UNIVERSITE BORDEAUX I

MHT 201. Structures algébriques

DS n^{0} 1, le 10 mars 2011 Durée 1h30. Documents et calculettes interdits

Exercice 1. Trouver le pgcd des polynomes X^{5} + X^{4} − X^{3} − 2X − 1 et 3X^{4} + 2X^{3} + X^{2} + 2X − 2.

Exercice 2. Déterminer tous les polynômes de la forme X^{2} + aX + 1 à coefficients dans ℂ qui divisent le polynôme X^{4} + 3X^{2} + 1.

Exercice 3. Soient f(X) et g(X) deux polynômes non nuls dans ℝ[X]. Montrer l’équivalence des deux conditions suivantes:

1) f(X) et g(X) ne sont pas premiers entre eux.

2) Il existent des polynômes u(X) et v(X) non nuls tels que deg(u) < deg(g) et deg(v) < deg(f) et u(X)f(X) + v(X)g(X) = 0.

Exercice 4. Soit n un entier ⩾ 1. Montrer que le polynôme

f(X) = 1 + \frac{X}{1} + \frac{X^{2}}{2!} + \frac{X^{3}}{3!} + ⋯ + \frac{X^{n}}{n!} ∈ ℂ[X]

n’a pas de racines de multiplicité ⩾ 2.

Exercice 5. Soit n un entier ⩾ 1 et soit

g(X) = 1−\frac{X}{1!} +\frac{X(X − 1)}{2!}−\frac{X(X − 1)(X − 2)}{3!}+⋯+(−1)^{n} \frac{X(X − 1)(X − 2) ⋯ (X − n + 1)}{n!}.

a) Montrer que g(1) = g(2) = ⋯ = g(n) = 0.

b) Montrer que g(X) = \frac{(−1)^{n}(X − 1)(X − 2) ⋯ (X − n)}{n!}.

FIN