\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{S1SM}

\begin{document}
\devoir{5}{15/12}

\exo
Soit $a,b,c$ trois nombres r\'eels. On d\'efinit la fonction 
$f\colon \R\to\R$ par $f(x)=e^x$ si $x<0$ et $f(x) = ax^2 + bx + c$ si $x\geq
0$. \`A quelle condition sur $a,b,c$ la fonction $f$ est-elle de classe
$\mathcal{C}^2$ ? $f$ peut-elle \^etre de classe $\mathcal{C}^3$ ?

\exo On d\'efinit l'application $f\colon\R\to\R$ par
$f(x)=x^2\cos\left(\frac{1}{x}\right)$ si $x\not=0$ et $f(0)=0$.
\'Etudier la d\'erivabilit\'e de $f$ en tout point de $\R$.

\exo Soit $n\in\N$ et 
$\displaystyle S_n=1+ \frac{1}{ 2}+\cdots +\frac{1}{ n}$.\\
a) Montrer que pour tout $ x>0 $ on a~: $ \displaystyle{\frac {1}{ x+1}<\ln(x+1) 
-\ln(x)<\frac{1}{ x}} .$ \\
b) En d\'eduire que pour tout entier $ n\geq 2$ on a :
$\ln(n+1)< S_n <1+\ln(n) .$ \\

c) Que vaut $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}S_n$ ?

\exo
Montrer que pour tout $x\in [0,+\infty[$ on a
$$
1+x-\frac{x^2}{2}\leq \sqrt{1+2x}\leq 1+x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{2}.
$$

%\exo
%Soit $f\colon \R\to\R$ une fonction $2$ fois d\'erivable telle que $f$ et
%$f''$ sont born\'ees sur $\R$. On note $M_0=\sup\{|f(x)| ; x\in\R\}$
%et $M_2=\sup\{|f''(x)| ; x\in\R\}$. On suppose que $M_0$ et $M_2$ sont
%non nuls.\\
%a) En appliquant le th\'eor\`eme de Taylor sur $[x,x+t]$, montrer que 
%$$\forall t>0,\ \forall x\in\R,\ |f'(x)|\leq \frac{2M_0}{t}+\frac{t M_2}{2}.
%$$
%b) Soit $g\colon \R^{+*}\to \R$ d\'efinie par 
%$g(t)=\frac{2M_0}{t}+\frac{t M_2}{2}$. Montrer que $g$ atteint un minimum
%que l'on d\'eterminera.\\
%c) En d\'eduire que $\forall x\in\R,\ |f'(x)|\leq 2\sqrt{M_0M_2}$.

\exo On consid\`ere les fonctions $f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}$ et $g(x)=
\frac{x^{2}+x+1}{x-1}$.\\
a) Donner les domaines de d\'efinition et de d\'erivabilit\'e de $f$
et $g$. Calculer $f'$ et $g'$. D\'eterminer les extrema locaux de $f$
et $g$. Existe-t-il des extrema globaux ?\\
b) D\'eterminer les asymptotes aux graphes de $f$ et $g$.\\
c) D\'eterminer les intervalles sur lesquels $f$ et $g$ sont convexes,
concaves, trouver les points d'inflexion.\\
d) Tracer les graphes de $f$ et $g$.
\end{document}
