\documentclass[10pt]{amsart}
\usepackage{kbexo}
\course{PIN 401}
\num{2}
\begin{document}\exotitle

\exo Déterminer le noyau et l'image des applications linéaires suivantes.
\begin{align*}
f:\RM^3 & \to \RM^2               & f:\RM_2[X] & \to \RM_2[X]\\
(x,y,z) & \mapsto (x-y,y-z)       & P & \mapsto P' - P,
\end{align*}
où $\RM_n[X]$ désigne l'ensemble des polynômes de de $\RM[X]$ de degré $\leq n$.

\exo Soit $(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de $\RM^3$. On considère
l'endomorphisme $f$ de $\RM^3$ défini par
\begin{eqnarray*}
f(e_1) & = & 13 e_1 + 12 e_2 + 6e_3\\
f(e_2) & = & -8e_1 - 7e_2 - 4e_3\\
f(e_3) & = & -12e_1 - 12e_2 - 5e_3
\end{eqnarray*}
Démontrer que
$F = \set{u\in\RM^3\colon f(u) = u}$ et
$G = \set{u\in\RM^3\colon f(u) = -u}$ sont deux sous-espaces vectoriels de
$\RM^3$. Déterminer leurs dimensions.

\exo Soit $(e_1,\dots,e_4)$ la base canonique de $\RM^4$. On considère
l'endomorphisme $f$ de $\RM^4$ défini par
\begin{eqnarray*}
f(e_1) & = & -e_2 + e_3 - e_4\\
f(e_2) & = &  e_1 - e_2 + e_3\\
f(e_3) & = &  e_1 + e_4\\
f(e_4) & = &  e_2 - e_3 + e_4
\end{eqnarray*}
\begin{enumerate}
\item Déterminer $f^2$.
\item En déduire que $\im f \subset \ker f$, puis que $\im f = \ker f$.
\item Calculer $\ker f$.
\end{enumerate}

\exo Soit
$$ A = \begin{pmatrix}
1 & a & b\\
0 & 2 & 1\\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
\quad\text{et}\quad
B = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}.
$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer $a$ et $b$ dans $\RM$ tels que $AD = DA$. 
\item Avec les valeurs de $a$,$b$ trouvées au $1)$, on pose $N = A - D$.
Calculer $N^2$. En déduire que $A$ est inversible et calculer $A^{-1}$.
\item Calculer $A^n$ pour tout entier $n\geq 1$.
\end{enumerate}

\exo On considère l'endomorphisme $\phi$ de $\RM^3$ dont la matrice dans la
base canonique est
$$\begin{pmatrix}
1&1&1\\
1&1&1\\
1&1&1
\end{pmatrix}$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer son noyau et son image (on donnera une $\RM$-base dans
chaque cas).
\item Déterminer la matrice de $\phi^n$, $n\geq 1$.
\item Calculer le polynôme caractéristique de $\phi$, et ses valeurs propres.
\item $\phi$ est-elle diagonalisable ?
\end{enumerate}

\exo Pour quelles valeurs du paramètre $m\in\RM$ les vecteurs 
$(1,m,1)$, $(2,m,3)$, $(4,m^2,9)$ forment-ils une base de $\RM^3$?

\exo On considère les matrices
$$A = \begin{pmatrix}
-1 & 3 & 3\\
2  & -1& -2\\
-2 & 3 & 4
\end{pmatrix},\qquad
B = \begin{pmatrix}
4 & -8 & 8\\
3 & -6 & 1\\
2 & -4 & 2
\end{pmatrix}.$$
Répondre aux questions suivantes pour $M = A$, puis pour $M = B$.
\begin{enumerate}
\item Calculer le polynôme caractéristique de $M$, puis ses valeurs propres.
\item $M$ est-elle inversible ? Est-elle diagonalisable ? Déterminer chacun
des sous-espaces propres, et proposer une base de $\RM^3$ formée de vecteurs
propres.
\item Déterminer une matrice $P$ inversible et une matrice $D$ diagonale
telle que $M = PDP^{-1}$.
\item Pour tout entier $n\geq 1$, exprimer $M^n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}

\exo On considère la matrice
$$ 
  M_t = \begin{pmatrix}
2 & -1 & 1\\
1 & 1 & t\\
1 & 0 & t+1
\end{pmatrix} $$
Pour quelles valeurs de $t\in\RM$ la matrice $M_t$ est-elle diagonalisable?

\exo On considère la matrice
$$ M = \begin{pmatrix}
2 & 1 & 1\\
0 & 3 & 1\\
0 & -1& 1
\end{pmatrix}$$
\begin{enumerate}
\item Est-elle diagonalisable ? Pourquoi est-elle trigonalisable?
\item Déterminer une matrice inversible $P$ et une matrice triangulaire
supérieure $T$ telle que $M = PTP^{-1}$.
\end{enumerate}

\exo Soit $x_1,\dots,x_n$ des complexes tous \emph{distincts}. On considère
la matrice de van der Monde
$$ V(x_1,\dots,x_n) =
\begin{pmatrix}
1     &x_1     & \dots & x_1^{n-1} \\
\vdots& \vdots & \ddots& \vdots\\
1     & x_n    & \dots & x_n^{n-1}
\end{pmatrix}$$
\begin{enumerate}
\item Calculer son déterminant et en déduire qu'elle est inversible.
\item Montrer qu'un polynôme de degré $<n$ dont les valeurs en $n$ points
distincts sont connus est uniquement déterminé.
\end{enumerate}
\end{document}
