\documentclass[12pt]{amsart}
\usepackage{kbexo}

\def\exoskip{2pt plus 5pt minus 2pt}
\course{MHT203 -- Cryptologie}
\num{6}
\begin{document}
\exotitle[Cryptographie classique 2]

\medskip
\noindent On rappelle la numérotation des lettres de l'alphabet :
\begin{center}
\begin{tabular*}{0.95\textwidth}{@{\extracolsep{\fill}}|*{26}{@{}c}|}
\;\,a & b & c & d & e & f & g & h & i & j & k & l & m & n & o & p & q & r & s & t & u & v & w & x & y & z \\
\hline 
\;\,0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25
\end{tabular*}
\end{center}
\medskip

\exo
\Q Définir le chiffrement affine. Montrer que le chiffrement par décalage est
un cas particulier.

\Q Montrer que l'équation $ax\equiv b \pmod{m}$ a une unique solution dans
$\ZM/m\ZM$ si et seulement si $(a,m)=1$.

\Q Exprimer le nombre de clés possibles à l'aide de la fonction indicatrice
d'Euler.

\Q Coder le message \texttt{La rencontre est prévue à la cafétéria} à l'aide
de cette méthode et de la clé $K=(a,b)=(7,2)$.

\Q Déterminer la fonction de décryptage associée à $K$.

\exo
Le message \texttt{Quelle est la clef} a été chiffré par un chiffrement
affine et le résultat est \texttt{CMYJJYYUDJOGJYH}. Déterminer la clé du
message.

\exo
\Q Définir le chiffrement de Hill.

\Q Coder le message \texttt{La rencontre est prévue à la cafétéria} à l'aide
de cette méthode et de la clé suivante 
$$K = \begin{pmatrix}
 1 & 2 & 3 & 0\\
 2 & 0 & 1 & 0\\
 3 & 1 & 2 & 0\\
 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.$$

\Q Décoder le message \texttt{CJLRYMLPQUNETBQJJHME} sachant qu'il a été créé
avec la clé précédente.

\exo
On suppose que le message \texttt{C'est fini} est codé par la méthode de Hill
avec $m=2$. On obtient le message \texttt{UYSJVPZL}. Déterminer la clé du
codage.
\end{document}
