\documentclass[a4paper,11pt]{article}
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\def\color[rgb]#1{}

\newcommand{\imp}{\Rightarrow}
\newcommand{\equi}{\Leftrightarrow}
\def\e{\varepsilon}
\def\Lim{\lim\limits}

\begin{document}\corrige{3}

\vspace{.5cm}
%---------------------------------------------ex 1--------------------------------------------------------------
\exo 
\begin{enumerate}
%-------------1
\item 
\begin{itemize}
\item Fausse.
\item Négation :  $\exists \; x \in \R, \quad x<2 \; \mbox{et} \; x^2 \geq 4$.
\item Preuve de la négation : $x = -3$ convient.
\end{itemize}
%-------------2
\item 
\begin{itemize}
\item Fausse.
\item Négation : $\exists \; f,g : \R^+ \to \R, \quad  (f $, $g$
croissantes$)$ et  $(f\cdot g$ non croissante\footnote{
Une fonction non croissante n'est pas nécessairement décroissante. Par exemple la fonction :
$ \varphi \; : \;  \R^+ \to \R$ définie par $ \varphi(x)= (x-1)^2$ n'est ni croissante, ni décroissante sur $\R^+$.}$) $.
\item Preuve de la négation : $f  : \;  \R^+ \to \R$ définie par $f(x)=x-2$ et 
$g  : \;  \R^+ \to \R$ définie par $g(x)=x$ sont toutes deux
croissantes. Mais $f\cdot g : \R^+ \to \R$ , $x \mapsto x^2-2x$
n'est pas croissante.
\end{itemize}

%------------3

\item 
\begin{itemize}
\item Fausse.
\item Négation : $\exists \; f,g : \R^+ \to \R, \quad  (f $, $g$
croissantes et $f$ positive $)$ et  $(f\cdot g$ non croissante$)$.
\item Preuve de la négation : $f  : \;  \R^+ \to \R$ définie par $f(x)=x+2$ est croissante, positive et 
$g  : \;  \R^+ \to \R$ définie par $g(x)=x-10$ est croissante. Mais
 $f\cdot g : \R^+ \to \R$, $x \mapsto x^2-8x-20$ n'est pas croissante.
\end{itemize}


%-------------4
\item 
\begin{itemize}
\item Vraie.
\item Preuve : soient $x,y \in \R^+$ tels que $x \leq y$. Comme $f,g$ sont croissantes et positives, on a les inégalités :
$$ (I_f) \quad 0 \leq f(x) \leq f(y) \quad \quad \quad \mbox{et}  \quad \quad \quad   (I_g) \quad 0 \leq g(x) \leq g(y).$$
On multiplie $ (I_f)$ par $g(x)$ ($g(x) \geq 0$) et $ (I_g)$  par $f(y)$ ($f(y) \geq 0$) pour obtenir :
$$ f(x) g(x) \leq f(y) g(x) \quad \quad \mbox{et} \quad \quad  f(y)g(x) \leq f(y)g(y).$$
On a donc  $ f(x) g(x) \leq f(y)g(y)$ (transitivité de $\leq$).
\end{itemize}

%--------------5
\item 
\begin{itemize}
\item Vraie.
\item Preuve : soit $\e \in \R^{+*}$. On pose $\alpha=\frac{\e}{3}$. Alors :
\begin{eqnarray*}
          |x-1| < \alpha=\frac{\e}{3}  &  \imp & \underbrace{3 |x-1|}_{= |3x-3|} < 3 \times \alpha = \e.
\end{eqnarray*} 
\item Soit $f : \R^+ \to \R$ , $x \mapsto 3x$.
\begin{eqnarray*}
(5) & \equi &
f(1) = 3 \quad\text{et}\quad
\forall \; \e \in \R^{+*}, \exists \; \alpha \in \R^{+*},
\quad 0< |x-1| < \alpha \imp |3x-3|<\e\\
    & \equi &  f(1)=3 \quad\text{et}\quad \lim_{x\to 1} f(x) = 3.
\end{eqnarray*}
\end{itemize}

%--------------6
\item 
\begin{itemize}
\item Fausse.
\item Négation : 
$\exists \; \e \in \R^{+*}, \forall \; \alpha \in \R^{+*}, \exists \; x \in \R,   \quad |x-1| < \alpha \quad \mbox{et} 
  \quad |2x-1| \geq \e.$
\item Preuve de la négation : On choisit $\e=1$. Soit $\alpha \in  \R^{+*}$. Alors : 
$$ \mbox{si on pose} \; x=1 , \quad 0=|x-1| < \alpha \quad\text{et}\quad
1 = |2x-1|\geq \e = 1.$$
\item  Soit $g : \R^+ \to \R$ , $x \mapsto 2x$. Alors : 
$$ (6) \quad \equi \quad  \lim_{x \to 1} g(x) = 1 \quad\text{et}\quad g(1)=1. $$
\end{itemize}
\end{enumerate}

%---------------------------------------------ex 2--------------------------------------------------------------
\exo
On raisonne par l'absurde. On suppose que l'on a rangé $nk + 1$ paires de chaussettes dans $n$ tiroirs, numérotés de $1$ à $n$, 
et que tous les tiroirs contiennent au plus $k$ paires de chaussettes. \\
On note, pour $i \in \set{1,\dots,n}$, $N_i$ le nombre de paire(s) de
chaussettes qui se trouve(nt) dans le tiroir numéro $i$. Alors on a : 
$$\left\{ \begin{array}{lcl} 
                  (1) & : &\forall i \in \set{1,\dots,n}, \quad N_i \leq k, \\
                  (2) & : & N_1 + N_2 + \dots + N_n = nk + 1.
           \end{array}
\right.$$
En sommant les inégalités de $(1)$, on obtient : $ N_1 + N_2 + \dots + N_n \leq nk$ . En utilisant $(2)$, on trouve :
$$ nk+1 \leq nk \quad \mbox{(ce qui est faux) .}$$
On note $(P)$ la proposition que l'on vient de démontrer.
\smallskip

\partie{Applications}

\begin{enumerate}
\item On applique $(P)$ avec $n=5$ et $k=2$.
\item On définit les $n+1$ sommes suivantes : 
$$S_0 := 0, \; S_1 := a_1, \; S_2 := a_1 + a_2, \; \dots, \; S_i := a_1 + a_2 + \dots  + a_i, \; \dots, \; S_n := a_1 + a_2 + \dots  + a_n \; .$$  
Pour $i \in \set{0,\dots,n}$, on note $r_i \in \set{0,\dots,n-1}$, le reste
de la division euclidienne de $S_i$ par $n$. On range alors les sommes $S_i$,
$i \in \set{0,\dots,n}$, dans $n$ tiroirs numérotés de $0$ à $n-1$ en mettant
la somme $S_i$ dans le tiroir numéroté $r_i$. On applique  $(P)$ avec
\guill{$n=n$} et $k=1$. Un des tiroirs contient donc (au moins) $2=k+1$  sommes
$S_i$. Ainsi,
$$ \exists \; p,q \in \set{0,..,n}, \; p<q, \quad \mbox{tels que} \quad r_p =
r_q. $$
Donc $n$ divise $S_q - S_p$. On explicite l'expression de $S_q - S_p$, pour obtenir :
$$ n \quad \mbox{divise} \quad  a_{p+1} + a_{p+2} + \dots + \underbrace{a_{p+(q-p)}}_{a_q}.$$
\end{enumerate}

%---------------------------------------------ex 3--------------------------------------------------------------
\exo
On procède par double inclusion.
\begin{itemize}
\item Montrons que $f(A) \subset B$. \\
Soit $x \in A$. $f(x) = -x^2 -4x = -(x+2)^2 + 4.$
Comme $x \not=-2$, $-(x+2)^2 < 0$. Donc $f(x)<4$, i.e. $f(x) \in B$. 
\item Montrons que $ B \subset f(A)$. \\
Soit $b \in B$. On cherche $x \in A$ tel que $f(x) = b$. Autrement dit, on souhaite trouver une solution de  l'équation :
$$ (E)   \quad -x^2 - 4x - b = 0 \qquad\text{ qui est \emph{dans A}}.$$ 
Le discriminant vaut $ 16 - 4b > 0$  car $b<-4$ ($b \in B$).
(E) a donc deux solutions \emph{dans $\R$} :
$$ x_- = \frac{-4 - \sqrt{16-4b}}{2}  \quad \mbox{et} \quad x_+ = \frac{-4 + \sqrt{16-4b}}{2}.$$
On remarque que $x_- \in A$. \\
Conclusion : il existe $x \in A$ ($ x =  \frac{-4 - \sqrt{16 - 4b}}{2}$) tel que $f(x)=b$.

\end{itemize}

%-----------------------------------------------ex 4-------------------------------------------------------------
\exo

\begin{enumerate}
\item  On a une forme indéterminée de type \guill{$\frac{0}{0}$}.
\begin{eqnarray*}
 \frac{\sqrt{2x+1} - 3}{\sqrt{x-2} - \sqrt{2}} & = & 
 \left( \frac{\sqrt{2x+1} - 3}{\sqrt{x-2} - \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2x+1} + 3}{\sqrt{x-2} + \sqrt{2}} \right)
 \times  \frac{\sqrt{x-2} + \sqrt{2}}{\sqrt{2x+1} + 3} \\
 &  = & 
 \underbrace{\frac{(\sqrt{2 x + 1})^2 - 3^2}{(\sqrt{x-2})^2 - (\sqrt{2})^2 }}_{=2}
\times  \underbrace{\frac{\sqrt{x-2} + \sqrt{2}}{\sqrt{2x+1} + 3}}_{ \underset{x \to 4}{\longrightarrow} \;\frac{\sqrt{2}}{3}  } 
\quad\underset{x \to 4}{\longrightarrow}\quad \frac{2\sqrt{2}}{3}.
\end{eqnarray*} 

\item   On a également une forme indéterminée de type \guill{$\frac{0}{0}$}.
\begin{eqnarray*}
\frac{\tan(x) - \sin(x) }{\sin^3(\frac{x}{2})} & = & \sin(x) \times  \frac{1 - \cos(x)}{\cos(x)   \sin^3(\frac{x}{2})} \\
& = &
 \underbrace{\frac{\sin(x)}{x}}_{\underset{x \to 0}{\longrightarrow} \;  1 } 
 \times \underbrace{\frac{1 - \cos(x)}{x^2}}_{\underset{x \to 0}{\longrightarrow} \; \frac{1}{2} } 
 \times  \underbrace{\frac{1}{\cos(x)}}_{ \underset{x \to 0}{\longrightarrow} \;  1 }
 \times \underbrace{\frac{(\frac{x}{2})^3}{\sin^3(\frac{x}{2})}}_{\underset{x \to 0}{\longrightarrow} \;  1} 
 \times 2^3 \quad \underset{x \to 0}{\longrightarrow} \quad 4.
\end{eqnarray*} 
\end{enumerate}

%-----------------------------------------------ex 5-------------------------------------------------------------
\exo
\begin{enumerate}
\item Représentation graphique de la fonction partie entière :
$$\input{DM3cor.pstex_t}$$

\item On note $f(x) = \frac{N(x)}{D(x)}$ avec
$$
N(x) := x^4 E(x) + 2 x^3 + (21 E(x^2) + 1) x \quad \mbox{et} \quad
D(x) := x^3 E(x) + 3x^2 + 21 E(x^2).$$
\begin{itemize}
\item Si $x<0$, alors $E(x) \leq -1$. On a 
$ x E(x) \geq -x > 0 \; , \; 3x^2 > 0  \; , \; 21 E(x^2) \geq 0$.\\
$D(x) > 0$, donc $f(x)$ est bien défini.
\item Si  $x>0$, alors $E(x) \geq 0$. On a
$ x E(x) \geq  0 \; , \; 3x^2 > 0  \; , \; 21 E(x^2) \geq 0$.\\
$D(x) > 0$, donc $f(x)$ est bien défini.
\item Si $x=0$, alors $D(x)=0$ donc $f(x)$ n'est pas défini.
\end{itemize}
Conclusion : le domaine de définition de $f$ est $\R^*$.

\item La présence de la fonction partie entière dans l'expression de $f$ nous
contraint à scinder l'étude en deux parties.
\begin{itemize}
\item On sait que  $\Lim_{x \to 1^+} E(x) = 1$ et $\Lim_{x \to 1^+} 
E(x^2) = 1$. Donc : 
$$  \lim_{x \to 1^+} N(x) = 25\quad\text{et}\quad
\lim_{x \to 1^+} D(x) = 25.$$
Le théorème sur \guill{les quotients de limites} s'applique. On obtient:
$\Lim_{x \to 1^+} f(x) = 1$.

\item On a $\Lim_{x \to 1^-} E(x)=0$ et $\Lim_{x \to 1^-} E(x^2) =0$. Donc
$$  \lim_{x \to 1^-} N(x) = 3 \quad\text{et}\quad \lim_{x \to 1^-} D(x) = 3.$$  
On conclut comme ci-dessus: $\Lim_{x \to 1^-} f(x) = 1$.  
\end{itemize}
Conclusion :  $\Lim_{x \to 1} f(x) = 1$.  

\item
\begin{enumerate}
\item  $$ X^4 + X^3 - 3 X^2 + 22 X - 21 = (X-1)(X^3 + 2X^2 - X + 21)$$
        $$ \mbox{et} \quad 2 X^2 - 3 X + 1 = (X-1)(2X-1).$$

\item Si $x \in ]1, \frac{4}{3}[$, alors $E(x)=1$ et $E(x^2)=1$
($ 1 < x^2 < \frac{16}{9} < 2$). $f(x) - 1$ s'écrit :
$$ \frac{x^4 + 2 x^3 + 22 x}{x^3 + 3x^2 +21} - 1 =
   \frac{x^4 + x^3 - 3x^2 + 22x -21}{x^3 + 3x^2 +21}
                          = (x-1) \times \frac{x^3 + 2x^2 - x + 21}{x^3 +
3x^2 +21},$$
d'après 4(a). On pose $P(x) = x^3 + 2x^2 - x + 21 $ et $Q(x)= x^3 + 3x^2 +
21$ . Sur $]1, \frac{4}{3}[$, on a donc : 
\begin{equation}\label{a}
\tag{$\star$} |f(x) - 1 | = |x-1| \frac{| P(x) |}{ |Q(x) |}.
\end{equation}

\begin{itemize}
\item Si  $x \in ]1, \frac{4}{3}[$, on a $Q(x) > 1^3 + 3 \times 1^2 + 21 = 25$,
donc
\begin{equation}\label{b}
\tag{$\star\star$} | Q(x) | > 25.
\end{equation}
\item Si  $x \in ]1, \frac{4}{3}[$,  d'après l'inégalité triangulaire,
on a 
\begin{equation}\label{c}
|P(x)| \leq |x^3| + 2 |x^2| + |x| + 21
  < \left(\frac{4}{3}\right)^3 + 2 \times
\left(\frac{4}{3}\right)^2 + \frac{4}{3} + 21 = \frac{763}{27} 
\tag{$\star\star\star$}
\end{equation}      
\end{itemize}
De \eqref{a}, \eqref{b}, \eqref{c}, on déduit que sur $]1, \frac{4}{3}[$, on a
$$ | f(x) - 1 | < A | x -  1 | \quad \text{avec} \quad A=\frac{763}{675}.$$
Montrons maintenant que  $\underset{x \to 1^+}{\mbox{lim}} \; f(x) \; = 1$ en revenant à la définition, i.e. prouvons :
$$ \forall \; \e \in \R^{+*}, \exists \; \alpha \in \R^{+*}, \quad 1 < x < 1 + \alpha \imp |f(x)-1|<\e.$$
Soit $\e  \in \R^{+*}$. On définit $\alpha$ comme étant le plus petit des
deux nombres $\frac{\e}{A}$ et $\frac{1}{3}$. Soit $x \in \R$ tel que $1< x
< 1+ \alpha$. D'après le choix de $\alpha$, on a  $1< x < \frac{4}{3}$ et
$|x-1|<\frac{\e}{A}$ et donc :
$$ |f(x) -1| < A |x-1| < A \times \frac{\e}{A} = \e.$$  

\item Si $x \in ]\frac{1}{2}, 1[$, alors $E(x)=0$ et  $E(x^2)=0$ ($0 \leq \frac{1}{4} < x^2 < 1$). $f(x) - 1$ s'écrit :
$$ \frac{2 x^3 + x}{3x^2} - 1  = \frac{2x^2 - 3x + 1}{3 x}
                    = (x-1) \times \frac{2x - 1}{3x} \qquad\mbox{(d'après 4(a))}.$$  
Sur $]\frac{1}{2}, 1[$, on a donc : 
     $$ |f(x) - 1 | = |x-1| \frac{|2x - 1|}{ |3x|}.$$ 
Si $x \in ]\frac{1}{2}, 1[$, alors :
$$ |2x - 1| \leq 2|x| +1 < 3 \quad\mbox{et}\quad |3x|>\frac{3}{2}.$$
Finalement
$$ \frac{1}{2}<x<1 \imp |f(x) - 1 | < 2 |x - 1|.$$
La preuve de $\Lim_{x\to 1^-} f(x) = 1$ est analogue à celle faite
pour   $\Lim_{x\to 1^+} f(x) = 1$. \item Des résultats (4b) et (4c),
on déduit : $\Lim_{x \to 1} f(x) = 1$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
