\documentclass[11pt]{amsart}
\usepackage{kbexo}
\course{PIN 401}
\num{5}
\begin{document}\exotitle
\exo $(\Omega, T, P)$ étant un espace probabilisé, $A$, $B$, $C$ trois
événements, exprimer $P(A\cup B\cup C)$ en fonction des probabilités de 
$A$, $B$, $C$, de leurs intersections 2 à 2 et de $A\cap B \cap C$.

\exo Soient $A$, $B$, $C$ trois événements, c'est-à-dire
trois parties d'un ensemble $\Omega$. Lorsqu'on «tire au hasard» un élément
$\omega\in\Omega$, on dit que \emph{$A$ se produit} si $\omega\in A$.
Décrire avec des opérations ensemblistes ($\cap, \cup,\dots$)
les événements suivants:
\begin{enumerate}
\item $A$ et $B$ se produisent.
\item $A$ seul se produit.
\item L'un au moins des événements $A,B,C$ se produit.
\item Parmi $A,B,C$, deux événements au moins se produisent.
\item Un événement au plus se produit.
\item Aucun des trois événements ne se produit.
\item Deux événements exactement se produisent.
\end{enumerate}

\exo Un dé est «pipé» de sorte que la probabilité d'apparition de chacune de
ses 6 faces soit proportionnelle au nombre (1 à 6) qu'elle indique.
\Q Construire un espace probabilisé adapté à l'épreuve consistant à jeter ce dé
une fois.

\Q Donner les probabilités de chacun des 6 événements élémentaires.

\Q Donner les probabilités de $A =$ «obtenir un nombre pair», $B = $
«obtenir un multiple de 3».

\exo Une cible est constituée de 5 zones délimitées par 5 cercles
concentriques de rayons respectifs 2, 4, 6, 8 et 10 cm. Les zones sont
numérotées du centre vers la périphérie 5, 4, 3, 2 et 1. On tire 1 fois sur
cette cible et on repère la zone contenant le centre de l'impact. On suppose
que l'événement «le centre de l'impact est sur l'un des cercles-frontière» est
de probabilité nulle et que l'on atteint toujours la cible. La probabilité
d'atteindre chaque zone est proportionnelle à son aire.

\Q Définir un espace probabilisé adapté à cette épreuve.

\Q Donner la probabilité de chaque événement élémentaire et celle de
l'événement $A =$ «on atteint une zone de numéro $\leq 3$».

\exo On range au hasard $n$ boules numérotées $1, 2, \dots, n$ dans $n$
tiroirs numérotés de même, une par tiroir. On s'intéresse aux événements $A =
$ «la boule 3 est dans le tiroir 3» et $B = $ «les boules 3 et 5 sont
globalement dans les tiroirs 3 et 5». Définir un espace probabilisé adapté à
cette épreuve et calculer les probabilités des événements $A$ et $B$.

\exo Un automate comporte un réservoir de $n$ boules qu'il distribue dans un
alignement de $p$ tiroirs numérotés dans l'ordre de 1 à $p$. Initialement, il
est positionné, portant ses $n$ boules, au dessus du tiroir $T_1$. La lecture
du bit «1» provoque la chute d'une boule. La lecture du bit «0» provoque le
déplacement sur le tiroir suivant.

\Q Pour qu'après lecture du dernier bit l'automate se retrouve vide au dessus
du tiroir $T_p$, combien de bits son code de commande doit-il comporter ?
Combien doit-il comporter de «1» ?

\Q On choisit au hasard un de code de longueur $n+p$ et on l'utilise pour
programmer l'automate. On s'intéresse à l'événement $A = $ «toutes les boules
tombent dans le même tiroir». Définir un espace probabilisé adapté à
cette épreuve et calculer la probabilité de $A$.

\exo $n$ et $p$ sont des entiers naturels non nuls.
0n appelle solution entière de l'équation $x_1 + x_2 + \dots + x_p = n$
tout $p$-uplet $(k_1, k_2, \dots, k_p)$ élément de $\NM^p$ tel que 
$k_1 + k_2 +\dots + k_p = n$. Si l'on choisit au hasard l'une des solutions de
l'équation, quelle est la probabilité qu'elle comporte $p-1$ zéros ?

\exo On place au hasard sur une même étagère les $n$ tomes d'une encyclopédie.
Avec quelle probabilité les tomes 1 et 2 se retrouvent-ils côte à côte ? Ne
pas oublier de définir l'espace probabilisé correspondant.

\exo On dispose d'une pièce de monnaie équilibrée.
\Q Quelle est la probabilité d'obtenir pile en un jet ? ( Définir l'espace
probabilisé).

\Q Définir l'espace probabilisé correspondant à une suite de $n$ jets successifs
de la pièce. Calculer la probabilité de chacun des événements :
$A_k =$ «Obtenir pile au $k$-ème jet» (pour $1\leq k \leq n$)
$B_k =$ «Obtenir pile pour la première fois au $k$-ème jet» (pour $1\leq k\leq
n$).

\exo $X$ et $Y$ jettent alternativement un dé à 6 faces: $X$ joue les jets
impairs, $Y$ les jets pairs. Le premier à obtenir un 6 gagne, et le jeu
s'arrète. Calculer les probabilités des événements suivants :
\Q $X$ gagne au $2p+1$-ème jet,
\Q $X$ gagne,
\Q $Y$ gagne,
\Q personne ne gagne.

\exo
\Q On jette simultanément trois dés à 6 faces. Quelle est la probabilité
d'obtenir $\set{4, 2, 1}$ ?

\Q On effectue ce triple jet jusqu'à obtenir $\set{4, 2, 1}$. Quelle est la
probabilité de ne pas y être encore parvenu à la $n$-ème épreuve ? 
de ne jamais y parvenir ?

\exo On tire 5 cartes d'un jeu de 32.

\Q Quelle est la probabilité de tirer au moins un roi ?

\Q Quelle est la probabilité de tirer au moins un roi sachant qu'on a tiré 5
trèfles ?

\exo Un hospital reçoit exclusivement des malades atteints de la
maladie A ($40\%$ des malades), de la maladie B ($30\%$) et de la maladie C
($30\%$).
Parmi les malades de A (resp.~B, resp.~C), $50\%$ (resp.~$60\%$, resp.~$40\%$)
sont fumeurs. Quel est le pourcentage de fumeurs dans l'ensemble des malades ?

\exo Une urne contient 2 boules blanches et 8 boules noires. On en extrait
les boules une à une successivement et sans remise.

\Q Définir un espace probabilisé adapté à cette épreuve.

\Q Pour tout entier $1 \leq k \leq 10$, on note $B_k$ l'événement «tirer une
blanche au $k$-ème tirage». On note $A$ l'événement «obtenir une blanche pour la
première fois au 6-ème tirage». Exprimer $A$ en fonction de certains $B_k$ et
de leurs complémentaires.

\Q Calculer la probabilité de $A$ à l'aide de la formule des probabilités
composées. Vérifier le résultat par un calcul direct.

\exo Un laboratoire teste un éthylotest sur un échantillon de volontaires:
pour une personne en état (légal) d'ébriété, l'éthylotest s'avère positif 95
fois sur 100; pour une personne qui n'est pas dans cet état, il est négatif
96 fois sur 100. On estime que sur l'ensemble des conducteurs contrôlés, $2\%$
sont en état d'ébriété.

Quelle est la probabilité qu'un conducteur contrôlé soit réellement en état
d'ébriété lorsque l'éthylotest est positif ?


\exo Une commande est assurée par deux circuits indépendants $A$ et $B$
branchés en parallèle: tant que l'un des circuits fonctionne la commande
fonctionne. La probabilité de panne de $A$ est de $0.02$ et celle de $B$ est de 
$0.05$.

\Q Quelle est la probabilité de non fonctionnement de cette commande?
\Q Avec quelle probabilité l'un au moins des circuits est-il en panne ?
\Q Si l'un des circuits ne fonctionne pas, quelle est la probabilité que ce
soit $A$ ?

\exo On jette simultanément deux dés $D_1$ et $D_2$ à 6 faces.
On considère les événements : «$D_1$ affiche un nombre pair», «$D_2$ affiche
un nombre pair», et «la somme des résultats est paire». Montrer que ces trois
événements sont indépendants deux à deux mais pas mutuellement indépendants.

\exo On jette un dé jusqu'à ce qu'un 6 apparaisse.
\Q Pour $k\geq 1$, quelle est la probabilité $p_k$ qu'il ait fallu jeter $k$
fois le dé ?
\Q Pour $n \geq 1$, quelle est la probabilité qu'il ait fallu jeter le dé
moins de $n$ fois ?

\Q On jette simultanément 5 dés. On reprend seulement ceux qui n'ont pas donné
6 et on les jette une seconde fois. On itère le procédé jusqu'à ce que tous
les dés aient indiqué 6. Quelle est la probabilité que l'on obtienne les cinq
6 en $n \geq 1$ jets au plus ? Même question en $n$ jets exactement.
\end{document}
