\documentclass[11pt]{amsart}
\usepackage{kbexo}
\course{PIN 401}
\num{1}
\begin{document}\exotitle

\exo Parmi les ensembles suivants, munis de l'addition et de la multiplication
scalaire naturelles, lesquels sont des $\RM$-espaces vectoriels?
Dans l'affirmative, en trouver une base.
\begin{enumerate}
\item L'ensemble des $(x_1,x_2,x_3)\in\RM^3$ tels que $x_1+x_2+x_3 = 0$.
\item L'ensemble des $(x_1,x_2,x_3)\in\RM^3$ tels que $x_1+x_2+x_3 = 1$.
\item L'ensemble des polynômes à une indéterminée $\RM[X]$.
\item L'ensemble des polynômes $P(X)=aX^2 + bX + c\in \RM[X]$ quadratiques tels
que $P(0) = P(1)$.
\end{enumerate}

\exo Soit $E$ le $\RM$-espace vectoriel des fonctions de $\RM\to\RM$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que les fonctions continues $C\subset E$ forment un sous-espace
de $E$. 
\item Même question pour les fonctions dérivables $D\subset E$, puis
les fonctions $1$-périodiques.
\item Montrer que $f\mapsto f'$ est une application linéaire de $D\to E$.
\item Montrer que $f\mapsto \int_0^1 f(x)\,dx$ est une application linéaire
de $C\to \RM$.
\end{enumerate}

\exo On considère le plan complexe $\CM$ comme un $\RM$-espace vectoriel
de base $(1,i)$, où $i^2 = -1$. Soit une application $\RM$-linéaire donnée par
la matrice $\smallmat{a&b\\c &d}\in \RM^{2\times 2}$. À quelle condition la
transformation $\CM\to\CM$ associée est elle $\CM$-linéaire ?

\exo On considère le plan $x+y+z = 0$ de $\RM^3$. En donner une base $(i,j)$, et
trouver un vecteur supplémentaire $k$ tel que $(i,j,k)$ soit une base de
$\RM^3$.

\exo On considère le $\RM$-espace vectoriel des fonctions de $\RM$ dans $\RM$.
Montrer que la famille des $(e^{nx}\colon n\in\NM)$ est libre. Est-elle
génératrice ?

\exo Dans le plan $\RM^2$, on considère l'application linéaire de matrice
$M = \smallmat{3&2\\-1&0}$.
\begin{enumerate}
\item Trouver deux vecteurs $i$ et $j$ tels que $Mi = i$ et $Mj = 2j$,
respectivement.
\item Montrer que $(i,j)$ est une base de $\RM^2$.
\item Écrire la matrice de l'application linéaire de $\RM^2\to\RM^2$ associée
à $M$ dans la base $(i,j)$.
\item En déduire qu'en itérant la transformation $x_{n+1} := Mx_n$, à partir
de $x_0\neq 0$ arbitraire, on obtient des vecteurs $x_n$ arbitrairement longs,
«presque parallèles à $j$» (donner un sens précis à cette dernière assertion).
\item Généraliser: si $M = \smallmat{a&b\\c&d}$, montrer qu'il existe 
un vecteur non nul $x\in\RM^2$ et $\lambda\in \RM$ tels que $Mx = \lambda x$
si et seulement si $\lambda^2 - (a+d)\lambda + (ad - bc) = 0$. On suppose que
cette équation en $\lambda$ a deux racines réelles distinctes. Que peut t'on
en conclure?
\end{enumerate}
\end{document}
