\documentclass[a4paper,12pt]{amsart}
\usepackage{kbexo}

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%% Alice's packages
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\usepackage{xcolor}

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%% Alice's macros
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\newcommand{\comment}[1]{{\color{gray}#1}}

\course{Algèbre et calcul formel -- Agrégation}
\num{11}

\begin{document}
\bigskip
\exotitle[Résultant]
\bigskip

\smallskip

\exo
Pour calculer le résultant de $P$ et $Q$, on utilise la commande
{\tt P.resultant(Q)}, ou bien {\tt P.resultant(Q,x)} s'il faut
préciser la variable.

\Q Après avoir défini
{\tt Qx}$=\QM[x]$, essayer les commandes suivantes.

\begin{verbatim}
  P = x^3-1
  Q = x^2-2*x
  P.resultant(Q)
  R = x^2-1
  P.resultant(R)
\end{verbatim}

\Q Pour les polynômes à plusieurs variables, il y a plusieurs manières
de faire. On peut construire $\QM[x,y]$:

\begin{verbatim}
  Qxy.<x,y> = PolynomialRing(QQ)
  P = x^3-y^2
  Q = x^2+y^2-2
  R = P.resultant(Q); R
\end{verbatim}
Le résultant est calculé suivant la première variable {\tt x}. Pour le
calculer suivant {\tt y}, il faut le préciser:
\begin{verbatim}
  Ry = P.resultant(Q,y); Ry
\end{verbatim}
Essayer les commandes
\begin{verbatim}
  R(1)
  R(1,1)
  parent(R)
\end{verbatim}
{\tt R} est encore un polynôme de $\QM[x,y]$.

\Q On peut aussi construire $\QM[x][y]$ :

\begin{verbatim}
  Qx2y.<y> = PolynomialRing(Qx)
  P = Qx2y(P);
  Q = Qx2y(Q)
  R = P.resultant(Q)
  parent(R)
  R(1)
\end{verbatim}

\Q Dessiner sur un même graphe, les courbes d'équations $P=0$ et $Q=0$, ainsi
que les points d'intersection des deux courbes.

\exo Écrire une fonction qui prend en entrée deux polynômes en une seule variable à coefficients dans $\bar{\mathbb{Q}}$ ({\tt QQbar} en Sage) et renvoie la liste des racines communes aux deux polynômes (sous forme exacte, comme élément de {\tt QQbar}).
\comment{(Remarque : il n'y a pas forcément besoin d'utiliser un résultant dans cet exercice.)}

\exo
Soient $\mathcal C$ le cercle d'équation $x^2+y^2=1$ et $\mathcal D$ la
droite d'équation $3x+4y=0$. Utiliser un résultant pour calculer les points
d'intersection de $\mathcal C$ et $\mathcal D$. On calculera le résultant à
la main, puis en utilisant sage. Afficher $\mathcal C$ et $\mathcal D$ sur un
même graphique, ainsi que leurs points d'intersection.


\exo Dans $\CM[x,y]$, on considère les polynômes
$$f=(y^2+6)(x-1)-y(x^2+1),\quad g(x,y)=f(y,x).$$
Soient $X$ et $Y$ les courbes de $\CM^2$ d'équations respectives $f(x,y)=0$
et $g(x,y)=0$. Afficher les parties réelles des deux courbes sur un même
graphique (pour $(x,y)\in[0,5]^2$ par exemple) et déterminer $X\cap Y$.

On fera d'abord le calcul en utilisant le résultant, puis en utilisant la
commande {\tt solve}.

\exo
\Q Soient $K$  un corps et soient $a$ et $b$ deux éléments d'une extension
algébrique $L$ de $K$. Soient $m_a$ et $m_b\in K[x]$ les polynômes minimaux
respectifs de $a$ et $b$ sur $K$. Montrer que le polynôme minimal de $a+b$
est un facteur de $\Res_y(m_a(x-y),m_b(y))$.
\Q Calculer de deux manières différentes le polynôme minimal sur
$\QM$ de $\sqrt3+i$.
\Q Dans $\CM$, soient $\alpha$ une racine de $x^3+x+1$ et $\mu$ une racine
primitive $8$-ème de l'unité. Calculer le polynôme minimal sur $\QM$ de
$\alpha+\mu$.

\exo
\Q Soient $K$  un corps et soit $a$ un élément d'une extension algébrique $L$
de $K$. Soit $m\in K[x]$ le polynôme minimal de $a$ sur $K$. Soit $f\in K[x]$
Montrer que le polynôme minimal de $f(a)$ est un facteur de
$\Res_y(x-f(y),m(y))$.
\Q Soit $a$ une racine primitive huitième de l'unité dans $\CM$.
Calculer le polynôme minimal sur $\QM$ de $a^3-a+1$, puis de $a^2+a+1$.

\exo
Soit $f(x,y,z)=x^2-y^2+z-1$. Résoudre le système
$f(x,y,z)=f(y,z,x)=f(z,x,y)=0$ (on cherchera des solutions approchées).
On fera le calcul en utilisant le résultant, puis en utilisant
la commande {\tt solve}.
\end{document}
