\documentclass[11pt]{article}
\def\comp{\complement}
\def\diff{\vartriangle}
\def\P{\mathcal{P}}
\def\e{\varepsilon}

\usepackage{MIS1}
\begin{document}\feuille{1 (Théorie des ensembles)}

\exo
\begin{enumerate}
\item Soient $A = \set{2,3,4,5}$ et $B = \set{4,5,6}$. Déterminer $A\cap B$,
$A\cup B$, 
$\comp_\N A$,
$\comp_\R A$,
$\comp_\N B$,
$\comp_{A\cup B} A$.

\item Soient les intervalles (de $\R$) $I = [1,3]$ et $J = [2,4]$.
Déterminer 
$I\cap J$,
$I\cup J$,
$\comp_\R I$,
$\comp_\R J$,
$\comp_\R (I\cup J)$.
\end{enumerate}

\exo 
\begin{enumerate}
\item Soit $A$ une partie d'un ensemble $E$. Déterminer
$\comp_E \left(\comp_E  A\right)$ et
$A \cup \comp_E A$.

\item Montrer que si $A$ et $B$ sont deux parties d'un ensemble $E$, on a
$$
\comp_E (A \cap B) = \comp_E A \cup \comp_E B
\quad\text{et}\quad
\comp_E (A \cup B) = \comp_E A \cap \comp_E B.
$$

\item Montrer que $A\subset B$ implique $\comp_E B \subset \comp_E A$.
\end{enumerate}

%\exo Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E$. On définit leur
%différence symétrique, notée $A \diff B$, par la formule
%$$ A \diff B = 
%\left( A \cap \comp_E B\right)
%\cup
%\left( B \cap \comp_E A\right).
%$$
%Établir les propriétés suivantes:
%\begin{enumerate}
%\item $\forall A\in \P(E)$, $A\diff A = \emptyset$.
%\item $\forall A\in \P(E)$, $\forall B\in\P(E)$, $A\diff B = B \diff A$.
%\item $\forall A\in \P(E)$, $\forall B\in\P(E)$, $\forall C\in \P(E)$,
%$A\diff (B\diff C) = (A \diff B) \diff C$.
%\end{enumerate}

\exo Pour tout $n \in \N^*$, on pose $E_n = \set{1,2,\dots, n}$.
\begin{enumerate}
\item Expliciter $\P(E_n)$ pour $n = 1$, $2$ et $3$.
\item Montrer que $\forall n\in \N^*$, $\#\P(E_n) = 2^n$.
\end{enumerate}

\exo*
Soit $Y\subset X$ des ensembles et $i\,:\, Y\to X$ l'inclusion
de $Y$ dans $X$ (donnée par $i(y) = y$).
\begin{enumerate}
\item Montrer que $i(Z)=Z$ pour tout $Z\subset Y$.
\item Montrer que $i^{-1}(Z)=Z\cap Y$ pour tout $Z\subset X$.
\item Calculer $i(i^{-1}(Z))$ pour $Z\subset X$ et $i^{-1}(i(Z))$ pour
$Z\subset Y$.
\end{enumerate}

\exo
Soient $f\,:\, X\to Y$ et $g\,:\, Y\to Z$  des applications. Montrer que si
$f$ et $g$ sont surjectives, alors $g\circ f$ l'est aussi, et que si $f$ et
$g$ sont injectives, alors $g\circ f$ l'est aussi.

\exo
\begin{enumerate}
\item Donner un exemple d'application injective mais non surjective.
\item Donner un exemple d'application surjective mais non injective.
\end{enumerate}

\exo*
Soit $f\,:\, X\to Y$ une application. 
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'en général, $f(f^{-1}(W))\not=W$ pour $W\subset Y$. Trouver
cependant une relation toujours valide entre $f(f^{-1}(W))$ et $W$.
\hint{Regarder sur des exemples.}
\item Même question pour $f^{-1}(f(Z))$ et $Z$ lorsque $Z\subset
X$. 
\end{enumerate}

\exo
Pour l'application
\begin{eqnarray*}
f\,:\, \R &\to & \R \\
       x & \mapsto & \cos(\pi x)
\end{eqnarray*}
calculer les images directes suivantes :
$$
f(\{0,1\}),\quad f([0,1/2]),\quad f(\Z),\quad f(2\Z),
$$
où $2\Z$ est l'ensemble des entiers pairs.

\exo
On considère l'application
\begin{eqnarray*}
f\,:\, \R\times\R & \to & \R\\
(x,y) & \mapsto & x^2+y^2.
\end{eqnarray*}
\begin{enumerate}
\item Calculer les images inverses suivantes :
$$
f^{-1}(\{0\}),\quad f^{-1}(]-\infty,0]),\quad
f^{-1}(\{1\}),\quad f^{-1}(]-1,1]),\quad
f^{-1}(]4,+\infty[).
$$
L'application $f$ est-elle injective ? Surjective ? 
\item Calculer les images directes suivantes :
\begin{gather*}
f(X_1)\text{ où } X_1=\{(x,y)\in \R\times\R\,\mid\, x>0\},\\
f(C)\text{ où } C=[0,1]\times [-2,3],\\
f(\Gamma_{\cos})\text{ où $\cos$ est défini sur $[0,\pi]$},
\end{gather*}
et $\Gamma_{\cos} = \set{(x,\cos x)\,\mid\, x\in [0,\pi]}$ est le graphe de
l'application $\cos$ sur $[0,\pi]$. \hint{Utiliser une interprétation
géomé\-trique et des dessins.}
\item Mêmes questions pour l'application
\begin{eqnarray*}
g\,:\, \R\times\R & \to & \R\\
(x,y) & \mapsto & |x|+|y|.
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}

% \exo
% Soit $Y$ un ensemble infini. Montrer qu'il existe une application
% injective $f\,:\, \N\to Y$.
% 

% \exo
% \item Soit $Y$ et $Z$ des ensembles. Montrer que s'il existe une
% injection $f\,:\, Y\to Z$, alors il existe une surjection $g\,:\, Z\to
% Y$.
% \item R\'eciproquement, montrer que s'il existe une surjection $f\,:\,
% Y\to Z$, alors il existe une injection $g\,:\, Z\to Y$.
% 

\exo
Soit $X$, $Y$ des ensembles non vides et $p\,:\, X\times Y\to X$ la
projection, telle que $p(x,y) = x$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $p^{-1}(Z)=Z\times Y$ pour $Z\subset X$.
\item Si un sous-ensemble de $X\times Y$ est de la forme $Z=A\times B$
avec $A\subset X$, $B\subset Y$, montrer que $p(Z)=A$.
\item Calculer $p(p^{-1}(Z))$ pour $Z\subset X$ et $p^{-1}(p(A\times
B))$ pour $A\subset X$, $B\subset Y$.
\end{enumerate}

\exo
Soient $(a,b)\in\R^2$ et $f_{a,b}$ l'application
\begin{eqnarray*}
f_{a,b} \,:\, \R & \to & \R\\
x & \mapsto & ax+b.
\end{eqnarray*}
\begin{enumerate}
\item Déterminer pour quelles valeurs de $(a,b)$ la fonction $f_{a,b}$ est
injective, pour quelles valeurs elle est surjective. 
\item Montrer que si $f_{a,b}=f_{c,d}$, alors $a=c$ et $b=d$.
\item Interpréter la dernière condition en terme d'injectivité d'une certaine
application.
\end{enumerate}

\exo
On considère l'application $f$ définie par
\begin{eqnarray*}
f\,:\, \R & \to & \R \\
x & \mapsto & x(1-x).
\end{eqnarray*}
\begin{enumerate}
\item Calculer $f^{-1}(\{y\})$ pour tout réel $y$. Pourquoi la valeur $y=1/4$
est-elle particulière ? Est-ce que $f$ est injective ? Surjective ?
\item Trouver deux intervalles $I$ et $J$, aussi grands que possibles, tels
que l'application $I\to J$ donnée par ``la même formule'' que $f$ soit une
bijection.
\end{enumerate}

\exo
Soit $f$ l'application définie sur $\Z$ et à valeurs dans $\mathcal{P}(\Z)$
donnée par
$$
f(n)=\{m\in\Z\,\mid\, \text{$m=nk$ pour un certain entier $k$}\}.
$$
\begin{enumerate}
\item Écrire $f(n)$ sous la forme de l'image directe de $\Z$ par une certaine
application  $\Z\to \Z$ (dépendant de $n$). Calculer $f(0)$, $f(1)$ et
$f(2)$.
\item Montrer que $f(-n)=f(n)$ et donc que $f$ n'est pas injective.
\item Montrer que si $n$, $m\in \N$ et $f(n)=f(m)$, alors $n=m$.
\item Montrer que l'ensemble des entiers impairs n'est pas dans $f(\Z)$. 
\item Donner une caractérisation des sous-ensembles de $\Z$ qui sont dans
l'image directe $f(\Z)$.
\end{enumerate}

\exo* (Une bijection de $\N$ dans $\N^n$!)
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout entier $n\geq 1$ on a
$$
(n-1)^2\leq n^2-n\leq n^2-1.
$$
\item En déduire que pour tout entier $m\geq 0$, il existe un
unique entier $n\geq 1$ tel que
$$
(n-1)^2\leq m\leq n^2-n,\quad \text{ ou bien }\quad
n^2-n<m\leq n^2-1.
$$
\item 
Soit $f$ l'application de $\N$ dans $\N\times\N$ définie de la manière
suivante : pour $m\in \N$, soit $n = n(m)$ l'entier défini par la question
précédente, alors
$$
f(m)=
\begin{cases}
(n-1,m-(n-1)^2)&\text{ si } (n-1)^2\leq m\leq n^2-n,\\
(n^2-1-m,n-1)&\text{ si } n^2-n<m\leq n^2-1.
\end{cases}
$$
Placer $f(0)$, $f(1), \dots, f(10)$ sur un dessin.
\item Montrer que $f$ est bijective. \hint{Montrer qu'elle est injective
et surjective.}
\item On note $f(n)=(g(n),h(n))$ les deux composantes de $f$. Montrer
que l'application
\begin{eqnarray*}
\phi \,:\, \N & \to & \N^3\\
m & \mapsto & (g(g(m)), h(g(m)), h(m))
\end{eqnarray*}
est une bijection.
\hint{Montrer que cette application est la composition de deux bijections.}
\item Montrer plus généralement que pour tout $n\geq 1$, il existe une
bijection de $\N$ dans $\N^n$.
\end{enumerate}

\exo*
Soit $X$ un ensemble et $f\,:\, X\to \mathcal{P}(X)$ une application à
valeurs dans l'ensemble des parties de $X$. On pose 
$Y=\{x\in X\,\mid\, x\notin f(x)\}$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $Y\notin f(X)$. \hint{Supposer que $Y=f(x)$ et regarder si
$x\in Y$ ou pas.}
En déduire qu'il n'existe pas d'application surjective de $X$ dans
$\mathcal{P}(X)$.
\item On prend $X=\N$ et $f(n)=\{m\in \N\,\mid\, m\geq n\}$. Calculer $Y$
dans ce cas.
\end{enumerate}
\end{document}
