\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{MIS1}

\begin{document}\feuille{7}
\exo
Calculer les primitives suivantes
$$
\int \frac{x^2}{1+x^2} \,dx,\qquad
\int \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} \,dx,\qquad
\int \frac{1}{1+\tanh(x)}\,dx,
$$
$$
\int x^4(1+x^5)^5 \,dx,\qquad
\int \frac{\ln x}{x}\,dx;\ x>0,\qquad
\int \frac{1}{\cos^2(x)}\,dx;\ x\neq k\frac{\pi}{2}, k\in \Z.
$$

\exo Pour $n \in \N$, on pose $I_n = \int_0^1 x^ne^{x^2}\,dx$.
\begin{enumerate}
\item Trouver une relation entre $I_{n+2}$ et $I_n$.
\item Calculer  $I_1$, puis $I_5$.
\end{enumerate}

\exo
\begin{enumerate}
\item Dériver $f(x)=x\ln x$ sur $]0,+\infty[$ et en déduire les
primitives de $\ln$ sur $]0,+\infty[$.
\item Calculer 
$$ \int x^n\ln x\,dx  $$
sur $]0,+\infty[$ pour tout entier $n\geq 1$.
\item Calculer
$$ \int (2x^3+1)\ln (x^2+x+1)\,dx. $$
\end{enumerate}

\exo
Soit $f:\R\to\R$ continue et impaire, et soit $T>0$. Prouver que
$\int_{-T}^T f(x)\,dx=0$.

\exo Calculer les intégrales
$$
\int_{-1}^2\abs{x}\,dx,\quad
\int_{-2}^{2}\abs{x^2-1}\,dx,\quad
\int_0^{\pi}\cos^3(\theta)d\theta,\quad
\int_{-\frac{5}{2}}^{\frac{5}{2}}\sin^5(\theta)\cos^2(\theta)\, d\theta.
$$

\exo
Calculer, en intégrant par parties,
$$
\int_0^1 \Arctan(x) \,dx,\qquad
\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos^2 x}\,dx,\qquad
\int_0^x e^t\cos t\,dt.
$$

\exo
Soit $n$ un entier naturel non nul. On pose
$$
I_n = \int_1^e x^2(\ln x)^n \,dx
$$
\begin{enumerate}
\item Calculer $I_1$ \hint{faire une intégration par parties}.
\item Montrer que pour tout $n>0$, on a
$$
I_{n+1} = \frac{e^3}{3}-\frac{n+1}{3}I_n.
$$
\end{enumerate}

\exo
Soit la fonction définie pour $x\neq 1$, $x\neq 2$, par
$$
f(x)=\frac{1}{(x-1)(x-2)}.
$$
Trouver des réels $a$ et $b$ tels que pour tout réel $x$ différent
de 1 et 2 on ait: 
$$
f(x)=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x-2}.
$$
En déduire une primitive de $f$.

\exo
En posant un changement de variable approprié, calculer
$$
a)\ \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt{1-x^2}\,dx,\qquad
b)\ \int_0^{\sh(1)} \sqrt{1+x^2}\,dx,
$$
$$
c)\ \int_{\ln 2}^{\ln 5} \frac{e^x}{(3+e^x)\sqrt{e^x-1}}\,dx,\quad 
\text{poser $u=\sqrt{e^x-1}$}.
$$
$$
d)\ \int \frac{x^7}{(1+x^4)^2}\,dx,\quad \text{poser $t=x^4$}.
$$
\end{document}

\exo
Calculer sur $]1/e,+\infty[$
$$
\int \frac{1}{x(1+\ln x)^3}\,dx,
$$

