\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{MIS1}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\begin{document}\feuille{4}

\exo
On considère la suite $(u_n)_{n \in \N}$ définie, pour tout entier $n$
strictement positif, par:
$$
u_n = \ln (n+2) - \ln (n)
$$
\begin{enumerate}
\item Trouver un entier $n_0$ tel que $n \geq n_0
  \Rightarrow |u_n| < 10^{-3}$.
\item Démontrer que $\lim_{n \rightarrow + \infty} = 0$ en utilisant
  la définition.
\end{enumerate}

%\exo
%Pour tout $n \in \N$, on pose $\ds{u_n = \frac{n^2}{n !}}$. D\'eterminer le
%sens de variation de $u_n$.

\exo
Pour tout $n \geq 1$, on pose $\ds{u_n =\frac{1}{n} + e^{-n}}$. D\'eterminer le sens de variation de $u_n$ et montrer que la suite est born\'ee.

\exo
Montrer que la suite $\ds{u_n=\frac{3 n + 1}{2 n +2}}$ converge vers $3/2$ en utilisant la d\'efinition de la convergence.

\exo
Pour tout $n \in \N^{*}$, on pose $\ds{u_n =\frac{1}{n} + \cos{\frac{2 n
\pi}{3}}}$. Montrer que $u_{3n}$ est convergente. La suite $u_n$ est-elle
convergente ?

\exo
On considère la suite $(S_n)_{n \in \N^*}$ définie par:
$$
S_n = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + ...+ \frac{1}{n^2}
$$
Montrer que $(S_n)_{n \in \N^*}$ converge. \hint{On pourra
majorer $\frac{1}{n^2} < \frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$.}

\exo
Etudier la convergence et éventuellement calculer la limite de la
suite
$$
\frac{a^n - b^n}{a^n + b^n}
$$
avec $a>0, b>0$.

\exo On considère la suite $(u_n)_{n \in \N}$ définie par
$$
u_n = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + ...+ \frac{1}{n!}
$$
Montrer que cette suite converge. \hint{On pourra montrer que $\forall n \in
\N^*, n! \geq 2^{n-1}$.}

\exo
Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $0<a<b$. On définit les suites
$(a_n)_{n \in \N}$ et $(b_n)_{n \in \N}$ par
$$
a_0 = a, \quad a_{n+1} = \sqrt{ a_n b_n}
$$
et
$$
b_0 = b, \quad b_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}
$$
Montrer que ces deux suites sont adjacentes.

\exo
Etudier la suite suivante:
\[\left\{\begin{array}{l}
u_0=2 \\
\forall n \in \N, u_{n+1} = \sqrt {6 + u_n}
\end{array}
\right.\]

\exo
On consid\`ere la suite $u_n$ d\'efinie par:

\[\left\{\begin{array}{l}
u_0=1 \\
\forall n \in \N, u_{n+1} = \ln (1 + u_n)
\end{array}
\right.\]
Montrer que $\forall n \in \N, \, 0 < u_n \leq 1$, et d\'eterminer le sens de variation.

\end{document} 
