\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{MIS1}
\begin{document}\feuille{6}

\exo
Soit $f: [a,b]\to\R$ une fonction continue et croissante.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f([a,b])=[f(a),f(b)]$ en utilisant les propriétés des
valeurs intermédiaires.

\item Si $f$ est strictement croissante, montrer que $f$ est injective, et en
déduire que $f$ définit une bijection de $[a,b]$ vers $[f(a),f(b)]$.

\item Que se passe-t-il si $f$ est décroissante (resp.~strictement
décroissante) ?
\end{enumerate}

\exo
En utilisant les propriétés des fonctions continues, calculer les images
directes $f(I)$ dans les cas suivants :
\begin{gather*}
f(x)=\cos(x),\quad I=[-1,1]\\
f(x)=\sh(\sqrt{x}),\quad I=[0,3[\\
f(x)=\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}},\quad I=[0,1]
\end{gather*}

\exo
Calculer les dérivées des fonctions suivantes, après avoir indiqué sur quels
intervalles elles sont dérivables :
\begin{gather*}
f(x)=\sqrt{x^2-12},\quad
f(x)=\frac{\sqrt{x}}{e^x+1},\quad
f(x)=\exp(x^3-2x+1),\quad
f(x)=e^{\cos(\sin(x))},\quad\\
f(x)=\ln(\sin(x)),\quad
f(x)=\ln(\ln (x)),\quad
f(x)=\arccos(x)^3,\quad
f(x)=\cos^3(x)\sin^2(x),\quad\\
f(x)=\frac{1-\ch(x)}{2+\sh(x)},\quad
f(x)=\frac{1}{\text{argth}(x)},\quad
f(x)=\frac{3-5x^4}{x^3-x^2+x-1}
\end{gather*}

\exo
Calculer les limites suivantes:
\begin{gather*}
\lim_{x\to 1} \frac{\ln(x)}{x-1},\quad
\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x^2)}{x},\quad
\lim_{x\to 0}\frac{e^{x^2}-1}{x},\quad
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x},\quad
\lim_{x\to 1}\frac{\sin(\pi x)}{x-1},\\
\lim_{x\to +\infty}x(\ln(x+1)-\ln(x)),\quad
\lim_{n\to +\infty} \Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^n,\quad
\lim_{x\to \pi/4}\frac{e^{\sin(x)}-e^{\cos(x)}}{\cos(2x)}.
\end{gather*}

\exo
Montrer qu'il existe un réel $\alpha\in [0,1]$ tel que
$ \alpha^3=\cos(\alpha)$.

\exo
Soit $f(x)=xe^x$ pour $x$ réel.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est décroissante pour $x\leq -1$, croissante
pour $x\geq -1$.
\item En déduire qu'il existe un unique réel $c>0$ tel que
$$ e^{1+1/c}=c. $$
\end{enumerate}

\exo
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par
$$
f(x) = \begin{cases}
\cos(x)    & \text{ si $x>0$},\\
1-\sin(x)^2& \text{ si $x \leq 0$}.
\end{cases}
$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est continue sur $\R$.
\item Montrer que $f$ est dérivable sur $]-\infty,0[$ et sur
$]0,+\infty[$ et calculer sa dérivée.
\item Montrer que $f$ est dérivable en $0$. Quelle est sa dérivée ?
\item Vérifier que 
$$ \lim_{x\to 0}{f'(x)}=f'(0), $$
et donc que $f'$ est également continue sur $\R$.
\end{enumerate}

\exo
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par
$$
f(x)=\begin{cases}
0            & \text{ si  $x=0$},\\
x^2\sin(1/x) & \text{ si  $x\neq0$}.
\end{cases}
$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que 
$$ \abs{f(x)} \leq x^2 $$
pour tout $x$. En déduire que $f$ est continue sur $\R$.
\item Montrer que $f$ est dérivable sur $]-\infty,0[$ et $]0,+\infty[$, avec
$f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)$ pour $x\neq 0$.
\item Montrer que $f$ est dérivable en $0$.
\item Expliquer pourquoi $\cos(1/x)$ n'admet pas de limite pour $x\to 0$, et
en déduire que $f'(x)$ n'admet pas de limite quand $x\to 0$. 
\end{enumerate}

\end{document}
