\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{S1SM}
\newcommand{\imp}{\Rightarrow}
\newcommand{\equi}{\Leftrightarrow}

\begin{document}

\devoir{3}{3 novembre}

\exo Si $f$ et $g$ sont deux fonctions réelles définies sur un intervalle $I$ de $\R$,
on définit la fonction $f.g$ par $f.g: I \rightarrow \R$,  $x \mapsto f(x)g(x) \;.$ \\
Pour chacune des assertions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Si elle est vraie,
la prouver, sinon écrire et démontrer sa négation.
\begin{enumerate}
\item $\forall \; x \in \R, \quad x<2 \imp x^2 < 4$.
\item $\forall \; f,g : \R^+ \rightarrow \R, \quad  (f $, $g$ croissantes$)$ $\imp$ $(f.g$ croissante$)$.  
\item $\forall \; f,g : \R^+ \rightarrow \R, \quad  (f $, $g$ croissantes et $f$ positive $)$  $\imp$ $f.g$ croissante.  
\item $\forall \; f,g : \R^+ \rightarrow \R, \quad  (f $, $g$ croissantes et positives $)$  $\imp$ $f.g$ croissante.  
\item $\forall \; \varepsilon \in \R^{+*}, \exists \; \alpha \in \R^{+*}, \quad |x-1| < \alpha \imp |3x-3|<\varepsilon$.
\item $\forall \; \varepsilon \in \R^{+*}, \exists \; \alpha \in \R^{+*}, \quad |x-1| < \alpha \imp |2x-1|<\varepsilon$.
\end{enumerate}
Donner une traduction de $5$ et $6$ en termes de limites.

\exo 
Soient $n,k \in \N^*$. Montrer par l'absurde que, si l'on range $kn + 1$
paires de chaussettes dans $n$ tiroirs, au moins un tiroir contient au moins
$k+1$ paires de chaussettes.

\begin{center}
Applications
\end{center}

\begin{enumerate}

\item Le restaurant universitaire propose un choix de 5 menus. Montrer que
parmi 11 étudiants ayant déjeuné à la cantine, 3 au moins ont mangé le même
repas. 

\item Soit une liste de $n$ entiers $a_1 , ... , a_n \quad (n \geq 1)$ .
Montrer qu'il existe un entier $l \in \{1,...,n\}$ et $l$  éléments
consécutifs de la liste dont la somme est un multiple de $n$. C'est-à-dire,
prouver qu'il existe $l \in \{1,...,n\}$  et $k \in \{0,...,n-l\}$ tels que :
$$ a_{k+1} + a_{k+2} +    ... + a_{k+l} \quad \mbox{est un multiple de} \; n.$$
\hint{On peut introduire les sommes :
$$S_0 := 0, \; 
  S_1 := a_1, \;
  S_2 := a_1 + a_2, \; ..., \;
  S_i := a_1 + a_2 + ...  + a_i, \; ..., \;
  S_n := a_1 + a_2 + ...  + a_n$$   
et les ranger dans $n$ tiroirs numérotés de $0$ à $n-1$ en plaçant $S_i$ $(0
\leq i \leq n)$ dans le tiroir portant le numéro \guill{reste de la division
euclidienne de $S_i$ par $n$.}}
\end{enumerate}

\exo On définit :
\begin{itemize}
\item la fonction $f : \R \rightarrow \R$, $x \mapsto -x^2 - 4x$,  
\item les ensembles $A : =]-\infty,-2[ \; \cup \; ]-2,1]$ et $B := ] -\infty , 4 [$.
\end{itemize} 
Sans faire d'étude de fonction, en revenant aux définitions, montrer que
$f(A)=B$.

\exo 
\begin{enumerate}
\item Etudier la limite de $\frac{\sqrt{2x+1} - 3}{\sqrt{x-2} - \sqrt{2}}$ en
$4$.
\item Faire de même pour $\frac{\tan(x) - \sin(x) }{\sin^3(\frac{x}{2})}$ en
$0$.
\end{enumerate}

\exo 
\begin{enumerate}
\item On rappelle la définition de la partie entière, $E : \R \rightarrow
\Z$. Pour $x \in \R$, $E(x)$ est l'unique entier relatif vérifiant : 
$$ E(x) \leq x < E(x) + 1.$$ 
Représenter graphiquement la fonction $E$.

\item Donner le domaine de définition de la fonction $f$ définie par :
$$ f(x) = \frac{ x^4 E(x) + 2 x^3 + (21 E(x^2) +1 ) x}{x^3 E(x) + 3x^2 + 21
E(x^2)}.$$

\item A l'aide des théorèmes sur les limites, montrer que $\underset{x
\rightarrow 1}{\mbox{lim}} \; f(x) = 1$.

\item On veut maintenant retrouver le résultat précédent en utilisant
seulement la définition de la limite. 

\begin{enumerate}
\item Factoriser les polynômes $X^4 + X^3 - 3 X^2 + 22 X - 21 $ et $2 X^2 - 3 X + 1$ par $X-1$.
\item Calculer $f(x) - 1$ sur $]1,\frac{4}{3}[$ et déterminer une constante $A \in \R^{+*}$ telle que :
$$ 1 < x < \frac{4}{3} \imp |f(x) - 1 | < A |x - 1| \quad .$$
En revenant à la définition, prouver alors que  $\underset{x \rightarrow 1^+}{\mbox{lim}} \; f(x) = 1$.
\item Calculer $f(x) - 1$ sur $] \frac{1}{2},1[$ et montrer que :
$$ \frac{1}{2}<x<1 \imp |f(x) - 1 | < 2 |x - 1| \quad .$$
Toujours en revenant à la définition, prouver alors que  $\underset{x \rightarrow 1^-}{\mbox{lim}} \; f(x) = 1$.
\item Conclure.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}

