\documentclass[12pt]{report}
\usepackage{kbexo}
\course{Arithmétique -- M1MA7W01}
\formation{Master 1 CSI}
\num{4}
\def\exoskip{5pt plus 15pt minus 1pt}

\begin{document}
\exotitle

\exo

\Q Soit $K$ un corps fini de cardinal 32. Soit $x\in K^*$ tel que
$x\neq1$. Montrer que $x$ est primitif dans $K$.

\Q Soit $L$ un corps fini de cardinal 27. Soit $x\in L^*$ tel que
$x\notin\set{1,-1}$. Prouver que $x$ ou $-x$ est primitif dans $L$.

\exo
Posons $K=\mathbb{F}_2[Y]/\gen{Y^4+Y^3+Y^2+Y+1}$ et notons $\alpha$ la
classe de $Y$ dans $K$.

\Q Démontrer que $K$ est un corps.

\Q Calculer $(\alpha+1)^5$, puis montrer que $\alpha+1$ est primitif dans
$K$.

\Q L'élément $\alpha$ est-il primitif dans $K$ ?

\exo
On pose $A=\mathbb{F}_2[Y]/\gen{Y^6+Y+1}$ et on désigne par $\alpha$ la
classe de $Y$ dans $A$.

\Q Calculer $\alpha^9$, $\alpha^{21}$ et $\alpha^{63}$.

\Q Quel est l'ordre de $\alpha$ ? En déduire que $A$ est un corps.

\Q Quel est le polynôme minimal de $\alpha^{21}$ sur $\mathbb{F}_2$ ?

\Q Trouver le degré de $\alpha^9$ sur $\mathbb{F}_2$.

\Q Quels sont les éléments de
$\mathbb{F}_2(\alpha^9)\cap\mathbb{F}_2(\alpha^{21})$ ?

\exo

\Q Combien y a-t-il de polynômes unitaires irréductibles de degré 2
dans $\mathbb{F}_5[X]$ ?

\Q Combien y a-t-il de polynômes unitaires primitifs de degré 2 dans
$\mathbb{F}_5[X]$ ?

\exo[extensions d'Artin-Schreier]
Soient $p$ un nombre premier et $K$ un corps de caractéristique $p$. Soit
$b\in K$; posons $Q=X^p-X-b$. On choisit une extension $L$ de $K$ contenant une
racine $\alpha$ de $Q$.

\Q Montrer l'égalité $\displaystyle Q=\prod_{k\in\mathbb{F}_p}(X-\alpha-k)$ dans
$L[X]$. \hint{On pourra d'abord calculer $Q(\alpha+k)$ pour tout
$k\in\mathbb{F}_p$}

\Q Soit $P=X^d-a_1X^{d-1}+\cdots+(-1)^da_d$ un facteur unitaire de $Q$
dans $L[X]$. Montrer que $a_1-d\alpha\in\mathbb{F}_p$, puis que
$a_1^p-a_1=db$.

\Q Prouver que $Q$ est irréductible dans $K[X]$ si et seulement si $Q$
n'a pas de racine dans $K$.

\Q Soit $c\in\mathbb{F}_p^*$. Montrer que le polynôme $X^p-X-c$ est
irréductible dans $\mathbb{F}_p[X]$.

\exo

\Q Calculer le produit des polynômes irréductibles de degré 4 dans
$\mathbb{F}_2[X]$.

\Q Combien y a-t-il de polynômes irréductibles de degré 6 dans
$\mathbb{F}_2[X]$ ?

\Q Combien y a-t-il de polynômes primitifs de degré 6 dans
$\mathbb{F}_2[X]$ ?

\exo

\Q On choisit un corps $K$ de cardinal 64. Montrer que le polynôme
$X^{21}-1$ est scindé dans $K[X]$.

\Q Déterminer la liste des degrés des facteurs irréductibles de $X^{21}-1$
dans $\mathbb{F}_2[X]$.
\end{document}
