\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{MIS1}
\begin{document}\feuille{8}
\exo
Résoudre les équations différentielles suivantes:
\begin{enumerate}
\item $y'+y=0$ avec $y(0)=1$.
\item $2x'-x=0$ avec $x(0)=1$.
\item $y'=xy$ avec $y(0)=1$.
\end{enumerate}

\exo
Trouver les solutions réelles de l'équation différentielle suivante:
$$ (1+x^2)y'-y=0. $$
Quelle est la solution passant par le point $M=(1,2)$?

\exo
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $x\mapsto f(x)=x^2-2x+2$ est solution de $y'+y=x^2$.
\item Déterminer l'ensemble des solutions de $y'+y=e^{-x}(\cos x +x^2)$.
\item En déduire les solutions de $y'+y=e^{-x}(\cos x +x^2)+x^2$.
\end{enumerate}

\exo
\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions de l'équation différentielle
$(x-1)y'+(x-2)y=x(x-1)^2$ vérifiant la condition $y(0)=0$. 
\item Vérifier que la fonction trouvée sur $]-\infty,1[\cup]1,+\infty[$ est
prolongeable en une fonction continue et dérivable sur $\R$.
\end{enumerate}

\exo
Soit l'équation différentielle $(E)$: $xy'-y=\ln(x)$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions définies sur $\R^*$. 
\item Existe-t-il une solution continue sur $\R$?
\end{enumerate}


\exo
Trouver l'ensemble des solutions des équations différentielles
suivantes :
\begin{gather*}
y''+y'+y=0,\quad 9y''+24y'+16y=0,\\
y''-3y'-y=0,\quad y''+12y'=0.
\end{gather*}


\exo
Trouver la solution des problèmes de Cauchy suivants :
\begin{enumerate}
\item $y''+y'+y=0$ et $y(0)=y'(0)=1$.
\item $9y''+24y'+16y=0$ et $y'(2)=-3$.
\item $y''-3y'-y=0$ et $y'(-1)=2$.
\item $xy' + y = 1$ et $y(1) = 1$, sur $]0,+\infty[$.
\item $y''-4y'+3y=0$ et $y(0)=y'(0)=1$.
\item $x''-6x'+9x=0$ et $x'(0)=2$.
\item $\theta''+9\theta=0$ et $\theta(\pi/2) = \theta'(\pi/2)=0$.
\end{enumerate}

\exo
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'équation différentielle $ y''+3y'-4y=0 $
possède une unique solution telle que $y(0)=0$, $y(1)=1$.
\item Montrer que l'équation différentielle $ y''+4y'+5y=0 $
n'admet \emph{aucune} solution telle que $y(0)=0$, $y(\pi)=1$;
par contre, elle admet une infinité de solutions telles que $y(0)=y(2\pi)=0$.
Pourquoi cela ne contredit-il pas le théorème du cours ?
\end{enumerate}

\exo Résoudre les équations différentielles suivantes:
\begin{enumerate}
\item $y''+2y'+3y=\cos(t)$,
en cherchant une solution particulière de la forme $\alpha
\cos(t)+\beta\sin(t)$. 
%\item Résoudre l'équation différentielle
%$y''+2y'+3y=t^2$.
%\item Déduire des questions précédentes les solutions de l'équation
%différentielle $y''+2y'+3y=\cos(t)+t^2$.

\item $y''-y'-y=-e^{3t}$,
en cherchant une solution particulière de la forme
$\alpha e^{3t}$.
\item $y''-y'-y=e^{t}\sin(2t)$,
en cherchant une solution particulière de la forme
$\alpha e^{t}\sin(2t)+\beta e^t\cos(2t)$.
\end{enumerate}

\exo
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'équation différentielle $y''+y=\cos(t)+\sin(t)$ ne peut
avoir aucune solution du type $\alpha\cos t+\beta \sin t$.

\item La résoudre en cherchant une solution particulière du type $\alpha t
\cos t+\beta t \sin t$. 
\end{enumerate}

%%%

\exo
Déterminer les solutions des équations différentielles suivantes:
\begin{enumerate}
\item $y''+2y'-3y=5e^{2x}$.
\item $y''-2y'+y=e^x-x-1$.
\end{enumerate}

\end{document}
