}] est fini.

Réciproquement, si G est fini, C_{cd} est alors un corps surciculaire contenant K et strictement ℓ-principal de sorte que K a une tour localement cyclotomique finie d’après le théorème 4.

Il est intéressant de relire le théorème 8 à la lumière de la théorie d’Iwasawa : le corps K étant donné, notons C = K^{c} sa ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique, Γ le groupe procyclique Gal(K^{c}/K) et Λ = ℤ_{ℓ}[[Γ]] l’algèbre d’Iwasawa associée, puis G_{K} = Gal(C_{cd}/C) le groupe de Galois relatif de la pro-ℓ-extension complètement décomposée maximale C_{cd} de C. L’abélianisé G_{K}^{ab} de G_{K} s’interprète alors, via la théorie ℓ-adique du corps de classes, comme la limite du système projectif (pour les applications normes) des ℓ-groupes de ℓ-classes Cℓ′_{L} attachés aux étages finis L de la tour cyclotomique K^{c}/K :

G_{K}^{ab} ≃ \underleftarrow{lim} Cℓ′_{L}.

Le groupe G_{K}^{ab} est un Λ-module noetherien et de torsion dont nous noterons λ′_{K} et μ′_{K} les invariants d’Iwasawa. Cela étant :

Scolie 10. Avec les notations précédentes, on a les équivalences et l’implication : (i) K est logarithmiquement principal ⇔ G_{K} = 1 ⇔ G_{K}^{ab} = 1 ⇔ C̃ℓ_{K} = 0. (ii) K est quasi-logarithmiquement principal ⇔ G_{K} fini ⇒ G_{K}^{ab} fini ⇔ λ′_{K} =

μ′_{K} = 0.

Remarques. (i) L’invariant μ′_{K} co´’ıncide avec l’invariant μ_{K} habituel (cf., par exemple, [3]) ; il est conjecturalement nul et effectivement pour K absolument abélien d’après un résultat de Ferrero et Washington.

(ii) L’invariant λ′_{K} est en général strictement plus petit que l’invariant λ_{K} habituel (cf. [3]) ; lorsque K est totalement réel, sa nullité conjointement à celle de μ′_{K} constitue la conjecture de Greenberg.

(iii) Par un argument classique de théorie d’ Iwasawa, la finitude du groupe de Galois G_{K}^{ab} = \underleftarrow{lim} Cℓ′_{L} équivaut à la principalité du corps surciculaire K^{c}, i.e. à la trivialité du ℓ-groupe des ℓ-classes Cℓ′_{K^{c}} = \underrightarrow{lim}, Cℓ′_{L} (cf. [1]).

Le scolie 10 laisse donc ouvert le cas où le corps surciculaire K^{c} est ℓ-principal (Cℓ′_{K^{c}} = 1) mais non strictement ℓ-principal (G_{K}^{ab} ≠ 1). Un argument de théorie des genres permet cependant de conclure dès lors que G_{K}^{ab} est cyclique :

Proposition 11. Si le groupe de Galois relatif G_{K}^{ab} de la pro-ℓ-extension abélienne complètement décomposée maximale du corps surciculaire K^{c} est cyclique, la tour localement cyclotomique de K est alors finie.

Preuve. Ecrivons K^{c} = C, notons L = C_{cd}^{ab} la pro-ℓ-extension abélienne complètement décomposée maximale de C et N = L_{cd}^{ab} celle de L. Observons que N est galoisienne sur C, notons G le groupe de Galois Gal(N/C) et H le sous-groupe abélien Gal(N/L). Nous avons par construction H = G′, le sous-groupe dérivé de G (puisque L est la sous-extension maximale de N abélienne sur K) et, par hypothèse, G/H = G_{K}^{ab} cyclique engendré par, disons, σ. Maintenant G/H opère sur H par conjugaison et puisqu’il est cyclique, le sous-groupe H^{1−σ} fixe la sousextension maximale L de N qui est abélienne sur K. Il vient donc H = H^{1−σ} i.e. H = 1 ; et L est ainsi une extension finie de C qui est donc ℓ-principale. En d’autres termes L est la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique d’une extension finie de K qui est logarithmiquement principale.

5. Critères d’infinitude pour la tour localement cyclotomique

Le scolie 10 ci-dessus nous donne, par passage à la contraposée un premier critère de non finitude pour la tour localement cyclotomique : il suffit que l’un au moins des invariants λ′_{K} ou μ′_{K} d’Iwasawa ne soit pas nul. Un inconvénient de ce critère est qu’il ne se lit pas directement dans K mais dans sa ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique K^{c}.

Nous allons donner dans cette section un deuxième critère basé sur une adaptation ad hoc du théorème de Golod-Šafarevič sur les tours de Hilbert (cf. [11]) :

Théorème 12. Soit K un corps de nombres ayant r places réelles et 2c places complexes ; posons δ = 1 ou 0 selon que K contient ou non les racines ℓ-ièmes de l’unité. Si le ℓ-rang du groupe des classes logarithmiques de K vérifie l’inégalité

rg_{ℓ}(C̃ℓ) ≥ 1 + 2\sqrt{r + c + δ + 1},

alors la ℓ-tour localement cyclotomique de K n’est pas finie.

Exemple. Si K est un corps quadratique ℚ[\sqrt{d}], les éléments d’ordres 2 du groupe 2-groupe des classes logarithmiques C̃ℓ sont exactement ceux invariants par Gal[K/ℚ]. La formule des 2-classes logarithmiques ambiges (cf.[5], th. 4.5 et [11], th. 5.2) montre alors que le 2-rag du groupe C̃ℓ est égal à 5 dès que 7 places au moins sont ramifiées au sens logarithmiques dans K/ℚ dont une primitivement. Le plus petit exemple réel est ainsi ℚ[\sqrt{3.5.7.11.13.17}], qui correspond à d = 255 255, et le plus petit exemple imaginaire est ℚ[\sqrt{3.5.7.11.13.19}], qui correspond à d = −285 285. Dans ce dernier cas, comme observé dans [7], le corps K a, en outre, une 2-tour de Hilbert infinie.

Preuve. Rappelons que le ℓ-rang d’un (pro)-ℓ-groupe G est le nombre minimal rg_{ℓ}G = dim_{F_{ℓ}} H^{1}(G, 𝔽_{ℓ}) de générateurs de celui-ci et que, si G est fini, il est bien connu (cf. [12], §2, p.245) que l’on a :

\frac{1}{4}[rg_{ℓ}(G)]^{2} − rg_{ℓ} (G) < rg_{ℓ} Ĥ^{−3}(G, ℤ_{ℓ}).

Raisonnons par contraposée en supposant que K possède une tour localement cyclotomique finie K_{∞}, et appliquons le résultat précédent au groupe de Galois G = Gal(K_{∞}/K). Nous obtenons ainsi :

(⋆) \frac{1}{4}[rg_{ℓ}(G)]^{2} − rg(G) < rg_{ℓ} Ĥ^{−1}(G, C_{K_{∞}}),

où C_{K_{∞}} = I_{K_{∞}}/R_{K_{∞}} est le ℓ-groupe des classes d’idèles du corps K_{∞}, en vertu des isomorphismes du corps de classes Ĥ^{i}(G, ℤ_{ℓ}) ≃ Ĥ^{i+2}(G, C_{K_{∞}}) (cf., par exemple, [14], p.197, §11.3). Introduisons à présent le sous-groupe Ĩ_{K_{∞}}/R_{K_{∞}} des classes d’idèles de degré nul. La suite exacte courte canonique

1 → Ĩ_{K_{∞}}/R_{K_{∞}} → I_{K_{∞}}/R_{K_{∞}} → I_{K_{∞}}/Ĩ_{K_{∞}} ≃ ℤ_{ℓ} → 1

nous donne la suite de cohomologie

Ĥ^{−1}(G, Ĩ_{K_{∞}}/R_{K_{∞}}) → Ĥ^{−1}(G, C_{K_{∞}}) → Ĥ^{−1}(G, ℤ_{ℓ}),

où le dernier groupe à droite est nul (cf. [13], p.193, §11.1). En particulier le morphisme à gauche est surjectif, ce qui nous donne la deuxième inégalité :

rg_{ℓ} Ĥ^{−1}(G, C_{K_{∞}}) ⩽ rg_{ℓ} Ĥ^{−1}(G, Ĩ_{K_{∞}}/R_{K_{∞}}) = rg_{ℓ} Ĥ^{−1}(G, Ũ_{K_{∞}}R_{K_{∞}}/R_{K_{∞}})

(⋆⋆) rg_{ℓ} Ĥ^{−1}(G, C_{K_{∞}}) ⩽ rg_{ℓ} Ĥ^{−1}(G, Ũ_{K_{∞}}/Ẽ_{K_{∞}}),

puisque, le groupe des classes logarithmiques C̃ℓ_{K_{∞}} = Ĩ_{K_{∞}}/Ũ_{K_{∞}}R_{K_{∞}} du corps K_{∞} est trivial en vertu de la proposition 3. Les groupes de cohomologie Ĥ^{i}(G, Ũ_{K_{∞}}) étant tous nuls (comme établi dans le lemme 13 ci-après), nous avons enfin la troisième inégalité :

(⋆ ⋆ ⋆) rg_{ℓ} Ĥ^{−1}(G, Ũ_{K_{∞}}/Ẽ_{K_{∞}}) = rg_{ℓ} Ĥ^{0}(G, Ẽ_{K_{∞}}) ≤ rg_{ℓ}Ẽ_{K} = r + c + δ,

puisque l’hypothèse de finitude implique que le corps K satisfait la conjecture de Gross, de sorte que le ℓ-groupe Ẽ_{K} des unités logarithmiques globales est le produit du ℓ-groupe des racines de l’unité dans K et d’un ℤ_{ℓ}-module libre de dimension r + c (cf. [J_{3}], prop. 3.4. ). En fin de compte, il vient donc :

\frac{1}{4}[rg_{ℓ}(G)]^{2} − rg_{ℓ}(G) < r + c + δ, i.e. rg_{ℓ}(G) < 2 + 2\sqrt{r + c + δ + 1}.

Et comme G = Gal(K_{∞}/K) admet C̃ℓ_{K_{∞}} × (ℤ_{ℓ}/exp C̃ℓ_{K_{∞}}ℤ_{ℓ}) ≃ Gal(K_{1}/K) comme quotient, il vient bien, comme attendu :

rg_{ℓ}(C̃ℓ) ≤ rg_{ℓ}G − 1 < 1 + 2\sqrt{r + c + δ + 1} ;

ce qui achève la démonstration, compte tenu du :

Lemme 13. Si L/K est une ℓ-extension localement cyclotomique de corps de nombres, de groupe de Galois G. Alors le groupe des unités logarithmiques locales est G-cohomologiquement trivial ; i.e. on a :

Ĥ^{i}(G, Ũ_{L}) = 1, ∀ i ∈ ℤ.

Preuve. Pour chaque place finie 𝔭 de K, faisons choix d’une place 𝔓 de L au-dessus de K et notons G_{𝔭} = Gal(L_{𝔭}/K_{𝔭}) le groupe de décomposition associé. Le lemme de Shapiro nous donne l’isomorphisme :

Ĥ^{i}(G, Ũ_{L}) = Ĥ^{i}(G, ∏_{𝔓} Ũ_{𝔭}) = ∏_{𝔭} Ĥ^{i}(G, ∏_{𝔓|𝔭} Ũ_{𝔭}) = ∏_{𝔓} Ĥ^{i}(G_{𝔭}, Ũ_{𝔭})

où les groupes G_{𝔭} sont réputés cycliques puisque par hypothèse les extensions L_{𝔭} sont contenues dans la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique de K_{𝔭}. Maintenant, comme les unités logarithmiques sont précisément les normes cyclotomiques (cf. [4]), la norme locale N_{L_{𝔭}/K_{𝔭}} est surjective de Ũ_{𝔭} dans Ũ_{𝔭} = Ũ_{𝔭}^{G_{𝔭}} ; ce qui nous donne directement Ĥ^{0}(G_{𝔭}, Ũ_{𝔭}) = 1. Et puisque le caractère de G_{𝔭} défini par Ũ_{𝔭} est le caractère régulier, le quotient de Herbrand q(G_{𝔭}, Ũ_{𝔭}) = | Ĥ^{0}(G_{𝔭}, Ũ_{𝔭}) |/ | Ĥ^{1}(G_{𝔭}, Ũ_{𝔭}) | vaut 1. Finalement il vient aussi Ĥ^{1}(G_{𝔭}, Ũ_{𝔭}) = 1 et le lemme s’ensuit par périodicité.

Références bibliographiques

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Jean-François Jaulent  Florence Soriano
Université Bordeaux 1  Département de Mathématiques
Institut de Mathématiques  Université de Metz
351, cours de la Libération  Ile du Saulcy
F-33405 TALENCE Cedex  F-57045 METZ Cedex
jaulent@math.u-bordeaux.fr  soriano@poncelet.univ-metz.fr

Références de l’article

[1] J.-F Jaulent et F. Soriano, Sur les tours localement cyclotomiques, Archiv der Math. 73 (1999), 132-140.