\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{S1SM}
\def\e{\varepsilon}
\begin{document}\devoir{4}{??/??}
\exo
Montrez que les limites suivantes existent et calculez leur valeur.
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x^3+2x^2+1}{4x^2+3x+2}
\sin(1 / x)$
\item $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \frac{2}{\sin(x)^2}-\frac{1}{1-\cos(x)}$
\end{enumerate}

\exo
Soit $f$ définie par $f(x)=\frac{a}{1-x}-\frac{2}{1-x^2}$ avec 
$a\in \mathbb{R}$.
\begin{enumerate}
\item $f$ est-elle continue sur son ensemble de définition ? 
\item Déterminez en fonction de $a$ la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers 1
(si cette limite existe). M\^eme chose en $-1$. (On précisera éventuellement les
limites \`a gauche et \`a droite si elles diff\`erent.) 
\item D\'eterminez en fonction de $a$ si $f$ peut \^etre prolong\'ee 
par continuité en 1 ? En $-1$ ?  
\end{enumerate}

\exo
Soit $f$ définie sur $]-\e,\e[$ où $\e>0$. On suppose qu'il existe $k\geq 0$
tel que 
$$\forall x\in \,]-\e,\e[\, \setminus \set{0}, \abs{f(x)} \leq k \abs{x}.
$$
Expliquez par un dessin ce que signifie cette condition sur $f$.\\ Montrez
que $f$ continue en $0$ si et seulement si $f(0)=0$.

\exo
Soit $f$ définie par $f(x)=xE(\frac{1}{x})$ où $E$ est la fonction partie
entière. Étudiez la continuité de $f$ en chaque point de son ensemble de
définition.  

\exo
Soit $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ continue telle que 
$\lim_{x\rightarrow+\infty}
f(x)=+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow-\infty}
f(x)=-\infty$. Montrer que $f$ admet au moins une racine.\\
Application : montrer qu'un polyn\^ome à coefficients réels de degré 
impair admet au moins une racine dans $\mathbb{R}$.
\end{document}
