\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{MIS1}
\DeclareMathOperator{\pgcd}{pgcd}

\begin{document}\feuille{2 (Ensembles de nombres)}

\partie{ENTIERS NATURELS ET RELATIFS}

\exo Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : \ $\displaystyle{\sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$.

\exo Montrer par récurrence que pour tout $n\in\N^*$, on a
$$ \bigg(\sum_{k = 1}^n k \bigg)^2 = \sum_{k = 1}^n k^3,$$
et en déduire la valeur de cette dernière somme.

\exo Montrer pour tout $n \geq 2$ l'identité
$$ 2^{n-1}
  \cos \frac{\pi}{2^2} \times
  \cos \frac{\pi}{2^3} \times
  \cdots \times
  \cos \frac{\pi}{2^n} \times
  \sin \frac{\pi}{2^n} = 1.
$$
 
\exo Soit $\varphi:\N\longrightarrow \N$ une application
strictement croissante, c'est à dire $n<p \Rightarrow \varphi(n)<\varphi(p)$.
Montrer par récurrence que l'on a: $\varphi(n) \geq \varphi(0)+n$, $\forall n\in
\N$.

\exo Démontrer par récurrence que : $\forall n \in \N$, $7$ divise le nombre
$3^{2n+2}-2^{n+1}$.

\exo Calculer le pgcd de $10102$ et $99$. Soit $d$ le pgcd obtenu. Trouver
$u$ et $v$ appartenant à $\Z$ tels que:
$$
10102u+99v=d.
$$

\exo Soient deux entiers naturels $a$ et $b$ ($a\geq b >0$) et $r$ le reste
de la division euclidienne de $a$ par $b$. Démontrer que $2r<a$.

\exo Soit $n$ un élément de $\Z$ et $a$ et $b$ deux élément de $\N^*$. Soient
$q$ le quotient dans la division euclidienne de $n$ par $a$ et $q'$ celui de
$q$ par $b$. Montrer que $q'$ est aussi le quotient de $n$ par le produit~$ab$.

\exo Démontrer que pour tout $n\in\N$, les nombres $2n^2+2n$ et $2n+1$ sont
premiers entre eux, c'est-à-dire que leur pgcd est 1.

\exo Déterminer les entiers $n$ appartenant à $\N$ tels que $\pgcd(3n+1,2n) = 1$.

%\exo Trouver deux nombres naturels premiers entre eux, sachant qu'ils sont
%inférieurs à 100, que leur somme est égale à 150 et que leur différence est
%un multiple de 7.

%\exo\hint{Lemme de Gauss} Soit $x,y,z\in\Z$, tels que $x,y$ soient premiers
%entre eux. Il existe $u,v\in\Z$ tels que $ux + vy = 1$; en déduire que si
%$x$ divise $yz$, alors $x$ divise $z$.
%
\exo On considère l'équation :
\begin{equation}
29x+11y=1,\quad (x,y)\in \Z \times \Z. \label{eq}
\end{equation}
\begin{enumerate}
\item Ecrire l'algorithme d'Euclide relatif aux nombres $29$ et $11$.
\item En déduire une solution particulière de \eqref{eq}, puis l'ensemble des
solutions.
\item Déduire de ce qui précède une solution particulière, puis l'ensemble
des solutions de l'équation:
$$
29x+11y = 5,\quad (x,y)\in \Z \times \Z.
$$ 
\end{enumerate}

\partie{NOMBRES RÉELS}

\exo Déterminer l'ensemble des solutions des équations ou inéquations
suivantes:
$$
a)\ \frac{2x^2-x-6}{x^2-4}=0\qquad b)\ (x^2-1)^2>1\qquad 
c)\ \cos(2x)=-\frac{1}{2}\qquad d)\ 2<|3x+2|\leq 5.
$$

\exo Pour chacun des ensembles $A, B, C$ suivants
$$A=\set{0,2,3,4},\qquad B=[0,2],\qquad C=]0,1],\qquad D=]-2,3]\cup [4,5[.$$
dire
\begin{itemize}
\item S'ils sont majorés ou minorés.
\item S'ils ont un plus grand ou un plus petit élément. Si oui, les préciser.
\item S'ils ont une borne supérieure ou une borne inférieure. Si oui, les
préciser.
\end{itemize}

\exo Etudier l'existence des bornes inférieures et supérieure des ensembles
suivants. Les déterminer si elles existent et préciser s'il s'agit d'un
maximum ou d'un minimum.
\begin{eqnarray*}
A&=&\set{y\in \R  \colon \exists x \in ]1,3], y=\frac{1}{x}},\\
B&=&\set{z \in \R \colon \exists n \in \N, z=n^2+1},\\
C&=&\set{x \in \R \colon \exists n \in \N^*, x = 1-\frac{1}{n}}.
\end{eqnarray*}

\exo Soient $A$ et $B$ deux parties non vides, minorées et majorées de $\R$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $A\cup B$ admet une borne supérieure et que $\sup(A\cup B)
= \max\set{\sup(A),\sup(B)}$.
\item Montrer que $A\cup B$ admet une borne inférieure et que $\inf(A\cup B)
=\min\set{\inf(A),\inf(B)}$.
\item Montrer que si $A\cap B$ est non vide, cet ensemble admet une borne
supérieure et une borne inférieure et que l'on a les inégalités: 
$$\max\set{\inf(A),\inf(B)}
  \leq \inf(A\cap B)
  \leq \sup(A\cap B)\leq \min\set{\sup(A),\sup(B)}.
$$ 
Donner un exemple où les inégalités sont strictes.
\end{enumerate}
\end{document}
