\documentclass{amsart}
\usepackage{kbexo}
\course{PIN 401}
\num{6}
\begin{document}\exotitle
\exo\hint{Inégalité de Kolmogorov} Soient $a$ et $M$ des réels strictement
positifs, et $X$ une variable aléatoire réelle telle que $\abs{X} \leq M$.

\Q Montrer que 
$\displaystyle X^2 \leq \mathbf{1}_{\set{\abs{X} \leq a}} a^2
         + \mathbf{1}_{\set{\abs{X} > a}} M^2$.

\Q En déduire que
$\displaystyle P (\abs{X} > a) \geq \frac{\EM (X^2) - a^2}{M^2}$.

\exo\hint{Fonction caractéristique}
La fonction caractéristique d'une variable aléatoire réelle $X$ est la
fonction $\Phi_X: \RM\to\CM$ donnée par $t \mapsto \EM(\exp(itX))$. On
admettra qu'elle est définie pour tout $t\in\RM$ et que la fonction
caractéristique d'une variable aléatoire caractérise sa loi.

\Q On suppose que $X$ suit une loi uniforme $U([a, b])$. Exprimer $\Phi_X$.
\Q On suppose que X suit une loi de Poisson $P(\lambda)$.
Montrer que $\Phi_X(t) = \exp\big(\lambda (e^{it} - 1)\big)$.

\Q Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires réelles indépendantes.
Exprimer la fonction caractéristique de $X+Y$ en fonction de celles de $X$ et
de $Y$. Si $X$ et $Y$ suivent des lois de Poisson de paramètres $\lambda$ et
$\mu$, exprimer la fonction caractéristique de $X+Y$. Quelle est la loi
de $X + Y$ ?

\exo On définit sur le même espace probabilisé $(\Omega, T, P)$ la variable
aléatoire $X$ et la suite de variables aléatoires $(X_n)_{n\in\NM}$, de
$\Omega\to\RM$, de la manière suivante: $(A, B, C)$ étant une partition de
$\Omega$ en trois événements de probabilités respectives $1/4$, $1/4$ et
$1/2$, on pose
$$
X(\omega) = \begin{cases}
1 & \text{si $\omega\in A\cup B$},\\
2 & \text{si $\omega\in C$}.
\end{cases}
\qquad
X_n(\omega) = \begin{cases}
\frac{n}{n+1} & \text{si $\omega\in A$},\\
1 + \exp(-n) & \text{si $\omega\in B$},\\
\frac{2n}{n+1} & \text{si $\omega\in C$}.
\end{cases}
$$
\Q Montrer que $X_n$ converge vers $X$ presque sûrement et en moyenne $L^1$.
\Q Justifier de deux manières différentes le fait que $X_n$ converge vers $X$
en probabilité.
\Q $X_n$ converge-t-elle en loi vers $X$ ?

\exo Pour tout entier $n > 0$, on considère la variable aléatoire $X_n$ qui
suit la loi uniforme discrète sur l'ensemble fini $\set{0 , 1/n, 2/n, \dots,
(n-1)/n , 1}$, ce qui signifie qu'elle prend chacune de ces valeurs
avec la même probabilité $1/(n+1)$. Montrer que $X_n$ converge en loi vers
une variable $X$ qui suit une loi uniforme à densité $U([0 , 1])$.

\exo Pour tout entier $n > 0$, on considère la variable aléatoire $X_n$ qui
suit la loi uniforme discrète sur l'ensemble $\set{0, 2^{-n}}$.
On définit ainsi une suite $X_n$ de variables aléatoires mutuellement
indépendantes. On pose alors $Z_n =  \sum_{k = 1}^n X_k$.

\Q Montrer que
$\displaystyle \prod_{k = 1}^n \cos(t/2^{k+1}) \exp(it/2^{k+1})
  = \exp\paren{i\frac{t}{2} \paren{1-\frac{1}{2^n}}}
  \frac{\sin(t/2)}{2^n\sin (t/2^{n+1})} $.

\noindent En déduire la limite de cette expression lorsque $n\to +\infty$.

\Q Montrer que la suite $Z_n$ converge en loi vers $Z$, qui suit une
loi uniforme à densité $U([0, 1])$.

\exo La variable aléatoire $X$ a pour densité $f\colon \RM\to\RM^+$,
telle que $$
f(t) = \begin{cases}
  1 + t & \text{si $t\in [-1, 0]$},\\
  1 - t & \text{si $t\in [0, 1]$},\\
  0 & \text{sinon}.
\end{cases}
$$
Pour $n > 0$ entier, on note $Y_n = X^{1/(2n+1)}$ (définition étendue au cas
$X < 0$ car $2n+1$ impair).
\Q Déterminer une densité de $Y_n$.
\Q Montrer que $Y_n$ converge en loi vers une variable discrète $Y$ qu'on
déterminera.
\Q Montrer que $Y_n$ ne converge pas en probabilité vers $Y$.

\exo $X_n$ est une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes.
Chaque variable $X_n$ suit une loi de Bernoulli $B(1, p_n)$ où $0 < p_n < 1$.
\Q Montrer que $\forall \e > 0$,
$$ \lim_{n\to+\infty}
  P\paren{ \frac{1}{n}\Big|\sum_{k = 1}^n (X_k - p_k)\Big| > \e} = 0. $$

\Q Dans le cas particulier $p_n = 2^{-n}$, montrer que $Y_n = \frac{1}{n}
\sum_{k = 1}^n X_k$ converge en probabilité vers une variable aléatoire
constante.

\def\Face{\texttt{Face}\xspace}

\exo On jette 3 fois de suite une pièce de monnaie non équilibrée pour
laquelle $P(\Face) = 1/4$. La variable aléatoire $S_3$ donne à la suite de ce
triple jet de la pièce, le nombre de \Face obtenus.

\Q Donner la loi de probabilité de $S_3$, son espérance et sa variance.

\Q On jette maintenant $n$ fois cette pièce et on s'intéresse à la variable
$F_n =  S_n/ n$ donnant la fréquence d'apparition de \Face sur $n$ jets. 

\qq Déterminer une valeur à donner à $n$ pour que
$P(20\% \leq F_n \leq 30\%) > 0,95$. \hint{Penser à l'inégalité de
Bienaymé-Tchébychev}.

\qq On suppose $n$ grand, et on se permet d'approcher les probabilités en jeu
grâce au théorème de la limite centrale. Répondre à la question précédente
sous ce modèle.

\exo Dans un commerce ouvert 49 semaines par an, la probabilité de rupture de
stock en fin de semaine est constante, égale à $p = 0,05$. La variable $F_n$
donne la fréquence de rupture de stock en fin de semaine sur $n$ semaines
analysées.

\Q Calculer l'espérance et la variance de $F_{49}$.
\Q Evaluer la probabilité de l'événement «$\abs{F_{49} - \EM(F_{49})} > 0,01$».

\Q Sur quel nombre $n$ de semaines suffit-il de faire porter l'analyse pour
que 
$$P(\abs{F_n - \EM(F_n)}  > 0,01) \leq 0,25 ?$$
\end{document}

\exo Approximation de la loi Hypergéométrique par la loi Binomiale

Soit $p\in ]0,1[ \cap \QM$. Si $m$ est entier, le produit $mp$ n'est entier
que lorsque $m$ décrit une partie $E$ de $\NM$.

Pour un tel $m\in E$, on définit la variable $X_m$ qui suit une loi
Hypergéométrique $H(m, n, p)$, l'effectif total $m$ étant partagé entre les
deux effectifs entiers $mp$ et $m (1-p)$. Tandis que $n$ et $p$ restent fixes,
on fait tendre $m$ vers $+\infty$, $m$ restant dans $E$.

\Q Montrer que k{0 , 1 , \dots, n} , P (X m = k)
Pour cela , on développera P (X m = k) en produit de quotients équivalents à m p ou à m (1- p ).
\Q De la simplification évidente de cet équivalent, menant au calcul de lim P
(X m = k) , déduire la convergence en loi de la suite (X m) mN * vers une
variable X à la loi de probabilité simple. I
