\documentclass[11pt,french]{article}
\usepackage{S1SM}

\newcommand{\dis}{\displaystyle}
\begin{document}


 \devoir{2}{13 octobre}

\pagestyle{empty}
\vspace{10mm}
\partie{IN\'EGALIT\'ES}
\exo R\'esoudre dans $\R$ l'in\'egalit\'e suivante :
$$\dis{\sqrt{|x^2+2 x-3|}\leq \frac{x}{2}+2}.$$

\exo R\'esoudre l'in\'egalit\'e suivante : 
$$2|x-2|-\sqrt{x^2-1}\geq 3.$$

On commencera par d\'eterminer l'ensemble des $x$ pour lesquels
l'in\'egalit\'e est bien d\'efinie.


%\exo Soient $A$ et $B$ deux parties de $\C$ d\'efinies par
%\begin{eqnarray*}
%A&=&\left\{z\in\C\ ;\ \max(|\frac{1}{3}\mathrm{Im}(z)}-1|,|\frac{1}{4}\mathrm{Re}(z)}|)<1\right\},\\
%B&=&\left\{z\in\C\ ;\ 2\leq |z| \leq 3\right\}.
%\end{eqnarray*}
%
%\begin{enumerate}
%\item D\'ecrire g\'eom\'etriquement les ensembles $A$ et$B$.
%\item Repr\'esenter graphiquement l'ensemble $C=A\cap B$.
%\end{enumerate}

\vspace{10mm}
\partie{NOMBRES COMPLEXES}

\exo 
\begin{enumerate}
\item Soit $\theta\in\R$. R\'esoudre dans $\C$ l'\'equation
$z^2-2\cos(\theta)z+1=0$.
\item Soit $z_0$ une des solutions de cette \'equation. En s\'eparant parties
r\'eelle et imaginaire de $z_0^2-2\cos(\theta)z_0+1$, retrouver les formules de $\cos(2\theta)$ et
$\sin(2\theta)$ en fonction de $\cos(\theta)$ et $\sin(\theta)$.  
\end{enumerate}
 
\exo
\begin{enumerate}
\item V\'erifier que
$$ -8+2\sqrt{3}+ i(12+4\sqrt{3}) = (1+\sqrt{3}+i 2\sqrt{3})^2.$$

 \item R\'esoudre dans $\C$
l'\'equation du second degr\'e
$$Z^2+(\sqrt{3}-1)Z+(3-\sqrt{3}-i(3+\sqrt{3}))=0.$$

\item Mettre les racines de l'\'equation pr\'ec\'edente sous forme
trigonom\'etrique puis calculer leurs racines n-i\`emes, pour tout
$n\in\N^*$.

\item \`A l'aide des questions pr\'ec\'edentes, r\'esoudre pour
tout $n\in\N^*$ l'\'equation en z

$$\left(\frac{z-1}{z}\right)^{2n}+(\sqrt{3}-1)\left(\frac{z-1}{z}\right)^n+(3-\sqrt{3}-i(3+\sqrt{3}))=0. $$
\end{enumerate}

\vspace{10mm}
\partie{R\'ECURRENCE}

\exo 
D\'emontrer par r\'ecurrence que pour tout $n\in\N$,
$3^{2n+2}-2^{n+1}$ est divisible par 7.\newline
\hint{\'Ecrire $3^{2n+2}-2^{n+1}=3^{2n}(3^2-2)+2(3^{2n}-2^n)$.}



%\exo On appelle \emph{suite de Fibonacci} une suite num\'erique $(u_n)_{n\in
%  \N}$ d\'efinie par
%$$ u_0 = 0,\,\,  u_1 = 1,$$
%et la relation de r\'ecurrence $(R)$
%$$\forall\ n\in\N\ \  u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n} .$$
%
%Le but de l'exercice est de montrer qu'il existe une unique suite
%ainsi d\'efinie, de calculer ses termes explicitement en fonction
%de $n$ et de d\'emontrer quelques propri\'et\'es arithm\'etiques
%de cette suite.
%
%\begin{enumerate}
%\item Soient $r_1>r_2$ les deux racines de l'\'equation $r^2=r+1$. $r_1$ est
%appel\'e le \emph{nombre d'or}. Montrer que pour tout $a$ et $b$ dans $\R$, la
%suite $(v_n)$ d\'efinie par
%$$v_n=a\,r_1^n+b\,r_2^n$$
%v\'erifie la relation de r\'ecurrence $(R)$. Calculer $a$ et $b$
%en fonction de $v_0$ et $v_1$.
%
%\item R\'eciproquement, montrer que si une suite $(w_n)$ v\'erifie la relation
%  de r\'ecurrence $(R)$, alors $w_n=a\,r_1^n+b\,r_2^n$ avec
%$$a=\frac{w_1-r_2 w_0}{r_1-r_2}\,\,\,\mathrm{et} \,\,\, b=\frac{r_1
%  w_0-w_1}{r_1-r_2}.$$
%\hint{On pourra montrer par r\'ecurrence que pour ces valeurs de
%$a$ et $b$, $w_n-(a\,r_1^n+b\,r_2^n)$ vaut $0$ pour tout $n$.}
%
%\paragraph{}
%Vous venez de montrer que $\{(v_n)_{n\in\N}\ ;\forall\ n\in\N\
%v_n=a\, r_1^n +b\, r_2^n,\ a\in\R,\ b\in\R \}= \{(w_n)_{n\in\N}\
%;\ w_0\in\R,\, w_1\in\R,\, \forall\ n\in\N\ \
%w_{n+2}=w_{n+1}+w_{n}\}$ par double inclusion.
%\paragraph{}
%
%\item Calculer $a$ et $b$ dans le cas de la suite de Fibonacci $u_0=0,u_1=1$, et
%  v\'erifier que tous les termes de la suite sont entiers.
%
%\item D\'emontrer que pour tout $n\in\N$
%$$ u_0+u_1+\dots+u_{n-1}+u_n = u_{n+2}-1.$$
%
%\item D\'emontrer que pour  tout $n\in\N^*$
%$$u_{n-1} u_{n+1} -(u_n)^2=(-1)^n.$$
%\hint{Utiliser l'expression explicite de $u_n$ en fonction de
%$n$.}
%
%\end{enumerate}
%Fibonacci (L\'eonard de Pise de son vrai nom) est un
%math\'ematicien italien du 13\`eme si\`ecle et avait introduit
%cette suite pour mod\'eliser une population de lapins, $u_n$
%\'etant le nombre de lapins \`a la \`eni\`eme g\'en\'eration. Les
%nombres de Fibonacci sont pr\'esents un peu partout dans la
%nature. On les retrouve par exemple lorsque l'on compte les
%spirales que forment les graines dans un tournesol, celles
%dessin\'es sur un ananas ou une pomme de pin.
\newpage
\partie{PROBL\`EME (facultatif)}
\exo Le but de ce probl\`eme est de d\'eterminer tous les triplets
pythagoriciens, c'est-\`a dire les triplets $(a,b,c)$ d'entiers
naturels qui v\'erifient $a^2+b^2=c^2$. On note $C=\left\{ (x,y)\in\R^2\ |\
x^2+y^2=1\right\}$ le cercle unit\'e. On note aussi pour $r\in\R$,
$D_r=\left\{ (x,y)\in\R^2\ |\ y=r(x+1)\right\}$.

\begin{enumerate}
\item Montrer qu'\`a un triplet pythagoricien $(a,b,c)$ correspond un point
du cercle \`a coordonn\'ees rationnelles positives
$(\frac{a}{c},\frac{b}{c})$. R\'eciproquement, montrer que si
$(\frac{a}{c},\frac{b}{c})$ est un point du cercle \`a
coordonn\'ees rationnelles positives, alors pour tout $m\in\N$, le
triplet $(ma,mb,mc)$ est pythagoricien.

\item Soit $r\in\R$. L'intersection $C\cap D_r$ est constitu\'e de
deux points, dont l'un est le point $A$ d'affixe $-1$. Calculer
explicitement en fonction de $r$ l'affixe $z_r=x_r+iy_r$ de l'autre
point d'intersection $M_r$. Peut-on exprimer
simplement $r$ en fonction d'un argument $\theta_r$ de $z_r$ ?
Dans quel intervalle doit se situer $r$ pour que $x_r$ et $y_r$
soient positifs ? Faire un dessin.

\item Soit $M\in C$. Montrer que les coordonn\'ees de $M$ sont
rationnelles si et seulement si il existe $r\in\Q$ tel que $M\in
C\cap D_r$.

\item En \'ecrivant $r=p/q$, avec $p$ et $q$ premiers entre eux,
exprimer \`a l'aide de la question $2)$ l'ensemble des points du
cercle \`a coordonn\'ees rationnelles positives en fonction de $p$
et $q$.

\item D\'eduire des questions $1)$ et $4)$ que l'ensemble des
triplets pythagoriciens est :
$$S=\left\{ ( m(q^2-p^2),2 mpq, m(p^2+q^2))\ |\ m\in\N,\ p\in\N,\
q\in\N^*,\ p\leq q\ ,\ p\textrm{ premier avec }q\right\}.$$
\end{enumerate}
\end{document}
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%%% TeX-master: t
%%% End:
