\documentclass[12pt]{report}
\usepackage{kbexo}
\course{Arithmétique -- M1MA7W01}
\formation{Master 1 CSI}
\num{2}
\def\exoskip{5pt plus 15pt minus 1pt}

\begin{document}
\exotitle

\exo
Factoriser le polynôme $P=X^5+X+1$ dans $\mathbb{F}_2[X]$. Quel est l'ordre
du groupe $(\mathbb{F}_2[X]/\gen{P})^*$ ?

\exo On pose $A=\mathbb{F}_5[X]/\gen{X^3-X+1}$. 
\Q Montrer que $a^{25}=a$ pour tout $a\in A$ \hint{on pourra utiliser le
théorème chinois}.

\Q Le groupe $A^*$ est-il cyclique ?

\exo*
Soient $A$ et $B$ deux anneaux commutatifs. Quelle est la caractéristique de
l'anneau $A\times B$, en fonction de celles de $A$ et $B$ ?

\exo
Soit $K$ un corps fini de cardinal $q$. Soit $p$ un nombre premier ne divisant
pas $q$. Posons $\Phi=X^{p-1}+\cdots+X+1$. On suppose que $\Phi$ a une racine
$a$ dans $K$.

\Q Déterminer l'ordre de $a$ dans le groupe $K^*$.

\Q En déduire que $p$ divise $q-1$.

\exo
Soit $K$ un corps fini de cardinal 2048. Soit $x\in K^*$ tel que $x\neq1$.
Quelle est la caractéristique $p$ de $K$ ? Quel est le degré de $x$ sur
$\mathbb{F}_p$ ?

\exo
On pose $K=\mathbb{F}_2[Y]/\gen{Y^4+Y+1}$ et on désigne par $\alpha$ la
classe de $Y$ dans $K$. Notons $\beta=\alpha^2+\alpha$.

\Q Montrer que $K$ est un corps.

\Q Trouver le polynôme minimal de $\beta$ sur $\mathbb{F}_2$. Quel est le
cardinal de $\mathbb{F}_2(\beta)$ ?

\Q Factoriser $X^3+1$ dans $K[X]$.

\Q Quel est le polynôme minimal de $\alpha$ sur
$\mathbb{F}_2(\beta)$ ?

\exo
On pose $K=\mathbb{F}_5[Y]/\gen{Y^3+2Y+1}$ et on note $\alpha$ la classe
de $Y$ dans $K$.

\Q Vérifier que $K$ est un corps.

\Q Trouver le polynôme minimal de $\alpha+1$ sur $\mathbb{F}_5$.

\exo
Soit $p$ un nombre premier impair. Montrer que les anneaux $(\mathbb{F}_p)^3$
et $\mathbb{F}_p[X]/\gen{X^3-X}$ sont isomorphes.
\end{document}
