\documentclass[11pt]{amsart}
\usepackage{kbexo}
\course{PIN 401}
\num{3}
\begin{document}\exotitle

\exo Soit $m\in\RM$. Calculer le déterminant de la matrice
$$ 
A = 
\begin{pmatrix}
0 & m   & m     & m^2 - m \\
1 & m-1 & 3m -1 & m^2 - m\\
0 & m   & m     & 0 \\
1 & m   & 3m -1 & 0
\end{pmatrix}
$$
En déduire la dimension du noyau et de l'image de $A$ en fonction
de $m$.

\exo Résoudre les systèmes différentiels $X' = A X$,
$X(0) = \smallmat{1\\1}$ où $X = (x(t), y(t))$ et
$A$ est l'une des matrices suivantes:
$$
\begin{pmatrix}
2 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix},\quad
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
0 & 1
\end{pmatrix},\quad
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{pmatrix}$$

\exo*
Donner la solution générale $X = (x(t), y(t), z(t))$ de l'équation $X' = AX$,
où $A$ est l'une des matrices suivantes
$$
\begin{pmatrix}
8 & 0 & 9\\
3 & -1 & -3\\
-6 & 0& -7
\end{pmatrix},
\quad
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1\\
0 & 3 & 1\\
0 & -1& 1
\end{pmatrix}.
$$

\exo On considère le système différentiel
$$
\begin{cases}
x' = x - y\\
y' = 2x - 2y
\end{cases}
$$
\Q Quels sont les points d'équilibre?
\Q Soient $(a,b)$ réels et $S(t) = (x(t), y(t))$ la solution telle
que $S(0) = (a,b)$. Déterminer $a$ et $b$ tels que $\lim_{t\to+\infty}
S(t) = 0$.
\Q  Résoudre le système différentiel
$$
\begin{cases}
x' = x - y\\
y' = 2x - 2y + \sin t
\end{cases}
$$
et montrer que toutes ses solutions sont bornées pour $t \geq 0$.

\exo Vérifier que les deux matrices suivantes sont orthogonales
$$
A = 
\begin{pmatrix}
\frac{1}2 & \frac{\sqrt3}2 & 0\\
\frac{\sqrt3}2 & -\frac{1}2 & 0\\
0 & 0 & -1
\end{pmatrix},\quad
B = 
\begin{pmatrix}
\frac{1}2 & -\frac{\sqrt3}2 & 0\\
\frac{\sqrt3}2 & \frac{1}2 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
$$
Sont-elles diagonalisables sur $\RM$? sur $\CM$? Si oui, donner une base de
diagonalisation.

\exo Soit $a\in\RM$ et $q(x, y) = x^2 + 4xy + ay^2$ une forme
quadratique. À quelle condition sur $a$ s'agit-il d'un produit scalaire?

\exo Soient $u_1 = (1,2,2)$ et $u_2 = (1,0,1)$ deux vecteurs de $\RM^3$
muni du produit scalaire standard. Trouver une base $(e_1,e_2,e_3)$
\emph{orthogonale} telle que $u_1 = e_1$ et le plan engendré par
$(e_1,e_2)$ coïncide avec le plan engendré par $(u_1,u_2)$.

\exo On considère l'espace euclidien $\RM^4$ muni de la base canonique
et le plan $P$ d'équation
$$
\begin{cases}
x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0\\
x_1 - x_2 + x_3 - x_4 = 0\\
\end{cases}
$$
Écrire la matrice de la projection orthogonale sur $P$.

\exo Soit $E = \mathcal{C}^0([0,1], K)$ le $K$-espace vectoriel des
fonctions continues de $[0,1]$ dans $K$, où $K$ = $\RM$ ou $\CM$.
\Q Montrer que $f\mapsto \int_0^{1} \abs{f(t)}^2 dt$ est une forme
quadratique (hermitienne si $K = \CM$). 
\Q Donner sa forme polaire. Est-ce un produit scalaire ?
\Q On suppose que $K = \CM$. Montrer que les fonctions $e^{2i\pi n}$,
$n\in\ZM$ forment une famille orthonormée. Quelle est la projection
orthogonale de la fonction $t\mapsto t$ sur l'espace qu'elles engendrent ?
Est-ce une base de $E$ ?
\Q On suppose que $K = \RM$. Trouver une famille orthonormée simple
analogue à celle de la question précédente.
\Q On fixe $N$ et on considère la famille de fonctions $(1,t,t^2,\dots,
t^{N-1})$. Écrire la matrice de Gram associée.
\Q On fixe $N = 4$, trouver une famille $(B_0,\dots, B_3)$
\emph{orthogonale} engendrant le même espace que $(1,t,t^2,t^3)$.

\exo* Dans l'espace euclidien $\RM^4$, on considère le cube $C$ défini par
les $(x_1,\dots,x_4)$ vérifiant $\abs{x_i} \leq 1$ pour tout $i$,
et $H$ l'hyperplan d'équation $x_1 + \dots + x_4 = 0$. On peut
voir le solide $C\cap H$ comme élément de l'espace euclidien usuel, de
dimension $3$. Montrer que c'est un octaèdre régulier. (Dans l'espace à
$3$ dimensions, le solide d'équation $\abs{x} + \abs{y} + \abs{z} \leq 1$
est un octaèdre régulier. Le dessiner.)

\noindent\emph{Indication: la matrice $A$ suivante vérifie $\tran{A}A =
\id$, poser $(y_i) = A(x_i)$:
$$ A = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
-1 & 1 & -1 & 1\\
1 & -1 & -1 & 1\\
-1 & -1 & 1 & 1
\end{pmatrix}.
$$
}

\end{document}
