\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{S1SM}
\def\set#1{\left\{#1\right\}}
\def\Re{\text{Re}}

\begin{document}\devoir{1}{29/09}
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\partie{NOMBRES COMPLEXES}
\exo Trouver les nombres complexes $z$ et $u$ solutions du syst\`eme
d'\'equations:
$$\left\{
\begin{array}{lcl}
(2 + i)z -iu & = & 2+i\\
(1 + i)z +(2-i)u & = & 2i\\
\end{array}\right.
$$

\exo Soient $u$ et $v$ des nombres complexes. D\'emontrer l'\'egalit\'e
$$ |u + v|^2 - |u - v|^2 = 4\Re(u\overline{v}).$$
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\partie{NOMBRES COMPLEXES ET G\'EOM\'ETRIE}

\exo Dessiner dans le plan complexe les domaines d\'efinis par:
$$
D_1 = \set{z\colon |z| > 1}\quad;\quad
D_2 = \set{z\colon z + \overline{z} > -1}\quad;\quad
D_3 = \set{z\colon z(1 - i) + \overline{z}(1 + i) = 4}.\\
$$
\hint{Pour $D_2$ et $D_3$, on pourra utiliser l'\'ecriture alg\'ebrique.}
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\partie{TRIGONOM\'ETRIE}

\exo R\'esoudre les \'equations suivantes:
\begin{enumerate} 
\item $|\sin(x)| + |\cos(x)| = 0$,
\item $|\sin(x)| + |\cos(x)| = 2$,
\item $2\cos^2(x) - 7\cos(x) + 3 = 0$.
\end{enumerate}

\exo Soit $z := e^{2i\pi/5}$. 
\begin{enumerate}
\item Constater que $z^5 = 1$, puis en d\'eduire que $z^4 + z^3 + z^2 + z + 1
= 0$.

\item On pose $u := z + z^{-1} = 2\cos(2\pi/5)$. D\'eduire de la
question pr\'ec\'edente une \'equation du second degr\'e dont $u$ est
solution.

\item R\'esoudre cette \'equation et en d\'eduire une formule explicite pour
$\cos(2\pi / 5)$.

\item En d\'eduire une formule pour $\cos(\pi/5)$, puis $\cos(\pi/10)$.
\end{enumerate}

\end{document}
