\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\begin{document}
\partiel[Documents interdits]{1}{21 octobre 2006 (10h30 -- 11h50)}{1h20}
\bigskip
\BAREME{$3+4+3+6+5 = 21$}

\exo [Cours]
\begin{enumerate}
\item Donner la d\'efinition d'une application injective et la d\'efinition d'une application surjective. 

\item On note $E$ le sous- ensemble $\{1, 2, 3\}$ de $\N$. D\'eterminer
l'ensemble des applications injectives $f$ de $E$ dans lui-m\^{e}me  telles
que $f(1)=1$. Sont-elles bijectives?
\end{enumerate}

\exo
Soient $E$ un ensemble. Pour toute partie $X$ de $E$ on note
$\complement_{E}X$  le compl\'ementaire dans $E$ de la partie $X$. Soient $A,
B$ et $C$ des parties de $E$. 

\begin{enumerate}
\item Ecrire sous la forme d'une formule avec quantificateurs les assertions
suivantes:
 
\begin{enumerate}
\item La partie $A$ est contenue dans le compl\'ementaire dans $E$ de la
partie $C$. 

\item Le compl\'ementaire dans $E$ de la partie $C$ n'est pas contenu dans l'intersection des parties $A$ et $B$. 
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\complement_{E}(B\cap \complement_{E}A)=A\cup \complement
_{E}B$. 

\item Montrer que $A\cup \complement_{E}B=E$ si et seulement si $B\subset A$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\exo
Montrer que pour tout entier $n$ sup\'erieur ou \'egal \`a $2$ le nombre
rationnel 
$$s_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{k^{2}-k}+...+\frac{1}{n^{2}-n}$$
est \'egal \`a $\frac{n-1}{n}$.

\exo
On consid\`ere l'application $f: x \rightarrow x^{2}-6x +7$ de $\R$
dans lui-m\^{e}me. 

\begin{enumerate}
\item D\'eterminer l'image directe $f(A)$ par $f$ de la partie $A=\{-2, 1, 0,
8\}$ de $\R$.

\item D\'eterminer les images r\'eciproques $f^{-1}(B)$ et $f^{-1}(D)$ des
parties suivantes de $\R$:
$$B=\{-3\}\ \text{et}\ D=\{-3, 2\}\ . $$

\item
  \begin{enumerate}
  \item L'application $f$ est-elle injective?

  \item L'application $f$ est-elle surjective?
  \end{enumerate}

\item Quels sont les \'el\'ements de $\R$ qui poss\`edent un et un
seul ant\'ec\'edent?
\end{enumerate}

\exo
\begin{enumerate}
\item Calculer $d$ le PGCD  des nombres entiers $585$ et $247$. 

\item D\'eterminer un couple d'entiers relatifs $(u, v)$ tels que $d=585u+247v$

\item Quels sont les entiers relatifs qui divisent \`a la fois $585$ et $247$?
\end{enumerate}
\end{document}
