\documentclass[12pt]{amsart}
\usepackage{kbexo}
\course{Arithmétique -- M1MA7W01}
\formation{Master 1 CSI}
\num{5}
\def\exoskip{5pt plus 15pt minus 1pt}

\begin{document}
\exotitle

\exo Combien y a-t-il de polynômes unitaires primitifs de degré 7 sur
$\FM_5$? Combien d'éléments primitifs dans $\FM_{5^7}$ ?

\exo
\Q Énumérer les classes cyclotomiques binaires modulo $11$.
\Q En déduire que le polynôme $1+X+X^2+\dots + X^{10} = (X^{11}-1)/(X-1)$ est
irréductible sur $\FM_2$.

\exo
\Q Énumérer les classes cyclotomiques ternaires modulo $23$.
\Q En déduire la forme de la factorisation de $X^{23} - 1$ dans $\FM_3[X]$.
\Q Quelle est la plus petite extension de $\FM_3$ dans laquelle le polynôme
$X^{23}-1$ se factorise entièrement ?

\def\a{\alpha}
\def\b{\beta}
\def\N{\text{N}}
\exo Soit $q = p^k$, où $p$ est premier et $k\geq 1$. On note
$\sigma:x\mapsto x^p$ le Frobenius sur $\FM_q$ et $\Tr:\FM_q\to \FM_p$ la
trace.
\Q Si $\a\in\FM_q$ est de degré $k$, montrer que $\Tr(\a)$
est l'opposé du coefficient de $X^{k-1}$ dans le
polynôme minimal de $\a$ sur $\FM_p$.
\Qqq On note $\a$ la classe de $X$ dans $\FM_2[X]/(f)$, où $f=X^6+X+1$ est
\emph{primitif}.
\qq Calculer $\Tr(1)$,
$\Tr(\a)$,
$\Tr\big(\a^2\big)$,
$\Tr\big(\a^3\big)$,
$\Tr\big(\a^4\big)$, et
$\Tr\big(\a^6\big)$.

\Q On définit la norme de $\a\in\FM_q$ par $\N (\a) 
  :=\prod\limits_{0\leq i < k} \sigma^i(\a)
  = \prod\limits_{0\leq i < k} \a^{p^i}.$
  \qq Montrer que pour $\a,\b\in \FM_q$, on a $\N(\a\b) = \N(\a) \N(\b)$,
  que $\N(\sigma(\a)) = \N(\a)$ et que $\N(\a)\in\FM_p$.
  \qq Montrer que, si $\a\in\FM_q$ est de degré $k$ sur $\FM_p$, alors
  $\N(\a)$ est égal au coefficient constant du polynôme minimal de $\a$ sur
  $\FM_p$ multiplié par $(-1)^k$.

  \exo Soit $K = \FM_q$ un corps de caractéristique $p$ et soit $L =
\FM_{q^2}$.
\Q Soit $\a\in L$. Montrer que $t = \a + \a^q$ et $n = \a^{q+1}$ sont dans
$K$.
\Q Déduire de la question précédente que $X^2 - tX + q\in L[X]$ est en fait
à coefficients dans $K$, et a $\a$ pour racine. Quelle est son autre racine ?
\Q Montrer que si $\a\not\in K$, alors $X^2 - tX + n$ est le polynôme minimal
de $\a$. Que se passe-t-il quand $\a\in K$ ?
\end{document}
