A propos de la tour localement cyclotomique d’un corps de nombres^{∗}

Jean-François Jaulent et Christian Maire

Résumé. Nous adaptons des résultats récents sur le problème de la tour de Hilbert d’un corps de nombres au cas de la ℓ-tour localement cyclotomique.

Abstract. We adapt some recent results on Hilbert ℓ-towers of number fields to locally cyclotomic ℓ-towers (i.e. logarithmic towers).

Introduction

Soient k un corps de nombres, ℓ un nombre premier, et C̃l_{k} le ℓ-groupe des classes logarithmiques de k (cf. [5]). On sait que la conjecture de Gross généralisée postule la finitude de ce groupe.

Ainsi dans toute la suite, nous supposerons vérifiée cette conjecture dans les corps que nous considérons, autrement dit que les ℓ-groupes des classes logarithmiques qui interviennent sont finis.

A partir de k et de ce groupe, il est défini dans [6] une ℓ-tour localement cyclotomique de k, construite sur le modèle de la ℓ-tour de Hilbert. Nous nous proposons donc de regarder certains résultats autour du problème de la tour de Hilbert dans ce cadre précis.

Tout d’abord nous rappelons la définition du groupe des classes logarithmiques (§1), puis celle de la ℓ-tour localement cyclotomique, ainsi que les premières propriétés de cette tour. Nous appliquons ensuite un résultat de théorie des genres à l’extension K/k afin de donner un critère d’infinitude de la ℓ-tour localement cyclotomique de K portant sur le nombre de places logarithmiquement ramifiées dans K/k (§2). Nous illustrons ceci en donnant de nombreux exemples de corps quadratiques ayant une 2-tour localement cyclotomique infinie (§3).

Dans la dernière section enfin nous donnons quelques renseignements sur le groupe des ℓ-classes logarithmiques du premier étage de la tour, que nous illustrons pour ℓ ≠ 2 par des exemples quadratiques (§4).

∗Abh. Math. Sem. Hamburg 70 (2000), 239–250.

1. Rappels sur le ℓ-groupe des classes logarithmiques

Pour toute la suite ℓ désigne un nombre premier fixé. Les résultats de [4] et [5] que nous utilisons peuvent se résumer comme suit:

Valeur absolue ℓ-adique et valuation logarithmique. Si K/k désigne une extension de corps de nombres et 𝔓 une place finie de K, la quantité

ẽ_{𝔓}(K/k) = [K_{𝔓} : K_{𝔓} ∩ k_{𝔭}ℚ̂_{p}],

où 𝔓|𝔭|p et ℚ̂_{p} est la ℤ̂-extension cyclotomique de ℚ_{p} (i.e. le produit des ℤ_{q}- extensions cyclotomiques de ℚ_{p} pour tous les q) est, par convention l’indice de ramification logarithmique de 𝔓 dans K/k. Lorsque l’extension K/k est galoisienne, le groupe de Galois Gal(K_{𝔓}/k_{𝔭}∩k_{𝔭}ℚ̂_{p}) est dit groupe de ramification logarithmique 𝔓 dans K/k et noté Ĩn_{𝔓}(K/k) ; il peut donc être vu comme un sous-groupe de Gal(K/k).

Le degré résiduel logarithmique est, lui :

f̃_{𝔓}(K/k) = [K_{𝔓} ∩ k_{𝔭}ℚ̂_{p} : k_{𝔭}] = [K_{𝔓} : k_{𝔭}]/ẽ_{𝔓}(K/k).

Par suite, comme dans le cas classique, le produit ẽ_{𝔓}(K/k)f̃_{𝔓}(K/k) coïncide avec le degré local [K_{𝔓} : k_{𝔭}].

Soit maintenant k un corps de nombres et 𝔭 un premier de k. La valeur absolue ℓ-adique et la valuation logarithmique sont définies sur le compactifié ℓ-adique R_{𝔭} = lim_{←} k_{𝔭}^{×}/k_{𝔭}^{×}^{ℓ^{n}} du groupe multiplicatif k_{𝔭}^{×} ; pour x ∈ ℤ_{ℓ}^{×}, notons ⟨x⟩ l’élément du sous-groupe des unités principales qui apparait dans la factorisation canonique de x ; la valeur absolue ℓ-adique est définie alors par la formule :

|x|_{𝔭} = \{ \begin{matrix}⟨N𝔭^{−v_{𝔭}(x)}⟩, si 𝔭 |̸ℓ \\ ⟨N_{𝔭}(x)N𝔭^{−v_{𝔭}(x)}⟩, si 𝔭|ℓ \end{matrix}

N étant la norme absolue, N_{𝔭} la norme de k_{𝔭}/ℚ_{ℓ}, et v_{𝔭} la valuation en 𝔭.

Pour p étranger à ℓ, il est commode de poser deg(p) = Log_{Iw}p, puis deg(ℓ) = ℓ pour ℓ ≠ 2, et deq(ℓ) = 4 sinon. On définit ensuite le degré de 𝔭 par

deg(𝔭) = f̃_{𝔭}(k/ℚ)deg(p).

La valuation logarithmique est alors donnée à partir de la valeur absolue ℓ-adique |.|_{𝔭} et du degré résiduel logarithmique par la formule :

ṽ_{𝔭} = \frac{− log |.|_{𝔭}}{deg(𝔭)} .

Unités logarithmiques locales et globales. Le ℓ-groupe des unités logarithmiques locales est le noyau Ũ_{𝔭} de ṽ_{𝔭} dans R_{𝔭}. Remarquons que si 𝔭 et ℓ sont étrangers, Ũ_{𝔭} s’identifie au sous-groupe de ℓ-torsion des unités locales de k en 𝔭. Par contre, si 𝔭 divise ℓ, Ũ_{𝔭} est le produit direct du sous-groupe des racines de l’unité d’ordre ℓ-primaire contenue dans k_{𝔭} par un ℤ_{ℓ}-module libre de rang [k_{𝔭} : ℚ_{ℓ}] (cf. [5]). Enfin, pour une place infinie 𝔭, le groupe Ũ_{𝔭} coïncide avec le groupe classique des unités locales. On voit par là que Ũ_{𝔭} ne se distingue du sous-groupe unité U_{𝔭} de R_{𝔭} que pour 𝔭|ℓ.

Par suite, le ℓ-adifié J_{k} du groupe des idèles, défini comme le produit ∏^{res} R_{𝔭} restreint aux familles (x_{𝔭})_{𝔭} dont tous les termes, à l’exception d’un nombre fini d’entre eux, tombent dans U_{𝔭}, contient comme sous-module compact le produit Ũ_{k} des Ũ_{𝔭}, qui est ainsi le sous-groupe des unités logarithmique semi-locales.

Comme J_{k} contient par ailleurs le rayon R_{k} = ℤ_{ℓ} ⊗ k^{×} ou ℓ-groupe des idèles principaux, l’intersection Ẽ_{k} = R_{k} ∩ Ũ_{k} est le ℓ-groupe des unités logarithmiques globales de k. Sous la conjecture de Gross, ce groupe est le produit direct du sousgroupe des racines de l’unités d’ordre ℓ-primaire par un ℤ_{ℓ}-module de rang r_{k} + c_{k}, où r_{k} est le nombre de places réelles de k et c_{k} celui de places complexes.

Diviseurs et classes logarithmiques. Le ℓ-groupe Dl_{k} des diviseurs logarithmiques de k est le ℤ_{ℓ}-module libre construit sur les places finies de k ; c’est encore l’image du quotient J_{k}/Ũ_{k} par la famille des valuations logarithmiques (ṽ_{𝔭})_{𝔭}

Dl_{k} = ⨁_{𝔭∈P l_{k}^{0}} ℤ_{ℓ} 𝔭 ≃ J_{k}/Ũ_{k}.

Le degré d’un diviseur logarithmique 𝔡 = ∑ a_{𝔭}𝔭 de k est par convention la quantité

deg_{k}(𝔡) = ∑ a_{𝔭}deg(𝔭).

Le sous-module D̃l_{k} de Dl_{k} formé des diviseurs de degré nul est ainsi l’image J̃_{k}/Ũ_{k} dans Dl_{k} du noyau J̃_{k} dans J_{k} de la formule du produit pour les valeurs absolues ℓ-adiques. L’application ℤ_{ℓ}-linéaire dl_{k} :

x ∈ R_{k} ↦ ∑ ṽ_{𝔭}(x)𝔭,

envoie alors R_{k} sur un sous-module P̃l_{k} de D̃l_{k} (cf. [5]) ; on dit que P̃l_{k} est le sous-groupe principal de D̃l_{k}, et le quotient

C̃l_{k} = D̃l_{k}/P̃l_{k} ≃ J̃_{k}/Ũ_{k}R_{k}

est par définition le ℓ-groupe des classes logarithmiques du corps k. Lorsqu’il est trivial on dit que k est logarithmiquement principal, ou encore log-principal.

2. Compléments sur la ℓ-tour localement cyclotomique

Partons de l’interprétation naturelle du ℓ-groupe des classes logarithmiques comme groupe de Galois d’une ℓ-extension abélienne : soit k^{lc} la ℓ-extension abélienne localement cyclotomique maximale de k i.e. la plus grande pro-ℓ-extension abélienne de k qui est complétement décomposée sur la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique k^{c} de k en chacune de ses places. D’après [5], le sous-groupe normique de J_{k} attaché à k^{lc} par la théorie ℓ-adique du corps de classes est Ũ_{k}R_{k}, tandis que celui attaché à k^{c} est J̃_{k}. Il vient donc canoniquement :

Gal(k^{lc}/k^{c}) ≃ J̃_{k}/Ũ_{k}R_{k} ≃ C̃l_{k},

de sorte que le groupe C̃l_{k} mesure bien l’obstruction globale au problème du plongement dans la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique.

Cela étant, il est construit dans [6] une suite d’extensions comme suit :

Partant de k_{0} = k, on définit k_{n+1} comme la ℓ-extension abélienne localement cyclotomique maximale de k_{n} d’exposant celui de C̃l_{k_{n}} (c’est à dire comme le compositum des sous-corps de k_{n}^{lc} fixés par les γ.c, où γ désigne un relèvement arbitraire à Gal(k_{n}^{lc}/k_{n}) d’un générateur topologique de Gal(k_{n}^{c}/k_{n}) ≃ ℤ_{ℓ}, et c parcourt

C̃l_{k_{n}} ≃ Gal(k_{n}^{lc}/k_{n}^{c}). Et on pose finalement k_{∞} = ⋃_{n=0}^{∞} k_{n}.

Si [k_{∞} : k] est fini, on dit que la tour est finie ; sinon on dit qu’elle est infinie. Le premier cas se produit si et seulement si k possède une extension finie K qui est log-principale (cf. [6]) ; dans le deuxième cas aucune extension K finie de k n’admet elle-même une telle tour finie ; en d’autres termes la pro-ℓ-extension localement cyclotomique maximale K̄^{lc} est alors de degré infini sur sa ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique K^{c}.

Il peut être intéressant dans ce dernier cas de préciser le comportement des groupe C̃l_{k} dans la ℓ-tour localement cyclotomique k_{∞}/k : convenons de dire qu’une suite (F_{n}/k)_{n∈ℕ} de sous-extensions finies de k_{∞}/k est exhaustive lorsqu’on a k_{∞} = ∪_{n∈ℕ}F_{n}. F. Hajir [3] a noté que si un ℓ-groupe G passe le test de Golod-Shafarevich, i.e s’il vérifie d^{2} ≥ 4r (où d est le nombre minimal de générateurs et r celui de relations), alors G n’est pas pro-ℓ-analytique et qu’ainsi pour toutes suites G_{i} d’ouverts de G, le ℓ-rang des G_{i} tend vers l’infini. En particulier, cette remarque s’adapte parfaitement à notre situation.

Théorème 2.1. Soit r_{k} le nombre de places réelles de k et c_{k} le nombre de places complexes, δ_{k} = 1 si k contient ζ_{ℓ} et 0 sinon. Si le ℓ-rang d_{ℓ}C̃l_{k} de C̃l_{k} est supérieur ou égal à 1+2\sqrt{r_{k} + c_{k} + 1 + δ_{k}}, alors pour toute suite exhaustive de sous-extensions finies F_{n}/k de k_{∞}/k, l’ordre du ℓ-groupe C̃l_{F_{n}} des classes logarithmiques de F_{n} tend vers l’infini avec n.

Preuve. En effet, d’après [6], G = Gal(k_{∞}/k) passe le test de Golod et Shafarevich dès que l’on a l’inégalité d_{ℓ}C̃l_{k} ≥ 1 + 2\sqrt{r_{k} + c_{k} + 1 + δ_{k}}.

Nous allons voir comment améliorer ce critère à l’aide de la théorie logarithmique des genres dans le cas d’une ℓ-extension cyclique K/k de corps de nombres, en nous inspirant des méthodes existantes pour les tours de Hilbert. Le résultat principal de cette section s’énonce comme suit :

Théorème 2.2. Soit K/k une extension cyclique de degré ℓ. Conservons les notations précédentes et notons alors ρ_{K/k} la somme du nombre de places réelles de k se complexifiant dans K/k et du nombre de places finies de k ayant un indice de ramification logarithmique non trivial.

Alors l’inégalité

ρ_{K/k} ≥ 2 + 2\sqrt{r_{k} + c_{k} + 1 + δ_{k}} + d_{ℓ}Ẽ_{k},

implique que la ℓ-tour localement cyclotomique K_{∞}/K est infinie.

Corollaire 2.3 (Application aux cas quadratiques).

i) Soit F = ℚ(\sqrt{d}) un corps quadratique réel. S’il y a au moins 8 places qui se ramifient dans F/ℚ, alors la 2-tour F_{∞}/F est infinie.

ii) Soit F = ℚ(\sqrt{−d}) un corps quadratique imaginaire : S’il y a au moins 7 places finies qui se ramifient dans F/ℚ, alors la 2-tour F_{∞}/F est infinie.

Bien entendu, ce résultat peut être amélioré par exemple si 2 est logarithmiquement ramifiée dans F/ℚ : ainsi dans [6], il est donné les deux exemples suivants : ℚ(\sqrt{3.5.7.11.13.17}), et ℚ(\sqrt{−3.5.7.11.13.19}).

La preuve du théorème 2.2 repose sur un résultat général de la théorie logarithmique des genres que nous allons maintenant établir.

Théorème 2.4 (Suite exacte des ℓ-genres logarithmiques). Soit K/k une ℓ-extension abélienne et M le ℓ-corps des genres logarithmiques relatifs à l’extension K^{lc}/k, c’est à dire la plus grande sous-extension de K^{lc} qui est abélienne sur k. Pour chaque place 𝔭 de k, notons D_{p}(K/k) (resp. Ĩn_{𝔭}(K/k) le groupe de décomposition (resp. sous-groupe d’inertie logarithmique) dans l’extension abélienne M/k. Les symboles locaux de reste normique conduisent alors à la suite exacte courte :

1 ⟶ Ẽ_{k}/(Ẽ_{k} ∩ N_{K/k}^{loc}) ⟶^{Φ} ⨁_{p|∞} D_{𝔭}(M/k) ⨁_{p∈P l_{k}^{0}} Ĩn_{𝔭}(M/k) ⟶^{Ψ} Gal(M/k^{lc}) ⟶ 1.

Preuve du Théorème 2.4. Rappelons tout d’abord l’ordre de Gal(M/k^{lc}) (cf. [5]) :

|Gal(M/k^{lc})| = \frac{∏_{𝔭|∞} d_{𝔭}(K/k) ∏_{𝔭∈P l_{k}^{0}} ẽ_{𝔭}(K/k)}{(Ẽ_{k} : Ẽ_{k} ∩ N_{K/k}^{loc})},  (1)

où d_{𝔭}(K/k) est l’ordre du sous-groupe de décomposition de 𝔭 dans K/k, et Ẽ_{k}∩N_{K/k}^{loc} le groupe des unités logarithmiques de k qui sont normes locales partout dans K/k. Les deux morphismes Φ et Ψ sont définis de la manière suivante :

Φ : ε ↦ ⊕_{𝔭}(ε, M/k)_{v}

est donné par les symboles locaux de réciprocité (., M/k)_{v}, et le second Ψ par la formule du produit :

Ψ : ⊕_{v}σ_{v} ↦ ∏_{v} σ_{v}.

Bien entendu, on a Im(Ψ) ⊂ ker(Φ) et Im(Φ) = Gal(M/k^{lc}) par maximalité de k^{lc}. Cela étant, les égalités immédiates Ẽ_{k} ∩ N_{M/k}^{loc} = Ẽ_{k} ∩ N_{K/k}^{loc} et ẽ_{𝔭}(M/k) = ẽ_{𝔭}(K/k) assurent alors l’exactitude de la suite.

Preuve du Théorème 2.2. La suite exacte du théorème 2.4 conduit à l’inégalité :

d_{ℓ}C̃l_{K} ≥ d_{ℓ}Gal(M/k^{c}) − d_{ℓ}Gal(K/k)
≥ ρ_{K/k} − d_{ℓ}Ẽ_{k} − 1.

La fin provient du théorème 2.1.

3. Applications aux corps quadratiques

Nous nous proposons de donner des exemples de corps quadratiques ayant peu de ramification et une 2-tour localement cyclotomique infinie. Pour cela nous nous inspirons des constructions classiques dans le cadre des ℓ-tours de Hilbert (cf. [8] par exemple).

Rappelons en le principe : Soit Q_{∞} la ℤ_{2}-extension cyclotomique de ℚ et Q_{i} le i-ème étage de Q_{∞} (i.e. Q_{0} = ℚ, Q_{1} = ℚ(\sqrt{2}), etc).

Nous partons de k = Q_{h}, avec [k : ℚ] = 2^{h} ; étant donné un corps quadratique réel ou imaginaire F = ℚ(\sqrt{d}), avec d sans facteur carré, on pose K = kF. Ainsi sont au moins logarithmiquement ramifiées dans K/k les places divisant d étrangères à 2. Ce nombre est élevé si ces places sont décomposés dans k/ℚ, ce qui se traduit par une condition de congruence modulo 2^{h}.

Soit maintenant Cl_{F} le 2-groupe des classes de F (au sens classique). On a le lemme suivant :

Lemme 3.1. Notons F′ l’extension abélienne 2-décomposée maximale de F. Alors 1) Si 2 est inerte dans F/ℚ, l’exposant de Cl_{F} divise l’exposant de C̃l_{F},

2) Si 2 est ramifié dans F/ℚ et si Q_{1}F n’est pas inclus dans F′ (en particulier si Q_{1}F/F est ramifiée), exp(Cl_{F})/2 divise exp(C̃l_{F}),

3) Si 2 est ramifié dans F/ℚ et si Q_{1}F est inclus dans F′, exp(Cl_{F})/4 divise exp(C̃l_{F}).

Preuve du lemme. Distinguons deux cas :

Si 2 est inerte dans F/ℚ, le 2-groupe des 2-classes Cl′_{F} de F (au sens classique) coïncide avec Cl_{F}. Par ailleurs, comme la ℤ_{2}-extension cyclotomique de F est totalement ramifiée en 2, on a que Cl′_{F} est un quotient de C̃l_{F}, d’où le premier point.

Si 2 est ramifié dans F/ℚ, l’ordre de la classe dans Cl_{F} du premier au-dessus de 2 est au plus 2. Maintenant, le corps F′ ∩ Q_{∞}F est soit F, soit Q_{1}F. Ainsi exp(Cl_{F})/2 divise exp(Cl′_{F}) dans le premier cas, et exp(Cl_{F})/4 divise exp(Cl′_{F}) dans le second cas.

Si l’on prend suffisamment de places divisant d, il suit du théorème 2.2 que K a une 2-tour localement cyclotomique infinie. De plus si l’exposant de C̃l_{F} est au-moins égal à 2^{h}, alors le premier étage F_{1} de la 2-tour de F contient K. Cela implique en particulier que la 2-tour localement cylotomique de F est infinie d’après le paragraphe 2.

Proposition 3.2. Il existe une infinité de corps quadratiques imaginaires F avec seulement trois places ramifiées sur ℚ, qui ont 2-tour localement cyclotomique infinie ; par exemple le corps ℚ(\sqrt{−3.7.47}).

De même, il existe une infinité de corps quadratiques réels F avec seulement quatre places ramifiées sur ℚ, qui ont 2-tour localement cyclotomique infinie ; par exemple le corps ℚ(\sqrt{5.31.79.1249}).

Preuve. Posons k = Q_{2} et distinguons les deux cas :

a) Considérons d’abord les corps quadratiques imaginaires F = ℚ(\sqrt{−l_{1}.l_{2}.l_{3}}) avec l_{3} ≡ 1 (mod 16), l_{2}^{2} ≡ 1 (mod 16),

(\frac{l_{1}}{l_{3}} ) = (\frac{l_{2}}{l_{3}} ) = 1 et l_{1}.l_{2}.l_{3} ≡ 3(mod 8).

Nous pouvons alors noter que l_{3} se décompose totalement dans k/ℚ. Soit K = kF. Le théorème 2.2 appliqué à K/k montre que K a une 2-tour localement cyclotomique infinie dès que ρ_{K/k} est supérieur à 12. Or ici quatre places réelles se complexifient dans K/k, quatre places au-dessus de l_{3} sont logarithmiquement ramifiées dans K/k, deux places au-dessus de l_{2}, une au moins au-dessus de l_{1}, et la place au-dessus de 2 ; il vient donc ρ_{K/k} ≥ 12.

Pour conclure, il suffit alors de noter que par le choix des l_{i}, le 4-rang de Cl_{F} est au moins égal à 1 (cf. [2]). Ainsi d’après le lemme 3.1 (point 1), il suit que 4 divise exp(C̃l_{F}).

b) Regardons maintenant les corps quadratiques réels F = ℚ(\sqrt{l_{1}.l_{2}.l_{3}.l_{4})}, avec pour i = 1, 2, 3, l_{i} ≡ _{−}^{+}1 (mod 16),

(\frac{l_{1}}{l_{2}} ) = (\frac{l_{2}}{l_{3}} ) = (\frac{l_{1}}{l_{3}} ) = (\frac{l_{4}}{l_{2}} ) = (\frac{l_{4}}{l_{3}} ) = 1, et l_{1}.l_{2}.l_{3}.l_{4} ≡ 5 (mod 8). Nous

concluons comme précédemment.

Pour terminer cette partie, nous recherchons des corps quadratiques ayant le moins de ramification possible ou bien ayant un petit discriminant et une 2-tour localement cyclotomique infinie. Ces exemples sont obtenus de deux façons différentes : la première famille d’exemples provient de la connaissance du groupe des classes. La seconde est obtenue après un calcul direct de C̃l_{F} à partir du programme élaboré par F. Diaz y Diaz et F. Soriano (cf. [1]).

Proposition 3.3.

1) Soit p un nombre premier congru à 1 (mod 64). Supposons que l’ordre du groupe des classes de ℚ(\sqrt{−p}) soit divisible par 32. Alors ℚ(\sqrt{−p}) a une 2-tour localement cyclotomique infinie ; par exemple ℚ(\sqrt{−1217}).

2) Soit p un nombre premier congru à −1 (mod 64). Supposons que l’ordre du groupe des classes de ℚ(\sqrt{−2.p}) soit divisible par 64. Alors ℚ(\sqrt{−2.p}) a une 2-tour localement cyclotomique infinie ; par exemple ℚ(\sqrt{−2.1087}).

3) Soient l_{1} et l_{2} deux premiers, vérifiant l_{1} ≡ −l_{2} ≡ 1 (mod 64), et tels que le 2-groupe des classes de ℚ(\sqrt{l_{1}.l_{2}}) soit d’ordre au moins divisible par 32. Alors ℚ(\sqrt{l_{1}.l_{2}}) a une 2-tour localement cylotomique infinie ; par exemple ℚ(\sqrt{383.1409}).

Preuve. Prenons k = Q_{4}, puis notons par exemple que pour le point 2, nous sommes dans la situation 3 du lemme 3.1.

Proposition 3.4. Il existe des corps quadratiques imaginaires avec une seule place finie ramifiée sur ℚ (au sens classique et logarithmiquement), ayant une 2-tour localement cyclotomique infinie ; par exemple les corps ℚ(\sqrt{−p}) avec

p = 3967, 4159.

Preuve. Considérons les corps ℚ(\sqrt{−p}) avec p ≡ −1 (mod 64) et prenons k = Q_{4}. Pour les exemples donnés plus haut, nous calculons C̃l_{F}, et remarquons que 16 divise exp(C̃l_{F}). Ce sont les seuls corps sous ces conditions avec p ≤ 5000.

Proposition 3.5. Il existe des corps quadratiques réels avec seulement deux places ramifiées sur ℚ (au sens classique et logarithmiquement) ayant une 2-tour localement cyclotomique infinie ; par exemple les corps ℚ(\sqrt{l_{1}.l_{2}}) avec

l_{1}.l_{2} = 127.1151, 1151.1663,

ou encore avec

l_{1}.l_{2} = 193.257, 193.1217, 449.577, 577.1601, 641.769.

Preuve. Nous considérons les corps quadratiques F = ℚ(\sqrt{l_{1}.l_{2}}) avec l_{1} ≡ l_{2} ≡ _{−}^{+}1 (mod 64), et l_{1}.l_{2} ≡ +1 (mod 64). Nous nous assurons ensuite que 16 divise exp(C̃l_{F}). Nous obtenons ainsi les deux familles d’exemples. Nous avons énoncé tous ceux avec l_{1}, l_{2} ≤ 2000.

Il est à noter que pour l_{1} ≡ l_{2} ≡ −1 (mod 64), le 2-groupe des classes de F (au sens classique) est trivial.

Enfin citons les deux corps quadratiques imaginaires suivants, en remarquant que ceux-ci ont un petit discriminant :

Proposition 3.6. Les corps ℚ(\sqrt{−7.193}) et ℚ(\sqrt{−17.127}) ont une 2-tour localement cyclotomique infinie.

Preuve. Pour F = ℚ(\sqrt{−l_{1}.l_{2}}), nous avons :

• 8 divise exp(C̃l_{F}),

• l_{1} ≡ _{−}^{+}1 (mod 32)

• l_{2}^{4} ≡ 1 (mod 32)

Il suffit alors pour conclure de prendre k = Q_{3}.

4. Etude du premier étage de la tour localement cyclotomique

Fixons un corps de nombres K et notons G = Gal(K_{∞}/K). Observons que G est un ℓ-groupe et posons G_{ℓ}^{ab} = G/G^{ℓ}[G; G]. Nous nous proposons de transporter dans le cadre logarithmique les résultats de [7] basés sur le raffinement homologique de l’inégalité de Golod et Shafarevich donné par Schoof (cf. [10]). Notons que cette transposition n’est pas automatique : par exemple le quotient G^{ab} de G ne s’identifie pas au groupe de Galois de K_{1} sur K. En effet, le sous-corps K_{∞}^{ab} de K_{∞} fixé par [G, G] est la sous-extension abélienne (localement cyclotomique) maximale de K contenue dans K_{∞}. Elle contient en particulier K_{∞} ∩ K^{c} qui n’est pas, à priori, contenu dans K_{1}. Sa sous-extension élémentaire en revanche coïncide bien, elle, avec celle de K_{1} puisque celle-ci contient par construction le premier étage de la tour cyclotomique K^{c}/K.

En particulier, il suit :

G_{ℓ}^{ab} ≃ \frac{Gal(K^{1}/K)}{Gal(K^{1}/K)^{ℓ}} ≃ C̃l_{K}/C̃l_{K}^{ℓ} × ℤ_{ℓ}/ℓℤ_{ℓ}.

Notons I l’idéal d’augmentation de l’algèbre 𝔽_{ℓ}[G], d_{G} le nombre minimal de générateurs de G, c’est à dire le ℓ-rang de H_{1}(G, 𝔽_{ℓ}), puis r_{G} le nombre minimal de relations de G, c’est à dire le ℓ-rang de H_{2}(G, 𝔽_{ℓ}) ≃ H_{1}(G, I). La différence r_{G} − d_{G} est alors le ℓ-rang de H_{2}(G, ℤ_{ℓ}) = H^{−3}(G, ℤ_{ℓ}) (cf. [9], lemme 9) de sorte que l’inégalité donnée dans [6] (cf. §5, preuve du th 11) s’écrit ici :

Proposition 4.1. Lorsque G est fini, on a r_{G} − d_{G} ≤ ẽ_{K}, où ẽ_{K} = r_{K} + c_{K} + δ_{K} est le ℓ-rang du groupe Ẽ_{K} des unités logarithmiques de K, c’est à dire, sous la conjecture de Gross généralisée, la somme des nombres r_{K} et c_{K} des places complexes et réelles de K, augmentée de 1 si K contient les racines ℓ-ièmes de l’unité.

C’est ce résultat que nous nous proposons d’améliorer ci-dessous lorsque G est abélien. Introduisons pour cela les quantités

a_{G} = dim_{𝔽_{ℓ}}(I^{2}/I^{3})

et

b_{G} = dim_{𝔽_{ℓ}}(H_{1}(G, I)/Im(H_{1}(G, I^{2}) → H_{1}(G, I))).

D’après [7], prop. 6.1, il vient :

Proposition 4.2. Pour tout ℓ-groupe fini G, on a : d_{G}^{2} = a_{G} + b_{G}.

Examinons successivement les deux termes de la somme. D’un côté, d’après [7], §3, nous avons :

Proposition 4.3. Sous la restriction ℓ ≠ 2, si G est abélien il vient : a_{G} =

\frac{1}{2}d_{G}(d_{G} + 1).

De l’autre côté l’inégalité immédiate b_{G} ≤ d_{ℓ}H_{1}(G, I) ≤ d_{G} + rg_{ℓ}H_{2}(G, ℤ_{ℓ}) fait apparaitre le groupe H_{2}(G, ℤ_{ℓ}) = H^{−3}(G, ℤ_{ℓ}) ≃ H^{−1}(G, C̃_{K_{∞}}) où C̃_{K_{∞}} est le ℓ-groupe des classes d’idèles du corps K_{∞} ; les calculs de [6] §5 montrent que le ℓ-rang du groupe H^{−1}(G, C̃_{K_{∞}}) est majoré par celui du groupe H^{0}(G, Ẽ_{K_{∞}}) donc finalement par le ℓ-rang ẽ_{K} du groupe des unités logarithmiques de K. Autrement dit :

Proposition 4.4. Lorsque G est fini, on a : b_{G} ≤ d_{G} + ẽ_{K}.

Nous pouvons dès lors énoncer le résultat principal de cette section :

Théorème 4.5. Supposons ℓ ≠ 2. Alors si le ℓ-rang r̃_{K} du ℓ-groupe C̃l_{K} des classes logarithmiques du corps K vérifie l’inégalité :

2r̃_{K} − 1 > \sqrt{1 + 8(ẽ_{K} + 1)},

où ẽ_{K} = r_{K} + c_{K} + δ_{K} désigne le ℓ-rang des unités logarithmiques de K, la ℓ-tour localement cyclotomique K_{∞}/K ne s’arrête pas au premier étage K_{1}/K.

Scolie 4.6. L’inégalité obtenue est en général strictement plus faible que celle donnée dans [6] (cf. th. 11) qui peut être reécrite sous la forme

2r̃_{K} − 1 ≥ 1 + 4\sqrt{ẽ_{K} + 1},

et assure, elle, l’infinitude de la ℓ-tour localement cyclotomique.

Preuve du théorème. Supposons la ℓ-tour localement cyclotomique de longueur 1. Dans ce cas, il vient G = Gal(K_{1}/K) donc d_{G} = r̃_{K} + 1 et les propositions 4.2 à 4.4 ci-dessus nous permettent alors d’écrire :

(r̃_{K} + 1)^{2} = d_{G}^{2}
= a_{G} + d_{G}
≤ \frac{1}{2}d_{G}(d_{G} + 1) + (d_{G} + ẽ_{K}) = \frac{1}{2}(r̃_{K} + 1)(r̃_{K} + 2) + (r̃_{K} + ẽ_{K} + 1)

i.e. (2r̃_{K} − 1)^{2} ≤ 1 + 8(ẽ_{K} + 1), comme attendu.

Pour ℓ ≠ 2, le théorème 4.5 montre que pour un corps quadratique réel r̃_{K} ≥ 4 implique K_{∞} ≠ K_{1}. Nous allons voir ci-dessous que ce dernier résultat peut encore être amélioré à l’aide de la théorie des représentations.

Supposons désormais K/k abélienne de groupe de Galois Δ, d’ordre étranger et plaçons nous dans le cas où la ℓ-tour s’arrête au premier étage. L’abélianisé élémentaire G_{l}^{ab} de G, le quotient A_{G} = I^{2}/I^{3} et le groupe d’homologie B_{G} = (H_{1}(G, I)/Im(H_{1}(G, I^{2}) → H_{1}(G, I))) sont des 𝔽_{ℓ}[Δ]-modules finis dont nous pouvons comparer les caractères en reécrivant les inégalités 4.1 à 4.4 en termes de représentations.

Désignant par χ[M] le caractère d’un 𝔽_{l}[Δ]-module M, nous obtenons en effet successivement :

χ[G_{ℓ}^{ab}] = χ[A_{G}] + χ[B_{G}] (cf. prop. 4.2);  (2)

et le premier terme à droite est le carré symétrique du caractère χ[G_{l}^{ab}]. D’après [7], si χ[G_{ℓ}^{ab}] = ∑_{i=0}^{s} r_{i}ψ_{i} est la décomposition absolument irréductible de χ[G_{ℓ}^{ab}], il est donné par la formule :

χ[A_{G}] = ∑_{i=0}^{s} (\frac{1}{2}r_{i}(r_{i} + 1)ψ_{i}^{2} + ∑_{j>i} r_{i}r_{j}ψ_{i}ψ_{j}) (cf. prop. 4.3).  (3)

Le terme antisymétrique χ[B_{G}] satisfait, lui, l’inégalité :

χ[B_{G}] ≤ χ[G_{ℓ}^{ab}] + χ[H_{2}(G, ℤ_{ℓ})/ℓ.H_{2}(G, ℤ_{ℓ})] ≤ χ[G_{ℓ}^{ab} + χ[\frac{Ẽ_{K}}{Ẽ_{K}^{ℓ}N_{K_{∞}/K} Ẽ_{K_{∞}}}]; (4)

d’où la troisième formule :

χ[B_{G}] ≤ χ[G_{ℓ}^{ab}] + χ[Ẽ_{K}/Ẽ_{K}^{ℓ}] (cf. prop. 4.4 ).  (5)

Enfin, le caractère χ[Ẽ_{K}/Ẽ_{K}^{ℓ}] du quotient d’exposant ℓ du groupe des unités logarithmiques est donné par [6] ; c’est la somme des induits à Δ des caractères unités des sous-groupes de dćomposition Δ_{𝔭} des places infinies de k, disons ∑ χ_{𝔭}, augmenté du caractère (nul ou de dimension 1) du ℓ-groupe μ_{K}/μ_{K}^{ℓ} construit sur les racines de l’unité dans K :

χ[\frac{Ẽ_{K}}{Ẽ_{K}^{ℓ}}] = ∑_{𝔭|∞} Ind_{Δ_{𝔭}}^{Δ}1_{Δ_{𝔭}} + ω = ∑_{𝔭|∞} χ_{𝔭} + ω.  (6)

Récapitulant le tout, nous obtenons en fin de compte l’inégalité entre caractères :

∑_{i=0}^{s} (\frac{1}{2}r_{i}(r_{i} − 1)ψ_{i}^{2} + −r_{i}ψ_{i} ∑_{j>i} r_{i}r_{j}ψ_{i}ψ_{j}) ≤ ∑_{𝔭|∞} χ_{𝔭} + ω.  (7)

Appliquant alors ce résultat avec k = ℚ, nous obtenons :

Théorème 4.7. Le nombre premier ℓ étant supposé impair, soit K une extension abélienne de ℚ de groupe de Galois Δ de degré étranger à ℓ. Et soit χ̃ = ∑ r̃_{ϕ}ϕ

la décomposition absolument irréductible du caractère du 𝔽_{ℓ}[Δ]-module C̃l_{K}/C̃l_{K}^{ℓ}. Alors, si la ℓ-tour localement cyclotomique K_{∞}/K s’arrête au premier étage, on a l’inégalité entre caractères :

∑_{ϕ} \frac{1}{2}r̃_{ϕ}(r̃_{ϕ} − 1)ϕ^{2} + ∑_{ϕ≠ψ} r̃_{ϕ}r̃_{ψ}ϕψ ≤ 1 + χ_{∞} + ω,

où la deuxième somme à gauche porte sur les paires de caractères distincts (et non sur les couples), χ_{∞} est l’induit à Δ du caractère unité du sous-groupe de décomposition de la place à l’infini, et ω est la caractère (éventuellement nul) de l’action de Δ sur le sous-groupe des racines ℓ-ièmes de l’unité dans K.

Preuve. Le ℓ-groupe C̃l_{ℚ} des classes logarithmiques de ℚ étant trivial, le caractère unité n’est pas représenté dans χ̃. L’inégalité 7 appliquée à partir de la décomposition

χ[G/G^{ℓ}] = 1 + χ[C̃l_{K}/C̃l_{K}^{ℓ}] = 1 + ∑_{ϕ} r̃_{ϕ}ϕ = 1 + ∑_{ϕ≠1} r̃_{ϕ}ϕ

conduit alors au résultat énoncé.

Corollaire 4.8. Avec les notations du théorème, si l’on a :

(i) r̃_{ϕ} ≥ 3 pour au moins un ϕ, ou

(ii) r̃_{ϕ} ≥ 2 pour au moins deux ϕ, ou

(iii) r̃_{ϕ} = 2 pour un ϕ et r̃_{ψ} = 1 pour un ψ ≠ ϕ^{−1},

alors la ℓ-tour cyclotomique ne s’arrête pas au premier étage.

Preuve. Dans l’inégalité du théorème seul le caractère unité apparait 2 fois à droite, tous les autres caractères apparaissant au plus une fois. Or la condition (i) fait

apparaitre à gauche un terme \frac{1}{2}r̃_{ϕ}(r̃_{ϕ} − 1)ϕ^{2} ≥ 3ϕ^{2} ; la condition (ii) un terme r̃_{ϕ}r̃_{ψ}ϕψ ≥ 4ϕψ ; et la condition (iii) un terme r̃_{ϕ}r̃_{ψ}ϕψ ≥ 2ψϕ avec ϕψ ≠ 1.

Exemple 4.9. Si K est un corps quadratique, la ℓ-tour cyclotomique K_{∞}/K ne s’arrête pas au premier étage pour ℓ ≠ 2 dès que l’on a rg_{ℓ}C̃l_{K} ≥ 3.

En effet, Δ possède un unique caractère non-trivial ; et l’on conclut par (i).

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Jean-François Jaulent  Christian Maire
Institut de Mathématiques  Institut de Mathématiques
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