\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{S1SM}
\def\i{{\rm i}}

\begin{document}
\partiel{1}{31 octobre 2003}{1h30}
\bareme{4, 4, 4, 3, 3, 2.}

\cours
\begin{enumerate}
\item Donner \`a l'aide de quantificateurs la d\'efinition de la
propri\'et\'e suivante:
\[
\lim_{x\to x_{0}} f(x) = l,
\]
o\`u $x_{0}, l\in \R$ et $f$ est une fonction r\'eelle de variable
r\'eelle d\'efinie au voisinage de $x_{0}$.

\item Donner la d\'efinition de la contrapos\'ee d'une implication
$P\Rightarrow Q$. D\'emontrer par contrapos\'ee l'assertion suivante:

\centerline{
\guill{pour tout $p\in \N$, $p^{2}$ pair $\Rightarrow$ $p$ pair}.
}
\end{enumerate}

\exo\begin{enumerate}
\item R\'esoudre dans $\C$ l'\'equation $z^{2}-z +(1+\i)=0$.

\item En d\'eduire les solutions dans $\C$ de l'\'equation
$z^{6}-z^{3}+(1+\i)=0$.
\end{enumerate}

\exo
Soit $f$ la fonction r\'eelle de variable r\'eelle d\'efinie par
\[
f(x)= \frac{x+1}{ x^{2}+3x -4}.
\]
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer le domaine de d\'efinition $D_{f}$ de $f$.

\item R\'esoudre sur $D_{f}$ l'in\'equation $f(x)\geq 1$.
\end{enumerate}

\exo
Soient $a,b\in \N$ avec $a> b$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $n\in \N$ on a:
\[
 a^{n+1}-b^{n+1}= (a^{n}-b^{n})a+ b^{n}(a-b).
\]

\item Montrer par
r\'ecurrence sur $n$ que pour tout $n\geq 1$ $a-b$ divise $a^{n}-
b^{n}$.
\end{enumerate}

\exo R\'esoudre dans $\R$ l'in\'equation:
\[
|x^{2}+2x-3|\leq 2x+1.
\]

\exo D\'eterminer explicitement les sous-ensembles suivants de $\R$:
\begin{enumerate}
\item $A=\set{x\in [0,1]\:| \:\exists \:n\in \N^{*},\:
  \frac{1}{n}\leq x\leq 1}$

\item $B=\set{x\in [0,1]\:| \:\forall  \: n\in \N^{*},\:
  \frac{1}{n}\leq x\leq 1}.$
\end{enumerate}
\end{document}
