\documentclass[12pt]{amsart}
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\usepackage[theo]{kbexo}

\begin{document}
\agregtitle{Mise sous forme implicite de courbes et de surfaces} 

\medskip
\noindent \hint{Texte adapté du texte homonyme dans \emph{Mathématiques en
situation}, édité par C. Ruget, collection Scopos, vol.~\textbf{11}.}

\section{Introduction}
Étant donnée une courbe paramétrée du plan donnée par
$$ x(t) = \frac{f_1(t)}{f_2(t)}\quad\text{et}\quad
   y(t) = \frac{g_1(t)}{g_2(t)},
$$
où $f_1$, $f_2$, $g_1$, $g_2$ sont des fonctions polynômiales,
plusieurs algorithmes permettent d'en donner une équation implicite, un
des plus connus étant la méthode des résultants. Soit la courbe donnée par 
\begin{equation}\label{eq:1}
 x(t) = t^4-t+1,\quad y(t) = t^3+t+1;
\end{equation}
le calcul du résultant des polynômes en $t$: $x(t)-x$ et $y(t)-y$ donne
immédiatement une équation cartésienne implicite de la courbe :
$$-x^3 + 5x^2 + -4xy^2 + 13xy + y^4 - 7y^3 + 22y^2 - 18x - 34y + 23. $$
Cet algorithme fonctionne aussi pour les surfaces. Soit la surface donnée par 
\begin{align*}
  x(t,s) & = \frac{t^2-2st-1}{t^2+1},\\
  y(s,t) & = \frac{2t+st^2+s}{t^2+1},\\
  z(t,s) &= s;
\end{align*}
Le calcul de 
\begin{align*}
  \Res_s\Big(&\Res_t\big(x(t,s)-x, y(t,s)-y\big),\\
         &\Res_t\big(x(t,s)-x,z(t,s)-z\big)\Big)
\end{align*}
donne une équation implicite de la surface\footnote{Dans cet exemple
particulier, l'élimination de $s$ est aisée: c'est $z$. Aussi peut-on gagner
en vitesse en calculant directement $\Res_t(x(t,z)-x, y(t,z)-y)$. En ce cas
on obtient une équation cartésienne optimale.}. Malheureusement, l'équation
obtenue n'est pas optimale, en effet, on peut factoriser l'équation et se
rendre compte de l'apparition de termes parasites: $x-1$ et $x+1$.

\section{Un algorithme donnant une forme implicite optimale}

\begin{defi}
Soient $f$ et $g$ deux polynômes dans $\QM[T]$, le polynôme $f$
ayant dans $\CM$ les racines $(\lambda_1,\dots,\lambda_s)$ distinctes de
multiplicités respectives $(\alpha_1,\dots,\alpha_s)$; on appelle \emph{trace}
de $g$ sur $f$ la quantité
$$ \tau_f(g):= \sum_{k=1}^s \alpha_k g(\lambda_k).$$
\end{defi}

\begin{theo} $\tau_f(g)\in \QM$ est le coefficient de $T^{-1}$ dans la fraction
rationnelle $g f'/f \in \QM(T)$, lorsqu'on la développe suivant les
puissances décroissantes.
\end{theo}

\begin{defi}
  Si $x_1,\dots, x_n$ sont $n$ variables, les fonctions symétriques
  élémentaires des $x_k$ sont redéfinies\footnote{Elle diffèrent 
  des définitions usuelles par un signe.} par
  $$ \prod_{k=1}^n (T-x_k) = T^n + \sigma_1 T^{n-1} + \dots + \sigma_{n-1}T +
  \sigma_n,$$
  ainsi que $\sigma_0 := 1$.
\end{defi}

\begin{defi}
  Soient $x_1,\dots, x_n$ des variables. On appelle \emph{somme de Newton de
  rang $k$} l'expression
  $$ S_k(x_1,\dots,x_n) := \sum_{j=1}^n x_j^k.$$
\end{defi}

\begin{prop}[Formules de Newton] Soit $x_1,\dots,x_n$ des variables et $j\in
  \set{1,\dots,n}$. On a 
  $$j\sigma_j + S_j + S_{j-1}\sigma_1 + \dots + S_1 \sigma_{j-1} = 0.$$
\end{prop}

\begin{theo}[Cas polynômial] Soit $\mathcal{C}$ une courbe définie par une
  paramétrisation polynômiale:
  $$ x = f(t), \quad y = g(t),$$
  où $f$ et $g$ sont des polynômes et ou $\deg g = n$. Alors si $t_1,\dots,
  t_n$ sont les $n$ racines (distinctes ou confondues) de $g(t)-y$ dans une
  clôture algébrique de $\QM(y)$, si on pose 
  $r_k(y) := \sigma_k(f(t_1),\dots,f(t_n))$ et
  $S_k(y) := S_k(f(t_1),\dots,f(t_n))$, alors l'équation implicite de
  $\mathcal{C}$ est la partie sans carré du polynôme
  $$ x^n + r_1(y)x^{n-1} + \dots r_n(y),$$
  où les $r_k(y)$ sont donnés par les formules de récurrence
  $$ kr_k(y) = -S_k(y)-S_{k-1}(y)r_1(y) - \dots - S_1(y)r_{k-1}(y),$$
  où chaque $S_j(y)$ est le coefficient de $t^{-1}$ dans le développement de
  $$ f(t)^j g'(t) / (g(t) - y).$$
\end{theo}

\begin{theo}[Cas rationnel]. Soit $\mathcal{C}$ une courbe définie par une
  paramétrisation polynômiale:
  $$ x = f_1(t)/f_2(t), \quad y = g_1(t)/g_2(t),$$
  où $f_1$ et $f_2$ (resp.~$g_1$ et $g_2$) sont des polynômes premiers entre
  eux, et où $n$ est le maximum des degrés de $g_1$ et $g_2$. Alors
  l'équation implicite de $\mathcal{C}$ est la partie sans carré du polynôme
  $$ x^n + r_1(y)x^{n-1} + \dots r_n(y),$$
  où les $r_k(y)$ sont donnés par les formules de récurrence
  $$ kr_k(y) = -S_k(y)-S_{k-1}(y)r_1(y) - \dots - S_1(y)r_{k-1}(y),$$
  où chaque $S_j(y)$ est le coefficient de $t^{-1}$ dans le développement de
  $$ \frac{(u(y,t)f_1(t))^j (g_1'(t) - y g'_2(t))}{g_1(t) - yg_2(t)},$$
  le polynôme $u$ étant le coefficient de Bézout $\in \ZM(y)[t]$ dans 
  $$ u(y,t) f_2(t) + v(y,t) (g_1(t)-yg_2(t)) = 1 $$
\end{theo}
 
\section{Suggestions}
\begin{itemize}
\item Justifier l'existence des termes parasites dans le premier exemple, donné
  par l'équation \eqref{eq:1}.

\item Appliquer les deux derniers théorèmes aux exemples du début du texte.
\item Démontrer les énoncés du texte.
\end{itemize}
\end{document}
