\documentclass[11pt]{amsart}
\usepackage{kbexo}
\course{PIN 401}
\num{4}
\begin{document}\exotitle

\def\pile{\textsf{Pile}\xspace}
\def\face{\textsf{Face}\xspace}
\exo On lance une infinité de fois une pièce de monnaie. On obtient
une suite infinie formée de piles et de faces,
qui appartient à $\set{\pile,\face}^{\NM}$. On note $A_n$
l'événement «\pile apparaît au $n$-ème coup». Décrire les événements
suivants avec des opérations ensemblistes:
\begin{enumerate}
\item On obtient au moins un \pile.
\item On obtient jamais \pile.
\item On obtient exactement un \pile.
\item On n'obtient que des \face après le $100$-ème coup (inclus).
\item On obtient \pile un nombre fini de fois.
\item On obtient \pile un nombre infini de fois.
\end{enumerate}

\exo On dispose de deux jetons, l'un avec deux faces blanches, l'autre avec
une face blanche et une face noire.
On tire au sort l'un des jetons, on le lance, et on observe une face blanche
visible. Quelle est la probabilité que l'autre face soit blanche ?

\exo Une urne contient $5$ boules: 3 blanches et 2 rouges. On effectue
trois tirages successifs, sans remise, d'une boule dans cette urne.
La variable aléatoire $X$ donne à l'issue de ces trois tirages le rang
d'apparition de la première boule rouge, et $0$ s'il n'en apparaît pas.

\begin{enumerate}
\item Définir la loi de probabilité de $X$. Calculer son espérance
$\EM(X)$.

\item Définir et représenter sa fonction de répartition $F$.

\item En supposant qu'une boule rouge apparaitra lors des trois
premiers tirages, quelle est la probabilité d'apparition d'une blanche au
premier tirage ?
\end{enumerate}

\exo On jette deux dés à 6 faces équilibrés $D_X$ et $D_Y$.
Les variables aléatoires $X$ et $Y$ donnent à l'issue de chaque double jet
respectivement le nombre affiché par $X$ et~$Y$.

\begin{enumerate}
\item Donner les lois de probabilité de $X$, $Y$ et $Z = X+Y$. Calculer pour
chacune de ces variables aléatoires son espérance et sa variance.

\item On organise un jeu: le participant mise $M$ Euros, il jette deux dés et
gagne une certaine somme en fonction du résultat. Dans chacun des trois cas
suivants, exprimer la variable aléatoire $G = $ «gain du joueur» en fonction 
de $X$, $Y$ et $M$. Calculer $\EM(G)$, puis conseillez l'organisateur du jeu
pour le choix de la valeur~$M$.

\begin{itemize}
\item On gagne 5 Euros par point marqué, i.e.~$5(X+Y)$.

\item On gagne $a X + b Y$, où $a,b$ sont deux réels.

\item On gagne $(X-Y)^2$.
\end{itemize}
\end{enumerate}

\exo $k$ urnes numérotées $U_1,\dots,U_k$ contiennent chacune 
$n$ boules numérotées de $1$ à $n$. Pour tout $i\in\set{1,\dots,k}$, la
variable $X_i$ associe à chaque tirage de $k$ boules, une par urne, le numéro
de celle qui est issue de $U_i$. La variable $M$ donne le plus grand de ces
numéros.

\begin{enumerate}
\item Pour $i = 1,\dots,k$, donner la fonction de répartition $F_i$ de $X_i$.
\item Donner la fonction de répartition $F_M$ de $M$.
\item En déduire la loi de probabilité de $M$.
\end{enumerate}

\exo Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\NM$, dont la loi de
probabilité est définie, en fonction d'un paramètre réel $a$, par
$\PM(X = k) = a^k/2$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $a$, puis $\EM(X)$.
\item Donner la fonction de répartition de $X$ et tracer sa représentation
graphique entre les abscisses $-2$ et $4$.
\end{enumerate}

\exo Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\NM_{>0}$, dont la loi de
probabilité est définie, en fonction d'un paramètre réel $a$, par
$\PM(X = k) = a/(k+k^2)$. Calculer $a$. Que dire de $\EM(X)$ ?

\exo Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\RM$, dont la densité
$f$ est définie, en fonction d'un paramètre réel $a$, par
$f(x) = ae^{-2x}$ si $x\geq 0$ et $f(x) = 0$ sinon.
\begin{enumerate}
\item Calculer $a$, puis $\PM(X\in [-2,4])$ et $\EM(X)$.
\item Donner la fonction de répartition $F$ de $X$. Utiliser
$F$ pour calculer $\PM(X\in[-2,4])$ et $\PM(X\geq 2)$. Que dire de 
$\lim_{t\to+\infty} F(t)$?
\end{enumerate}

\exo Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\RM$, dont la densité
$f$ est définie, en fonction d'un paramètre réel $a$, par
$f(x) = ax^{-2}$ si $x\geq 1$ et $f(x) = 0$ sinon.
Calculer $a$, puis $\PM(X\in [-2,4])$. Que dire de $\EM(X)$ ?

\exo On effectue une épreuve $E$ au cours de laquelle un événement $A$ peut se
produire avec probabilité $p\in [0,1]$. La variable aléatoire $X_1$ prend la
valeur $1$ si $A$ se produit pendant l'épreuve $E$, et $0$ sinon.

On effectue successivement $n$ fois l'épreuve $E$ dans des conditions
identiques et indépendantes. À chacune des $n$ réalisations de $E$, on attache
une variable aléatoire $X_i$, $i = 1,\dots, n$, comme précédemment. On note 
$X$ la variable qui à l'issue des $n$ réalisations donne le nombre de fois que
$A$ s'est réalisée.
\begin{enumerate}
\item Définir la loi de probabilité de $X_1$, et calculer son espérance et sa
variance.

\item Exprimer $X$ en fonction des $X_i$, donner la loi de probabilité de $X$,
son espérance et sa variance.
\end{enumerate}

\exo On reprend les conditions de l'exercice précédent consistant en $n$
réalisations d'une épreuve $E$. Soit $Y$ la variable aléatoire qui donne le
rang de la première apparition de $A$ (et vaut $0$ s'il n'apparaît pas).
Définir la loi de $Y$, sa fonction de répartition, son espérance et sa
variance.

\exo La variable $X$ suit une loi binomiale $B(n,p)$. Calculer $\EM(1/(X+1))$.
\end{document}
