Radical hilbertien et tour localement cyclotomique^{∗}

Jean-François Jaulent et Christian Maire

Résumé. Nous déterminons le module des relations du groupe de Galois de la pro-ℓ-extension localement cyclotomique maximale d’un corps de nombres K à l’aide du radical hilbertien de ce corps.

Abstract. We determine the module of relations of the Galois group of the maximal locally cyclotomic pro-ℓ-extension of a number field K using the hilbertian radical of this field.

1. Introduction

Soient K un corps de nombres de signature (r_{K}, c_{K}), ℓ un nombre premier, et K^{c} la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique de K. Nous nous intéressons dans ce qui suit à la pro-ℓ-extension localement cyclotomique maximale K_{∞}^{c} de K, i.e. à la plus grande pro-ℓ-extension de K qui est totalement décomposée sur K^{c} en chacune de ses places. Il est défini dans [5] une tour de ℓ-extensions K_{∞} = ∪_{n∈ℕ}K_{(n)} associée à K de telle sorte qu’on ait K_{∞}^{c} = (K_{∞})^{c} si K_{∞} est un corps de nombres (i.e. si [K_{∞} : K] est fini), K_{∞}^{c} = K_{∞} = (K_{∞})^{c} sinon. Cette tour K_{∞} est appelé ℓ-tour localement cyclotomique de K et est construite sur le modèle de la ℓ-tour de Hilbert classique K_{H} à ceci près que le ℓ-groupe des classes est remplacé par son analogue logarithmique. Cette nouvelle tour K_{∞} est sauvagement ramifiée.

Un des objets les plus étudiés dans le problème des ℓ-tours est le module des relations du groupe de Galois de celles-ci. Pour la ℓ-tour de Hilbert K_{H}, lorsque celle-ci est finie, il en est donné dans [8] une interprétation kummerienne.

Nous proposons de donner ici une interprétation hilbertienne du module des relations de la ℓ-tour localement cyclotomique K_{∞}. Plus précisément :

Théorème 1.1. Soit K un corps de nombres et ℓ un nombre premier. Notons K_{∞} la ℓ-tour localement cyclotomique de K et supposons K_{∞}/K finie. Soit alors G = Gal(K_{∞}^{c}/K) le groupe de Galois sur K de la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique K_{∞}^{c} de K_{∞}. Il existe un isomorphisme naturel entre le groupe d’homologie H_{2}(G, 𝔽_{ℓ}) et le quotient Λ_{K}/N_{K_{∞}/K}(Ẽ_{K_{∞}})R_{K}^{ℓ}, où R_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗ K^{×} est le ℓ-adifié de K^{×}, le groupe Λ_{K} = {x ∈ R_{K}/x ∈ J̃_{K}^{ℓ} Ũ_{K}} est le radical hilbertien attaché à K et Ẽ_{K_{∞}} est le groupe des unités logarithmiques de K_{∞}.

Dans [5] est établie une majoration du nombre minimal de relations du groupe Gal(K_{∞}/K) lorsque celui-ci est fini. Comme corollaire à la preuve du théorème 1.1, nous étendons cette majoration au cas où Gal(K_{∞}/K) est infini pour obtenir :

Corollaire 1.2. Le nombre minimal de relations du groupe Gal(K_{∞}/K) est majoré par la quantité d_{ℓ}C̃ℓ_{K} + r_{K} + c_{K} + δ, où d_{ℓ}C̃ℓ_{K} est le ℓ-rang de C̃ℓ_{K} et où δ vaut 1 si K contient une racine primitive ℓ-ème de l’unité, 0 sinon.

Ce résultat permet de préciser la démonstration du théorème 2.1 de [4].

∗Japan. J. Math. 28 (2002), 203–213.

2. Présentation du problème

2.a Notations Dans toute la suite ℓ est un nombre premier fixé et K un corps de nombres. Soit 𝔭 un premier de K puis K_{𝔭} le complété associé. Le compactifié ℓ-adique

R_{𝔭} de K_{𝔭}^{×} est défini comme la limite projective R_{𝔭} = \underleftarrow{lim} K_{𝔭}^{×}/K_{𝔭}^{×}^{ℓ^{n}}. Le ℓ-groupe des unités logarithmiques locales est le sous-groupe Ũ_{𝔭} de R_{𝔭} associé par la théorie du corps de classes à la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique de K_{𝔭}. Remarquons que si 𝔭 est une place finie étrangère à ℓ, le groupe Ũ_{𝔭} s’identifie au sous-groupe de ℓ-torsion des unités locales de K en 𝔭. Par contre, si 𝔭 divise ℓ, le groupe Ũ_{𝔭} est le produit direct du sous-groupe des racines de l’unité d’ordre ℓ-primaire contenues dans K_{𝔭} par un ℤ_{ℓ}-module libre de rang [K_{𝔭} : ℚ_{ℓ}] (cf. [2]). On voit par là que pour une place finie 𝔭, le groupe Ũ_{𝔭} ne se distingue du sous-groupe unité U_{𝔭} de R_{𝔭} que pour 𝔭|ℓ. Enfin, pour une place infinie 𝔭, le groupe Ũ_{𝔭} coïncide avec le groupe R_{𝔭}.

Par suite, le ℓ-adifié J_{k} du groupe des idèles (défini comme le produit ∏^{res} R_{𝔭} restreint aux familles (x_{𝔭})_{𝔭} dont tous les termes, à l’exception d’un nombre fini d’entre eux, tombent dans U_{𝔭}), contient comme sous-module compact le produit Ũ_{K} des Ũ_{𝔭}, qui est ainsi le sous-groupe des unités logarithmique semi-locales.

Comme J_{K} contient par ailleurs le rayon R_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗ K^{×} ou ℓ-groupe des idèles principaux, l’intersection Ẽ_{K} = R_{K} ∩ Ũ_{K} est le ℓ-groupe des unités logarithmiques globales de K. Sous la conjecture de Gross, ce groupe est le produit direct du sousgroupe des racines de l’unités d’ordre ℓ-primaire par un ℤ_{ℓ}-module de rang r_{K} +c_{K}, où r_{K} est le nombre de places réelles de K et c_{K} celui de places complexes.

Rappelons ensuite que la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique K^{c} de K est associé par la théorie du corps de classes au sous-groupe d’idèle J̃_{K}, où J̃_{K} est le noyau dans J_{K} de la formule du produit pour les valeurs absolues ℓ-adiques (cf. [2]).

Notons finalement K^{lc} la ℓ-extension abélienne maximale de K dont tous les complétés K_{𝔭}^{lc} de K^{lc} en chacune de ses places 𝔭 tombent dans la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique K_{𝔭}^{c} de K_{𝔭} ; ou encore K^{lc} est la plus grande ℓ-extension abélienne de K contenant K^{c}, totalement décomposée sur cette dernière. Alors par maximalité, K^{lc} est associée par la théorie du corps de classes au sous-groupe d’idèles R_{K} Ũ_{k}. On a donc Gal(K^{lc}/K^{c}) ≃ J̃_{K}/R_{K} Ũ_{K}. Ce quotient

C̃ℓ_{K} = J̃_{K}/Ũ_{K}R_{K}

est par définition le ℓ-groupe des classes logarithmiques du corps K et sa finitude est assurée par la conjecture de Gross. Lorsqu’il est trivial on dit que K est logarithmiquement principal, ou encore log-principal.

Posons enfin Λ_{K} = R_{K} ∩ Ũ_{K}J_{K}^{ℓ} = R_{K} ∩ Ũ_{K} J̃_{K}^{ℓ}. Le quotient Λ_{K}/R_{K}^{ℓ} est par convention le radical hilbertien attaché au corps K. En présence des racines ℓ-ièmes de l’unité, il s’interprète comme le noyau dans le radical kummerien R_{K}/R_{K}^{ℓ} des

symboles de Hilbert (\frac{ζ, x}{𝔭}) construits sur les racines ℓ-èmes de l’unité (cf. [3]).

2.b La ℓ-tour localement cyclotomique

Il est construit dans [5] une suite d’extensions de la façon suivante : Partant de K_{0} = K, on définit K_{n+1} comme la ℓ-extension abélienne localement cyclotomique maximale de K_{n} d’exposant celui de C̃ℓ_{K_{n}} (c’est à dire comme le compositum des sous-corps de K_{n}^{lc} fixés par les γ.c, où γ désigne un relèvement arbitraire à Gal(K_{n}^{lc}/K_{n}) d’un générateur topologique du groupe Gal(K_{n}^{c}/K_{n}) ≃ ℤ_{ℓ}, et c parcourt C̃ℓ_{K_{n}} ≃ Gal(K_{n}^{lc}/K_{n}^{c})). Et on pose finalement : K_{∞} = ∪_{n∈ℕ} K_{n}.

Si [K_{∞} : K] est fini, on dit que la tour est finie ; sinon on dit qu’elle est infinie. Le premier cas se produit si et seulement si K possède une extension finie F qui est log-principale (cf. [5]) ; dans le deuxième cas aucune extension F finie de K n’admet elle-même une telle tour finie ; en d’autres termes la pro-ℓ-extension localement cyclotomique maximale de K est alors de degré infini sur sa ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique K^{c}.

2.c Groupe d’inertie logarithmique

Si K/k désigne une extension de corps de nombres et 𝔓 une place finie de K, la quantité

ẽ_{𝔓}(K/k) = [K_{𝔓} : K_{𝔓} ∩ k_{𝔭}ℚ̂_{p}],

où 𝔓|𝔭|p et ℚ̂_{p} est la ℤ̂-extension cyclotomique de ℚ_{p} (i.e. le produit des ℤ_{q}- extensions cyclotomiques de ℚ_{p} pour tous les premiers q) est, par convention l’indice de ramification logarithmique de 𝔓 dans K/k. Lorsque l’extension K/k est galoisienne, le groupe de Galois Gal(K_{𝔓}/k_{𝔭} ∩ k_{𝔭}ℚ̂_{p}) est dit groupe de ramification logarithmique de 𝔓 dans K/k et noté Ĩ_{𝔓}(K/k) (ou encore Ĩ_{𝔭}(K/k) ; il peut donc être vu comme un sous-groupe de Gal(K/k).

Le degré résiduel logarithmique est, lui :

f̃_{𝔓}(K/k) = [K_{𝔓} ∩ k_{𝔭}ℚ̂_{p} : k_{𝔭}] = [K_{𝔓} : k_{𝔭}]/ẽ_{𝔓}(K/k).

En particulier, le produit ẽ_{𝔓}(K/k)f̃_{𝔓}(K/k) coïncide avec le degré local [K_{𝔓} : k_{𝔭}].

Notons que pour une extension abélienne locale, l’image de Ũ_{𝔭} par le symbole de réciprocité local est exactement le groupe d’inertie logarithmique. Plus généralement, pour une extension galoisienne non nécessairement abélienne, l’image de U_{𝔭} est le quotient :

\frac{Ĩ_{𝔭}(K/k)}{[Ĩ_{𝔭}(K/k), Gal(K_{𝔭}/k_{𝔭})]}.  (1)

C’est là est une conséquence du lemme suivant :

Lemme 2.1. Soit k un corps de nombres, K/k une extension galoisienne éventuellement infinie ; soit 𝔭 une place finie de k, puis K_{𝔭} et k_{𝔭} les complétés respectifs de K et k. Notons D_{𝔭} le groupe de Galois de K_{𝔭}/k_{𝔭} et Ĩ_{𝔭} le groupe d’inertie logarithmique dans cette extension. Il suit :

[D_{𝔭}, D_{𝔭}] = [D_{𝔭}, Ĩ_{𝔭}].

Preuve. Cela provient du fait que D_{𝔭}/Ĩ_{𝔭} est cyclique ou procyclique.

2.d La pro-ℓ-extension maximale K̄ de K

Notons K̄ la pro-ℓ-extension maximale de K et Ḡ = Gal(K̄/K). Soit H le sousgroupe de Ḡ engendré par les groupes d’inertie logarithmique de toutes les places 𝔭 de K̄. Observons que Ĩ_{𝔭}(K̄/K) est le groupe de Galois de l’extension locale K̄_{𝔭}/K_{𝔭}^{c} vu comme sous-groupe du groupe de décomposition de 𝔭 dans K̄/K. Bien entendu H est un sous-groupe distingué de Ḡ. D’autre part le sous-corps fixé par H est K_{∞}^{lc} = K_{∞}^{c}, ceci par maximalité.

Pour la suite, nous noterons :

L = K_{∞}^{lc} = K_{∞}^{c}.

Soient maintenant G = Gal(L/K) et F le sous-corps de K̄ fixé par [Ḡ, H]. Nous obtenons le schéma d’extensions (où la sous-extension F/K_{∞} est évidemment abélienne) :

K K^{c}  K_{∞} L  K̄ • •  • •  • •  • [Ḡ, H] HF G Ḡ

3. Suites exactes classiques et lemmes fondamentaux

3.a Suite exacte du radical hilbertien.

Le groupe Λ_{K} apparait dans la suite exacte :

1 ⟶ \frac{Ẽ_{K}}{Ẽ_{K}^{ℓ}N_{K_{∞}/K}(Ẽ_{K_{∞}})} ⟶ \frac{Λ_{K}}{R_{K}^{ℓ}N_{K_{∞}/K}(Ẽ_{K_{∞}})} ⟶ _{ℓ}C̃ℓ_{K} ⟶ 1.  (2)

En effet à x = uy^{ℓ} ∈ Λ_{K}, avec u ∈ Ũ_{k} et y ∈ J̃_{K}, on associe la classe de y dans le sous-groupe de ℓ-torsion _{ℓ}C̃ℓ_{K} du groupe des classes logarithmiques C̃ℓ_{K}.

3.b Suite exacte d’homologie La suite exacte courte canonique donnée par la multiplication par ℓ

1 ⟶ ℤ ⟶ ℤ ⟶ 𝔽_{ℓ} ⟶ 1

fournit la suite exacte d’homologie :

1 ⟶ H_{2}(G, ℤ)_{ℓ} ⟶ H_{2}(G, 𝔽_{ℓ}) ⟶ H_{1}(G, ℤ)[ℓ] ⟶ 1.  (3)

Ensuite, il est clair que l’on a :

ℓH_{1}(G, ℤ) = _{ℓ}G^{ab} ≃ _{ℓ} Gal(K^{lc}/K) ≃ _{ℓ}C̃ℓ_{K}.  (4)

La difficulté principale va être l’interprétation du groupe de cohomologie H_{2}(G, ℤ). Ce sera l’objet du théorème 4.3 de la section §4. Mais avant de passer à celle-ci, énonçons les lemmes clefs à propos des corps de nombres log-principaux.

3.c Corps de nombres log-principaux

Précisons tout d’abord quelques notations. Pour un corps de nombres F de ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique F^{c}, notons par F_{n} les étages de F^{c}/F (F_{n} est l’unique sous-corps de F^{c} de degré ℓ^{n} sur F), par Γ_{n} le groupe de Galois de F_{n}/F et par Γ celui de F^{c}/F. Notons ensuite par N_{F^{c}/F} (Ẽ_{F^{c}}) le sous-groupe de Ẽ_{F} formé des éléments qui sont normes d’unités logarithmiques dans chaque sous-extension finie de F^{c}/F :

N_{F^{c}/F} (Ẽ_{F^{c}}) = ⋂_{n} N_{F_{n}/F} (Ẽ_{F_{n}})

Il vient alors le lemme suivant :

Lemme 3.1. Soit F un corps de nombres log-principal. Alors les unités logarithmiques Ẽ_{F} de F sont normes dans F^{c}/F d’unités logarithmiques c’est à dire que l’on a :

Ẽ_{F} = N_{F^{c}/F} (Ẽ_{F^{c}})

Preuve. Soit n > 0. Le groupe Γ_{n} étant cyclique, on peut donc parler du quotient de Herband de Ẽ_{F_{n}} par rapport à Γ_{n}. De plus, l’extension F_{n}/F étant localement cyclotomique, ce quotient est trivial (cf. [2]). Il suit |Ĥ^{0}(Γ_{n}, Ẽ_{F_{n}})| = |H^{1}(Γ_{n}, Ẽ_{F_{n}})|. Maintenant comme F et F_{n} sont log-principaux et comme F_{n}/F est localement cyclotomique, le groupe de cohomologie H^{1}(Γ_{n}, Ẽ_{F_{n}}) est lui aussi trivial (voir également [2]). Il vient donc :

Ẽ_{F} /N_{F_{n}/F} Ẽ_{F_{n}} = Ĥ^{0}(Γ_{n}, Ẽ_{F_{n}}) = 1.

3.d Cohomologie en −1 des classes d’idèles

Conservons les notations de la section précédente. Supposons de plus que F est une extension galoisienne finie de K. Posons G_{n} = Gal(F_{n}/K) et G = Gal(F^{c}/K). Cela étant :

Lemme 3.2. Sous les hypothèse précédentes, on a :

\underleftarrow{lim}_{n} Ĥ^{−1}(G_{n}, C̃_{F_{n}}) ≃ \underleftarrow{lim}_{n} Ĥ^{−1}(G_{n}, C_{F_{n}}),

où C_{F_{n}} = J_{F_{n}}/R_{F_{n}} (resp. C̃_{F_{n}} = J̃_{F_{n}}/R_{F_{n}}) désigne le groupe de classes d’idèles (resp. des classes d’idèles de degré zéro) du corps F_{n}. (et la norme est l’homomorphisme de la limite projective sur les classes d’idèles).

Preuve. Notons d’abord l’isomorphisme entre limites projectives relativement à la norme :

\underleftarrow{lim}_{n} C_{F_{n}} ≃ \underleftarrow{lim}_{n} C̃_{F_{n}}.

En effet, nous avons C_{F_{n}}/C̃_{F_{n}} ≃ Gal(F^{c}/F_{n}) où la norme de C_{F_{n+1}}/C̃_{F_{n+1}} vers C_{F_{n}}/C̃_{F_{n}} correspond à l’injection naturelle Gal(F^{c}/F_{n+1}) ↪ Gal(F^{c}/F_{n}). Les G_{n}- modules C̃_{F_{n}} et C_{F_{n}} étant compacts, il vient ainsi :

1 ⟶ \underleftarrow{lim}_{n} C̃_{F_{n}} ⟶ \underleftarrow{lim}_{n} C_{F_{n}} ⟶ \underleftarrow{lim}_{n} \frac{C_{F_{n}}}{C̃_{F_{n}}} = 1

Notons ensuite par C_{F^{c}} (resp. C̃_{F^{c}}) la réunion des C_{F_{n}} (resp. C̃_{F_{n}}) et définissons Ĥ^{−1}(G, C̃_{F^{c}}) par :

Ĥ^{−1}(G_{n}, C̃_{F^{c}}) := \underleftarrow{lim} Ĥ^{−1}(G_{n}, C̃_{F_{n}}) = \underleftarrow{lim}_{N_{Fn/F}} C̃_{F_{n}}/I_{G_{n}}(C̃_{F_{n}}).

Définissons de même Ĥ^{−1}(G_{n}, C_{F^{c}}). Alors C_{F^{c}} (resp. C̃_{F^{c}}) est un “level-G-module” compact au sens de [7]. Il vient ainsi (cf. [7], lemme 3.1.9, page 123)) :

Ĥ^{−1}(Γ, C_{F^{c}}) = \underleftarrow{lim} Ĥ^{−1}(G_{n}, N_{n}(C_{F^{c}})),

avec N_{n}(C_{F^{c}}) := ⋂_{m≥n} N_{F_{m}/F_{n}}(C_{F_{m}}). Il vient de même :

Ĥ^{−1}(Γ, C̃_{F^{c}}) = \underleftarrow{lim} Ĥ^{−1}(G_{n}, N_{n}(C̃_{F^{c}})).

Et comme tous les groupes qui apparaissent sont compacts, il suit :

\underleftarrow{lim} Ĥ^{−1}(G_{n}, N_{n}C_{F^{c}}) ≃ \underleftarrow{lim}_{N_{Fn/F}} N_{F^{c}/F_{n}}(C_{F^{c}})/ \underleftarrow{lim} I_{G_{n}}N_{F^{c}/F_{n}}(C_{F^{c}}).

Maintenant, pour conclure, il suffit de noter que l’on a N_{F^{c}/F_{n}}(C_{F^{c}}) = N_{F^{c}/F_{n}}(C̃_{F^{c}}), d’où :

Ĥ^{−1}(G, C_{F^{c}}) ≃ Ĥ^{−1}(G, C̃_{F^{c}}).

4. Interprétation du groupe H_{2}(G, ℤ)

Revenons aux notations de la section 2.4. Prenons F = K_{∞} supposé de degré fini sur K. Rappelons le lemme suivant établi dans [5] :

Lemme 4.1. Soit G_{n} = Gal(F_{n}/K). Alors,

H^{−1}(G_{n}, C̃_{F_{n}}) ≃ Ĥ^{0}(G_{n}, Ẽ_{F_{n}}).

Nous pouvons dès lors énoncer le résultat principal de cette section :

Théorème 4.2. Supposons la tour K_{∞}/K finie. Dans ce cas, il vient :

H_{2}(G, ℤ) ≃ \frac{Ẽ_{K}}{N_{K_{∞}/K}(Ẽ_{∞})}.

Preuve. Posons F = K_{∞}. Soient F_{n} les étages de F^{c}/F et G_{n} = Gal(F_{n}/K). Il vient alors :

H_{2}(G, ℤ) ≃ \underleftarrow{lim} H_{2}(G_{n}, ℤ)
≃ \underleftarrow{lim} Ĥ^{−1}(G_{n}, C_{F_{n}}) (isomorphisme de la théorie du corps de classes)
≃ \underleftarrow{lim} Ĥ^{−1}(G_{n}, C̃_{F_{n}}) (lemme 3.2)
≃ \underleftarrow{lim} Ĥ^{0}(G_{n}, Ẽ_{F_{n}}) (lemme 4.1)
= \underleftarrow{lim} Ẽ_{K}/N_{F_{n}/K}(Ẽ_{F^{c}})
≃ Ẽ_{K}/ ∩_{n∈ℕ} N_{F_{n}/K}(Ẽ_{F_{n}})
= Ẽ_{K}/N_{F/K}(Ẽ_{F})  (lemme 3.1).

On a le résultat principal suivant :

Proposition 4.3. Supposons K_{∞}/K finie. Il vient alors :

H_{2}(G, ℤ) ≃ \frac{Ẽ_{K}}{N_{K_{∞}/K}(Ẽ_{K_{∞}})} .

Preuve. On part de la suite exacte courte qui définit les classes d’idèles :

1 ⟶ R_{K_{∞}^{c}} ⟶ J_{K_{∞}^{c}} ⟶ C_{K_{∞}^{c}} ⟶ 1.  (5)

On obtient ainsi la suite de cohomologie :

H^{−1}(G, J_{L}) ⟶ H^{−1}(G, C_{L}) ⟶ H^{0}(G, R_{L}) ⟶ H^{0}(G, J_{L})

On a via le corps de classes :

H_{2}(G, ℤ) = H^{−3}(G, ℤ) ≃ H^{−1}(G, C_{L}).

Lemme 4.4. On a H^{−1}(G, J_{L}) = 1.

Ainsi, par le Théorème de Shapiro, on a :

H^{−1}(G, J_{L}) = ∏_{𝔭} H^{−1}(G_{𝔭}, R_{𝔓}) = ∏_{𝔭} H^{−3}(G_{𝔭}, ℤ),

où G_{p} est le groupe décomposition de 𝔭 dans L/K. Et, par construction, G_{𝔭} est nul pour 𝔭 infinie et isomorphe à Γ = ℤ_{ℓ} pour 𝔭 finie. Or la cohomologie d’un groupe procyclique est périodique et on a directement :

H^{−3}(Γ, ℤ) = H^{1}(Γ, ℤ) = Ĥ_{0}(Γ, ℤ) = 1.

On peut alors finir la preuve de la proposition 4.3 : Par (5), le groupe H^{−1}(G, J_{L}) étant nul, on voit que H_{2}(G, ℤ) = H^{−1}(G, C_{L}) s’identifie au noyau du morphisme naturel de H^{0}(G, R_{L}) = R_{k}/N_{L/K}(R_{L}) vers J_{K}/N_{L/K}(J_{L}), c’est à dire au groupe des noeuds de l’extension profinie L/K :

H_{2}(G, ℤ) ≃ R_{K} ∩ N_{L/K}(J_{L})/N_{L/K}(R_{L}).

Maintenant, les normes locales dans L/K sont les unités logarithmiques Ẽ_{K} ; et les normes globales sont les normes dans K_{∞}/K des normes locales dans L/K_{∞} c’est à dire N_{K_{∞}/K}(Ẽ_{K_{∞}}).

5. Lien entre H_{2}(G, 𝔽_{l}) et le radical hilbertien

Reprenant les notations de [4], nous proposons de montrer le résultat suivant :

Proposition 5.1. Lorsque K_{∞}/K est finie, Il existe une surjection canonique :

\frac{Λ_{K}}{R_{K}^{ℓ}N_{K_{∞}/K}(Ẽ_{K_{∞}})} ↠ H_{2}(G, 𝔽_{ℓ}).

Preuve de la proposition 5.1. Partons de la suite exacte courte canonique :

1 ⟶ H ⟶ Ḡ ⟶ G ⟶ 1.

Cette suite devient (Hochschild-Serre):

1 ⟶ (ker(H^{2}(G, 𝔽_{ℓ}) → H^{2}(Ḡ, 𝔽_{ℓ})))^{∗} ⟶ \frac{H}{H^{ℓ}[Ḡ; H]} ⟶ ^{ℓ}Ḡ^{ab} ⟶ ^{ℓ}G^{ab} ⟶ 1,

où ∗ est le dual dans ℚ/ℤ et ^{ℓ}G^{ab} le quotient d’exposant ℓ de G^{ab}. Or :

Lemme 5.2. On a l’égalité:

ker(H^{2}(G, 𝔽_{ℓ}) → H^{2}(Ḡ, 𝔽_{ℓ})) = H^{2}(G, 𝔽_{ℓ}).

Preuve. Elle est très simple : il suffit de noter d’abord que le noyau de H^{2}(G, 𝔽_{ℓ}) vers H^{2}(Ḡ, 𝔽_{ℓ}) est le noyau de H^{2}(G, 𝔽_{ℓ}) vers ⊕_{𝔭}H^{2}(Ḡ_{𝔭}, 𝔽_{ℓ}), car l’application naturelle H^{2}(Ḡ, 𝔽_{ℓ}) → ⊕_{𝔭}H^{2}(Ḡ_{𝔭}, 𝔽_{ℓ}) est injective (cf. [6]), et de remarquer ensuite que l’homomorphsime

H^{2}(G, 𝔽_{ℓ}) → ⊕_{𝔭}H^{2}(Ḡ_{𝔭}, 𝔽_{ℓ})

se factorise par ⊕_{𝔭}H^{2}(Gal(K_{𝔭}^{c}/K_{𝔭}), 𝔽_{ℓ}) ; nous concluons en observant que cette dernière somme est triviale.

On rappelle ensuite d’après (1) que les symboles de réciprocité locale construits sur les unités logarithmiques engendrent pour chaque place 𝔭 le quotient

\frac{Ĩ_{p}(K̄/K)}{[D_{𝔭}(K̄/K), Ĩ_{p}(K̄/K)]}.

Ainsi par le symbole global ρ_{K̄/K}, les images des unités logarithmiques engendrent H/[Ḡ, H].

En résumé, nous obtenons le diagramme commutatif suivant :

1 ⟶ H_{2}(G, 𝔽_{ℓ}) ↪ \frac{H}{H^{ℓ}[Ḡ;H]} ⟶ ^{ℓ}Ḡ^{ab} ↠ ^{ℓ}Ω^{ab}  ⟶ 1
a ↑  ρ_{K̄/K} ↑  b ↑  c ↑
1 ⟶ ker(η) ↪  \frac{Ũ_{K}}{Ũ_{K}^{ℓ}}  ⟶^{η} \frac{J_{K}}{R_{K}J_{K}^{ℓ}} ↠ _{\frac{J_{K}}{R_{K}J_{K}^{ℓ} Ũ_{K}}} ⟶ 1

où b et c, qui sont donnés par le symbole de réciprocité local, sont des isomorphismes ; et a, qui se déduit de ρ_{K̄/K}, est surjectif.

Notons ensuite que l’on a trivialement ker(η) ≃ Λ_{K}/R_{K}^{ℓ}. La première partie de la proposition 5.1 est donc établie.

Supposons enfin K_{∞}/K finie. Comme l’extension F/K_{∞} est abélienne, il vient

ρ_{K̄/K}(N_{K_{∞}/K}(Ẽ_{K_{∞}})) mod ( [Ḡ, H]) = ρ_{K̄/K_{∞}}(Ẽ_{K_{∞}}) ( mod ( [Ḡ, H])
= ρ_{F/K_{∞}}(Ẽ_{K_{∞}}) ( mod ( [Ḡ, H])
= 1,

car le symbole de réciprocité d’un élément global est trivial dans une extension abélienne : c’est la formule du produit. Ainsi ρ_{K̄/K} se factorise par N_{K_{∞}/K}(Ẽ_{K_{∞}}).

6. Preuve du théorème principal

i) Supposons la tour K_{∞}/K finie. Les suites exactes (2), (3), le point (4), et la propositon 4.3 nous donnent l’égalité :

(Λ_{K} : R_{K}^{ℓ}N_{K_{∞}/K}(Ẽ_{K_{∞}})) = |H_{2}(G, 𝔽_{ℓ})|.

L’application surjective φ de la proposition 5.1 factorisée via \frac{Λ_{K}}{R_{K}^{ℓ}N_{K_{∞}/K}(Ẽ_{K_{∞}})} est

donc un isomorphisme. Le théorème 1.1 est prouvé.

ii) La suite exacte (3) et la proposition 5.1 permettent d’obtenir

d_{ℓ}H^{2}(G, 𝔽_{ℓ}) ≤ d_{ℓ}C̃ℓ_{K} + d_{ℓ}E_{K} = d_{ℓ}C̃ℓ_{k} + r_{1} + r_{2} + δ,

ceci après avoir noté que d_{ℓ}E_{K} = r_{1} + r_{2} + δ (cf. [2]).

On a ensuite la suite exacte de groupes:

1 ⟶ Gal(L/K_{∞}) ⟶ G ⟶ Gal(K_{∞}/K) ⟶ 1.

Comme Gal(L/K_{∞}) est pro-ℓ-libre et trivial si et seulement si K_{∞}/K est infinie (cf. [5]), on en déduit, pour i ≥ 2, l’égalité

H^{i}(G, 𝔽_{ℓ}) = H^{i}(Gal(K_{∞}/K), 𝔽_{ℓ}).

Bibliographie

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[4] J.-F. Jaulent et C. Maire, A propos de la tour localement cyclotomique d’un corps de nombres, Abh. Math. Sem Hamburg 4 70 (2000), 239–250.

[5] J.-F Jaulent et F. Soriano, Sur les tours localement cyclotomiques, Archiv der Math. 73 (1999), 132–140.

[6] H. Koch, Galoische Theorie der p-Erweiterungen, VEB Berlin, 1970.

[7] J. Neukirch, A. Schmidt & K. Wingberg, Cohomology of number fields, Grund. der Math. Wissenschaften 323, Springer-Verlag, 2000.

[8] C. Maire, Compléments à un résultat de Safarevic, Math. Nachrichten 198 (1999), 149-168.

[9] P. Roquette, On class field towers, in Algebraic Number Theory, J.W.S. Cassels and A. Fröhlich, A.P. Londres New York (1967), 231-249.

Jean-François Jaulent  Christian Maire
Institut de Mathématiques  Institut de Mathématiques
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