\documentclass[12pt]{amsart}
\usepackage{kbexo}
\def\exoskip{2pt plus 5pt minus 2pt}
\course{MHT203 -- Cryptologie}
\num{5}
\begin{document}
\exotitle[Inverse modulo $n$ -- Fonction indicatrice d'Euler]

\exo
Déterminer les éléments inversibles dans $\ZM/14\ZM$, et calculer les inverses.

\exo
\Q Calculer l'inverse de $111$ modulo $200$.
\Q Calculer l'inverse de $24$ modulo $55$.
\Q Calculer l'inverse de $5^{16}$ modulo $19$.

\exo
Trouver les diviseurs de $0$ dans $\ZM/20\ZM$.

\exo Résoudre les équations suivantes :
\Q $10x \equiv 14\pmod{15}$;
\Q $10x \equiv 14\pmod{18}$;
\Q $10x \equiv 14\pmod{21}$.

\exo
Résoudre dans $\ZM/6\ZM$ les systèmes suivants:
$$\left\{ \begin{array}{l} 5x+2y=3\\ 2x+4y=1\end{array} \right.,\qquad
  \left\{ \begin{array}{l} 5x+2y=2\\ 2x+4y=4\end{array} \right.$$

\exo
Soit $\phi$ la fonction indicatrice d'Euler.

\Q Déterminer $\phi (n)$ pour $n$ compris entre 1 et 10.

\Q Déterminer $\phi (5^2)$, en déduire $\phi (100)$.

\Q Déterminer tous les entiers $b$ tels que $1<b<\phi (100)$ et
$\pgcd(b,\phi(100))=1$.

\exo
Montrer que le carré d'un nombre entier est de l'une des formes :
$5k$, $5k+1$ ou $5k-1$.
\end{document}
