Normes cyclotomiques naïves et unités logarithmiques^{∗}

Jean-François Jaulent

Résumé. Nous déterminons le rang du sous-groupe Ẽ_{K} des éléments du groupe multiplicatif d’un corps de nombres K qui sont normes à chaque étage fini de sa ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique K^{c}; et nous comparons son ℓ-adifié ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} Ẽ_{K} avec le ℓ-groupe des unités logarithmiques E_{K}. Nous donnons à cette occasion une preuve très facile de la conjecture de Gross-Kuz’min en ℓ pour les extensions K/k d’un corps abélien dans lesquelles les places au-dessus de ℓ ne se décomposent pas. Abstract. We compute the ℤ-rank of the subgroup Ẽ_{K} = ⋂_{n∈ℕ} N_{K_{n}/K}(K_{n}^{×}) of elements of the multiplicative group of a number field K that are norms from every finite level of the cyclotomic ℤ_{ℓ}-extension K^{c} of K. Thus we compare its ℓ-adification ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} Ẽ_{K} with the group of logarithmic units E_{K}. By the way we point out an easy proof of the Gross-Kuz’min conjecture for ℓ-undecomposed extensions of abelian fields.

Introduction

Le ℓ-groupe des normes cyclotomiques E_{K} attaché à un corps de nombres K se présente comme le sous-module du ℓ-adifié R_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} K^{×} du groupe multiplicatif K^{×} formé des éléments de R_{K} qui sont normes dans tous les étages finis K_{n}/K de la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique K^{c} de K.

Or, comme observé dans [11], E_{K} ne provient pas en général (par ℓ-adification) d’un sousgroupe naturel (ou naïf) du groupe K^{×}. La Théorie ℓ-adique du corps de classes (cf. [9] ou [5]) permet cependant d’interpréter ce groupe des normes cyclotomiques comme un groupe d’unités, analogue au ℓ-adifié E_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} E_{K} du groupe des unités au sens habituel, en lien avec un groupe de classes Cℓ_{K}, qui est le pendant logarithmique du ℓ-groupe des classes d’idéaux.

Le rang sur ℤ_{ℓ} du groupe des unités logarithmiques E_{K} (i.e. la dimension de son quotient par le sous-groupe μK^{(ℓ)} des racines de l’unité d’ordre ℓ-primaire contenues dans K) est donné par la formule (cf. [11], Sco. 6) :

dim_{ℤ_{ℓ}} E_{K} = r_{K} + c_{K} + δ_{K}^{�},

où r_{K} et c_{K} sont respectivement les nombres de places réelles et complexes de K; et δ_{K}^{�} mesure le défaut dans K de la conjecture de Gross-Kuz’min pour le premier ℓ. En particulier, lorsque le corps K vérifie cette conjecture pour le premier ℓ (par exemple pour K abélien sur ℚ), il suit :

E_{K} ≃ μK^{(ℓ)}ℤ_{ℓ}^{r_{K}+c_{K}}.

Bien entendu, il reste possible, indépendamment de toute conjecture, de définir à l’instar de Bertrandias et Payan ([2], §1.5) le groupe des ℓ-normes cyclotomiques naïves comme l’intersection

Ẽ_{K} = ⋂_{n∈ℕ} N_{K_{n}/K}(K_{n}^{×})

des sous-goupes normiques de K^{×} attachés aux étages finis de la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique K^{c}/K.

Le groupe obtenu est alors un sous-groupe du groupe E′_{K} des ℓ-unités du corps K, qui contient le ℤ-module multiplicatif engendré par ℓ, donc un ℤ-module de type fini, produit direct

Ẽ_{K} ≃ μ_{K}ℤẽ_{K}

du groupe des racines de l’unité contenues dans K et d’un ℤ-module libre de dimension ẽ_{K} avec

1 ≤ ẽ_{K} = dim_{ℤ} Ẽ_{K} ≤ dim_{ℤ} E′_{K} = r_{K} + c_{K} + l_{K} − 1,

où l_{K} désigne le nombre de places de K au-dessus de ℓ.

Le but de cette note est de préciser la valeur de ẽ_{K} indépendamment de toute conjecture ainsi que les cas d’égalité entre le groupe E_{K} et son sous-module naïf ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} Ẽ_{K}.

∗Archiv der Math. 108 (2017), 545–554

1. Bref rappel sur les unités logarithmiques

Soient ℓ un nombre premier donné et K un corps de nombres. À chaque place finie 𝔭 de K, il est attaché dans [8] une application à valeurs dans ℤ_{ℓ}, définie sur le groupe multiplicatif K_{𝔭}^{×} du complété de K en 𝔭 par la formule :

ν̃_{𝔭}(x_{𝔭}) = ν_{𝔭}(x_{𝔭}), pour 𝔭 ∤ ℓ; et ν̃_{𝔭}(x_{𝔭}) = −\frac{Log_{ℓ} N_{K𝔭/ℚp} (x_{𝔭})}{deg 𝔭}, pour 𝔭|ℓ;

où Log_{ℓ} désigne le logarithme d’Iwasawa et deg 𝔭 est un facteur de normalisation, dont l’expression exacte est sans importance ici, destiné à assurer que l’image de K_{𝔭}^{×} soit dense dans ℤ_{ℓ}. Cette application induit un morphisme surjectif du compactifié ℓ-adique R_{K_{𝔭}} = \underleftarrow{lim} K_{𝔭}^{×}/K_{𝔭}^{×ℓ^{n}} de K_{𝔭}^{×} sur ℤ_{ℓ} dont le noyau, dit sous-groupe des unités logarithmiques de R_{K_{𝔭}},

U_{K_{𝔭}} = {u_{𝔭} ∈ R_{K_{𝔭}} | ν̃_{𝔭}(u_{𝔭}) = 0}

s’identifie par la Théorie ℓ-adique locale du corps de classes (cf. [9]) au sous groupe normique de R_{K_{𝔭}} associé à la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique K_{𝔭}^{c} de K_{𝔭}.

Soit maintenant J_{K} le ℓ-adifié du groupe des idèles de K, i.e. le produit J_{K} = ∏_{𝔭}^{res} R_{K_{𝔭}} des compactifés R_{K_{𝔭}} des groupes multiplicatifs des complétés K_{𝔭}, restreint aux familles (x_{𝔭})_{𝔭} dont presque tous les éléments tombent dans le sous-groupe unité U_{K} = ∏_{𝔭} U_{K_{𝔭}}. La Théorie ℓ-adique globale du corps de classes établit un isomorphisme de groupes topologiques compacts entre le ℓ-groupe des classes d’idèles C_{K} défini comme quotient

C_{K} = J_{K}/R_{K}

de J_{K} par son sous-groupe principal R_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} K^{×} et le groupe de Galois G_{K} = Gal(K^{ab}/K) de la pro-ℓ-extension abélienne maximale de K. Dans la correspondance ainsi établie (cf. [8, 9]) :

(i) Le groupe de normes associé à la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique K^{c} du corps K est le sousgroupe des idèles de degré nul : J_{K} = {𝔵 = (x_{𝔭})_{𝔭} ∈ J_{K} | deg(𝔵) = ∑_{𝔭} ν̃_{𝔭}(x_{𝔭}) deg 𝔭 = 0}.

(ii) Le groupe de normes associé à la plus grande sous-extension K^{lc} de K^{ab} qui est localement cyclotomique (i.e. complètement décomposée sur K^{c} en chacune de ses places) est le produit U_{K}R_{K} du sous-groupe U_{K} = ∏_{𝔭} U_{K_{𝔭}} des unités logarithmiques locales et de R_{K}.

(iii) En particulier, le groupe de Galois Gal(K^{lc}/K^{c}) s’identifie au quotient Cℓ_{K} = J_{K}/U_{K}R_{K}, lequel peut être regardé comme quotient du groupe Dℓ_{K} = J_{K}/U_{K} des diviseurs logarithmiques de degré nul par son sous-groupe principal Pℓ_{K} = R_{K}U_{K}/U_{K}, le numérateur Dℓ_{K} s’identifiant au sous-groupe ˜⊕_{𝔭} ℤ_{ℓ} 𝔭 des diviseurs de degré nul de la somme formelle ⊕_{𝔭} ℤ_{ℓ} 𝔭.

(iv) Et le noyau E_{K} = R_{K} ∩ U_{K} du morphisme d̃iv : x ↦ ∑_{𝔭} ν̃_{𝔭}(x) 𝔭 de R_{K} dans Dℓ_{F} est le

sous-groupe des normes cyclotomiques globales de R_{K}. Nous disons que Cℓ_{K} est le ℓ-groupe des classes logarithmiques du corps K et que E_{K} est le ℓ-groupe des unités logarithmiques globales.

Dans ce contexte, la conjecture de Gross-Kuz’min (cf. [11] §2) se présente comme suit :

Théorème & Conjecture. Le groupe E_{K} des unités logarithmiques de K est le produit :

E_{K} = μK^{(ℓ)}ℤ_{ℓ}^{r_{K}+c_{K}+δ_{K}^{�}}

du ℓ-sous-groupe μK^{(ℓ)} des racines globales de l’unité et d’un ℤ_{ℓ}-module libre de rang r_{K} +c_{K} +δ_{K}^{�}, où r_{K} et c_{K} sont respectivement les nombres de places réelles et complexes de K ; et δ_{K}^{�} = dim_{ℤ_{ℓ}} Cℓ_{K} mesure le défaut dans K de la conjecture de Gross-Kuz’min pour le premier ℓ, laquelle postule précisément la finitude du groupe Cℓ_{K} ou, de façon équivalente, l’égalité : dim E_{K} = r_{K} + c_{K}.

Il est bien connu (cf. e.g. [4, 6, 7, 12]) que la conjecture de Gross-Kuz’min est satisfaite pour tous les premiers ℓ dès lors que K est abélien, en vertu du théorème d’indépendance de Baker-Brumer. Mais c’est aussi le cas pour des raisons triviales (du fait de la formule du produit), lorsque le corps K admet une seule place au-dessus du premier ℓ : la valuation logarithmique ν̃_{𝔭} définie plus haut coïncide, en effet, avec la valuation ν_{𝔭} au sens ordinaire dès que 𝔭 ne divise pas ℓ. Il suit de là que le groupe E_{K} est contenu dans le tensorisé E′_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} E′_{K} du groupe des ℓ-unités de K. D’où leur égalité pour dim_{ℤ} E′_{K} = r_{K} + c_{K}, i.e. lorsque K admet l_{K} = 1 place au-dessus de ℓ.

Dans la pratique, le calcul du groupe Cℓ_{K} est parfaitement effectif (cf. [1, 3]).

2. Normes cyclotomiques naïves

Intéressons-nous maintenant au groupe Ẽ_{K} des ℓ-normes cyclotomiques au sens naïf, c’est-à-dire à l’intersection

Ẽ_{K} = ⋂_{n∈ℕ} N_{K_{n}/K}(K_{n}^{×})

des sous-goupes normiques de K^{×} attachés aux étages finis de la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique K^{c}/K.

Par le principe de Hasse, la condition normique se lit localement, de sorte que Ẽ_{K} est encore le noyau dans K^{×} des valuations logarithmiques ν̃_{𝔭} présentées plus haut :

Ẽ_{K} = {x ∈ K^{×} | ν̃_{𝔭}(x) = 0 ∀𝔭 ∤ ∞} = {ε ∈ E′_{K} | ν̃_{𝔭}(ε) = 0 ∀𝔭 | ℓ}.

En particulier Ẽ_{K} est un sous-groupe du groupe E′_{K} des ℓ-unités de K qui contient les racines de l’unité ainsi que les puissances de ℓ, ce qui se traduit par les deux inclusions :

μ_{K}ℓ^{ℤ} ⊂ Ẽ_{K} ⊂ E′_{K} ≃ μ_{K}ℤ^{r_{K}+c_{K}+l_{K}−1},

où r_{K}, c_{K} et l_{K} désignent respectivement les nombres de places réelles, complexes et ℓ-adiques de K, de sorte que l’on a :

Ẽ_{K} ≃ μ_{K} ℤẽ_{K}

et la dimension ẽ_{K} de Ẽ_{K} est comprise entre 1 et r_{K} + c_{K} + l_{K} − 1.

Observons tout de suite que les deux bornes sont atteintes sous des hypothèses convenables :

Proposition 1. Soit ẽ_{K} = dim_{ℤ} Ẽ_{K} la dimension du groupe des ℓ-normes cyclotomiques naïves.

(i) Si le corps K possède une unique place au-dessus de ℓ, Ẽ_{K} coïncide avec le groupe des ℓ-unités E′_{K} et il vient : ẽ_{K} = r_{K} + c_{K} + l_{K} − 1 = r_{K} + c_{K}.

(ii) Si, tout au contraire, la place ℓ est complètement décomposée dans K/ℚ, on a : Ẽ_{K} = μ_{K}ℓ^{ℤ} et ẽ_{K} = 1. Nous disons alors que K est totalement ℓ-adique.

Preuve. Le cas (i) ayant été traité à la fin de la section précédente, concentrons nous sur le cas (ii). Par hypothèse, la norme locale N_{K_{𝔩}/ℚ_{ℓ}} aux places 𝔩 au-dessus de ℓ étant triviale, les valuations logarithmiques correspondantes ν̃_{𝔩} sont proportionnelles au logarithme d’Iwasawa Log_{ℓ} et il suit :

Ẽ_{K} = {ε ∈ E′_{K} | Log_{ℓ}(ε) = 0} = μ_{K}ℓ^{ℤ},

puisque, du fait de l’hypothèse de complète décomposition, les seules puissances fractionnaires de ℓ contenues dans K sont les puissances entières.

Plus généralement, en présence de conjugaison ℓ-adique (cf. [10] pour cette notion), il vient :

Définition & Théorème 2. Convenons de dire qu’un corps de nombres K est à conjugaison ℓ-adique lorsque c’est une extension non-décomposée aux places au-dessus de ℓ d’un sous-corps k complètement décomposé au-dessus de ℓ. Pour un tel corps K la dimension de Ẽ_{K} est donnée par :

ẽ_{K} = (r_{K} + c_{K}) − (r_{k} + c_{k} − 1),

où r_{K}, r_{k}, c_{K} et c_{k} sont les nombres respectifs de plongements réels et complexes de K et k.

Preuve. Notons V′_{K} = ℚ⊗_{ℤ} E′_{K} et V′_{k} = ℚ⊗_{ℤ} E′_{k} les ℚ-espaces vectoriels construits sur les groupes de ℓ-unités respectifs de K et k, puis V_{K/k}^{∗} le noyau de l’opérateur norme ν = N_{K/k} de V′_{K} sur V′_{k}.

Par construction, le sous-espace Ṽ_{K} = ℚ ⊗_{ℤ} Ẽ_{K} de V′_{K} construit sur les unités logarithmiques est donné par :

Ṽ_{K} = {ε ∈ V′_{K} | N_{K/k}(ε) ∈ ℓ^{ℚ}},

comme préimage par la norme N_{K/k} du noyau du logarithme. Il vient donc :

dim_{ℤ} Ẽ_{K} = dim_{ℚ} Ṽ_{K} = 1 + dim_{ℚ} V_{K/k}^{∗} = 1 + (r_{K} + c_{K} + l_{K} − 1) − (r_{k} + c_{k} + l_{k} − 1) ;

d’où le résultat annoncé, puisque K et k ont même nombre l_{K} = l_{k} de places au-dessus de ℓ.

Scolie 3. Sous les hypothèses du Théorème 2, on a l’égalité ẽ_{K} = r_{K} + c_{K} (et donc, sous la conjecture de Gross-Kuz’min, l’identité E_{K} = ℤ_{ℓ}⊗_{ℤ} Ẽ_{K}) si et seulement si le sous-corps totalement ℓ-adique k est ou bien le corps des rationnels ℚ ou bien un corps quadratique imaginaire ℚ[\sqrt{−d}].

3. Étude du cas galoisien

Examinons maintenant le cas où le corps de nombres considéré est galoisien de degré n sur ℚ et notons G = Gal(K/ℚ) son groupe de Galois.

Faisons choix d’une des places à l’infini, disons 𝔭_{∞} de K et notons D_{𝔭_{∞}} son groupe de décomposition ; notons de même 𝔭_{ℓ} l’une des places de K au-dessus de ℓ et D_{𝔭_{ℓ}} son groupe de décomposition. Notons enfin d_{∞} l’ordre de D_{𝔭_{∞}} (qui vaut 1 ou 2) et d_{ℓ} celui de D_{𝔭_{ℓ}}.

D’après le Théorème de Herbrand, le caractère du ℚ[G]-module V′_{K} = ℚ ⊗ E′_{K} construit sur le groupe des ℓ-unités de K est donné par :

χ_{E′_{K}} = χ_{∞} + χ_{ℓ} − 1,

où χ_{∞} = Ind_{D_{𝔭_{∞}}}^{G} 1_{D_{𝔭_{∞}}} est l’induit à G du caractère de la représentation unité du sous-groupe de

décomposition de 𝔭_{∞}; et χ_{ℓ} = Ind_{D_{𝔭_{ℓ}}}^{G} 1_{D_{𝔭_{ℓ}}} son analogue pour 𝔭_{ℓ} ; enfin 1 désigne le caractère unité.

L’objet de cette section est de calculer le caractère χẼ_{K} du ℚ[G]-module Ṽ_{K} = ℚ ⊗_{ℤ} Ẽ_{K}.

Or, d’un côté les 1-composantes isotypiques respectives de V′_{K} et de Ṽ_{K} s’identifient au sousespace V′_{ℚ} = Ṽ_{ℚ} = ℓ^{ℚ}; de sorte que χ_{E′_{K}} et χẼ_{K} contiennent une seule fois le caractère unité.

Et d’un autre côté, si E_{K}^{∗} désigne le noyau dans E′_{K} de la norme N_{K/ℚ}, le ℚ-espace associé V_{K}^{∗} = ℚ ⊗_{ℤ} E_{K}^{∗} n’est autre que le sous-ℚ[G]-module de V′_{K} annulé par l’idempotent e_{1} = \frac{1}{n} ∑_{γ∈G} γ; et le caractère de V_{K}^{∗} est donné par :

χ_{E_{K}^{∗}} = (χ_{∞} − 1) + (χ_{ℓ} − 1).

L’expression des valeurs absolues logarithmiques donnée au début de la section 1 montre alors que le sous-espace Ṽ_{K}^{∗} = ℚ ⊗_{ℤ} Ẽ_{K}^{∗} de V_{K}^{∗} construit sur les unités logarithmiques de norme 1 est l’intersection des noyaux dans V_{K}^{∗} de l’idempotent associé au sous-groupe D_{𝔭_{ℓ}}

e_{𝔭_{ℓ}} = \frac{1}{n} ∑_{σ∈G} χ_{ℓ}(σ^{−1})σ = \frac{1}{d_{ℓ}} ∑_{τ∈D_{𝔭_{ℓ}}} τ

et de ses conjugués e_{𝔭_{ℓ}^{γ}} = γe_{𝔭_{ℓ}} γ^{−1}, lorsque γ décrit G. En résumé :

Proposition 4. Le ℚ[G]-module Ṽ_{K} = ℚ ⊗_{ℤ} Ẽ_{K} construit sur les unités logarithmiques naïves est la somme directe Ṽ_{K} = Ṽ_{ℚ} ⊕ Ṽ_{K}^{∗}, où

— Ṽ_{ℚ} = ℓ^{ℚ} est l’image de Ṽ_{K} par l’idempotent central e_{1} = \frac{1}{n} ∑_{γ∈G} γ attaché à la norme ;

— Ṽ_{K}^{∗} est le plus grand sous-module de V_{K}^{∗} qui est tué par l’idempotent e_{𝔭_{ℓ}} = \frac{1}{d_{ℓ}} ∑_{τ∈D_{𝔭_{ℓ}}} τ.

À partir de là, la détermination du caractère χẼ_{K} est un pur problème de théorie des représentations où l’arithmétique n’a plus aucune part : on dispose d’un groupe fini G, d’un ℚ[G] module projectif X = V_{K}^{∗} de caractère χ = χ_{E_{K}^{∗}} = (χ_{∞} − 1) + (χ_{ℓ} − 1), d’un sous-groupe H = D_{𝔭_{ℓ}} de G; et on cherche le caractère du plus grand sous-module de X qui est annulé par l’idempotent e_{H} = \frac{1}{|H|} ∑_{τ∈H} τ de l’agèbre ℚ[G] construit sur les éléments de H.

Écrivons donc χ = ∑_{i∈I} n_{i}χ_{i} la factorisation irréductible de χ et X ≃ ⨁_{i∈I} ⨁_{j=1}^{n_{i}} X_{i} comme somme directe d’idéaux à gauche minimaux deux à deux non isomorphes. Pour un i donné, on a :

— ou bien e_{H}X_{i} = 0 ; et X_{i} est annulé par e_{H} (et tous ses conjugués) ;

— ou bien e_{H}X_{i} ≠ 0 ; et le seul sous-module de X_{i} qui est annulé par e_{H} est le module nul. En fin de compte, le sous-module cherché X̃ est donc donné par : X̃ ≃ ⨁_{e_{H}X_{i}=0} ⨁_{j=1}^{n_{i}} X_{i}.

Notons que la condition e_{H}X_{i} = 0 se lit encore e_{H}A_{i} = 0, si A_{i} = ℚ[G]e_{χ_{i}} est le facteur simple correspondant au caractère χ_{i}, autrement dit : e_{H}e_{χ_{i}} = 0. En pratique, on obtient donc Ṽ_{K}^{∗} à partir de V_{K}^{∗} en éliminant les composantes irréductibles représentés dans le ℚ[G]-module ℚ[G/H] ≃ ℚ[G]e_{H} construit sur les classes à gauche modulo H. Ainsi :

Théorème 5. Pour K/ℚ galoisienne le caractère du groupe des normes cyclotomiques naïves est : χẼ_{K} = 1 + (χ_{∞} ∧ χ̄_{ℓ} ),

où χ̄_{ℓ} désigne la partie du caractère régulier χ_{rég} qui est étrangère à χ_{ℓ}.

4. Discussion des cas d’égalité : E_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} Ẽ_{K}

Le groupe des normes cyclotomique naïves Ẽ_{K} est un sous-module pur du groupe des ℓ-unités E′_{K}, comme noyau des valuations logarithmiques ν̃_{𝔭} attachées aux places 𝔭|ℓ; son ℓ-adifié ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} Ẽ_{K} est donc un sous-module pur du ℓ-adifié E′_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} E′_{K} de E′_{K}. Comme il est contenu dans E_{K}, c’est en particulier un sous-module pur de E_{K} et l’égalité ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} Ẽ_{K} = E_{K} a lieu si et seulement si les deux modules ont le même rang, i.e. lorsque le ℤ-rang de Ẽ_{K} coïncide avec le ℤ_{ℓ}-rang de E_{K}.

Dans le cas galoisien, cela revient à dire que les deux groupes définissent le même caractère. Or, celui du groupe des unités logarithmiques est calculé dans [8] : il est égal à χ_{∞} augmenté du caractère de défaut de la conjecture de Gross-Kuz’min. Il vient donc directement :

Théorème 6. Dans une extension galoisienne K de ℚ, l’égalité E_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} Ẽ_{K} a lieu si et seulement si les deux conditions suivantes sont réalisées :

(i) le corps K vérifie la conjecture de Gross-Kuz’min (pour le premier ℓ) ;

(ii) on a : χ_{∞} ∧ χ_{ℓ} = 1.

Corollaire 7. Pour K galoisien réel, l’égalité E_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} Ẽ_{K} a lieu si et seulement si le corps K possède une seule place au-dessus de ℓ; auquel cas, il vient : Ẽ_{K} = E′_{K} et E_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} Ẽ_{K} = E′_{K}.

Preuve. Si K est réel, on a χ_{∞} = χ_{rég} et l’assertion (ii) s’écrit : χ_{ℓ} = 1 ; ce qui se traduit par le fait que K admet une unique place au-dessus de ℓ. D’où le résultat en vertu de la Proposition 1. Notons que, dans ce contexte, la condition (i) est alors automatiquement satisfaite.

Corollaire 8. Si K est à conjugaison complexe, i.e. si c’est une extension quadratique totalement imaginaire d’un sous-corps K_{∞} totalement réel, l’égalité E_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} Ẽ_{K} a lieu si et seulement si

(i) ou bien K ne possède qu’une seule place au-dessus de ℓ;

(ii) ou bien K est composé direct d’un sous-corps galoisien réel K_{∞} qui ne possède qu’une place au-dessus de ℓ et d’un sous-corps quadratique imaginaire k qui en possède exactement 2.

Avant d’établir ce résultat, observons que nous avons, par un argument de points fixes immédiat :

Lemme 9. Si l’égalité E_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} Ẽ_{K} a lieu pour un corps de nombres quelconque donné K, elle vaut aussi pour chacun de ses sous-corps.

Preuve du Corollaire. Si K est à conjugaison complexe, le sous-groupe de décomposition D_{∞} des places à l’infini est normal et d’ordre 2 et son sous-corps des points fixes K_{∞} est alors un corps galoisien réel auquel nous pouvons appliquer le corollaire précédent. Si donc K satisfait l’égalité, K_{∞} la satisfait aussi et ne possède qu’une seule place au-dessus de ℓ. Ainsi pour chaque place ℓ-adique de K, le sous-groupe de décomposition s’envoie surjectivement sur le quotient G/D_{∞}. Il est donc d’indice 1 ou 2 dans G et, par conséquent, normal. Notons le D_{ℓ}.

— Dans le premier cas (D_{ℓ} = G), le corps K ne possède qu’une seule place au-dessus de ℓ; et il vient, comme plus haut : Ẽ_{K} = E′_{K} et E_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} Ẽ_{K} = E′_{K}.

— Dans le second cas (D_{ℓ} ≠ G), le groupe G est alors le produit direct des sous-groupes D_{∞} et D_{ℓ}, et K le composé direct de leurs sous-corps invariants respectifs K_{∞} et k. Ici encore le corps réel K_{∞} vérifie les hypothèses du corollaire précédent, de sorte qu’on a : Ẽ_{K_{∞}} = E′_{K_{∞}} et E_{K_{∞}} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} Ẽ_{K_{∞}} = E′_{K_{∞}}. Comme, sous la conjecture de Gross-Kuz’min, les groupes E_{K_{∞}} et E_{K} ont même ℤ_{ℓ}-rang r_{K_{∞}} = c_{K}, il suit bien : E_{K} = μK^{(ℓ)}E_{K_{∞}} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} Ẽ_{K}.

En fin de compte, il reste seulement à vérifier dans ce dernier cas que le corps K = kK_{∞} vérifie la conjecture de Gross-Kuz’min. Or, cela résulte de la propriété générale suivante :

Scolie 10. Soit K/k une extension (non nécessairement galoisienne) de corps de nombres, non décomposée aux places au-dessus de ℓ. Alors la conjecture de Gross-Kuz’min pour le premier ℓ est vérifiée dans K dès qu’elle l’est dans le sous-corps k (par exemple dès que k est abélien sur ℚ).

Preuve. Elle est très simple : le corps K et son sous-corps k ayant même nombre de places audessus de ℓ, le groupe des diviseurs logarithmiques de k construits sur les places au-dessus de ℓ est d’indice fini dans son homologue de K. Ainsi Cℓ_{k} et Cℓ_{K} sont-ils simultanément finis ou pas.

Index des principales notations

ℓ : un nombre premier quelconque ;

K : un corps de nombres arbitraire ; K_{𝔭} : le complété de K en la place 𝔭;

K^{c} = ∪_{n∈ℕ}K_{n} avec [K_{n} : K] = ℓ^{n} : la ℤ_{ℓ}-extension cyclotomique de K;

E_{K} : le groupe des unités de K et E′_{K} le groupe des ℓ-unités ;

Ẽ_{K} = ⋂_{n∈ℕ} N_{K_{n}/K}(K_{n}^{×}) : le groupe des normes cyclotomiques naïves de K; μ_{K} : le groupe des racines de l’unité de K et μK^{(ℓ)} son ℓ-sous-groupe de Sylow ; r_{K}, c_{K}, l_{K} : les nombres respectifs de places réelles, complexes et ℓ-adiques du corps K; R_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} K^{×} : le ℓ-adifié du groupe multiplicatif du corps K; R_{K_{𝔭}} = \underleftarrow{lim} K_{𝔭}^{×}/K_{𝔭}^{×ℓ^{m}}: le compactifié ℓ-adique du groupe multiplicatif K_{𝔭}^{×}; U_{K_{𝔭}} : le sous-groupe unité et U_{K_{𝔭}} le groupe des normes cyclotomiques dans R_{K_{𝔭}} ; J_{K} = ∏_{𝔭}^{res} R_{K_{𝔭}} : le ℓ-adifié du groupe des idèles de K; U_{K} = ∏_{𝔭} U_{K_{𝔭}} : le sous-groupe unité de J_{K} ; U_{K} = ∏_{𝔭} U_{K_{𝔭}} : le sous-groupe des normes cyclotomiques dans J_{K} ; Cℓ_{K} = J_{K}/U_{K}R_{K} : le ℓ-groupe des classes logarithmiques du corps K; E′_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} E′_{K} : le ℓ-adifié du groupe des ℓ-unités de K; E_{K} = ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} E_{K} = R_{K} ∩ U_{K} : le ℓ-adifié du groupe des unités de K; E_{K} = R_{K} ∩ U_{K} : le ℓ-groupe des unités logarithmiques de K; δ_{K}^{�} = dim_{ℤ_{ℓ}} Cℓ_{K} : le défaut de la conjecture de Gross-Kuz’min dans K.

Références

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[4] L.J. Federer & B.H. Gross, (with an appendix by W. Sinnott), Regulators and Iwasawa modules, Inv. Math. 62 (1981), 443–457.

[5] G. Gras, Class Field Theory : from theory to practice, Springer Monographs in Mathematics (2003).

[6] J.-F. Jaulent, Sur l’indépendance ℓ-adique de nombres algébriques, J. Numb. Th. 20 (1985), 149–158.

[7] J.-F. Jaulent, Sur les conjectures de Leopoldt et de Gross, Actes des Journées Arithmétiques de Besançon, Astérisque 147-148 (1987), 107–120.

[8] J.-F. Jaulent, Classes logarithmiques des corps de nombres, J. Théor. Nombres Bordeaux 6 (1994), 301–325.

[9] J.-F. Jaulent, Théorie ℓ-adique globale du corps de classes, J. Théor. Nombres Bordeaux 10 (1998), 355–397.

[10] J.-F. Jaulent, Plongements ℓ-adiques et ℓ-nombres de Weil, J. Théor. Nombres Bordeaux 20 (2008), 335–351.

[11] J.-F. Jaulent, Sur les normes cyclotomiques et les conjectures de Leopoldt et de Gross-Kuz’min, Annales Math. Québec (à paraître)

[12] L. V. Kuz’min, The Tate module of algebraic number fields, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 36 (1972), 267-327.

Jean-François Jaulent Institut de Mathématiques de Bordeaux Université de Bordeaux & CNRS 351, cours de la libération F-33405 Talence Cedex courriel : Jean-Francois.Jaulent@math.u-bordeaux1.fr