\documentclass[12pt]{report}
\usepackage{kbexo}
\course{Arithmétique -- M1MA7W01}
\formation{Master 1 CSI}
\num{1}

\begin{document}
\exotitle

\exo
\Q Calculer l'inverse de $13$ dans l'anneau
$\mathbb{Z}/57\mathbb{Z}$.

\Q On pose $P=X^5+X-1$ et $Q=X^3-1$. Calculer l'inverse de $\bar{Q}$ dans
l'anneau $\mathbb{Q}[X]/\gen{P}$.

\Q On pose $P=X^5+X+1$ et $Q=X^3+X+1$. Calculer l'inverse de $\bar{Q}$
dans l'anneau $\mathbb{F}_2[X]/\gen{P}$.

\exo Soit $K$ un corps.

\Q Soient $P$ et $Q$ dans $K[X]$. Montrer que: $P$ et $Q$ sont premiers
entre eux si et seulement si $P+Q$ et $PQ$ sont premiers entre eux.

\Q Trouver un couple $(P,Q)\in K[X]^2$ tel que
$\pgcd(P,Q)\neq \pgcd(P+Q,PQ)$.

\exo
\Q Trouver tous les $x\in\mathbb{Z}/24\mathbb{Z}$ vérifiant
$\bar{7}x=\bar{2}$.

\Q On pose $P=X^4+2X^2+1$. Trouver tous les
$Q\in\mathbb{F}_7[X]/\gen{P}$ vérifiant
$(X^2-1)Q=X^3+2X+2$.

\exo
\Q Calculer dans $\mathbb{Q}[X]$ le reste de la division euclidienne de
$(X+2)^{2013}$ par $X^2+4X+3$.

\Q Calculer dans $\mathbb{Q}[X]$ le reste de la division euclidienne de
$X^{2013}$ par $X^2+2X+1$.

\exo* Soit $K$ un corps. Soient $P\in K[X]$ non nul et $Q$ un diviseur de $P$.

\Q Montrer qu'il existe $(F,G)\in K[X]^2$ vérifiant: $P=FG$, $F$ et $G$
sont premiers entre eux, $Q$ divise $F$, et tout facteur irréductible de $F$
divise $Q$.

\Q En déduire que le morphisme canonique
$(K[X]/\gen{P})^*\rightarrow(K[X]/\gen{Q})^*$ est surjectif.

\exo Trouver tous les couples $(x,y)\in(\mathbb{Z}/10\mathbb{Z})^2$
vérifiant: $\bar{2}x+y=\bar{1}$ et $x+\bar{2}y=\bar{3}$.

\exo Quels sont, dans $\mathbb{F}_3[X]$, les polynômes unitaires
irréductibles de degré 2 ?

\exo L'anneau $\mathbb{F}_2[X]/\gen{X^4+X^2+1}$ est-il un corps?

\exo Quels sont les éléments inversibles de l'anneau
$\mathbb{F}_2[X]/\gen{X^3+1}$ ?
\end{document}
