\documentclass[12pt]{report}
\usepackage{kbexo}
\course{Arithmétique -- M1MA7W01}
\formation{Master 1 CSI}
\num{6}
\def\exoskip{5pt plus 15pt minus 1pt}

\begin{document}
\exotitle

\exo
Soient $p$ un nombre premier et $K$ une extension finie de $\FM_p$.

\Q Soit $b\in K$ tel que $\forall y\in K$, $\Tr(by)=0$. Montrer que
$b=0$.

\Q Démontrer que le Frobenius $K\rightarrow K$ est surjectif.

\exo
Soit $p$ un nombre premier. Soit
$P=X^d-a_{d-1}X^{d-1}-\cdots-a_0 \in \FM_p[X]$ irréductible. Désignons par
$V$ l'espace des suites $(u_n)_{n\geq0}\in\FM_p^\NM$ telles que
$u_n=a_{d-1}u_{n-1}+\cdots+a_0u_{n-d}$ pour tout $n\geqq d$. Posons
$K=\FM_p[X]/\gen{P}$ et notons $\alpha$ la classe de $X$ dans
$K$.

\Q Soit $b\in K$; on définit la suite $(f(b)_n)_{n\geq0}$ en posant
$f(b)_n=\Tr(b\alpha^n)$ pour tout $n\in\NM$. Vérifier que
$f(b)\in V$.

\Q Montrer que l'application $f\colon K\rightarrow V$ est un isomorphisme de
$\FM_p$-espaces vectoriels.

\Q Soit $(u_n)_{n\geq0}\in V$. Montrer que $(u_{pn})_{n\geq0}\in V$.
\bigskip

\noindent On suppose maintenant $p=2$ et $P=X^4-X-1$. Considérons la suite
$(u_n)_{n\geq0}\in V$ telle que $(u_0,u_1,u_2,u_3)=(1,0,0,0)$.

\Q Calculer $u_n$ pour tout $n\leq18$. Quelle est la période de la suite
$(u_n)$ ?

\Q Calculer $\Tr(\alpha^n)$ pour tout $n\leq3$, puis déterminer
l'élément $b\in K$ tel que $f(b)=(u_n)_{n\geq0}$.

\exo
Soient $K$ un corps fini et $a\in K\setminus\set{0,1}$. Désignons par $C$ le
code linéaire de matrice génératrice
$$\begin{pmatrix}
1&1&1&0\\
1&a&0&1\\
\end{pmatrix}.$$
Trouver les paramètres de $C$.

\exo
Soit $K$ un corps fini. Soient $n$ un entier $\geq1$ et $a\in K^*$. Notons $C$
le code (linéaire) de longueur $n$ défini par
$C=\{(c,ac,\cdots,a^{n-1}c)\ ;\ c\in K\}$.

\Q Quels sont les paramètres de $C$ ?

\Q \`A quelle condition sur $n$ et $a$ le code $C$ est-il cyclique ?

\exo
Soit $K$ un corps fini. Soit $n$ un entier $\geq2$. On pose
$$C=\set{(c_1,\cdots,c_n)\in K^n \colon c_1+\cdots+c_n=0}.$$

\Q Déterminer les paramètres du code linéaire $C$.

\Q Vérifier que $C$ est un code cyclique et trouver son polynôme
générateur.

\exo

\Q Montrer qu'il n'existe pas de code $\FM_3$-linéaire de
paramètres $(5,3,3)$. \hint{Utiliser la borne de Hamming}

\Q Montrer qu'il n'existe pas de code $\FM_3$-linéaire de
paramètres $(5,2,4)$. \hint{Un tel code serait MDS, considérer son dual}

\end{document}
