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\course{MHT633 -- Arithmétique et Cryptologie}
\week{lundi 9 mars}
\num{1}
\begin{document}
\pbmtitleMAIN
\medskip

\noindent Le principal résultat établi dans ce devoir est le théorème
suivant:
\begin{theo} Soit $K$ un corps commutatif. Tout sous-groupe fini du groupe
multiplicatif $K^*$ est \emph{cyclique}.
\end{theo}

\section{Généralités sur les groupes cycliques}\label{se:1}
\noindent Dans cette partie on établit quelques propriétés des groupes
cycliques. Soit donc $G$ un groupe cyclique d'ordre $n$; on note
multiplicativement sa loi de composition interne et $1$ son élément neutre.

On rappelle la définition de la fonction $\phi$ d'Euler: pour $n\geq 1$, on
pose
$$ \phi(n) = \card\set{ a, 1\leq a\leq n : (a,n)=1 }. $$

\Q Soit $g$ un générateur de $G$. Montrez que l'ordre d'un élément $x=g^r$ de
  $G$ est $n\,/\pgcd(r,n)$.

\Q Soit $d$ un diviseur de $n$. Montrez que $G$ contient exactement $\phi(d)$
  éléments d'ordre~$d$.\label{b}
\Q En déduire la formule:
$$ n=\sum_{d \mid n} \phi(d), $$
valable pour tout entier $n\geq 1$.
\Q Soit $d$ un diviseur de $n$. Montrez que $H:=\set{x\in G \colon x^d=1}$
  est un sous-groupe de $G$ d'ordre $d$.
\Q Montrez que, pour tout $d$ divisant $n$, $G$ contient un unique
  sous-groupe d'ordre $d$ et que celui-ci est cyclique. On en
  précisera un générateur.\label{e}
\Q Donnez un contre exemple aux propriétés \eqref{b} et \eqref{e} lorsque
  $G$ n'est pas cyclique.
\Q Soit $G$ un groupe d'ordre $n$, tel que, pour tout diviseur $d$
  de $n$, $G$ possède un unique sous-groupe d'ordre $d$. Montrez que
  $G$ est cyclique.

\section{Démonstration du théorème}\label{se:2}

\noindent Soit $G$ un sous-groupe fini de $K^*$, de cardinal $n$; a priori,
on ne suppose \emph{plus} que $G$ est cyclique. On fixe $a, b\in G$, d'ordres
respectifs $\alpha$ et $\beta$.

\Q Montrer que si $\alpha$ et $\beta$ sont premiers entre eux, alors $ab$ a
pour ordre $\alpha\beta$.

\Q Soit $H = \gen{a, b}$ le sous-groupe de $G$ engendré par $a$ et $b$.
Montrer qu'il existe $g\in H$ d'ordre $\ppcm(\alpha,\beta)$.
\smallskip

\noindent\hint{Indication: soit $\prod p_i^{e_i}$ la décomposition en produit
de facteur premiers du ppcm en question; pour chaque $i$, déterminer un
$g_i\in H$ d'ordre $p_i^{e_i}$.}

\Q Soit $\omega$ le ppcm des ordres des éléments de $G$. Déduire de la
question précédente qu'il existe $g\in G$ d'ordre $\omega$ et que $\omega$
divise $n$.

\Q En remarquant que tout $x\in G$ est racine de $X^\omega-1$, montrer que
$\omega = n$. En déduire que tout sous-groupe multiplicatif fini $G$ d'un
corps commutatif $K$ est cyclique.

\section{Exemple}

\noindent Soit $\FM_3:=\ZM/3\ZM$ et $\FM_9:=\FM_3[X]/(X^2+1)\FM_3[X]$. On
note $x:= X \pmod{X^2+1}$.

\Q Montrez que $\FM_9$ est un corps à $9$ éléments. Exprimez
  tous ses éléments comme combinaisons linéaires de $1$ et $x$.
\Q Déduire de la partie~\ref{se:2} que $\FM_9^*$ est un groupe cyclique
  à $8$ éléments et de la partie~\ref{se:1} son nombre de générateurs.
\Q Calculez  l'ordre de chacun des éléments de $\FM_9^*$; en
  particulier vous identifierez ses générateurs.

\end{document}
