\documentclass[12pt]{article}
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\def\color[rgb]#1{}
\def\set#1{\left\{#1\right\}}
\def\Re{\text{Re}}
\def\abs#1{\left|#1\right|}

\begin{document}\corrige{1}
\bigskip

\exo On note $L_1$ et $L_2$ les deux lignes du syst\`eme. En rempla\c{c}ant
$L_2$ par $(2-i)L_1 + i L_2$ dans le syst\`eme
$$\left\{
\begin{array}{lcl}
(2 + i)z -iu & = & 2+i\\
(1 + i)z +(2-i)u & = & 2i\\
\end{array}\right.,
$$
on obtient le syst\`eme \'equivalent
$$\left\{
\begin{array}{lcl}
(2 + i)z -iu & = & 2+i\\
(4 + i)z & = & 3\\
\end{array}\right..
$$
Ainsi $z = 3/(4+i) = \frac{12}{17} - \frac{3}{17}i$, et $u = (2+i)(1-z)/(-i)
= \frac{-11}{17} + \frac{7}{17}i$.

\exo En utilisant la d\'efinition $|z|^2 = z\overline{z}$ et les
propri\'et\'es de la conjugaison complexe, on obtient
$$ |u + v|^2 - |u - v|^2 =
(u + v)(\overline{u} + \overline{v})
- (u - v)(\overline{u} - \overline{v})
= 2 u\overline{v} + 2 v\overline{u}
= 2 (u\overline{v} + \overline{u\overline{v}})
= 4\Re(u\overline{v}).$$

\exo
\begin{itemize}
\item Si on note $O$ le point d'affixe $0$, $D_1$ est le compl\'ementaire du
disque ferm\'e de centre $O$ et de rayon $1$.

\item Comme $z + \overline{z} = 2\Re(z)$, la condition d\'efinissant $D_2$ est
\'equivalente \`a $\Re(z) > -1/2$. Si on note $\mathcal{D}$ la droite
d'\'equation $x = -1/2$, $D_2$ est donc le demi-plan situ\'e \`a
droite de $\mathcal{D}$, $\mathcal{D}$ \'etant exclue.

\item Si on note $z = x + iy$, $x,y\in \R$, la condition d\'efinissant $D_3$
est \'equivalente \`a $2x + 2y = 4$ soit $x + y = 2$. Il s'agit donc de la
droite passant par les points de coordonn\'ees $(0,2)$ et $(2,0)$,
parall\`ele \`a la deuxi\`eme bissectrice.
\end{itemize}
\bigskip
$$\input{DM1cor.pstex_t}$$

\exo
\begin{enumerate} 
\item Comme une valeur absolue est positive, $|\sin x| + |\cos x| = 0$
n'est possible que si $\sin x = \cos x = 0$. \hint{En effet, si $a,b\in\R^+$,
alors $a + b \geq a \geq 0$; si $a + b = 0$, on en d\'eduit que $a = 0$, puis
que $b = 0$ par le m\^eme raisonnement.} Or c'est impossible car
$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ et $0^2 + 0^2 = 0 \neq 1$. Donc il n'y a pas de
solutions.

\item Comme $\abs{\sin x}$ et $\abs{\cos x}$ sont born\'es par $1$,
$|\sin x| + |\cos x| \leq 2$, avec \'egalit\'e si et seulement si
$\abs{\sin x} = \abs{\cos x} = 1$. On en d\'eduit que 
$$ \sin^2 x + \cos^2 x =
\abs{\sin x }^2 + \abs{\cos x }^2 = 1^2 + 1^2 = 2 \neq 1.$$
Toujours \`a cause de l'identit\'e $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, c'est
impossible. Donc il n'y a pas de solutions.

\item On pose $X = \cos x$. L'\'equation s'\'ecrit $2X^2 - 7X + 3 = 0$
dont les solutions sont $X = 3$ et $X = 1/2$. Comme $\cos x \leq 1$, $X = 3$
est impossible. L'\'equation de d\'epart est donc \'equivalente \`a $\cos x
= 1/2 = \cos(\pi/3)$. Soit $x = \pi/3~[2\pi]$ ou $x = -\pi/3~[2\pi]$.
\end{enumerate}

\exo
\begin{enumerate}
\item $z^5 = (e^{2i\pi/5})^5 = e^{2i\pi} = 1$. Puisque $z\neq 1$ (car un
argument de $z$ est $0 < 2\pi/5 < 2\pi$), on a 
$$1 + z + z^2 + z^3 + z^4 = (z^5 - 1) / (z-1),$$ comme somme des termes d'une
suite g\'eom\'etrique de raison $z$. D'o\`u le r\'esultat puisque $z^5 - 1 =
0$.

\emph{Autre m\'ethode:} pour $n\in\N$, $n\geq 1$, l'identit\'e remarquable 
$$x^n - 1 = (x - 1)(x^{n-1} + x^{n-2} + \dots + x + 1) = (x -
1)\sum_{k=0}^{n-1} x^k$$
est tr\`es utile. On peut la d\'emontrer par r\'ecurrence. Ou bien par un
calcul direct dans le cas particulier $n = 5$, qui est celui qui nous
int\'eresse ici.

\item En divisant l'identit\'e $1 + z + z^2 + z^3 + z^4 = 0$ par $z^2\neq 0$,
on obtient $z^{-2} + z^{-1} + 1 + z + z^2 = 0$. Comme $u^2 = z^{-2} + z^2 +
2$, soit $z^{-2} + z^2 = u^2 - 2$, on en d\'eduit que $(u^2 - 2) + u + 1 =
0$. Finalement $u^2 + u - 1 = 0$.

\item Les deux solutions de cette \'equation sont $u_1 = (-1 - \sqrt{5}) /
2 < 0$ et $u_2 = (-1 + \sqrt{5}) / 2$. Comme $0 < 2\pi/5 < \pi/2$, on a
$\cos(2\pi/5) > 0$, puis $u = 2\Re(z) = 2\cos(2\pi/5) > 0$. On en d\'eduit
que $u = u_2$, puis que
$$ \cos(2\pi/5) = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4}. $$

\item On utilise la formule $\cos^2(x/2) = (1 + \cos x)/2$ pour $x = 2\pi/5$.
Si $a\in\R^+$, une \'equation du type $y^2 = a$ poss\`ede deux solutions $y
= \sqrt{a}$ et $y = -\sqrt{a}$, confondues si $a = 0$. Comme $0 < \pi/5 <
\pi/2$, on a $\cos(\pi/5) > 0$, donc il faut prendre la racine positive et
$$
\cos(\pi/5) = \sqrt{\frac{3 + \sqrt{5}}{8}},
\quad\text{puis}\quad
\cos(\pi/10) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{3 + \sqrt{5}}{8}}}{2}}, $$
par la m\^eme m\'ethode \hint{on a $\cos(\pi/10) > 0$ car $0 < \pi/10 <
\pi/2$}.

\emph{Autre m\'ethode:} On remarque que $\cos(\pi/5) = - \cos(4\pi/5) = 1 -
2\cos^2 (2\pi/5)$. Soit
$$ \cos(\pi/5) = \frac{1 + \sqrt{5}}{4},$$
qui est une simplification de la racine carr\'ee ci-dessus.
\end{enumerate}
\end{document}
