\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{MIS1}
\everymath{\displaystyle}

\begin{document}
\partiel[Documents interdits]{2}{18 novembre 2006 (10h30 -- 11h50)}{1h20}
\bigskip

\BAREME{$4+4+4+4+4$}

\exo
\begin{enumerate}
\item Donner dans $\R$ les complémentaires des intervalles :
$$[0,1[\;, \qquad ]1,+\infty[ \qquad \text{et} \qquad ]-\infty,+\infty[\;.$$

\item Donner pour chacun des intervalles ci-dessus un exemple de plus petit
élément, de borne inférieure et de minorant s'ils existent en justifiant vos
réponses.
\end{enumerate}

\exo
Calculer dans $\C$ les racines quatrièmes de $z=2\sqrt{3}+2i$ et les porter
sur un graphique.

\exo
Etudier la convergence des suites numériques $(u_n)$, $(v_n)$, $(u_n+v_n)$,
$(u_nv_n)$ et $(u_n/v_n)$ dans chacun des cas suivants :
\begin{enumerate}
\item $u_n =1 + 1/n$, \quad $v_n = -1/n$.
\item $u_n =n$, \quad $v_n = (-1)^n/n$.
\end{enumerate}

\exo Etudier les limites suivantes :
\begin{enumerate}
\item $\lim_{x \rightarrow +\infty} \;\; - \frac{3x^3+2x^2+1}{(x^2+1)(x+1)}$
\item $\lim_{x \rightarrow 0} \;\; \frac{1+x^2}{x^3-x^4}$
\item $\lim_{x \rightarrow +\infty} \;\; \sqrt{x^2+3x+1} + x$
   \quad et \quad
 $\lim_{x \rightarrow -\infty} \;\; \sqrt{x^2+3x+1} + x$
\end{enumerate}

\exo
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ une fonction numérique définie sur $\R$, expliciter avec des
quantificateurs le fait que $f$ soit continue en un point $x_0$ de $\R$.

\item Soit $g$ une fonction numérique définie sur $\R$, expliciter avec des
quantificateurs le fait que $g$ soit continue en un point $y_0=f(x_0)$ de
$\R$.

\item En déduire que la fonction $g \circ f$ est continue au point $x_0$ de $\R$.
\end{enumerate}

\end{document}
