\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{MIS1}

\begin{document}\feuille{5}

\exo
 D\'eterminer les domaines de d\'efinition des fonctions suivantes

$$f(x)=\sqrt{\frac{2+3\,x}{5-2\,x}}\ ;\quad g(x)=\sqrt{x^2-2\,x-5}\ ;\quad
h(x)=\ln\left(4\,x+3\right)$$

\exo
Soit $$f : x \in \R \rightarrow f(x) = \frac{\cos x}{1+x^2}.$$
Montrer que $f$ est bornée sur $\R$. D\'eterminer $\sup_{x\in \R} f(x)$.


\exo
Calculer les limites suivantes :
\begin{enumerate}
  \item $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{ x}$
  \item $\displaystyle\lim_{x \rightarrow+ \infty}{\Bigl(\frac{x+1}{x-3}\Bigr)^x}$
  \item $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{ x}(\sqrt{1+x+x^2}-1)$
  \item $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\sqrt{x^2+x+1}-x$
\end{enumerate}



\exo

Soit $g:\R \rightarrow \R$ une fonction continue vérifiant $g(0)=0$ et
: $$\forall
x\in{\R}, \; g(x)=g\left(\frac{x}{2}\right).$$


\begin{enumerate}
    \item Montrer que pour tout $n\in\N$, $\displaystyle{g(x)=g\left(\frac{x}{2^{n}}\right)}$.
    \item En déduire que pour tout $x\in\R$, $g(x)=0$.
\end{enumerate}



\exo

Soit $f : [a,b] \to \R$ une fonction continue. On veut démontrer
que
$$ \sup_{a<x<b} f(x) =  \sup_{a\leq x \leq b} f(x).$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $$ \sup_{a<x<b} f(x) \leq  \sup_{a\leq x \leq b} f(x).$$
%Pour cela, on pourra montrer que $\sup_{a\leq x \leq b} f(x)$ est
%un majorant de $f$ sur $]a,b[$.
\item Soit $x_0 \in [a,b]$ tel que $f(x_0)=\sup_{a\leq x \leq b} f(x)$.
Montrer que $f(x_0)=\sup_{a< x< b} f(x)$ en distinguant les trois
cas : $x_0=a, x_0=b, x_0\in ]a,b[$. \hint{Indication: dans le
cas $x_0=a$, par exemple, on pourra considérer la suite de réels
$a_n=a+1/n$ et étudier la suite $(f(a_n))$}.

\item Soit $g:[0,1] \to \R$ la fonction définie par $g(x)=0$ si $x\in [0,1[$
  et $g(x)=1$ si $x=1$. Montrer que $$ \sup_{0<x<1} g(x) \neq  \sup_{0\leq x \leq 1} g(x).$$
Quelle hypothèse essentielle du \textbf{b} nous manque-il ici ?
\end{enumerate}


\exo

 Etudier la continuit\'e de $f$
la fonction r\'eelle \`a valeurs r\'eelles
d\'efinie par
$f(x)=(\sin x)/x$ si $x\not= 0$ et $f(0)=1$.

\exo

Soit une fonction $f:\R \rightarrow \R$. Montrer l'implication : ($f$
d\'erivable)$ \Rightarrow$ ($f$ continue). Que dire de la réciproque ?


\exo

\'Etudier  la d\'erivabilit\'e des fonctions suivantes :
$$f_1(x)=x^2\cos \frac{1}{x} \text{\ \  si }x\not=0 \qquad f_1(0)=0 ;$$

$$f_2(x)= \sin x\sin \frac{1}{x} \text{\ \  si }x\not=0 \qquad f_2(0)=0 ;$$

$$f_3(x) = \frac{|x|\sqrt{x^2-2x+1}}{x-1} \text{\ \  si } x\not= 1 \qquad f_3(1)=1.$$

 

\exo

D\'eterminer $a,b \in \R$ de mani\`ere \`a ce que la fonction $f$ d\'efinie sur $\R_+$ par :
$$ f(x)=\sqrt{x} \text{ si } 0\le x \le 1 \text{\ \  et\ \  } f(x) = ax^2+bx+1 \text{ sinon}$$
soit d\'erivable sur $\R_+^*$.



\exo

Calculer la fonction d\'eriv\'ee d'ordre $n$ des fonctions $f,g,h$ d\'efinies par :
$$f(x) = \sin x \quad ; \quad g(x)=\sin^2x \quad ; \quad
h(x)=\sin^3x+\cos^3x.$$


\exo
Soit $n \geq 2$ un entier fix\'e et $f:\R^{+} = [0,
+ \infty[ \longrightarrow \R$ la fonction d\'efinie par la formule
suivante:
$$ f (x) = \frac{1 + x^n}{(1 + x)^n}, \ \ x \geq 0.$$
\begin{enumerate}
  \item
  \begin{enumerate}
     \item Montrer que $f$ est d\'erivable sur $\R^{+}$ et calculer $f' (x)$
pour $x \geq 0.$
     \item En \'etudiant le signe de $f' (x)$ sur $\R^{+},$ montrer que $f$
atteint un minimum sur $\R^{+}$ que l'on d\'eterminera.
  \end{enumerate}
  \item
  \begin{enumerate}
     \item En d\'eduire l'in\'egalit\'e suivante:
$$ (1+ x)^n \leq 2^{n - 1} (1+ x^n), \ \ \forall x \in \R^{+}.$$
     \item Montrer que si  $x \in \R^{+}$ et $y \in \R^{+}$ alors on a
$$ (x + y)^n \leq 2^{n - 1} (x^n + y^n).$$
   \end{enumerate}
 \end{enumerate}

\end{document}
