\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{MIS1}
%\correction
\def\thepage{}

\newcommand{\ssi}{\Leftrightarrow}

\begin{document}\feuille{3}

\begin{center}\large
\textbf{NOMBRES COMPLEXES}
\end{center}

\vspace{0.8cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\exocor
 Mettre sous la forme $a+ib$ ($a,b \in \R$) les nombres :
$$ \frac{3+6i}{3-4i}  \quad ; \quad \left(\frac{1+i}{2-i}\right)^2 + \frac{3+6i}{3-4i} \quad;  \quad
\frac{2+5i}{1-i} + \frac{2-5i}{1+i}. $$

\cor
Remarquons d'abord que pour $z \in \C$, $z \overline{z} = |z|^2$
est un nombre réel.
$$ \frac{3+6i}{3-4i}
= \frac{(3+6i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)} = \frac{9-24+12i+18i}{9+16} =
\frac{-15+30i}{25} = -\frac{3}{5}+\frac{6}{5}i.$$

\bigskip
\noindent Calculons
$$\frac{1+i}{2-i}
= \frac{(1+i)(2+i)}{3} = \frac{1+3i}{3},
$$
et
$$ \left( \frac{1+i}{2-1}  \right)^2
= \left( \frac{1+3i}{3}  \right)^2 = \frac{-8+6i}{9}=
-\frac{8}{9}+\frac{6}{9}i.
$$
Donc
$$ \left( \frac{1+i}{2-1}  \right)^2 + \frac{3+6i}{3-4i}
= -\frac{8}{9}+\frac{6}{9}  -\frac{3}{5}+\frac{6}{5}i
=-\frac{67}{45}+\frac{84}{45}i.$$

\bigskip
Soit $z = \frac{2+5i}{1-i}$. Calculons $z + \overline{z}$, nous
savons déjà que c'est un nombre réel, plus précisément :
$z = -\frac{3}{2}+\frac{7}{2}i$ et donc $ z + \overline{z} = -3$.

\endexo

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\exocor
 Écrire sous la forme $a+ib$ les nombres complexes suivants :
\begin{enumerate}
\item Nombre de module $2$ et d'argument $\pi /3$.
\item Nombre de module $3$ et d'argument $-\pi /8$.
\end{enumerate}

\cor

\begin{enumerate}
\item $1+i\sqrt3$.
\item $3\cos {\pi \over 8}-3i\sin{\pi \over8}={3\sqrt{2+\sqrt2}\over 2}
-{3i\sqrt{2-\sqrt2}\over 2}$.
\end{enumerate}

\endexo

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\exocor
Calculer le module et l'argument de $u =
\frac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{2}$ et $v = 1 - i$. En déduire le
module et l'argument de $w = \frac{u}{v}$.

\cor
Nous avons
$$ u = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}i}{2}
= \sqrt{2}\left( \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2} \right) =
\sqrt{2}\left( \cos\frac{\pi}{6} +i\sin\frac{\pi}{6} \right)
=\sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{6}}.$$ puis
$$v = 1-i = \sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}.$$
Il ne reste plus qu'à calculer le quotient :
$$ \frac{u}{v} = \frac{\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{6}}}{\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}}
= e^{i\frac{\pi}{6}-i\frac{\pi}{4}} = e^{i\frac{\pi}{12}}.$$

\endexo

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\exo Calculer les racines carrées de $1$, $i$, $3+4i$, $8-6i$, et $7+24i$.
\cor
Soit $z= a+ib$ un nombre complexe avec $a,b \in \R$ ; nous cherchons les
complexes $\omega \in \C$ tels que $\omega^2 = z$. Écrivons $\omega = \alpha
+ i \beta$. Nous raisonnons par équivalence :
\begin{align*}
\omega^2 = z    & \ssi (\alpha +i \beta)^2 = a+ib \\
        & \ssi \alpha^2-\beta^2+2i\alpha\beta = a +i b \\
\intertext{Soit en identifiant les parties réelles entre elles ainsi que les parties imaginaires :}\\
        & \ssi
              \begin{cases}
                 \alpha^2-\beta^2 = a \\
                 2\alpha\beta = b
              \end{cases} \\
\intertext{Sans changer l'équivalence nous rajoutons la
condition $|\omega|^2 = |z|$.} & \ssi
  \begin{cases}
     \alpha^2 + \beta^2 = \sqrt{a^2+b^2} \\
     \alpha^2-\beta^2 = a \\
     2\alpha\beta = b
  \end{cases} \\
& \ssi
  \begin{cases}
     \alpha^2  =\frac{a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2} \\
     \beta^2 = \alpha^2 - a = \frac{-a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2} \\
     2\alpha\beta = b
  \end{cases} \\
& \ssi
  \begin{cases}
     \alpha  =\pm \sqrt{\frac{a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2}} \\
     \beta = \pm \sqrt{ \frac{-a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2}} \\
     \alpha\beta \text{ est du même signe que } b
  \end{cases} \\
\end{align*}
Cela donne deux couples $(\alpha,\beta)$ de solution et donc deux
racines carrées $\omega = \alpha + i\beta$ de $z$.

Les racines de $ z = 8-6i$ sont donc $\omega = 3-i$ et $-\omega =
-3+i$.

Les autres réponses : pour $1$ les racines sont $+1$ et $-1$. Pour $i$ les
racines sont $\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$ et $-\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$. Pour
$7+24i$ les racines sont $4-3i$ et $-4+3i$.
\endexo

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\exocor
Résoudre dans $\C$ les équations suivantes :
\begin{enumerate}
\item $z^2-(11-5i)z+24-27i=0$.
\item $z^3+3z-2i=0$.
\end{enumerate}

\cor

\begin{enumerate}
\item $\Delta =-2i$ dont les racines carrées sont $1-i$ et $-1+i$, d'où les
racines $z_1=5-2i$ et $z_2=6-3i$.
\item Une racine «évidente» $z_1=i$, d'où la résolution complète en effectuant
la division par $z-i$. On trouve $z_2=i$ et $z_3=-2i$.
\end{enumerate}

\endexo

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\exocor
Soit $P$ le polynôme : $P(x)=x^{5}+x^{4}-2x-2$.
\begin{enumerate}
\item Trouver une racine «évidente» et factoriser $P$.
\item Quelles sont les racines de $P$ dans $\N$ ? Dans $\Z$, $\Q$, $\R$, $\C$ ?
\end{enumerate}

\cor
$P(x) = (x+1)(x^4-2)
      = (x+1)(x-\sqrt{\sqrt{2}})(x+\sqrt{\sqrt{2}})
             (x-i\sqrt{\sqrt{2}})(x+i\sqrt{\sqrt{2}})$.
\endexo

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\exocor
Déterminer l'ensemble des nombres complexes $z$
tels que :
\begin{enumerate}
    \item $\displaystyle{\abs{ \frac{z-3}{z-5} } = 1},$
    \item $\displaystyle{\abs{ \frac{z-3}{z-5} } = \frac{\sqrt{2}}{2}}.$
\end{enumerate}

\cor
Nous identifions $\C$ au plan affine et $z=x+iy$ à  $(x,y) \in \R\times \R$.

Remarquons que pour les deux ensembles $z=5$ n'est pas solution, donc
$$\left| \frac{z-3}{z-5} \right| = 1
\ssi |z-3| = |z-5|.$$ Ce qui signifie présiment que que les
points d'affixe $z$ sont situés à égale distance des points
$A,B$ d'affixes respectives $3 = (3,0)$ et $5=(5,0)$. L'ensemble
solution est la médiatrice du segment $[A,B]$.

\bigskip

Ensuite pour
\begin{align*}
\left| \frac{z-3}{z-5} \right| = \frac{\sqrt{2}}{2}
&\ssi |z-3|^2 = \frac{1}{2}|z-5|^2 \\
&\ssi (z-3)\overline{(z-3)} = \frac{1}{2}(z-5)\overline{(z-5)}\\
&\ssi z\overline{z}-(z+\overline{z})=7\\
&\ssi |z-1|^2=8\\
&\ssi |z-1|=2\sqrt{2}\\
\end{align*}
L'ensemble solution est donc le cercle de centre le point d'affixe $1 =
(1,0)$ et de rayon $2\sqrt{2}$.

\endexo


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\exocor
Soit $n\in{\N ^*}$ et $z\in{\C}$. On pose $S_n(z)=1+z+z^{2}+...+z^{n-1}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $(1-z)S_n(z)$.
\item En déduire $S_{n}(e^{\frac{2i\pi}{n}})$.
\item Quelles sont les racines de $S_3$ ? Placez-les sur une figure.
\item Calculer les sommes $\displaystyle{\sum_{k=0}^{n-1}\cos(k\theta)}$ et
  $\displaystyle{\sum_{k=0}^{n-1}\sin(k\theta)}$ pour $\theta$ un nombre réel quelconque. 
\end{enumerate}

\cor

\begin{enumerate}
\item $(1-z)S_{n}(z)=1-z^{n}$
\item $S_{1}(1)=1$ et si $n\geq 2$, $S_{n}(e^{\frac{2i\pi}{n}})=0$.
\item $1$, $j$ et $j^{2}$ sont les racines de $S_{3}$ et forment un
  triangle équilatéral.
\item Si $\theta = 0 \pmod{2\pi}$, $S_n(e^{i\theta})=n$. Sinon on a
  l'égalité : $$
   S_{n}(e^{i\theta})=\frac{\cos[(n-1)\theta/2]
  \sin[n\theta/2]}{\sin[\theta/2]} + i\,\frac{\sin[(n-1)\theta/2]
  \sin[n\theta/2]}{\sin[\theta/2]}. $$
\end{enumerate}

\endexo



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\exocor
Montrer que pour $u,v \in \C$, on a $|u+v|^2+|u-v|^2=2(|u|^2+|v|^2).$

\cor

On calcule :
$$|u+v|^2+|u-v|^2=(u+v)(\bar u +\bar v) + (u-v)(\bar u -\bar v)
= 2u\bar u+2v\bar v = 2|u|^2+2|v|^2.$$
Géométriquement il s'agit de l'identité du parallélogramme.
Les points d'affixes $0,u,v,u+v$ forment un parallélogramme.
$|u|$ et $|v|$ sont les longueurs des cotés, et
$|u+v|, |u-v|$ sont les longueurs des diagonales.
Il n'est pas évident de montrer ceci sans nombres complexes !

\endexo
\end{document}
